北京市朝阳区2024年数学九上开学经典试题【含答案】

这是一份北京市朝阳区2024年数学九上开学经典试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）用配方法解方程x2-8x+9=0时，原方程可变形为（ ）
A．（x-4）2=9B．（x-4）2=7C．（x-4）2=-9D．（x-4）2=-7
2、（4分）若点A(–2，)、B( –1，)、C(1，)都在反比例函数(为常数)的图像上，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）如图，中，与关于点成中心对称，连接，当（ ）时，四边形为矩形.
A．B．
C．D．
4、（4分）当x=2时，下列各式的值为0的是（ ）
A．B．C． D．
5、（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是
A．B．C．D．
6、（4分）矩形的长为x，宽为y，面积为8，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为( )
A．B．
C．D．
7、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1
8、（4分）若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （ ）
A．12B．10C．8或10D．6
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）计算：的结果是________．
10、（4分）一次函数y＝kx+b的图象与函数y＝2x+1的图象平行，且它经过点（﹣1，1），则此次函数解析式为_____．
11、（4分）如图，在□ABCD中，AB=5，AD=6，将□ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点 C重合，则折痕AE的长为____．
12、（4分）若,则=______
13、（4分）如图，已知A点的坐标为，直线与y轴交于点B，连接AB，若，则____________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，AC平分∠DAB．
(1)求∠ACB的度数；
(2)如果AD＝1，请直接写出向量和向量的模．
15、（8分）某产品每件的成本为10元，在试销阶段每件产品的日销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
（1）观察与猜想y与x的函数关系，并说明理由．
（2）求日销售价定为30元时每日的销售利润．
16、（8分）如图，AD是等腰△ABC底边BC上的中线，点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE，求证：四边形ADCE的是矩形．
17、（10分）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，过点O作EFAC，交BC交于点E，交AD于点F，连接AE、CF ，求证：四边形AECF是菱形．
18、（10分）解不等式组，并把解集表示在下面的数轴上．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在直角坐标系中，正方形OABC顶点B的坐标为(6，6)，直线CD交直线OA于点D，直线OE交线段AB于点E，且CD⊥OE，垂足为点F，若图中阴影部分的面积是正方形OABC的面积的，则△OFC的周长为______．
20、（4分）如图，在▱ABCD中，已知AD=9cm，AB=6cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE=______cm．
21、（4分）如图，在平面直角坐标系xy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AO=2，BO=3，BC=4.将正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D’处，则点C的对应点C’的坐标为____.
22、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．
23、（4分） 如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn＝_____．（用含n的式子表示）
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在直角坐标系中，已知点O，A的坐标分别为（0，0），（﹣3，﹣2）．
（1）点B的坐标是 ，点B与点A的位置关系是 ．现将点B，点A都向右平移5个单位长度分别得到对应点C和D，顺次连接点A，B，C，D，画出四边形ABCD；
（2）横、纵坐标都是整数的点成为整数点，在四边形ABCD内部（不包括边界）的整数点M使S△ABM＝8，请直接写出所有点M的可能坐标；
（3）若一条经过点（0，﹣4）的直线把四边形ABCD的面积等分，则这条直线的表达式是 ，并在图中画出这条直线．
25、（10分）有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有其他任何区别.现将3个小球放入编号为①②③的三个盘子里，规定每个盒子里放一个，且只能放一个小球
（1）请用树状图或其他适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能情况；
（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率.
26、（12分）先化简，再求值：当m＝10时，求的值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形得到结果，即可做出判断．
【详解】
方程x2-8x+9=0，
变形得：x2-8x=-9，
配方得：x2-8x+16=7，即(x-4)2=7，
故选B．
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法的一般步骤以及完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
2、C
【解析】
首先根据可得反比例函数的图象在第一、三象限，因此可得在x的范围内，随着x的增大，y在减小，再结合A、B、C点的横坐标即可得到、、的大小关系.
【详解】
解：根据，可得反比例函数的图象在第一、三象限
因此在x的范围内，随着x的增大，y在减小
因为A、B两点的横坐标都小于0，C点的横坐标大于0
因此可得
故选C.
本题主要考查反比例函数的性质，关键在于判断反比例函数的系数是否大于0.
3、C
【解析】
由对称性质可先证得四边形AEFB是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，得到AF=BE，进而得到△BCA为等边三角形，得到角度为60°
【详解】
∵与关于点成中心对称
∴AC=CF,BC=EC
∴四边形AEFB是平行四边形
当AF=BE时，即BC=AC，四边形AEFB是矩形
又∵
∴△BCA为等边三角形，故
选C
本题主要考查平行四边形的性质与矩形的判定性质，解题关键在于能够证明出三角形BCA是等边三角形
4、C
【解析】
根据分式值为0时，分子等于0，分母不等于0解答即可.
【详解】
当x=2时，A、B的分母为0，分式无意义，故A、B不符合题意；
当x=2时，2x-4=0，x-90，故C符合题意；
当x=2时，x+20，故D不符合题意.
故选：C
本题考查的是分式值为0的条件，易错点是在考虑分子等于0 的同时应考虑分母不等于0.
5、B
【解析】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件 (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.
∵，∴属于最简二次根式.故选B.
6、C
【解析】
根据矩形面积计算公式即可解答.
【详解】
解：由矩形的面积8＝xy，
可知它的长y与宽x之间的函数关系式为y＝(x＞0)，
是反比例函数图象，
且其图象在第一象限．
故选：C．
本题考查矩形的面积计算公式，注意x,y的取值范围是解题关键.
7、B
【解析】
可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：1．
故选B．
8、B
【解析】
根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.
【详解】
由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，
又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，
①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，
②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，
故选B.
本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、4
【解析】
按照二次根式的乘、除运算法则运算即可求解.
【详解】
解：原式=
故答案为：4.
本题考查二次根式的乘除运算法则，熟练掌握运算公式是解决此类题的关键.
10、y=2x+3
【解析】
根据图象平行可得出k=2，再将(-1，1)代入可得出函数解析式．
【详解】
∵函数y=kx+b的图象平行于直线y=2x+1，
∴k=2，
将(-1，1)代入y=2x+b得：1=-2+b，
解得：b=3，
∴函数解析式为：y=2x+3，
故答案为：y=2x+3.
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握两直线平行则k值相同．
11、1
【解析】
由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可．
【详解】
解：∵翻折后点B恰好与点C重合，
∴AE⊥BC，BE＝CE，
∵BC＝AD＝6，
∴BE＝3，
∴AE＝．
故答案为：1．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现AE垂直平分BC是解决问题的关键．
12、
【解析】
设=k,同x=2k,y=4k,z=5k，再代入中化简即可.
【详解】
设=k,
x=2k,y=4k,z=5k
=.
故答案是：.
考查的是分式化简问题，利用比例性质通过设未知数的方式，代入分式化简可以求解．
13、2
【解析】
如图，设直线y=x+b与x轴交于点C，由直线的解析式是y=x+b，可得OB=OC=b，继而得∠BCA=45°，再根据三角形外角的性质结合∠α=75°可求得∠BAC=30°，从而可得AB=2OB=2b，根据点A的坐标可得OA的长，在Rt△BAO中，根据勾股定理即可得解.
【详解】
设直线y=x+b与x轴交于点C，如图所示，
∵直线的解析式是y=x+b，
∴OB=OC=b，则∠BCA=45°；
又∵∠α=75°=∠BCA+∠BAC=45°+∠BAC，
∴∠BAC=30°，
又∵∠BOA=90°，
∴AB=2OB=2b，
而点A的坐标是（，0），
∴OA=，
在Rt△BAO中，AB2=OB2+OA2，
即（2b）2=b2+（）2，
∴b=2，
故答案为：2.
本题考查了一次函数的性质、勾股定理的应用、三角形外角的性质等，求得∠BAC=30°是解答本题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)∠ACB＝90°；(1)模分别为1和1．
【解析】
（1）证明四边形ABCD是等腰梯形即可解决问题；（1）求出线段CD、AB的长度即可；
【详解】
(1)∵CD∥AB，AD＝BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAB＝30°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∴∠ACB＝90°．
(1)∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝∠CAD＝30°，
∴AD＝CD＝BC＝1，
在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，
∴AB＝1BC＝1，
∵++＝，
∴向量和向量++的模分别为1和1．
本题考查平面向量、等腰梯形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15、（1）y=-x+40；理由见解析；（2）200元．
【解析】
（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，任取两对，利用待定系数法求函数解析式；
（2）将x=30代入求得y的值，然后依据销售利润=每件的利润×销售件数即可．
【详解】
解：（1）设经过点（15，25）（20，20）的函数关系式为y=kx+b，
则有，
解得：，
∴y与x的函数关系式是y=-x+40；
（2）当x=30时，y=-30+40=10，
每日的销售利润=（30-10）×10=200元．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤和方法是解题的关键．
16、详见解析
【解析】
根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可．
【详解】
证明：∵点O是AC中点，
∴AO=OC，
∵OE=OD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，比较典型，难度适中．
17、答案见解析
【解析】
分析：由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论.
详解：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形；
点睛：此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△AOF≌△COE是关键．
18、，数轴见解析
【解析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
解：解不等式x﹣2（x﹣3）≥5，得：，
解不等式+1，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
本题主要考查解不等式组，掌握解不等式组的方法及用数轴表示不等式解集的方法是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、3+2
【解析】
证明△COD≌△OAE，推理出△OCF面积=四边形FDAE面积=2÷2=3，设OF=x，FC=y，则xy=2，x2+y2=1，所以（x+y）2=x2+y2+2xy=30，从而可得x+y的值，则△OFC周长可求．
【详解】
∵正方形OABC顶点B的坐标为（3，3），
∴正方形的面积为1．
所以阴影部分面积为1×=2．
∵四边形AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°,即∠COE+∠AOE=90°，
又∵CD⊥OE，
∴∠CFO=90°
∴∠OCF+∠COF=90°,
∴∠OCD=∠AOE
在△COD和△OAE中
∴△COD≌△OAE（AAS）．
∴△COD面积=△OAE面积．
∴△OCF面积=四边形FDAE面积=2÷2=3．
设OF=x，FC=y，
则xy=2，x2+y2=1，
所以（x+y）2=x2+y2+2xy=30．
所以x+y=2．
所以△OFC的周长为3+2．
故答案为3+2．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是推理出两个阴影部分面积相等，得到△OFC两直角边的平方和、乘积，运用完全平方公式求解出OF+FC值．
20、1
【解析】
由平行四边形对边平行得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=9cm，CD=AB=6cm，
∴∠EDA=∠DEC，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠ADE，
∴∠EDC=∠DEC，
∴CE=CD=6cm，
∴BE=BC-EC=1cm，
故答案为：1．
本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，求出CE=CD=6cm是解题的关键．
21、 (5,)
【解析】
由题知从正方形变换到平行四边形时，边的长度没变，从而求出即可
【详解】
由题知从正方形变换到平行四边形时，A D’=AD=BC=4，D’C’=AB=5，
∵AO=2，根据勾股定理，则O D’=，则D’（ 0,），故C’的坐标为(5,)
熟练掌握图形变化中的不变边和勾股定理计算是解决本题的关键
22、1
【解析】
连接BE，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE＝∠F，进一步说明BE＝EF，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.
【详解】
解：如图：连接BE
∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，
∴AE＝BE，∠A+∠AED＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠F+∠CEF＝90°，
∵∠AED＝∠FEC，
∴∠A＝∠F＝30°，
∴∠ABE＝∠A＝30°，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
∴∠CBE＝∠F，
∴BE＝EF，
在Rt△BED中，BE＝1DE＝1×1＝1，
∴EF＝1．
故答案为：1．
本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.
23、：（）n．
【解析】
由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出S1，同理求出S2，依此类推，得到Sn．
解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，
∴BB1=1，AB=2，
根据勾股定理得：AB1=，
∴S1=××（）2=（）1；
∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，
∴B1B2=，AB1=，
根据勾股定理得：AB2=，
∴S2=××（）2=（）2；
依此类推，Sn=（）n．
故答案为（）n．
“点睛”此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）（﹣3，2），关于x轴对称；（2）点M（1，1），（1，0），（1，﹣1）；（3）y＝﹣8x﹣1
【解析】
（1）根据直角坐标系的特点即可求解，根据题意平移坐标再连接即可；
（2）设△ABM的AB边上的高为h，根据面积求出h，即可求解；
【详解】
解：（1）B（﹣3，2），A、B关于x轴对称；四边形ABCD如图所示；
故答案为（﹣3，2），关于x轴对称．
（2）设△ABM的AB边上的高为h，由题意：×1×h＝8，
∴h＝1，
∴满足条件的点在直线l上，且在矩形内部，
∴点M（1，1），（1，0），（1，﹣1）．
（3）∵直线把四边形ABCD的面积等分，
∴直线经过矩形的对称中心（﹣，0），
设直线的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线的解析式为y＝﹣8x﹣1．
故答案为y＝﹣8x﹣1．
此题主要考查直角坐标系与几何，解题的关键是熟知一次函数解析式的解法.
25、（1）详见解析；（2）
【解析】
列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【详解】
（1）
（2）P(红球恰好被放入②号盒子)=
本题考查列表法与树状图法，列举出符合题意的各种情况的个数是解题关键.
26、.
【解析】
首先将原式的分子与分母分解因式，进而化简求出答案．
【详解】
＝
＝
＝
＝ ，
当m＝10时，原式＝＝．
此题考查分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
X（元）
15
20
25
…
Y（件）
25
20
15
…