北京东城北京二中学2024年数学九年级第一学期开学监测模拟试题【含答案】

这是一份北京东城北京二中学2024年数学九年级第一学期开学监测模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，四边形和四边形都是正方形，边在轴上，边在轴上，点在边上，反比例函数，在第二象限的图像经过点,则正方形与正方形的面积之差为（ ）

A．6B．8C．10D．12
2、（4分）若样本x1+1，x2+1，x3+1，…，xn+1的平均数为18，方差为2，则对于样本x1+2，x2+2，x3+2，…，xn+2，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为18，方差为2B．平均数为19，方差为2
C．平均数为19，方差为3D．平均数为20，方差为4
3、（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，将△ABC折叠，使B点与AC的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长是（ ）
A．B．2C．D．
4、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，联结AE并延长交BC的延长线于点F，若AD=3CF，那么下列结论中正确的是（ ）
A．FC：FB=1：3B．CE：CD=1：3C．CE：AB=1：4D．AE：AF=1：1．
5、（4分）二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）下列图形中，绕某个点旋转180°能与自身重合的图形有（ ）
（1）正方形；（2）等边三角形；（3）长方形；（4）角；（5）平行四边形；（6）圆．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7、（4分）如图，在中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，于H，，则DF等于（ ）
A．4B．8C．12D．16
8、（4分）若函数有意义，则
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知关于x的方程x2+（3﹣2k）x+k2+1＝0的两个实数根分别是x1、x2，当|x1|+|x2|＝7时，那么k的值是__．
10、（4分）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________
11、（4分）观察下列各式，并回答下列问题：
①；②；③；……
（1）写出第④个等式：________；
（2）将你猜想到的规律用含自然数的代数式表示出来，并证明你的猜想.
12、（4分）正方形的一边和一条对角线所成的角是________度．
13、（4分）将一根长为15cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值.
15、（8分）已知一次函数y=图象过点A（2，4），B（0，3）、题目中的矩形部分是一段因墨水污染而无法辨认的文字．
（1）根据信息，求题中的一次函数的解析式．
（2）根据关系式画出这个函数图象．
16、（8分）将含有45°角的直角三角板ABC和直尺如图摆放在桌子上，然后分别过A、B两个顶点向直尺作两条垂线段AD，BE．
（1）请写出图中的一对全等三角形并证明；
（2）你能发现并证明线段AD，BE，DE之间的关系吗？
17、（10分）阅读下列材料，并解爷其后的问题：
我们知道，三角形的中位线平行于第一边，且等于第三边的一半，我们还知道，三角形的三条中位线可以将三角形分成四个全等的一角形，如图1，若D、E、F分别是三边的中点，则有，且
（1）在图1中，若的面积为15，则的面积为___________；
（2）在图2中，已知E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形；
（3）如图3中，已知E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，，则四边形EFGH的面积为___________.
18、（10分）一辆汽车和一辆摩托车分别从，两地去同一城市，它们离地的路程随时间变化的图象如图所示，根据图象中的信息解答以下问题：
（1），两地相距______；
（2）分别求出摩托车和汽车的行驶速度；
（3）若两图象的交点为，求点的坐标，并指出点的实际意义.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为_____米．
20、（4分）已知y轴上的点P到原点的距离为7，则点P的坐标为_____．
21、（4分）如图，在中，，，点D在边上，若以、为边，以为对角线，作，则对角线的最小值为_______．
22、（4分）已知若关于x的分式方程有增根，则__________．
23、（4分）如图，在平面直角坐标系内所示的两条直线，其中函数随增大而减小的函数解析式是______________________
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知一次函数的图象经过点 和.
（1）求该函数图像与x轴的交点坐标；
（2）判断点是否在该函数图像上.
25、（10分）先化简,再求值:其中,
26、（12分）某通信公司策划了两种上网的月收费方式：
设每月上网时间为，方式的收费金额分别为（元），（元），如图是与之间函数关系的图象．（友情提示：若累计上网时间不超出包时上网时间，则只收月使用费；若累计上网时间超出包时上网时间，则对超出部分再加收超时费）
（1） ， ， ；
（2）求与之间的函数解析式；
（3）若每月上网时间为31小时，请直接写出选择哪种方式能节省上网费．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
设正方形AOBC的边长为a,正方形CDEF的边长为b，则E（a-b,a+b），根据E在反比例函数上得到(a+b)(a-b)=8,再求出S正方形AOBC=a2，S正方形CDEF=b2，即可求出面积之差.
【详解】
设正方形AOBC的边长为a,正方形CDEF的边长为b，
则E（a-b,a+b），
∵E在反比例函数上
∴(a+b)(a-b)=8,即a2 -b2=8
∴S正方形AOBC-S正方形CDEF=a2-b2=8
故选B.
此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是根据题意找到E点坐标.
2、B
【解析】
根据平均数、方差的意义以及求解方法进行求解即可得.
【详解】
由题意可知：
，
=
=2，
所以
=，
=
=2，
故选B.
本题考查了平均数、方差的计算，熟练掌握平均数以及方差的计算公式是解题的关键.
3、D
【解析】
根据题意可得： ，在中，根据勾股定理可列出方程，解方程可得BF的长.
【详解】
解： ，

D是AC中点

折叠

设
在 中，



故选D.
本题考查了翻折问题，勾股定理的运用，关键是通过勾股定理列出方程.
4、C
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC,AB=DC
∴△ADE∽△FCE
∴AD:FC=AE:FE=DE:CE
∵AD=3FC
∴AD:FC=3:1
∴FC:FB=1:4，故A错误；
∴CE：CD=1：4，故B错误；
∴CE:AB=CE:CD=1:4，故C正确；
∴AE：AF=3:4，故D错误.
故选C．
5、A
【解析】
二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x的取值范围．
【详解】
∵在实数范围内有意义，
∴x−2⩾0，解得x⩾2.
故选A.
此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握运算法则
6、C
【解析】
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解即可．
【详解】
解：
（1）正方形是中心对称图形；
（2）等边三角形不是中心对称图形；
（3）长方形是中心对称图形；
（4）角不是中心对称图形；
（5）平行四边形是中心对称图形；
（6）圆是中心对称图形．
所以一共有4个图形是中心对称图形．
故选：C．
本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7、B
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AC，再根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵AH⊥BC，E为AC边的中点，
∴AC＝2HE＝16，
∵D，F分别为BC，AB边的中点，
∴DF＝AC＝8，
故选：B．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8、D
【解析】
解：由题意得：x﹣1≠0，解得x≠1．故选D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、﹣1．
【解析】
先根据方程有两个实数根，确定△≥0，可得k≤，由x1•x1=k1+1＞0，可知x1、x1，同号，分情况讨论即可．
【详解】
∵x1+（3﹣1k）x+k1+1＝0的两个实数根分别是x1、x1，
∴△＝（3﹣1k）1﹣4×1×（k1+1）≥0，
9﹣11k+4k1﹣4k1﹣4≥0，
k≤，
∵x1•x1＝k1+1＞0，
∴x1、x1，同号，
分两种情况：
①当x1、x1同为正数时，x1+x1＝7，
即1k﹣3＝7，
k＝5，
∵k≤，
∴k＝5不符合题意，舍去，
②当x1、x1同为负数时，x1+x1＝﹣7，
即1k﹣3＝﹣7，
k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
本题考查了根与系数的关系和根的判别式．解此题时很多学生容易顺理成章的利用两根之积与和公式进行解答，解出k值，而忽略了限制性条件△≥0时k≤．
10、0
【解析】
根据数轴所示，a＜0，b＞0， b-a＞0，依据开方运算的性质，即可求解．
【详解】
解：由图可知：a＜0，b＞0， b-a＞0，
∴
故填：0
本题主要考查二次根式的性质和化简，实数与数轴，去绝对值号，关键在于求出b-a＞0，即|b-a|=b-a．
11、（1）；（2）猜想：
【解析】
（1）此题应先观察列举出的式子，可找出它们的一般规律，直接写出第④个等式即可；
（2）找出它们的一般规律，用含有n的式子表示出来，证明时，将等式左边被开方数进行通分，把被开方数的分子开方即可．
【详解】
（1）1）观察列举出的式子，可找出它们的一般规律，直接写出第④个等式：
故答案为：
（2）猜想：用含自然数的代数式可表示为：
证明：左边右边，所以猜想正确.
本题主要考查学生把特殊归纳到一般的能力及二次根式的化简，解题的关键是仔细观察，找出各式的内在联系解决问题．
12、45
【解析】
正方形的对角线和其中的两边长构成等腰直角三角形，故正方形的一条对角线和一边所成的角为45度．
【详解】
解：∵正方形的对角线和正方形的其中两条边构成等腰直角三角形
∴正方形的一条对角线和一边所成的角是45°．
故答案为：45°．
本题主要考查正方形对角线相等平分垂直的性质．
13、2cm≤h≤3cm
【解析】
解：根据直角三角形的勾股定理可知筷子最长在水里面的长度为13cm，最短为12cm，
则筷子露在外面部分的取值范围为：.
故答案为：2cm≤h≤3cm
本题主要考查的就是直角三角形的勾股定理的实际应用问题.在解决“竹竿过门”、立体图形中最大值的问题时，我们一般都会采用勾股定理来进行说明，从而得出答案.我们在解决在几何体中求最短距离的时候，我们一般也是将立体图形转化为平面图形，然后利用勾股定理来进行求解.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、.
【解析】
首先将原分式化简，然后根据分式有意义的条件，求得的取值范围，再取值求解即可.
【详解】
解：原式，
的取值有
且且
且
当时，原式.
本题考查分式的化简求值，做题时应注意在给定的范围内取值，难度中等.
15、（1）y=x+1; （2）见解析.
【解析】
（1）设一次函数的解析式是y=kx+b，把A（0，1）、B（2，4）代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）过A、B作直线即可；
【详解】
（1）解：设一次函数的解析式是y=kx+b，
∵把A（0，1）、B（2，4）代入得：
解得：k=0.5，b=1，
∴一次函数的解析式是y=x+1．
(2)解：如图
本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象画法等知识的应用，解题关键是熟练掌握一次函数的性质.
16、（1）△ADC≌△CEB（2）AD＝BE+DE
【解析】
（1）结论：△ADC≌△CEB．根据AAS证明即可；
（2）由三角形全等的性质即可解决问题；
【详解】
解：（1）结论：△ADC≌△CEB．
理由：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ACB＝∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠ECB＝90°，
∴∠CAD＝∠ECB，
∵AC＝CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
（2）结论：AD＝BE+DE．
理由：∵△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵CE＝CD+DE，
∴AD＝BE+DE．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．
17、（1）；（2）见解析；（3）1．
【解析】
（1）由三角形中位线定理得出DF∥BC，且DF=BC，△ADF≌△DBE≌△FEC≌△EFD，得出△DEF的面积=△ABC的面积=即可；
（2）连接BD，证出EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，由三角形中位线定理得出EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，得出EH∥FG，EH=FG，即可得出结论；
（3）证出EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，由三角形中位线定理得出EH∥BD，EH=BD= ，FG∥BD，FG=BD，得出EH∥FG，EH=FG，证出四边形EFGH是平行四边形，同理：EF∥AC，EF=AC=2，证出EH⊥EF，得出四边形EFGH是矩形，即可得出结果．
【详解】
（1）解：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
则有DF∥BC，且DF=BC，△ADF≌△DBE≌△FEC≌△EFD，
∴△DEF的面积=△ABC的面积=；
故答案为；
（2）证明：连接BD，如图2所示：
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（3）解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD，EH=BD=，FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理：EF∥AC，EF=AC=2，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积=EH×EF=×2=1．
故答案为（1）；（2）见解析；（3）1．
本题是四边形综合题目，考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．
18、（1）20；（2），； （3）即，的实际意义为出发1小时后汽车和摩托车在距离地的地点相遇.（或距离地）.
【解析】
（1）因为汽车和摩托车分别从A，B两地去同一城市，从y轴上可看出A，B两地相距20km；
（2）根据图象可知，摩托车4小时行驶160千米，汽车3小时行驶180千米，利用速度＝路程÷时间即可分别求出摩托车和汽车的行驶速度；
（3）分别求出摩托车和汽车离A地的路程y（km）随时间x（h）变化的函数解析式，再将它们联立组成方程组，解方程组得到点P的坐标，然后指出点P的实际意义．
【详解】
解：（1）由图象可知，A，B两地相距20km．
故填：20；
（2）根据图像汽车的速度为
摩托车的速度为
（3）设汽车行驶图像对应的一次函数的表达式为.根据题意，把已知的两点
坐标和代入，
解得，.
这个一次函数表达式为
同理解得摩托车对应的一次函数的表达式为
由题意解方程组
得，
即，的实际意义为出发1小时后汽车和摩托车在距离地的地点相遇.（或距离地）
本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式的确定，路程、速度与时间关系的应用，坐标确定位置，两直线的交点坐标求法，以及函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1.25
【解析】
设小路的宽度为，根据图形所示，用表示出小路的面积，由小路面积为80平方米，求出未知数.
【详解】
设小路的宽度为，由题意和图示可知，小路的面积为
，解一元二次方程，由，可得.
本题综合考查一元二次方程的列法和求解，这类实际应用的题目，关键是要结合题意和图示，列对方程.
20、（0，7）或（0，-7）
【解析】
点P在y轴上，分两种情况：正方向和负方向，即可得出点P的坐标为（0，7）或（0，-7）.
【详解】
∵点P在y轴上，分两种情况：正方向和负方向，点P到原点的距离为7
∴点P的坐标为（0，7）或（0，-7）.
此题主要考查平面直角坐标系中点的坐标，只告知点到原点的距离，要分两种情况，不要遗漏.
21、1
【解析】
由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值，由三角形中位线定理求出OD，即可得出DE的最小值．
【详解】
解：∵，，
根据勾股定理得，
∵四边形是平行四边形，
，
∴当取最小值时，线段最短，即时最短，
是的中位线，
，
，
故答案为：1．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及垂线段最短，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22、1
【解析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x-2=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【详解】
方程两边都乘（x-2），得
1+（x-2）=k
∵原方程有增根，
∴最简公分母x-2=0，即增根是x=2，
把x=2代入整式方程，得k=1．
故答案为1.
增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
23、；
【解析】
观察图象，分析函数图象随增大而减小的，说明向x轴的正方向移动，y成下降趋势.
【详解】
观察图象，分析函数图象随增大而减小的，说明向x轴的正方向移动，y成下降趋势.因此可分析的的图象随着随增大而减小的.
故答案为
本题主要考查一次函数的单调性，当k>0是，随增大而增大，当k