北京市第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷

这是一份北京市第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷，共4页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：王逸飞、张改莲 审核人：张改莲、王逸飞
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1.已知集合，，则（ ）.
A. B. C. D.
2.等差数列的前n项和为，已知，，则（ ）.
A. 2B. 1C. 0D.
3.已知边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，则（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.在复平面上，复数所对应的点在第二象限，则实数a的值可以为（ ）.
A. B. 1C. 2D. 3
5.已知，则（ ）.
A. B. C. D.
6.“”是“为第一或第三象限角”的（ ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
8.分贝、奈培均可用来量化声音的响度，其定义式分别为，，其中A为待测值，为基准值．如果，那么参考数据：
A. B. C. D.
9.已知函数的定义域为R，存在常数，使得对任意，都有，当时，若在区间上单调递减，则t的最小值为（ ）.
A. 3B. C. 2D.
10.设函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，，规定为线段AB的长度叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题，其中错误的是（ ）.
A. 函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和，则；
B. 存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；
C. 设A，B是抛物线上不同的两点，则；
D. 设A，B是曲线是自然对数的底数上不同的两点，则
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.展开式中含项的系数是__________.
12.已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________.
13.已知函数的部分图象如图所示．
① 函数的最小正周期为__________；
② 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则t的最小值是__________.
14.已知函数，且若两个不等的实数满足且，则__________.
15.已知函数给出下列结论：
函数的值域为；
函数在上是增函数；
对任意，方程在内恒有解；
若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题满分13分已知函数且满足_________.
（在下列三个条件中任选一个，并解答问题）
① 函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为；
② 函数的图象相邻两个最大值之间的距离为；
③ 已知，，且的最小值为.
（Ⅰ）求函数的对称中心坐标；（Ⅱ）求函数在上的单调递减区间.
17.本小题满分13分某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：
（Ⅰ）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
（Ⅱ）从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论
18.本小题满分14分如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，O是AB中点．
（Ⅰ）证明：平面
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在点M，使得平面POD，若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题满分15分
已知函数图象在点处的切线与直线垂直.
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若存在，使得恒成立，求整数k的最大值.
20.本小题满分15分
已知椭圆的离心率为，点在C上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为的直线交椭圆C于，两点，试用含的代数式表示；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，证明：线段PM的中点在定直线上.
21.本小题满分15分已知n为正整数，数列X：，，⋯，，记，对于数列X，总有，，则称数列X为n项数列．
若数列A：，，⋯，，B：，，⋯，，均为n项数列，定义数列：，，⋯，，其中，.
（Ⅰ）已知数列A：1，0，1； B：0，1，1，直接写出和的值；
（Ⅱ）若数列A，B均为n项数列，证明：；
（Ⅲ）对于任意给定的正整数n，是否存在n项数列A，B，C，使得，并说明理由．
男生
81
84
86
86
88
91
女生
72
80
84
88
92
97