北京市第十二中学2024年数学九上开学考试试题【含答案】

这是一份北京市第十二中学2024年数学九上开学考试试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2、（4分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1和y＝﹣x+1的图象与x轴的交点及x轴上方的部分组成的图象可以表示为函数y＝|x﹣1|，当自变量﹣1≤x≤2时，若函数y＝|x﹣a|（其中a为常量）的最小值为a+5，则满足条件的a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣5C．7D．﹣3或﹣5
3、（4分）化简的结果是（ ）
A．B．C．1D．
4、（4分）下表是两名运动员10次比赛的成绩，，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的方差，则有( )
A．B．C．D．无法确定
5、（4分）如图1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB﹣BC匀速运动到点C停止．在动点K运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中点Q为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是5，则图2中a的值为（ ）
A．B．5C．7D．3
6、（4分）在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组7名同学捐款的金额(单位：元)分别为6，3，6，5，5，6，9.这组数据的中位数和众数分别是( )
A．5，5B．6，6C．6，5D．5，6
7、（4分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC
重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )
A．3B．4
C．5D．6
8、（4分）若关于x的方程=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m＜且m≠
C．m＞﹣D．m＞﹣且m≠﹣
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若点在一次函数的图像上，则代数式的值________。
10、（4分）若分式的值为零，则x的值为_____
11、（4分）如图，小丽在打网球时，为使球恰好能过网(网高0.8米)，且落在对方区域离网3米的位置上，已知她的击球高度是2.4米，则她应站在离网________米处.
12、（4分）如图，如果要使 ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是________.
13、（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数.
15、（8分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？
16、（8分）先化简，再求值： [其中，]
17、（10分）化简求值：，其中x=．
18、（10分）在研究反比例函数y＝﹣的图象时，我们发现有如下性质：
(1)y＝﹣的图象是中心对称图形，对称中心是原点．
(2)y＝﹣的图象是轴对称图形，对称轴是直线y＝x，y＝﹣x．
(3)在x＜0与x＞0两个范围内，y随x增大而增大；
类似地，我们研究形如：y＝﹣+3的函数：
(1)函数y＝﹣+3图象是由反比例函数y＝﹣图象向____平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的．
(2)y＝﹣+3的图象是中心对称图形，对称中心是______．
(3)该函数图象是轴对称图形吗？如果是，请求出它的对称轴，如果不是，请说明理由．
(4)对于函数y＝，x在哪些范围内，y随x的增大而增大？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5，股(长直角边)长为12，河该直角三角形能容纳的如图所示的正方形边长是多少?”，该问题的答案是______．
20、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=4x+4与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，抛物线过C，D两点，且C为顶点，则a的值为_______.
21、（4分）计算6-15的结果是______．
22、（4分）反比例函数y=(k＞0)在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是________.
23、（4分）若分式的值为0，则x的值为_______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知：如图，在中，点A、C在对角线EF所在的直线上，且．求证：四边形ABCD是平行四边形。
25、（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（﹣3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，4）
（1）求m的值及一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式x≤kx+b的解集；
（3）若P是y轴上一点，且△PBC的面积是8，直接写出点P的坐标．
26、（12分）如图，在△ABC中，AD=15，AC=12，DC=9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB=1．求：△ABD的面积．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据概念，知
A、B、D既是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选C．
2、A
【解析】
分三种情形讨论求解即可解决问题；
【详解】
解：对于函数y＝|x﹣a|，最小值为a+1．
情形1：a+1＝0，
a＝﹣1，
∴y＝|x+1|，此时x＝﹣1时，y有最小值，不符合题意．
情形2：x＝﹣1时，有最小值，此时函数y＝x﹣a，由题意：﹣1﹣a＝a+1，得到a＝﹣2．
∴y＝|x+2|，符合题意．
情形2：当x＝2时，有最小值，此时函数y＝﹣x+a，由题意：﹣2+a＝a+1，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，a＝﹣2．
故选A．
本题考查两直线相交或平行问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．
3、B
【解析】
根据二次根式的性质可得=∣∣，然后去绝对值符号即可．
【详解】
解：=∣∣=，
故选：B．
本题主要考查二次根式的化简，解此题的关键在于熟记二次根式的性质．
4、A
【解析】
【分析】先求甲乙平均数，再运用方差公式求方差.
【详解】因为， ，,
所以，=,
=,
所以，
故选A
【点睛】本题考核知识点：方差.解题关键点：熟记方差公式.
5、A
【解析】
根据题意可知AB＝AC，点Q表示点K在BC中点，由△ABC的面积是1，得出BC的值，再利用勾股定理即可解答.
【详解】
由图象的曲线部分看出直线部分表示K点在AB上，且AB＝a，
曲线开始AK＝a，结束时AK＝a，所以AB＝AC．
当AK⊥BC时，在曲线部分AK最小为1．
所以 BC×1＝1，解得BC＝2．
所以AB＝．
故选：A．
此题考查动点问题的函数图象,解题关键在于结合函数图象进行解答.
6、B
【解析】
根据中位数的概念：是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，将这一组数据进行排列，即可得出中位数；根据众数的定义：是一组数据中出现次数最多的数值，即可判定众数.
【详解】
解：将这一组数按照从高到低的顺序排列，得3,5,5,6,6,6,9，则其中位数为6；这组数中出现次数最多的数是6，即为众数，故答案为B.
此题主要考查对中位数和众数的理解，熟练掌握其内涵，即可解题.
7、D
【解析】
试题分析：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8﹣3=5，
在Rt△CEF中，CF===4，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，
故选D．
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
8、B
【解析】
解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=，
已知关于x的方程=3的解为正数，
所以﹣2m+9＞0，解得m＜，
当x=3时，x==3，解得：m=，
所以m的取值范围是：m＜且m≠．
故答案选B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、10
【解析】
先把点带入一次函数求出的值，再代入代数式进行计算即可.
【详解】
∵点在一次函数上，
∴，即，
∴原式＝＝＝10.
此题主要考查了一次函数图像上点的坐标特点以及代数式求值的问题，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式，并且熟练进行有理数的混合计算.
10、1
【解析】
分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零，由此得到1-|x|=2且x+1≠2，从而得到x的值．
【详解】
依题意得：1-|x|=2且x+1≠2，
解得x=1．
故答案是：1．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为2；（2）分母不为2．这两个条件缺一不可．
11、6
【解析】
由题意可得，△ABE∽△ACD，故，由此可求得AC的长，那么BC的长就可得出．
【详解】
解：如图所示：
已知网高，击球高度，，
由题意可得，
∴
∴，
∴，
∴她应站在离网6米处.
故答案为：6.
本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
12、AB＝BC(答案不唯一)
【解析】
试题解析：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=BC或AC⊥BD．
13、
【解析】
根据二次根式有意义的条件可得-x≥0，再解不等式即可．
解答
【详解】
由题意得：-x⩾0，
解得：，
故答案为：.
此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)证明见解析；(2)∠ADO==36°.
【解析】
(1)先判断四边形ABCD是平行四边形，继而根据已知条件推导出AC=BD，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可；
(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠OCD=∠ODC=3x.，在△ODC中，利用三角形内角和定理求出x的值，继而求得∠ODC的度数，由此即可求得答案.
【详解】
(1)∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角，
∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO.
∴∠OAD＝∠ADO.
∴AO＝OD.
又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，
∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形.
(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x，
在△ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°
∴4x+3x+3x=180°，解得x=18°，
∴∠ODC=3×18°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°.
本题考查了矩形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
15、3．
【解析】
试题分析：设降价x元，表示出售价和销售量，根据题意列出方程求解即可．
试题解析：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+30x）件，根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+30x）=6080，解得x=3或x=4，又顾客得实惠，故取x=4，应定价为3元，
答：应将销售单价定位3元．
考点：3．一元二次方程的应用；3．销售问题．
16、
【解析】
分析：先化简，再把代入化简后的式子进行运算即可.
详解：
，
当x=时，
原式=
点睛：本题考查了分式的化简求值.
17、
【解析】
首先按照乘法分配律将原式变形，然后根据分式的基本性质进行约分，再去括号，合并同类项即可进行化简，然后将x的值代入化简后的式子中即可求解．
【详解】
原式=


当时，原式．
本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键．
18、（1）右，2，上，1；（2）(2，1)；（1）是轴对称图形，对称轴是：y＝x+1和y＝﹣x+2；（4）x＜2或x＞2.
【解析】
(1)根据图象平移的法则即可解答;
(2)根据平移的方法,函数y＝﹣的中心原点平移后的点就是对称中心;
(1)图象平移后与原来的直线y=x和y=-x平行,并且经过对称中心,利用待定系数法即可求解;
(4)把已知的函数y＝变形成的形式,类比反比例函数性质即可解答.
【详解】
解：(1)函数y＝﹣+1图象是由反比例函数y＝﹣图象向右平移 2个单位，再向上平移1个单位得到的．
故答案为：右2上1．
(2)y＝﹣+1的图象是中心对称图形，对称中心是(2，1)．
故答案为：(2，1)．
(1)该函数图象是轴对称图形．
∵y＝﹣的图象是轴对称图形，对称轴是直线y＝x，y＝﹣x．
设y＝﹣+1对称轴是y＝x+b，把(2，1)代入得：1＝2+b，
∴b＝1，
∴对称轴是y＝x+1；
设y＝﹣+1对称轴是y＝﹣x+c，把(2，1)代入得：1＝﹣2+c，
∴c＝2．
∴对称轴是y＝﹣x+2．
故答案为：y＝x+1和y＝﹣x+2．
(4)对于函数y＝，变形得：
y＝＝＝，
则其对称中心是(2，)．
则当x＜2或x＞2时y随x的增大而增大．
故答案为：x＜2或x＞2
本题考查了反比例函数的图象与性质,以及待定系数法求函数的解析式,正确理解图象平移的方法是关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据锐角三角函数的定义以及正方形的性质即可求出答案．
【详解】
解：设正方形的边长为x，
∴CE=ED=x，
∴AE=AC-CE=12-x，
在Rt△ABC中，
，
在Rt△ADE中，
，
∴，
∴解得：x=，
故答案为：.
本题考查三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及正方形的性质，本题属于中等题型．
20、-1
【解析】
如图作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点F，利用三角形全等，求出点C、点D和点F坐标即可解决问题．
【详解】
解：如图，作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点F.
∵直线y=-1x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点B（0，1），点A（1，0），△ABO≌△DAM
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=BC，∠BAD=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠DAM=90°，
∴∠ABO=∠DAM，
在△ABO和△DAM中，
,
∴△ABO≌△DAM，
∴AM=BO=1，DM=AO=1，
同理可以得到：CF=BN=AO=1，DF=CN=BO=1，
∴点F（5，5），C（1，5），D（5，1），
把C（1，1），D（5，1）代入得：
，解得：b=-9a-1,
∵C为顶点, ∴,即 ，解得：a=-1.
故答案为-1．
本题考查二次函数与一次函数的交点、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
21、6-
【解析】
直接化简二次根式进而得出答案．
【详解】
解：原式=6-15×，
=6-．
故答案为：6-．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
22、1
【解析】
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
【详解】
解：由题意得：S△MOP=|k|=1，k=±1，
又因为函数图象在一象限，所以k=1．
故答案为：1.
主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
23、-1
【解析】
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】
解：根据题意得：，
解得：x=-1．
故答案为：-1.
若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为2；（2）分母不为2．这两个条件缺一不可．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见解析.
【解析】
如图，连接BD，交AC于点O．由平行四边形的对角线互相平分可得，,结合已知条件证得，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD是平行四边形.
【详解】
如图，连接BD，交AC于点O．
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴，．
又∵，
∴，即，
∴四边形ABCD是平行四边形.
本题考查了平行四边形的性质及判定，作出辅助线，证明、是解决问题的关键.
25、（1）y＝x+2；（2）x≤3；（3）P 的坐标为（0，）或（0，﹣）.
【解析】
（1）把点C（m，4）代入正比例函数y=x即可得到m的值，把点A和点C的坐标代入y=kx+b求得k，b的值即可；
（2）根据图象解答即可写出关于x的不等式x≤kx+b的解集；
（3）点C的坐标为（3，4），说明点C到y轴的距离为3，根据△BPC的面积为8，求得BP的长度，进而求出点P的坐标即可．
【详解】
（1）∵点C（m，4）在正比例函数的y＝x图象上，
∴m＝4，
∴m＝3，
即点C坐标为（3，4），
∵一次函数 y＝kx+b经过A（﹣3，0）、点C（3，4）
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝x+2；
（2）由图象可得不等式x≤kx+b的解为：x≤3；
（3）把x＝0代入y＝x+2得：y＝2，
即点B的坐标为（0，2），
∵点P是y轴上一点，且△BPC的面积为8，
∴×BP×3＝8，
∴PB＝，
又∵点B的坐标为（0，2），
∴PO＝2+＝，或PO＝-+2＝-，
∴点P 的坐标为（0，）或（0，﹣）．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征，分析图象并结合题意列出符合要求的等式是解题的关键．
26、2．
【解析】
试题分析：由勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，∠C=90°，再由勾股定理求出BC，得出BD，即可得出结果．
解：在△ADC中，AD=15，AC=12，DC=9，
AC2+DC2=122+92=152=AD2，
即AC2+DC2=AD2，
∴△ADC是直角三角形，∠C=90°，
在Rt△ABC中，BC===16，
∴BD=BC﹣DC=16﹣9=7，
∴△ABD的面积=×7×12=2．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
8分
9分
10分
甲（频数）
4
2
4
乙（频数）
3
4
3