2025届江苏省无锡市宜兴市九年级数学第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份2025届江苏省无锡市宜兴市九年级数学第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）将分式中的，的值同时扩大为原来的2019倍，则变化后分式的值( )
A．扩大为原来的2019倍B．缩小为原来的
C．保持不变D．以上都不正确
2、（4分）某跳远队准备从甲、乙、丙、丁4名运动员中选取成绩好且稳定的一名选手参赛，经测试，他们的成绩如下表，综合分析应选( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
3、（4分）在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )
A．12 mB．13 mC．16 mD．17 m
5、（4分）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A．B．
C．D．
6、（4分）如图 ，△ABC 中，∠B＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AC，垂足为 E，则下列结论中不正确的是( )
A．AB＝AEB．BD＝DEC．∠ADE＝∠CDED．∠ADB＝∠ADE
7、（4分）下列计算结果正确的是
A．B．C．D．
8、（4分）如果三个数a、b、c的中位数与众数都是5，平均数是4，那么b的值为（ ）
A．2B．4C．5D．5或2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）点P在第四象限内，P到轴的距离是3，到轴的距离是5，那么点P的坐标为 ．
10、（4分）若分式方程有增根，则 a 的值是__________________．
11、（4分）如图∆DEF是由∆ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是__________.
12、（4分）当________时，的值最小.
13、（4分）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．
15、（8分）已知正比例函数与反比例函数.
（1）证明：直线与双曲线没有交点；
（2）若将直线向上平移4个单位后与双曲线恰好有且只有一个交点，求反比例函数的表达式和平移后的直线表达式；
（3）将（2）小题平移后的直线代表的函数记为，根据图象直接写出：对于负实数，当取何值时
16、（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3,4）,B（-4,2），C（-2,1），且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称．
（1）画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）P（a,b）是△ABC的AC边上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P＇（a+3,b+1），请画出平移后的△A2B2C2.
17、（10分）如图，在菱形中，，垂足为点，且为边的中点.
（1）求的度数；
（2）如果，求对角线的长.
18、（10分）如图，在中，E点为AC的中点，且有，，，求DE的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，BC边上的高等于8cm，则BC的长为_____cm．
20、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至F，使CF＝BC，若EF＝13，则线段AB的长为_____．
21、（4分）一张矩形纸片ABCD，已知，．小明按所给图步骤折叠纸片，则线段DG长为______.
22、（4分）已知：线段
求作：菱形，使得且．
以下是小丁同学的作法：
①作线段；
②分别以点，为圆心，线段的长为半径作弧，两弧交于点；
③再分别以点，为圆心，线段的长为半径作弧，两弧交于点；
④连接，，．
则四边形即为所求作的菱形．（如图）
老师说小丁同学的作图正确．则小丁同学的作图依据是：_______.
23、（4分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为__________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）（1）探究新知：如图1，已知与的面积相等，试判断与的位置关系，并说明理由.
（2）结论应用：
①如图2，点，在反比例函数的图像上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，，连接.试证明：.
②若①中的其他条件不变，只改变点，的位置如图3所示，请画出图形，判断与的位置关系并说明理由.
25、（10分）化简计算：
（1）
（2）
26、（12分）在△ABC中，AH⊥BC于H，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点．求证：DE=HF．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2019倍，则x、2x-4y的值都扩大为原来的2019倍，所以根据分式的基本性质可得，变化后分式的值保持不变．
【详解】
解：∵将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2019倍，
则，
∴变化后分式的值保持不变．
故选：C．
此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
2、B
【解析】
根据平均数与方差的性质即可判断.
【详解】
∵4位运动员的平均分乙最高，甲成绩也很好，但是乙的方差较小，故选乙
故选B.
此题主要考查利用平均数、方差作决策，解题的关键是熟知平均数、方差的性质.
3、A
【解析】
由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
【详解】
∵四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
当一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，
这个条件可以是：.
故选A.
此题考查正方形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
4、D
【解析】
根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【详解】
设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米．
故选D．
考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
5、D
【解析】
根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意．
故选：D．
此题考查的是轴对称图形的识别和中心对称图形的识别,掌握轴对称图形的定义和中心对称图形的定义是解决此题的关键．
6、C
【解析】
根据AAS得出△ABD≌Rt△AED，则该全等三角形的对应边和对应角相等，即AB=AE，BD＝DE, ∠ADB＝∠ADE即可判断．
【详解】
解：∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD＝∠DAE
∵DE⊥AC，∠B=90°
∴∠B＝∠DEA=90°
在△ABD与Rt△AED中，
∴△ABD△AED
∴AB=AE，BD＝DE, ∠ADB＝∠ADE
∴选项A、B、D正确，选项C不正确
故选：C
考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
7、C
【解析】
根据二次根式的运算法则进行分析.
【详解】
A. ,不是同类二次根式，不能合并，本选项错误；
B. ，本选项错误；
C. ，本选项正确；
D. ，本选项错误.
故选C
本题考核知识点：二次根式运算. 解题关键点：理解二次根式运算法则.
8、D
【解析】
该数据的中位数与众数都是5，可以根据中位数、众数、平均数的定义，设出未知数列方程解答．
【详解】
解：设另一个数为x，
则5+5+x＝4×3，
解得x＝1，
即b＝5或1．
故选D．
本题主要考查众数、中位数、平均数，用方程解答数据问题是一种重要的思想方法．平均数是数据之和再除以总个数；中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（5，-1）．
【解析】
试题分析：已知点P在第四象限，可得点P的横、纵坐标分别为正数、负数，又因为点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为5，所以点P的横坐标为5或-5，纵坐标为1或-1．所以点P的坐标为（5，-1）．
考点：各象限内点的坐标的特征．
10、1
【解析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3=0，得到x=3，然后代入整式方程算出a的值即可．
【详解】
方程两边同时乘以x﹣3得：1+x﹣3=a﹣x．
∵方程有增根，∴x﹣3=0，解得：x=3，∴1+3﹣3=a﹣3，解得：a=1．
故答案为：1．
本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出x的值是解答此题的关键．
11、（0，1）．
【解析】
试题分析：根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．
试题解析：如图，
连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，
两线的交点即为旋转中心O′．其坐标是（0，1）．
考点: 坐标与图形变化-旋转．
12、
【解析】
根据二次根式的意义和性质可得答案.
【详解】
解：由二次根式的性质可知，当时，取得最小值0
故答案为：2
本题考查二次根式的“双重非负性”即“根式内的数或式大于等于零”和“根式的计算结果大于等于零”
13、或
【解析】
根据一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，求解判别式中的未知数.
【详解】
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即，当 时，方程有2个实数根，当时，方程有1个实数根（2个相等的实数根），当 时，方程没有实数根.
一元二次方程有实数根，则，可求得或.
本题考查根据一元二次方程根的判别式.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、证明见解析.
【解析】
由平行四边形的性质得出AB∥CD，得出内错角相等∠E=∠BAE，再由角平分线证出∠E=∠DAE，即可得出结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠E=∠BAE，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，
∴∠E=∠DAE，
∴DA=DE．
15、（1）方程组无解即没有公共解，也就是两函数图象没有交点（交点即公共点）；（2）当时， 当时， ；（3）当或时满足.
【解析】
（1）将和这两函数看成两个不定方程，联立方程组，整理后得方程，再利用根的判别式得出这个方程无解，所以两函数图象没有交点；
（2）向上平移4个单位后，联立方程组，整理后得方程，因为直线与双曲线有且只有一个交点，所以方程有且只有一个解，利用根的判别式得出K的值，从而得到函数表达式；
（3）取时，作出函数图象，观察图象可得到结论.
【详解】
（1）证明：将和这两函数看成两个不定方程，联立方程组得：
两边同时乘得，
整理后得
利用计算验证得：
∵ 所以
方程组无解即没有公共解，也就是两函数图象没有交点（交点即公共点）
（2）向上平移4个单位后，这时刚好与双曲线有且只有一个交点.
联立方程组得：
两边同时乘得，整理后得
因为直线与双曲线有且只有一个交点，
∴方程有且只有一个解，即：，
将方程对应的值代入判别式得：
解得
综上所述：当时，，
当时， ，
（3）题目要求负实数的值，所以我们取时的函数图象情况.图象大致如下图所示：
计算可得交点坐标，
要使，即函数的图象在函数图象的上方即可，
由图可知，当或时函数的图象在函数，
图象的上方，即当或时满足
本题考查了反比例函数和一次函数，是一个综合题，解题时要运用数形结合的思想.
16、（1）作图见解析，A1的坐标是（3，-4）；（2）作图见解析．
【解析】
试题分析：（1）首先作出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可求得；
（2）把△ABC的三个顶点分别向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度即可得到对应点，然后顺次连接即可．
试题解析：（1）如图所示：
A1的坐标是（3，-4）；
（2）△A2B2C2是所求的三角形．
考点：1．作图-旋转变换；2．作图-平移变换．
17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据线段垂直平分线的性质可得DB=AD，即可证△ADB是等边三角形，可得∠A=60°
（2）由题意可得∠DAC=30°，AC⊥BD，可得DO=2，AO=2，即可求AC的长．
【详解】
连接，
（1）∵四边形是菱形 ∴
∵是中点， ∴ ∴
∴是等边三角形
∴.
（2）∵四边形是菱形
∴，，，
∵
∴，
∴
本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形性质解决问题是本题的关键．
18、DE=2.
【解析】
根据勾股定理的逆定理求出，求出线段AC长，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【详解】
，
，
为直角三角形，，
在中，，，
，
，
点为AC的中点，
．
考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上中线性质等知识点，能求出是直角三角形是解此题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、9或1
【解析】
利用勾股定理列式求出BD、CD，再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况求出BC的长度．
【详解】
解：过点A作AD⊥BC于D，
由勾股定理得，BD＝＝15（cm），
CD＝＝6（cm），
如图1，BC＝CD+BD＝1（cm），
如图2，BC＝BD﹣CD＝9（cm），
故答案为：9或1．
本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
20、1
【解析】
根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】
解：点，分别是边，的中点，
，，
，
，又，
四边形为平行四边形，
，
，点是边的中点，
，
故答案为：1．
本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
21、
【解析】
首先证明△DEA′是等腰直角三角形，求出DE，再说明DG＝GE即可解决问题．
【详解】
解：由翻折可知：DA′＝A′E＝4，
∵∠DA′E＝90°，
∴DE＝，
∵A′C′＝2＝DC′，C′G∥A′E，
∴DG＝GE＝，
故答案为：．
本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22、三边都相等的三角形是等边三角形；等边三角形的每个内角都是60°；四边都相等的四边形是菱形
【解析】
利用作法和等边三角形的判定与性质得到∠A=60°，然后根据菱形的判定方法得到四边形ABCD为菱形．
【详解】
解：由作法得AD=BD=AB=a，CD=CB=a，
∴△ABD为等边三角形，AB=BC=CD=AD，
∴∠A=60°，四边形ABCD为菱形，
故答案为：三边都相等的三角形是等边三角形；等边三角形的每个内角都是60°；四边都相等的四边形是菱形．
本题考查了尺规作图，及菱形的判定，熟练掌握尺规作图，及菱形的判定知识是解决本题的关键.
23、0.4m
【解析】
先证明△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可.
【详解】
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO.
∵∠AOB=∠COD,
∴△OAB∽△OCD，
∴AO:CO=AB:CD,
∴4:1=1.6:CD,
∴CD=0.4.
故答案为：0.4.
本题主要考查了相似三角形的应用，正确地把实际问题转化为相似三角形问题，利用相似三角形的判定与性质解决是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1），理由见解析；（2）①见解析；②，理由见解析.
【解析】
（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°，根据△ABC与△ABD的面积相等，证明AB与CD的位置关系；
（2）连结MF，NE，设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），进一步证明S△EFM=S△EFN，结合（1）的结论即可得到MN∥EF；
（3）连接FM、EN、MN，结合（2）的结论证明出MN∥EF，GH∥MN，于是证明出EF∥GH．
【详解】
（1）如图1，分别过点、作、，垂足分别为、，
则，
∴，
∵且，
，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴；
（2）①如图2，连接，，
设点的坐标为，点的坐标为，
∵点，在反比例函数的图像上，
∴，.
∵轴，轴，且点，在第一象限，
∴，，，.
∴，，
∴，
从而，由（1）中的结论可知：；
②如图
，
理由：连接，，
设点的坐标为，点的坐标为，
由（2）①同理可得：
，，
∴，
从而，由（1）中的结论可知：.
本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是根据同底等高的两个三角形面积相等进行解答问题，此题难度不是很大，但是三问之间都有一定的联系．
25、（1）；（2）
【解析】
（1）根据分式的加法法则，先通分然后再相加计算即可；
（2）根据分式混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
．
本题考查分式的计算，掌握各运算法则及通分、约分是解题的关键．
26、证明见解析.
【解析】
分析：根据题意知EH是直角△ABH斜边上的中线，DE是△ABC的中位线，所以由相关的定理进行证明．
详解：∵D、E分别是BC、CA的中点，∴DE=AB．
又∵点F是AB的中点，AH⊥BC，∴FH=AB，∴DE=HF．
点睛：本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
成绩
甲
乙
丙
丁
平均分（单位：米）
6.0
6.1
5.5
4.6
方差
0.8
0.2
0.3
0.1