北京市第十三中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷

这是一份北京市第十三中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第3页；第Ⅱ卷第3页至第4页，答题纸第1页至第4页。共150分，考试时间120分钟。请在答题卡规定处书写班级、姓名、准考证号。考试结束后，将本试卷的答题纸交回。
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分）
1．集合，，全集为，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，则实数（ ）
A．B．C．2D．
3．复数，则的共轭复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知角的终边在第三象限，且，则（ ）
A．B．1C．D．
5．函数其中，，的图象的一部分如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．设点不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知等边边长为3，点在边上，且，．下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
9．李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数．已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过名至少经过的天数为（本题取）（ ）
A．31B．32C．33D．34
10．关于函数，给出下列三个命题：
①是周期函数；②曲线关于直线对称；
③在区间上恰有3个零点．其中真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．在的展开式中，的系数为______．
12．设等差数列前项和为．若，，则______，的最大值为______．
13．已知函数是偶函数，则的一个取值为______．
14．若，且，则______，的最大值为______．
15．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．
其中正确结论的序号是______．
三、解答题（作答需写出详细的运算过程和演算步骤，共6小题，满分85分）
16．（本小题13分）已知函数．
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）求函数在区间上的值域和取得最大值时相应的的值．
17．（本小题13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
（3）记为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）．
18．（本小题14分）在中，．
（1）求的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
19．（本小题15分）设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）求的单调区间．
20．（本小题15分）已知函数．
（1）求在区间上的最大值；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
21．（本小题15分）数列的前项和为，若存在正整数，且，使得，
同时则称数列为“数列”．
（1）若首项为3，公差为的等差数列是“数列”，求的值；
（2）已知数列为等比数列，公比为．
①若数列为“数列”，，求的值；
②若数列为“数列”，，求证：r为奇数，t为偶数．
高三数学学科十月测试参考答案
1．B 【详解】由，，，得，．
2．D 【详解】；；．故选D．
3．A 【详解】，所以，对应的点在第一象限．
4．C 【详解】由角的终边在第三象限，则，由题设知，解得，所以故选：C
5．B 【详解】如图根据函数的图象可得：函数的周期为，
又，，当时取最大值，即，可得：，，，，，，故选B．
6．A 【详解】函数在定义域内为减函数，
，故选：A．
7．C 【详解】三点不共线，
与的夹角为锐角．故“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件，故选C．
8．C 【详解】如下图所示：
点在边上，且，，
由余弦定理得，整理得，
，解得，，则，
由正弦定理得，所以，．
由余弦它理得，同理可得，
则．故选：C．
9．D 【详解】经过天后，用户人数又小程序在发布时已有500名初始用户又小程序发布经过10天后有2000名用户即，可得，①当用户达到50000名时有即，可得，②联立①和②可得，即故用户超过50000名至少经过的天数为34天，故选：D．
10．D 【详解】对于①，因为，所以，故，所以选项①正确，对于②，因为，
由对称轴的定义知，为函数的一条对称轴，所以选项②正确，
对于③，因为，令，得到，解得或，又，由，得到或，由，得到，所以选项③正确，故选：D．
11．【详解】的二项展开式为，令，解得，故所求即为．
12．【详解】数列是等差数列，，，，又，，，
，
，
当或7时，有最大值42．故答案为：（1）4：（2）42．
13．（答案不唯一）
14．【详解】由，可得，
由题设，在过点垂直于的直线上，而在以A为圆心，1为半径的圆周上，若，如图示，，要使的最大，只需共线，在上的投影最短，由图知：共线时，的最大为．故答案为：．
15．①③④
16．【详解】（1）
，
．由，，
得：，，单调增区间为．
（2），，，即．
函数在区间上的值域为且当，即时，．
17．【详解】（1）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，
所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5．
（2）设事件为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件为“在随机选择的一个主场和一个客场比赛中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”则，事件独立，
根据投篮统计数据，，，．
所以，在随机选择的一个主场和一个客场比赛中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为．
（3）．
18．【详解】（1）由余弦定理得：
又所以．
（2）因为，所以，
所以，
当时，，与矛盾，故条件①恒不成立，
则选择条件②：与条件③：．
由正弦定理得：，又因为，
所以，所以，
所以．
19．【详解】（1），，曲线在点处的切线方程为，，，即①
②由①②解得：，．
（2）由（1）可知：，，
令，
的最小值是，的最小值为，即对恒成立，在上单调递增，无减区间．
20．【详解】（1）由得．
令，得或．
因为，，，
所以在区间上的最大值为．
（2）设过点的直线与曲线相切于点，
则，且切线斜率为，所以切线方程为，
因此．整理得．设，
则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”．与的情况如下：
所以，是的极大值，是的极小值
，
所以，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是．
（3）3条
21．【详解】（1）由首项为3，公差为的等差数列是“数列”，得，
即，解得，
所以d的值是．
（2）①由数列为“数列”，得，而数列为等比数列，公比为q，
当时，无解，则，整理得，
而，则当时，；当时，，所以或．
②由数列为“数列”，得，而数列为等比数列，公比为q，
又，则，整理得，
当均为偶数时，由，得，有，不符合题意；
当为偶数，为奇数时，，不符合题意；
当均为奇数时，，，令，
求导得，
令，，求导得，
当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，
即，因此函数在上单调递增，即，不符合题意，所以为奇数，为偶数．
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
C
B
A
C
C
D
D
2
0
极小值
0
1
0
0