北京市丰台区长辛店第一中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学检测试题【含答案】

这是一份北京市丰台区长辛店第一中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学检测试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列命题①同旁内角互补，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角．它们的逆命题是真命题的个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、（4分）已知函数y=2x+k-1的图象经过第一、三、四象限，则k的值可以是（ ）
A．3B．2C．1D．0
3、（4分）如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，顶点坐标是、则顶点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
4、（4分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）若两个相似三角形的周长比为4:3，则它们的相似比为（ ）．
A．4:3B．3:4C．16:9D．9:16
6、（4分）已知一次函数y=-0.5x+2，当1≤x≤4时，y的最大值是（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．-6
7、（4分）如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8、（4分）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（ ）
A．3B．2C．D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知，，，，，……（即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，），按此规律，____________．
10、（4分）如图，平移折线AEB，得到折线CFD，则平移过程中扫过的面积是_____．
11、（4分）二次根式的值是________．
12、（4分）若分式的值为0，则的值为____．
13、（4分）如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，则菱形的对角线交点D的坐标为____；若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，点D的坐标为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，四边形是菱形，，垂足分别为点.
求证：;
当菱形的对角线，BD=6时，求的长.
15、（8分）某社区决定把一块长，宽的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边为何值时，活动区的面积达到?
16、（8分）如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；
（2）若BD=8cm，求线段BE的长．
17、（10分）如图，在中，于点D，E是的中点，若，求的长．
18、（10分）有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，放在一个口袋中，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．
（1）采用树形图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果；
（2）求摸出的两个球号码之和等于5的概率．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）．若2m= 3n，那么m︰n= .
20、（4分）等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为_______，面积为________.
21、（4分）若，则．
22、（4分）已知△ABC的周长为4，顺次连接△ABC三边的中点构成的新三角形的周长为__________．
23、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，且.连结，并以点为旋转中心把逆时针转90°后得线段.若点、恰好都在同一反比例函数的图象上，则的值等于________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）为了响应“五水共治，建设美丽永康”的号召，某小区业委会随机调查了该小区20户家庭5月份的用水量，结果如下表：
（1）计算这20户家庭5月份的平均用水量；
（2）若该小区有800户家庭，估计该小区5月份用水量多少吨？
25、（10分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．
26、（12分）如图所示，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为.
（1）填空：当为 时，是直角三角形；
（2）连接，当经过边的中点时，四边形是否是特殊四边形？请证明你的结论.
（3）当为何值时，的面积是的面积的倍.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
①的逆命题：两直线平行，同旁内角互补，正确，②的逆命题：周长相等的三角形不一定全等，错误③的逆命题：相等的角不一定是直角，错误④的逆命题：等角对等边，正确.
故选B
2、D
【解析】
由一次函数图象经过的象限可得出k-1＜0，解之可得出k的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．
【详解】
∵函数y=2x+k-1的图象经过第一、三、四象限，
∴k-1＜0，
解得：k＜1．
故选D．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
3、A
【解析】
此题可过P作PE⊥OM，过点N作NF⊥OM，根据勾股定理求出OP的长度，则N点坐标便不难求出．
【详解】
过P作PE⊥OM，过点N作NF⊥OM，
∵顶点P的坐标是(3,4)，
∴OE=3,PE=4,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OE=MF=3，
∵4+3=7，
∴点N的坐标为(7,4).
故选A.
此题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题关键在于作辅助线.
4、B
【解析】
根据分式分母不能等于0即可得出答案
【详解】
解：∵分式在实数范围内有意义
∴
解得：
故选B
本题考查分式在实数范围内有意义，比较简单，要熟练掌握
5、A
【解析】
根据相似三角形的周长比等于它们的相似比求解即可．
【详解】
∵两个相似三角形的周长比为4:3
∴它们的相似比为4:3
故答案为：A．
本题考查了相似三角形的相似比问题，掌握相似三角形的周长比等于它们的相似比是解题的关键．
6、A
【解析】
根据一次函数的系数k=-0.5＜0，可得出y随x值的增大而减小，将x=1代入一次函数解析式中求出y值即可．
【详解】
在一次函数y=-0.5x+2中k=-0.5＜0，
∴y随x值的增大而减小，
∴当x=1时，y取最大值，最大值为-0.5×1+2=1.5，
故选A．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
7、C
【解析】
试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB，
∵AD=AB，
∴AE=AD，
又∠ABE=∠AHD=90°
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，
∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，
∴∠OHD=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，
∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选C．
考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质
8、C
【解析】
根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC=OB，即可得出答案．
【详解】
解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（1，3），
∴OM=1，BM=3，由勾股定理得：OB=
∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB，
∴AC=，
故选：C．
本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AC=OB是解此题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、-
【解析】
根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2018=336×6+2，即可得出S2018=S2，此题得解．
【详解】
解：S1=，S2=-S1-1=--1=-，S3==-，S4=-S3-1= ，=-（a+1），S6=-S5-1=（a+1）-1=a，S7= ，…，
∴Sn的值每6个一循环．
∵2018=336×6+2，
∴S2018=S2=-．
故答案为：-．
此题考查规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出Sn的值，每6个一循环是解题的关键．
10、1．
【解析】
利用平移的性质得到AE＝CF，AE∥CF，BE＝DF，BE∥DF，则可判断四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式，利用平移过程中扫过的面积＝S▱AEFC+S▱BEFD进行计算．
【详解】
∵平移折线AEB，得到折线CFD，
∴AE＝CF，AE∥CF，BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，
∴平移过程中扫过的面积＝S▱AEFC+S▱BEFD＝1×3+1×3＝1．
故答案为：1．
此题考查平移的性质：对应边平行（或在同一直线上）且相等，平行四边形的判定定理.
11、1
【解析】
根据二次根式的性质进行化简即可得解.
【详解】
=|-1|=1.
故答案为：-1.
此题主要考查了二次根式的化简，注意：.
12、2
【解析】
先进行因式分解和约分，然后求值确定a
【详解】
原式=
∵值为0
∴a-2=0，解得：a=2
故答案为：2
本题考查解分式方程，需要注意，此题a不能为－2，－2为分式方程的增根，不成立
13、 (1，1) (－1，－1)．
【解析】
根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得D点旋转后的坐标．
【详解】
∵菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得
∴D点坐标为（1，1）．
∵每秒旋转45°，
∴第60秒旋转45°×60=2700°，
2700°÷360°=7.5周，即OD旋转了7周半，
∴菱形的对角线交点D的坐标为（-1，-1），
故答案为：（1，1）；（-1，-1）
本题考查了旋转的性质及菱形的性质，利用旋转的性质得出OD旋转的周数是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）.
【解析】
(1)根据菱形的邻边相等，对角相等，证明△ABE与△CBF全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明；
(2)先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出．
【详解】
(1)证明：四边形是菱形，
,
又，
∴△ABE≌△CBF(AAS)
(2)解：四边形是菱形，
，，，,
，
，
，
.
故答案为：（1）见解析；（2）.
本题考查了全等三角形的性质和判定，菱形的性质和面积，注意：菱形的四条边都相等，菱形的对角相等．
15、当时，活动区的面积达到
【解析】
根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.
【详解】
解:设绿化区宽为y，则由题意得
.
即
列方程:
解得 (舍)，.
∴当时，活动区的面积达到
本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．
16、（1）四边形ACED是平行四边形．理由如下见解析
（2）8cm．
【解析】
（1）根据正方形的对边互相平行可得AD∥BC，即为AD∥CE，然后根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形解答.
（2）根据正方形的四条边都相等，平行四边形的对边相等可得BC=AD=CE，再根据正方形的边长等于对角线的倍求出BC，然后求出BE即可.
【详解】
解：（1）四边形ACED是平行四边形.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
即AD∥CE.
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形.
（2）由（1）知，BC=AD=CE=CD，
∵BD=8cm，
∴BC=BD=×8=4cm，
∴BE=BC+CE=4+4=8cm．
17、DE=2.5.
【解析】
利用勾股定理列式求出AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
∵，
∴，
∵E是的中点，
∴．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
18、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）画树状图或列表都可以列出两次摸球出现的所有可能结果共有6种；（2）利用（1）中的结果可确定摸出的两个球号码之和等于5的结果有2种，然后利用概率公式计算即可．
【详解】
解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：
从树形图可以看出，摸出两球出现的所有可能结果共有6种；
（2）设两个球号码之和等于5为事件．
摸出的两个球号码之和等于5的结果有2种，它们是：．
．
考点：简单事件的概率．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、3︰2
【解析】
根据比例的性质将式子变形即可.
【详解】
，
，
故答案为： 3︰2
点睛：此题考查比例的知识
20、3 1
【解析】
根据等腰三角形的性质求得高的长，从而再根据面积公式求得面积即可．
【详解】
解：根据等腰三角形的三线合一得底边上的高也是底边的中线，则底边的一半是4，根据勾股定理求得底边上的高是3，则三角形的面积=×8×3=1．故答案为：3,1．
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．综合运用等腰三角形的三线合一以及直角三角形的勾股定理是解答本题的关键．
21、1
【解析】
根据比例的性质即可求解．
【详解】
∵，∴x=3y，∴原式==1．
故答案为：1．
本题考查了比例的性质，关键是得出x=3y．
22、2
【解析】
抓住三角形的中位线定理进行分析解答，根据题意的分析可以知道三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
【详解】
根据题意可知：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半，所以三条中位线组成的三角形的周长为
故答案为：2.
考查三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半.
23、
【解析】
分析: 过A作AE⊥x轴,过B作BD⊥AE,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由一对角相等,且AE=BD=b,OE=AD=a,进而表示出ED和OE+BD的长,即可表示出B坐标,由A与B都在反比例函数图象上,得到A与B横纵坐标乘积相等,列出关系式,变形后即可求出的值.
详解:过A作AE⊥x轴,过B作BD⊥AE,
∵∠OAB=90°,
∴∠OAE+∠BAD=90°,
∵∠AOE+∠OAE=90°,
∴∠BAD=∠AOE,
在△AOE和△BAD中,
∴△AOE≌△BAD（AAS）,
∴AE=BD=b,OE=AD=a,
∴DE=AE-AD=b-a,OE+BD=a+b,
则B（a+b,b-a）,
∵A与B都在反比例图象上,得到ab=（a+b）（b-a）,整理得:b2-a2=ab,
即,
∵△=1+4=5,
∴,
∵点A（a,b）为第一象限内一点,
∴a>0,b>0,
则,
故答案为:.
点睛:本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征,解决本题的关键是构造全等三角形根据反比例函数上点的坐标特征列关系式.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）11吨；（2）8800吨.
【解析】
根据统计表信息：这20户家庭5月份的平均用水量为；
根据（1）估计该小区5月份用水量为．
【详解】
解：这20户家庭5月份的平均用水量为(吨)；
估计该小区5月份用水量为吨．
本题考核知识点：平均数，用样本估计总体. 解题关键点：熟记平均数公式.
25、
【解析】
（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形ABCD的面积．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，
∵BE=DF，∴OE=OF，
在△AOE和△COF中，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE=CF；
（2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=12，
在Rt△ABC中，BC==6，
∴矩形ABCD的面积=AB•BC=6×6=36．
26、（1）或；（2）是平行四边形，见解析；（3）或.
【解析】
（1）根据题意可分两种情况讨论：①当时，因为是等边三角形，所以时满足条件；②当时，因为是等边三角形，所以，得到，故，即可得到答案；
（2）判断出得出，即可得出结论；
（3）先判断出和的边和上的高相等，进而判断出，再分两种情况，建立方程求解即可得出结论.
【详解】
解：（1）①当时，
是等边三角形，，
，
从点出发沿射线以的速度运动，
当时，是直角三角形；
②当时，
是等边三角形，，
， ，
，
，
从点出发沿射线以的速度运动，
当时，是直角三角形；
故答案为：或；
（2）是平行四边形.
理由：如图，
，
，
经过边的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）设平行线与的距离为，
边上的高为，的边上的高为，
的面积是的面积的倍，
，
当点在线段上时，，
，
；
当点在的延长线上时，
，
，
即：秒或秒时，的面积是的面积的倍，
故答案为：或.
此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
5月份用水量（吨）
5
10
11
13
15
20
户数
3
5
6
3
2
1
∠AOE=∠BAD,
∠AEO=∠BDA=90°
AO=BA