内蒙古名校联盟2024-2025学年高二上学期10月大联考数学试题

这是一份内蒙古名校联盟2024-2025学年高二上学期10月大联考数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占20%，选择性必修第一册第一、二章占80%。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，则
A．B．C．D．
2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是
A．B．C．D．
3.已知复数（），且，则
A．1B．2C．D．
4.若点在圆C：的外部，则m的取值可能为
A．5B．1C．D．
5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则
A．B．C．D．
6.已知，，过点的直线l与线段（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为
A．B．
C．D．
7.已知定义在上的函数满足，且当时，，，则
A．B．C．8D．11
8.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，D，E，F分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则
A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点中心对称D．的值域为
10.已知，，是曲线上的任意一点，若的值与x，y无关，则
A．m的取值范围为B．m的取值范围为
C．n的取值范围为D．n的取值范围为
11.已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则
A．当P为底面的中心时，
B．当时，长度的最小值为
C．当时，长度的最大值为6
D．当时，为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，，若，则 .
13.已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 .
14.过点作两条互相垂直的直线，分别交圆O：于E，G和F，H，则四边形面积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知直线l：.
（1）若l在两坐标轴上的截距相反，求a的值；
（2）若直线m：，且，求l与m间的距离。
16.（15分）
如图，在正六棱柱中，M为的中点.设，，.
（1）用，，表示向量，；
（2）若，求的值。
17.（15分）
已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线截得的弦长为.
（1）求圆M的标准方程；
（2）若过点的直线l与圆M相切，求直线l的方程.
18.（17分）
如图，在几何体中，平面，，，，E，F分别为棱，的中点.
（1）证明：平面．
（2）证明：.
（3）求直线与平面所成角的正弦值
19.（17分）
定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点”。
（1）求点P所在曲线的方程。
（2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”.
（ⅰ）求直线的方程。
（ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由。
高二数学考试参考答案
1.D
由题意知，.
2.A
易得点关于平面的对称点是.
3.D
因为，所以，解得.因为，所以.
4.C
依题意，方程表示圆，则，解得.
又点在圆C：的外部，所以，解得.
综上，.
5.B
因为，所以．因为，所以，则或（舍去），所以．
6.B
因为，所以直线l的斜率的取值范围为.
7.C
因为，所以为奇函数，则，解得.因为，所以，则.
8.C
设，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（图略），则.在图①中，，，，则，，所以，满足；在图②中，，，，则，，所以，满足；在图③中，，，，则，，所以，不满足.
9.ABD
最小正周期为，图象的对称中心为（），图象的对称轴方程为（），值域为.
10.BC
由曲线，得，则（），所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（x轴及以上部分）.
若的值与x，y无关，则该曲线在两平行直线：与：之间.当与该曲线相切时，，解得，则m的取值范围为.当经过点时，，解得，则n的取值范围为.
11.BCD
连接，.设与交于点E，则．当P为底面的中心时，.因为，所以，，所以，A错误.当时，点P在平面内，则长度的最大值为6，长度的最小值即A到平面的距离.设A到平面的距离为h，则，解得，B，C均正确.因为，所以P在底面上，且，则，得，D正确.
12.
.因为，所以，解得.
13.
依题意得，设异面直线与所成的角为，因为，所以.
14.97
记圆心O到直线，的距离分别为，，则.因为，，所以，即，则四边形的面积，即四边形面积的最大值为97.
15.解：
（1）令，则，
令，则，
所以，
解得.
（2）因为，所以，解得，
则l的方程为，即.
l与m间的距离为.
16.解：
（1）.
.
（2）由题意易得，，
则
.
17.解：
（1）因为圆心在x轴的负半轴上，所以设圆M：（），
又圆M与y轴相切，所以，即.
圆心到直线的距离为，
所以，解得，则.
故圆M的标准方程为.
（2）由（1）可知圆心，.
因为，所以点P在圆M外，过圆M外一点作圆M的切线，其切线有2条.
①当l的斜率k存在时，设l的方程为，即，
则圆心M到l的距离，解得，
此时l的方程为.
②当l的斜率k不存在时，直线l的方程为，
圆心到直线的距离为2，所以直线与圆M相切.
综上，l的方程为或.
18.（1）证明：连接．
因为E，F分别为棱，的中点，所以为的中位线，则．
因为平面，平面，所以平面．
（2）证明：因为平面，平面，所以．
因为，，所以平面，
又平面，所以．
由（1）知，所以.
（3）解：以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，之轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，，
则，，.
设平面的法向量为，则，令，得.
设直线与平面所成的角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
19.解：
（1）因为P为圆A的“黄金点”，所以，
即，
所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，
故点P所在曲线的方程为.
（2）（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，所以，即点P在圆上，
则P是圆和的交点.
因为P，Q均为圆“”的“钻石点”，
所以直线即为圆和的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得，故直线的方程为.
（ⅱ）设的圆心为，半径为；
的圆心为，半径为3.
直线的方程为，得P，Q的中点坐标为，
点S到直线的距离为，则，
所以圆H的方程为.
假设y轴上存在点满足题意，设，，.
若y轴平分上，则，即，整理得.
又，，
所以代入上式可得，
整理得，①
所以，得，
所以，，
代入①并整理，得，
此式对任意的k都成立，所以.
故y轴上存在点，使得y轴平分上.