2024年9月14武汉二中高一上9月月考数学试卷及参考答案

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命题人：张鹄 审题人：左建华
一、单选题（40 分）
1. 下列关系中：①0∈{0} ，②⑦二 {0} ，③ {0,1} 二 {(0,1)} ，④ {(a, b)} = {(b, a)}正确的个数为 ( )
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 若集合A = {1,9, a2 } ，B = {9,3a}，则满足AB = B 的实数 a 的个数为( )
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
a a +1 1 1
b b+1 a b
3. 已知正实数 a，b，设甲： < ；乙： > ，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知1 ≤ a+ b ≤ 4 ， −1≤ a− b ≤ 2 ，则 4a− 2b 的取值范围是( )
A. {x − 4 < x < 10 } B. {x − 3 < x < 6 }
C. {x − 2 < x < 14 } D. {x − 2 ≤ x ≤ 10 }
5. 已知条件p:| x+1|> 2 ，条件q: x > a ，且 p 是 q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )
A. a ≤ 1 B. a ≥ 1 C. a ≥−1 D. a ≤−3
6. 在 整 数 集 Z 中 ， 被 5 除 所 得 余 数 为 k 的 所 有 整 数 组 成 一 个 “ 类 ” ， 记 为 [k] ， 即 [k] = {5n+ kn∈ Z}, k = 0,1, 2,3, 4 ，则下面选项正确的为( )
A. 2025∈ [3] B −2 ∈ [2] C. Z = 0 ][1][2 ][3 ][4
D. 整数a、b属于同一“类” 的充分不必要条件是“ a− b∈ [0] ”
3 9 10
A. B. C. 3 D.
7. 在 .ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为a, b, c ，已知 .ABC 周长为 的最小值为 ( )
2 4 3
8. 记max {x, y, z}表示x, y, z 中最大的数．已知x, y 均为正实数，则max 的最小值为( )
1
A. B. 1 C. 2 D. 4
2
二、多选题（18 分）
9. 下列说法正确的是( ) .
A. a > b的一个必要条件是a−1 > b
B 若集合 中只有一个元素，则 a = 4
C. “ ac < 0 ”是“一元二次方程ax2 + bx+ c = 0有一正一负根” 的充要条件
D. 已知集合M = {0,1}，则满足条件M N = M 的集合 N 的个数为 4
10. 下列说法正确的是( )
A. 若a > b ，则 ac2 > bc2
B. 命题“ 3x∈R ，1 < f (x) ≤ 2 ”的否定是“ x ∈ R ，f (x)≤1或f (x) > 2 ”
C. 若x ∈ R ，则函数 的最小值为 2
D. 当x∈ R 时，不等式kx2 − kx+1> 0恒成立，则k 的取值范围是[0, 4)
11. 定义全集U 的子集A 的特征函数 A ,这里 A 表示A 在全集U 中的补集,那么对于集
合A 、B 二 U ,下列所有正确说法是( )
A. A二 B → fA (x) ≤ fB (x) B. f UA (x) = 1− fA (x)
C. fAB (x) = fA (x)+ fB (x) D. fAB (x) = fA (x).fB (x)
三、填空题（15 分）
12. 已知集合A = {x| x2 + 2x− 8 = 0} ，B = {x| x2 − 5x+ 6 = 0} ，C = {x| x2 − mx+ m2 −13 = 0} ，若
B C ≠⑦ , A∩C = ⑦ ,则 m = .
13. 设集合 ，其中a1 、a2 、 a3 、 a4 、a5 是五个不同的正 整数，且a1 < a2 < a3 < a4 < a5 ，已知 A∩ B = {a1,a4 } ，a1 + a4 = 10 ， A B 中所有元素之和是 246，请
写出所有满足条件的集合A： .
14. 对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数” ，A 的所有非空子集的“小和数”
之和称为A 的“大和数” ．已知集合B = {−7, −3, −1,1, 2,3, 4,5,6,7,13}，则 B 的“小和数”为 ，B
的“大和数”为 .
四、解答题（77 分）
15. 已知集合A = {x a + 2 ≤ x ≤ 3a − 4}(a∈ R)，B = {x 8 ≤ x ≤ 12 }.
（1）若A RB = R ，求a 的取值范围；
（2）若AB =⑦ ,求 a 的取值范围.
16. 已知非空集合A = {x∣a −1 ≤ x ≤ 2a + 3} ，B = {x∣− 2 ≤ x ≤ 4}，全集U = R .
（1）当a = 2 时，求( U A) ( UB )；
（2）若x∈ A是x∈ B成立的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.
17. 已知p:关于 x 的方程x2 − 2ax+ a2 + a−1 = 0有实数根，q: m−1≤ a ≤ m+ 3 .
（1）若命题 p 是假命题，求实数 a 取值范围；
（2）若p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围.
18. 对于二次函数y = mx2 + nx+ t (m ≠ 0) ，若存在x0 ∈ R ，使得mxEQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 5(2),0) + nx0 + t = x0 成立，则称x0 为二 次函数y = mx2 + nx+ t (m ≠ 0) 的不动点.
（1）求二次函数y = x2 − x− 3的不动点；
（2）若二次函数y = 2x2 − (3+ a)x+ a−1 有两个不相等的不动点x1 、 x2 ，且x1 、x2 > 0 ，求
的最小值.
（3）若对任意实数b ，二次函数y = ax2 + (b+1)x + (b−1)(a ≠ 0) 恒有不动点，求 a 的取值范围.
19. 给定整数n ≥ 3，由n 元实数集合S 定义其相伴数集T = {
a − b∣a、b∈ S, a ≠ b}，如果min (T) = 1，
则称集合 S 为一个n 元规范数集，并定义 S 的范数f 为其中所有元素绝对值之和.
（1）判断A = {−0.1, −1.1, 2, 2.5}、B = {−1.5, −0.5,0.5,1.5} 哪个是规范数集，并说明理由；
（2）任取一个n 元规范数集 S，记m 、M 分别为其中最小数与最大数，求证： min (S ) + max ( S ) ≥ n−1；
（3）当S = {a1 , a2 , , a2023 }遍历所有 2023 元规范数集时，求范数f 的最小值. 注： min (X) 、max (X) 分别表示数集X 中的最小数与最大数.