2025届湖南长沙市中学雅培粹学校九年级数学第一学期开学复习检测试题【含答案】

这是一份2025届湖南长沙市中学雅培粹学校九年级数学第一学期开学复习检测试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若–1是关于的方程()的一个根，则的值为（ ）
A．1B．2C．–1D．–2
2、（4分）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A．66°B．104°C．114°D．124°
3、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1=∠2B．AB⊥ACC．AB=CDD．∠BAD+∠ABC=180°
4、（4分）某中学书法兴趣小组10名成员的年龄情况如下表，则该小组成员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15B．16，15C．15，17D．14，15
5、（4分）对于反比例函数，下列说法中不正确的是（ ）
A．x>0时，y随x增大而增大
B．图像分布在第二第四象限
C．图像经过点（1.-2）
D．若点A（）B（）在图像上，若,则
6、（4分）某型号的汽车在路面上的制动距离s＝，其中变量是（ ）
A． s v2 B．sC．vD． s v
7、（4分）等腰三角形的两边长分别为2、4，则它的周长为（ ）
A．8B．10C．8或10D．以上都不对
8、（4分）若平行四边形中两个邻角的度数比为1：3，则其中较小的内角是( )
A．30°B．45°C．60°D．75°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，点E、F分别是BD、BC的中点，若AB＝8，BC＝6，则AE+EF的长为_____．
10、（4分）如图，△ACB≌△DCE，∠ACD=50°，则∠BCE的度数为_____．
11、（4分）若代数式和的值相等，则______．
12、（4分）如图，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F．点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点．当点P运动到_____（填P点的坐标）的位置时，△OPA的面积为1．
13、（4分）汽车开始行驶时，油箱中有油40L，如果每小时耗油5L，则油箱内余油量y（L）与行驶时间x（h）的关系式为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）计算：
(1)；
(2)已知，，求的值.
15、（8分）如图，在中，，请用尺规过点作直线，使其将分割成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法．并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）．
16、（8分）某文具商店的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元，该商店为促销正在进行优惠活动：
活动1：买一支毛笔送一本书法练习本；
活动2：按购买金额的九折付款.
某学校准备为书法兴趣小组购买这种毛笔20支，书法练习本x（x≥20）本.
（1）写出两种优惠活动实际付款金额y1（元），y2（元）与x（本）之间的函数关系式；
（2）请问：该校选择哪种优惠活动更合算？
17、（10分）某市建设全长540米的绿化带，有甲、乙两个工程队参加．甲队平均每天绿化的长度是乙队的1.5倍．若由一个工程队单独完成绿化，乙队比甲队对多用6天，分别求出甲、乙两队平均每天绿化的长度。
18、（10分）如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，两点.
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）抛物线，当时，的取值范围是__________．
20、（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的延长线上一点，且DE＝DC，点P为边AD上一动点，且PC⊥PG，PG＝PC，点F为EG的中点．当点P从D点运动到A点时，则CF的最小值为___________
21、（4分）如图，在中，，，点在上，且，点在上，连结，若与相似，则_____________．
22、（4分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB、BC于点D、E，连结DE．若四边形ODBE的面积为9，则△ODE的面积是________．
23、（4分）如果根式有意义，那么的取值范围是_________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象都经过点．
（1）求一次函数和正比例函数的解析式；
（2）若点是线段上一点，且在第一象限内，连接，设的面积为，求面积关于的函数解析式．
25、（10分）定义：对于给定的一次函数y=ax+b（a≠0），把形如的函数称为一次函数y=ax+b（a≠0）的衍生函数.已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（1，2），C（-3，2），D（-3，0）.
（1）已知函数y=2x+l.
①若点P（-1，m）在这个一次函数的衍生函数图像上，则m= .
②这个一次函数的衍生函数图像与矩形ABCD的边的交点坐标分别为 .
（2）当函数y=kx-3（k>0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有2个交点时，k的取值范围是 .
26、（12分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
将﹣1代入方程求解即可.
【详解】
将﹣1代入方程得：n﹣m+2=0，即m﹣n=2.
故选B.
本题考点：一元二次方程的根.
2、C
【解析】
根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根据三角形内角和定理可得.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°；
故选C．
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
3、B
【解析】
根据平行四边形的性质逐一进行分析即可得.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，AD//BC，故C选项正确，不符合题意；
∵AB//CD，
∴∠1=∠2，故A选项正确，不符合题意；
∵AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，故D选项正确，不符合题意；
无法得到AB⊥AC，故B选项错误，符合题意，
故选B.
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键.
4、A
【解析】
众数：出现次数最多的数；中位数：从小到大排列，中间位置的数；
【详解】
众数：出现次数最多的数；年龄为15岁的人数最多，故众数为15；
中位数：从小到大排列，中间位置的数；14,14,14,15,15,15,15,16,16,17；
中间位置数字为15,15，所以中位数是（15+15）÷2=15
故选A
本题考查了众数和中位数，属于基本题，熟练掌握相关概念是解答本题的关键.
5、D
【解析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，即函数所在的象限和增减性对各选项作出判断．
【详解】
A.把点（1，-2）代入得：-2=-2，故该选项正确，不符合题意，
B.∵k=-2<0，
∴函数图像分布在第二第四象限，故该选项正确，不符合题意，
C.∵k=-2<0，
∴x>0时，y随x增大而增大，故该选项正确，不符合题意，
D.∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴x<0时，y>0，x>0时，y<0，
∴x1<0y2，故该选项错误，符合题意，
故选D.
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，对于反比例函数，当k>0时，图象在一、三象限，在各象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，在各象限内，y随x的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.
6、D
【解析】
根据变量是可以变化的量解答即可．
【详解】
解：∵制动距离S=，
∴S随着V的变化而变化，
∴变量是S、V．
故选：D．
本题考查常量与变量，是函数部分基础知识，常量是不可变化的常数，变量是可以变化的，一般用字母表示．
7、B
【解析】
由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【详解】
解：①当2为腰时，2+2=4，不能构成三角形，故此种情况不存在；
②当4为腰时，符合题意，则周长是2+4+4=1．
故选：B．
本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．
8、B
【解析】
根据平行四边形的性质，可设较小的角为x，较大的角是3x,列式子即可得出结果.
【详解】
设较小的角为x,较大的是3x,x+3x=180,x=45°.
故选B.
本题考查平行四边形的性质，比较简单.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、8
【解析】
先根据三角形中位线定理得到EF的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到AE的长，进而得出计算结果．
【详解】
∵点E，F分别是BD，DC的中点，
∴FE是△BCD的中位线，
∴EF＝BC＝3，
∵∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AB＝8，
∴BD＝10，
又∵E是BD的中点，
∴Rt△ABD中，AE＝BD＝5，
∴AE+EF＝5+3＝8，
故答案为：8
本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线定理的运用，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
10、50°
【解析】
根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠DCE，然后根据∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD得出答案．
【详解】
解： ∵△ACB≌△DCE
∴∠ACB=∠DCE
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠BCE=∠ACD=50°
故答案为：50°．
本题考查全等三角形的性质，题目比较简单．
11、
【解析】
由题意直接根据解分式方程的一般步骤进行运算即可.
【详解】
解：由题意可知：=
故答案为：.
本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键.
12、（﹣4，3）．
【解析】
求出直线EF的解析式，由三角形的面积公式构建方程即可解决问题.
【详解】
解：∵点E（﹣8，0）在直线y＝kx+6上，
∴﹣8k+6＝0，
∴k＝，
∴y＝x+6，
∴P（x， x+6），
由题意：×6×（x+6）＝1，
∴x＝﹣4，
∴P（﹣4，3），
故答案为（﹣4，3）．
本题考查一次函数图象上的点的坐标特征，三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
13、y=40-5x
【解析】
直接利用汽车耗油量结合油箱的容积，进而得出油箱内剩余油量y（L）与行驶时间x（h）的关系式．
【详解】
由题意可得：y=40-5x．
故答案为y=40-5x．
此题主要考查了函数关系式，根据汽车耗油量得出函数关系式是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)；(2)15.
【解析】
（1）根据二次根式性质化简后合并求解即可；
（2）先对变形得，先分别求出，，代入即可.
【详解】
解：（1）原式
；
（2）变形得，
根据题意，,
代入得：.
本题考查了二次根式，熟练进行分母有理化是解题的关键．
15、见解析
【解析】
作斜边AB的中垂线可以求得中点D，连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD＝AD＝DB．
【详解】
解如图所示：
，
△ACD和△CDB即为所求．
此题主要考查了应用设计与作图，关键在于用中垂线求得中点和运用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，把Rt△ABC分割成两个等腰三角形．
16、（1），；（1）买10支毛笔选择活动1，赠送10本练习本，剩下(x-10)本练习本选择活动1．
【解析】
（1）活动1：10支毛笔的付款金额，加上(x-10)本练习本的付款金额即可；活动1：将10支毛笔和x本练习本的总金额乘以0.9即可．
（1）可以任意选择一个优惠活动，也可两个活动同时选择，三种方案进行对比即可．
【详解】
（1）
（1）第三种方案：买10支毛笔选择活动1，赠送10本练习本，剩下(x-10)本练习本选择活动1，此时实际付款金额
显然
令，得
解得
因此当时，最优惠的购买方案为：买10支毛笔选择活动1，赠送10本练习本，剩下(x-10)本练习本选择活动1．
本题考查一次函数的应用，理解两种优惠活动的付款金额计算方式是解题的关键．
17、甲队平均每天绿化45米，乙队平均每天绿化30米
【解析】
设乙队平均每天绿化x米， 由时间=工作量÷工作效率，结合乙队比甲队多用6天列分式方程，解出x, 再代入方程检验即可求出x, 则乙队平均每天绿化多少米也可求.
【详解】
设乙队平均每天绿化x米，则甲队平均每天绿化1.5x米，
依题意得
解得x=30
经检验x=30是原方程的根且符合题意，
∴1.5x=45(米)，
答：甲队平均每天绿化45米，乙队平均每天绿化30米。
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程.
18、（1）；（2）1或9.
【解析】
试题分析：（1）把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，求得k、b的值，即可得一次函数的解析式；（2）直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝x＋5－m，根据平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个公共点，把两个解析式联立得方程组，解方程组得一个一元二次方程，令△=0，即可求得m的值.
试题解析：
(1)根据题意，把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，得，
解得，
所以一次函数的表达式为y＝x＋5.
(2)将直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝x＋5－m.由得， x2＋(5－m)x＋8＝0.Δ＝(5－m)2－4××8＝0，
解得m＝1或9.
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
首先根据二次函数的的二次项系数大于零，可得抛物线开口向下，再计算抛物线的对称轴 ，判断范围内函数的增减性，进而计算y的范围.
【详解】
解：根据二次函数的解析式可得
由a=2>0，可得抛物线的开口向上
对称轴为：
所以可得在范围内，二次函数在 ，y随x的增大而减小，在 上y随x的增大而增大.
所以当 取得最小值，最小值为：
当取得最大值，最大值为：
所以
故答案为
本题主要考查抛物线的性质，关键在于确定抛物线的开口方向，对称轴的位置，进而计算y的范围.
20、
【解析】
由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=AG=．
【详解】
解：连接FD
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=4，∠B=90°，
∴AC=，
当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，
∴EG的中点为D，即F与D重合，
当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，
∵D是AE的中点，F是EG的中点，
∴DF是△EAG的中位线，
∴DF∥AG，
∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，
∴∠BAG=45°，
∴∠EAG=135°，
∴∠EDF=135°，
∴∠FDA=45°，
∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，
此时CF最小，
此时CF=AG=；
故答案为：．
本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
21、2或4.5
【解析】
根据题意，要使△AEF与△ABC相似，由于本题没有说明对应关系，故采用分类讨论法．有两种可能：当△AEF∽△ABC时；当△AEF∽△ACB时．最后利用相似三角形的对应边成比例即可求得线段AF的长即可．
【详解】
当△AEF∽△ABC时,则，AF=2；
当△AEF∽△ACB时,则，AF=4.5.
故答案为：2或4.5.
本题考查了相似三角形的性质应用.利用相似三角形性质时，要注意相似比的对应关系.分类讨论时，要注意对应关系的变化，防止遗漏.
22、
【解析】
设B的坐标为（2a,2b）,E点坐标为（x,2b）,D点坐标为（2a,y）,因为D、E、M在反比例函数图象上，则ab=k，2bx=k, 2ay=k, 根据四边形ODBE的面积列式，求得k值，再由2bx×2ay=4abxy=k2=9, 求得xy的值，然后根据所求的结果求出△BED的面积，则△ODE的面积就是四边形ODBE的面积和△BED的面积之差.
【详解】
解：设B的坐标为（2a,2b）, 则M点坐标为（a,b）,
∵M在AC上，
∴ab=k（k>0）,
设E点坐标为（x,2b）,D点坐标为（2a,y）,
则2bx=k, 2ay=k,
∴S四边形ODBE=2a×2b-×(2bx+2ay)=9,
即4k- (k+k)=9,
解得k=3,
∵2bx×2ay=4abxy=k2=9,
∴4abxy=9,
解得：xy=,
则S△BED=BE×BD=
,
∴ S△ODE = S四边形ODBE -S△BED=9-
本题主要考查反比函数与几何综合，解题关键在于利用面积建立等式求出k.
23、
【解析】
根据二次根式的性质和，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【详解】
根据题意得：x+2⩾0，
解得：x⩾−2.
故答案是：x⩾−2.
此题考查二次根式有意义的条件，难度不大
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）y=﹣x+4，；（2）S=2x（0＜x≤3）．
【解析】
（1）把B（3，1）分别代入y=﹣x+b和y=kx即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
（1）把B（3，1）分别代入y=﹣x+b和y=kx得1=﹣3+b，1=3k，解得：b=4，k，∴y=﹣x+4，yx；
（2）∵点P（x，y）是线段AB上一点，∴S•xP2x（0＜x≤3）．
本题考查了两直线相交或平行，三角形面积的求法，待定系数法确定函数关系式，正确的理解题意是解题的关键．
25、（1）①1，②（，2）或（，，0）；（2）1＜k＜1；
【解析】
（1）①x=-1＜0，则m=-2×（-1）+1=1，即可求解；②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点位置在BC和AD上，即可求解；
（2）当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，当直线在位置②时，函数和图象有1个交点，在图①②之间的位置，直线与矩形有2个交点，即可求解．
【详解】
解：（1）①x=-1＜0，则m=-2×（-1）+1=1，
故答案为：1；
②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点位置在BC和AD上，
当y=2时，2x+1=2，解得：x=，
当y=0时，2x+1=0，解得：x=，
故答案为：（，2）或（，，0）；
（2）函数可以表示为：y=|k|x-1，
如图所示当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，
当x=1时，y=|k|x-1=1|k|-1=0，k=±1，
k＞0，取k=1
当直线在位置②时，函数和图象有1个交点，
同理k=1，
故在图①②之间的位置，直线与矩形有2个交点，
即：1＜k＜1．
本题为一次函数综合题，涉及到新定义、直线与图象的交点等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
26、（1）证明见解析（2）2
【解析】
试题分析：根据正方形的性质得到AD=AB，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质可得AD=AF，∠AFE=∠D=90°，从而得到∠AFG=∠B=90°，AB=AF，结合AG=AG得到三角形全等；根据全等得到BG=FG，设BG=FG=x，则CG=6－x，根据E为中点得到CE=EF=DE=3，则EG=3+x，根据Rt△ECG的勾股定理得出x的值.
试题解析：（1）、∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AD=AB，由折叠的性质可知
AD=AF，∠AFE=∠D=90°， ∴∠AFG=90°，AB=AF， ∴∠AFG=∠B， 又AG=AG， ∴△ABG≌△AFG；
（2）、∵△ABG≌△AFG， ∴BG=FG， 设BG=FG=，则GC=, ∵E为CD的中点，
∴CE=EF=DE=3， ∴EG=， ∴， 解得， ∴BG=2.
考点：正方形的性质、三角形全等、勾股定理.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
年龄/岁
14
15
16
17
人数
3
4
2
1