山西省晋中市榆次区2023-2024学年八年级上学期期中学业水平质量监测数学试卷(含解析)

这是一份山西省晋中市榆次区2023-2024学年八年级上学期期中学业水平质量监测数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了小李同学发现无法求出旗杆的高度等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共8页，满分100分，考试时间90分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 64的平方根是（ ）
A. 8B. C. D. 4
答案：C
解析：解：64的平方根是：，
故选：C．
2. 在平面直角坐标系中，点的位置在（ ）
A. 第二象限B. 第四象限C. 轴上D. 轴上
答案：D
解析：解：平面直角坐标系中，点所在的位置是轴上，
故选：D．
3. 下列实数中的无理数是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：开方开不尽，是无理数；
，是分数，是整数，都属于有理数；
故选：A．
4. “赵爽弦图”（图1）通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了一个重要的数学定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，这个图案被选为2002年国际数学家大会的会徽（图2）．利用这个图形证明的重要数学定理是（ ）

A. 三角形内角和定理B. 勾股定理C. 勾股定理的逆定理D. 全等三角形的判定定理
答案：B
解析：解：由勾股定理相关的数学背景可知：“赵爽弦图”是对勾股定理的验证．
故选：B．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：A、，此选项不符合题意；
B、，此选项不符合题意；
C、，此选项不符合题意；
D、，此选项符合题意．
故选：D．
6. 以下四组数据中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故符合题意；
故选：D．
7. 某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习，同学们找到了许多生活中的函数．下面实例中，变量之间的关系不是一次函数的是（ ）
A. 家庭用水的单价为4.1元，每月的水费支出与用水量之间的关系
B. 百米赛跑中，时间与速度之间的关系
C. 相同规格的A4纸整齐放置，纸的厚度与纸的张数之间的关系
D. 普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系
答案：B
解析：解：A、家庭用水的单价为4.1元，每月的水费支出与用水量之间的关系是一次函数关系，不符合题意；
B、百米赛跑中，时间与速度之间的关系是不是一次函数关系，符合题意；
C、相同规格的A4纸整齐放置，纸的厚度与纸的张数之间的关系是一次函数关系，不符合题意；
D、普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系是一次函数关系，不符合题意．
故选：B．
8. 如图1，大树移植后常用木头支撑．将其中一根木头的支撑情况抽象为数学图形（图2），如果木头的长为1.8米，木头底端A到树底端C的距离长为1米，则的长度在（ ）
A. 1.2米到1.3米之间B. 1.3米到1.4米之间
C. 1.4米到1.5米之间D. 1.5米到1.6米之间
答案：C
解析：解：由勾股定理，得
(米)
∵，，
∴
∴长度在1.4米到1.5米之间
故选：C．
9. 如图是一个数值转换器，如果输入的为81，则输出的值为（ ）

A. B. C. D.
答案：A
解析：当时，取算术平方根为9，是有理数，
代入，取算术平方根为3，是有理数，
代入，取算术平方根为，是无理数，则输出为．
故选：A．
10. 小磊在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是
A. 5B. 2C. D.
答案：C
解析：解：设一次函数的表达式为：，
由表得：，
解得：，
，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
这个错误函数值为，
故选C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 的绝对值是_____．
答案：
12. 如图是杭州亚运会火炬传递线路图，小红和小亮想利用平面直角坐标系的相关知识标记各站点．他们将其置于正方形网格中，宁波站的坐标为，舟山站的坐标为，则丽水站的坐标为________．

答案：
解析：解：由，可建立如图所示的平面直角坐标系：
∴点C的坐标是．
故答案为：．
13. 复习课上，同学们根据一次函数所满足的性质写表达式．小华说：“一次函数图象经过点，小丽说：“该函数中，的值随着值的增大而减小”，则该一次函数表达式可以是________．（写出一种即可）
答案：（答案不唯一）
解析：解：设一次函数的解析式为，
∵y随着x的增大而减小，
∴，
∵图象过点，
∴，
∴符合条件的解析式可以为：．
故答案为：（答案不唯一）．
14. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是________ ．
答案：15
解析：解：由题意得：
①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：
，
∴在中，；
②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：

，
∴在中，；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，
需要爬行的最短距离是15，
由长方体的特征可得其他途径必定比①②两种更远，故不作考虑；
故答案为：15．
15. 如图，在中，，动点在射线上移动，连接．如果，则线段的长为________．

答案：或
解析：解：由勾股定理，得，
①当点P在线段上时，如图，

∵，，
∴
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得
解得：；
②当点P在线段延长线上时，如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴∴
∴，
由①可得，
∴，
∴，
综上，线段的长为或．
三、解答题（本大题共8个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
答案：（1）
（2）
（3）
小问1解析：
解：原式
；
小问2解析：
解：原式
；
小问3解析：
解：原式
17. 如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点均在格点上，且．

（1）请在图中画出与正方形关于轴对称正方形；
（2）直接写出正方形与正方形的对应顶点的坐标满足的关系：横坐标 ，纵坐标 ；
（3）正方形的面积为 ．
答案：（1）见解析 （2）互为相反数，相同
（3）20
小问1解析：
如图所示；

小问2解析：
直接写出正方形与正方形的对应顶点的坐标满足的关系：
横坐标互为相反数，纵坐标相同；
小问3解析：
正方形的面积．
18. 某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间可以用下面的公式“”来估计，其中是雷雨区域的直径．
（1）如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约持续多长时间？（结果精确到）
（2）如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是否超过？
答案：（1）如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约能持续大约持续
（2）如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径没有超过
小问1解析：
当时，，根据题意，得，
答：如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约能持续大约持续．
小问2解析：
当时，，
即，所以．
又因为，且，所以．
答：如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径没有超过．
19. 已知，，，（为大于1的正整数）．试问是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由．
答案：是直角三角形，且边所对角是直角，理由见解析
解析：解：∵，；
∴；
∵；
∴为最长边；
，
且，
．
是直角三角形，且边所对角是直角．
20. 如图，正比例函数的图象经过点．

（1）求的值；
（2）请在如图的坐标系中画出一次函数的图象；
（3）根据图象，写出与一次函数有关的一个结论： ．
答案：（1）
（2）见解析 （3）随的增大而增大
小问1解析：
解：将代入，
得：，
解得：．
小问2解析：
将的图象向上平移3个单位得到的图象，
函数图象如图所示：

小问3解析：
，
随的增大而增大（答案不唯一）．
21. 如图，某学校劳动实践基地有一块正方形空地，七、八年级分别在空地上开垦出两块面积为和的正方形区域进行种植试验．求这块正方形空地（正方形）的面积．

答案：这块正方形空地的面积为
解析：解：
答：这块正方形空地的面积为．
解法二：
答：这块正方形空地的面积为．
22. 阅读下列材料，并完成相应任务．
任务：请你按照老师的提示帮小李和小明求出旗杆的高度．
答案：旗杆的高度为
解析：解：设旗杆的高度为，
由图1得，绳子的平方为：，
由图2得，绳子的平方为：，
∴，
解得：，
答：旗杆的高度为．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于两点，一次函数的图象经过点，并与轴交于点．
（1）求两点的坐标；
（2）求的面积；
（3）在平面内是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
答案：（1），
（2）
（3）存在，点的坐标为或
小问1解析：
令，得，
解得，
．
令，得
．
小问2解析：
将代入中，得，
所以．
令，得，
所以，
所以．
所以．
小问3解析：
如图所示，当是等腰直角三角形时，
过点B作，过点P作，过点A作，
∵，
∴，
∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴点的坐标为；
当是等腰直角三角形时，
同理可得，
∴，
∴
∴点的坐标为
综上所述，当点P的坐标为或时，是以点为直角顶点的等腰直角三角形．
…
0
1
2
…
…
8
5
2
…
巧用勾股定理测算旗杆高度
数学活动课上，老师让同学们利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算出学校旗杆的的高度．
小李同学将升旗的绳子拉直到其末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端的距离为(如图1)．小李同学发现无法求出旗杆的高度．

小明同学将绳子拉直到其末端距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面的高度为(如图2)．小明同学也发现无法求出旗杆的高度．

他俩去请教老师，老师给出提示：你俩的方法结合一下便可以解决问题，因为不管怎么拉动绳子，绳子的长度不变，…