北京市西城区2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷

这是一份北京市西城区2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
本试卷共9页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合，，那么集合
A.B.C.D.
2. 设为虚数单位，，且，则
A.B.C.D.
3. 下列函数中，值域为且为奇函数的是
A.B.C.D.
4. 在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则
A.B.C.D.
5. 过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是
A.B.C.D.
6. 在中，则“”是“是直角三角形”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7. 若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足
A.B.C.D.
8. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率
（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）. 已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半. 若当距离由km变到km时，光功率由变到，则
A.B.C.D.
9. 若实数满足，则
A.B.C.D.
10. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且. 设动点的轨迹为曲线，则
A.是平行四边形，且周长为
B.是平行四边形，且周长为
C.是等腰梯形，且周长为
D.是等腰梯形，且周长为
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 抛物线的准线方程为_________.
12. 在中，若，，，则_________.
13. 若的展开式中存在常数项，则正整数的一个取值是_________，且此时常数项等于_________.（用数字作答）
14. 折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名. 某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示. 设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是_________，_________.
15. 已知无穷数列满足. 给出下列四个结论：
①存在，使得集合中有无穷多个元素；
②存在，使得集合中有有限个元素；
③对于任意的，集合中至多有一个元素；
④当时，集合.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，
.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求二面角的大小.
17.（本小题13分）
已知函数，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值.
条件①：；
条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为；
条件③：函数的一个零点为.
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题14分）
为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课. 现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下：
假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率.
（Ⅰ）假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误.
结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿；
结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20.
（Ⅱ）若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，记这3人中选择排球课的人数为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为
；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为. 写出与的大小关系.（结论不要求证明）
19.（本小题15分）
已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为. 若四边形为正方形，求的值.
20.（本小题15分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处切线的方程；
（Ⅱ）当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方；
（Ⅲ）若函数有两个零点，且，求的取值范围.
21.（本小题15分）
已知数列为个数的一个排列，其中，且.
若在集合中至少有一个元素使得，则称数列具有性质.
（Ⅰ）当时，判断数列和数列是否具有性质；
（Ⅱ）若数列和均为等差数列，且，，证明：对于所有的偶数，数列不具有性质；
（Ⅲ）在所有由的排列组成的数列中，记具有性质的数列的个数为，不具有性质的数列的个数为，证明：对于任意，.
男生
女生
选择
不选择
选择
不选择
排球
50
50
50
50
篮球
25
75
15
65
足球
75
25
5
75
乒乓球
10
90
10
70