2024-2025学年上海市虹口区丰镇中学九年级（上）月考数学试卷（9月份） （含解析）

这是一份2024-2025学年上海市虹口区丰镇中学九年级（上）月考数学试卷（9月份） （含解析），共32页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知，则下列等式中，正确的是
A．B．C．D．
2．（4分）下列各组线段中，能够组成比例的是
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
3．（4分）下列各组图形中，不一定相似的是
A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形
C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形
4．（4分）在△中，点、分别在边、上，下列条件中，能判定的是
A．B．C．D．
5．（4分）下列四个三角形，与图中的三角形相似的是
A．B．
C．D．
6．（4分）如图，在△中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点、分别在边、上，如果恰好经过△的重心，那么的长为
A．1B．C．D．2
二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）.
7．（4分）已知三条线段、、，线段，线段，且线段是线段、的比例中项，则线段 ．
8．（4分）两个相似三角形的相似比为，周长之差为，则较大三角形的周长为 ．
9．（4分）已知点是线段上黄金分割点，且，如果，那么 ．
10．（4分）已知等边三角形的边长为，该三角形的重心到一个顶点的距离为 ．
11．（4分）如图，若，，，，则长为 ．
12．（4分）如图，点是平行四边形边延长线上一点，交于点，如果，那么 ．
13．（4分）如图，在中，点在边上，若，，，则的长为 ．
14．（4分）如图，在△中，是斜边上的高，若，，则 ．
15．（4分）如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ．
16．（4分）如图，在△中，若，且，则的值为 ．
17．（4分）如图，已知是△的中线，，、相交于点，则 ．
18．（4分）如图，点E是正方形ABCD边AD上的一点（E与A不重合），将线段BE绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在DA的延长线上的F处，并作正方形AFGH，若H是线段AB的一个黄金分割点，且AH＞BH，则AE：AB的值是 ．
三、解答题（共7题，满分78分）.
19．已知，且，求的值．
20．如图，在△中，，．
（1）若，求的长；
（2）若，求．
21．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）如图①， ．
（2）如图②，在上找一点，使．
（3）如图③，在上找一点，连接、，使．
22．近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．
根据表格信息，求飞虹塔的大致高度．
23．如图，在中，，平分，作交于点，垂足为．作，垂足为．
（1）求证：．
（2）求证：．
24．在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求点、点的坐标；
（2）若点为直线上的点，且，直接写出点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使得△与△相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
25．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝30°，点D、E边BC上（点E在点D右侧，点D不与点B重合），∠DAE＝∠C，过点B作BF∥AC，交AD的延长线于点F．
（1）当AF⊥BC时，求线段CE的长；
（2）设CE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）连接CF，如果△CDF∽△ABD，求BF的长．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）已知，则下列等式中，正确的是
A．B．C．D．
解：，
设，，
．由比例的性质得到，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项符合题意；
故选：．
2．（4分）下列各组线段中，能够组成比例的是
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
解：、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
、，故此选项中四条线段成比例，符合题意；
、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意，
故选：．
3．（4分）下列各组图形中，不一定相似的是
A．一组邻边对应成比例的两个矩形
B．两个顶角相等的等腰三角形
C．有一个内角相等的两个菱形
D．有两条边对应成比例的两个直角三角形
解：．一组邻边对应成比例的两个矩形，对应角都是直角，一定相似，故本选项不符合题意；
．两个顶角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本选项不符合题意；
．有一个内角对应相等的两个菱形其他角也相等，菱形四条边相等，对应边成比例，故一定相似，故本选项不符合题意；
．有两条边对应成比例的两个直角三角形，不一定相似，故本选项符合题意；
故选：．
4．（4分）在△中，点、分别在边、上，下列条件中，能判定的是
A．B．C．D．
解：
．，，故该选项符合题意；
．，则，不能判定，故该选项不符合题意；
．，则，不能判定，故该选项不符合题意；
．，不能判定，故该选项不符合题意，
故选：．
5．（4分）下列四个三角形，与图中的三角形相似的是
A．B．
C．D．
解：通过勾股定理可得到已经图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为
、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意；
、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比一样，故两个三角形相似，故符合题意；
、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，3，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意；
、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意；
故选：．
6．（4分）如图，在△中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点、分别在边、上，如果恰好经过△的重心，那么的长为
A．1B．C．D．2
解：设△的重心是，连接，延长交于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，，
，，
，
．
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知三条线段、、，线段，线段，且线段是线段、的比例中项，则线段 ．
解：线段是线段、的比例中项，
，
，
，
故答案为：．
8．（4分）两个相似三角形的相似比为，周长之差为，则较大三角形的周长为 45 ．
解：两个相似三角形的相似比为，
设较大三角形的周长为 ，则较小三角形的周长为 ，
依题意，，
解得，
，
故答案为：45．
9．（4分）已知点是线段上黄金分割点，且，如果，那么 ．
解：，
，
，
设，则，
解得：或（舍去），
故答案为：．
10．（4分）已知等边三角形的边长为，该三角形的重心到一个顶点的距离为 ．
解：如图，设点是等边△的重心，连接并延长交于，
是等边△的重心，
也是等边△的外心和内心，
在三条边的垂直平分线上，
，，
△是等边三角形，
，
是等边△的内心，
平分，
，
在△中，，
，
解得，，
它的重心到一个顶点的距离为，
故答案为：．
11．（4分）如图，若，，，，则长为 2 ．
解：，
．
，，，
，
解得．
故答案为：2．
12．（4分）如图，点是平行四边形边延长线上一点，交于点，如果，那么 ．
解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
△△，
，
．
故答案为：．
13．（4分）如图，在中，点在边上，若，，，则的长为 ．
解：，，
，
，
，，
，
，
或（舍去），
故答案为：．
14．（4分）如图，在△中，是斜边上的高，若，，则 ．
解：在△中，，，
．
，
．
，
△△，
，
即，
解得．
故答案为：．
15．（4分）如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ．
解：设正方形的边长为，则，．
四边形是正方形，
．
．
又，
．
，，，，
，
解得．
故答案为：．
16．（4分）如图，在△中，若，且，则的值为 1 ．
解：，
，，
△△△，
，
，，
，
△△△，
，，
，
，
故答案为：1．
17．（4分）如图，已知是△的中线，，、相交于点，则 ．
解：过作交于，
是△的中线，
，
，
，△△，，
，，
，
，
，
，，
△△，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．（4分）如图，点E是正方形ABCD边AD上的一点（E与A不重合），将线段BE绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在DA的延长线上的F处，并作正方形AFGH，若H是线段AB的一个黄金分割点，且AH＞BH，则AE：AB的值是 ．
解：如下图所示，
根据旋转的性质得BF＝BE，
∵AB⊥EF，
∴AF＝AE，
∵H是线段AB的一个黄金分割点，且AH＞BH，
∴，
∵正方形AFGH，
∴AE＝AH，
∴，
故答案为：．
三、（本大题共7题，满分0分）
19．已知，且，求的值．
解：设，则，，，
，
，
解得：，
，，，
．
20．如图，在△中，，．
（1）若，求的长；
（2）若，求．
解：（1），
，，
△△，
，
，
，
则，
，
；
（2）如图：过点作，
由（1）得，
，
，
，
，，．
，
，
．
21．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）如图①， ．
（2）如图②，在上找一点，使．
（3）如图③，在上找一点，连接、，使．
解：（1），
，
，
，，
，
故答案为：；
（2）如图②，点即为所求；
（3）如图③，点即为所求
22．近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．
根据表格信息，求飞虹塔的大致高度．
解：设米，米．
，
△△，
，
，，，
，
，
△△，
，
，，，
，
，
，
，
经检验，是原方程的解，
，
，
经检验，是原方程的解，
答：飞虹塔的高度为47米．
23．如图，在中，，平分，作交于点，垂足为．作，垂足为．
（1）求证：．
（2）求证：．
【解答】证明：（1），，
，
又，
，
，即；
（2）平分，
．
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
又，
，
．
，
，
，
，即，
．
24．在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求点、点的坐标；
（2）若点为直线上的点，且，直接写出点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使得△与△相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．将代入得：
，
解得，
直线，
当时，，
，
当时，，
解得，
；
（2）点为直线上的点，且，如图1所示，当点在第三象限时，记为点，过点轴，
，
，
，
△△，
，
，
，，
，
；
如图1所示，当点在第二象限时，记为点，过点轴，
，
，
，
△△，
，
，
，，
，
；
综上所述，点的坐标或；
（3）在直线上存在点，使得△与△相似；理由如下：
如图3所示，当点在第三象限时，过点作轴，
，，
，
，
，
，即，
，
△与△不相似；
如图4所示，当点在第一象限时，过点作轴，
设，
，，
，
当时，△△，
，
△△，
，即，
，
经检验，是原方程的解，
．
如图5所示，当点在第二象限时，过点作轴，
设，
，，
，
当时，△△，
，
，
△△，
，即，
，
经检验，是原方程的解，
，
，，
综上所述，在直线上存在点，使得△与△相似；，或，．
25．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝30°，点D、E边BC上（点E在点D右侧，点D不与点B重合），∠DAE＝∠C，过点B作BF∥AC，交AD的延长线于点F．
（1）当AF⊥BC时，求线段CE的长；
（2）设CE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）连接CF，如果△CDF∽△ABD，求BF的长．
解：（1）如图1所示：
∵AB＝AC＝4，AF⊥BC，
∴，
在Rt△ACD中，
∵∠C＝30°，
∴，
在Rt△ADE中，∠DAE＝∠C，
∴，
∴；
（2）解：∵BF∥AC，
∴∠FBC＝∠C＝30°，∠BFA＝∠CAD，
∴△ADC∽△FDB，
∴，
即，
解得，
在△FDB和△EDA中，
∠FBD＝∠DAE＝30°，∠FDB＝∠ADE，
∴∠BFD＝∠AED，
∵∠ABE＝∠DBF＝30°，
∴△ABE∽△DBF，
∴，
∵，
∴，
解得，
根据点D、E边BC上，点E在点D右侧，点D不与点B重合，
∴y＞0，x≥0，
∴，
∴，
∴；
（3）当△CDF∽△BDA时，如图2：
∵△CDF∽△BDA，
∴∠ABD＝∠DCF，
∴AB∥CF，
∵BF∥AC，
∴四边形ABFC为平行四边形，
∴BF＝AC＝4；
当△CDF∽△ADB时，
∵△CDF∽△ADB，
∴，
由（2）可知，△ADC～△FDB，
∴，
∴，
∴，
∴BD＝DF，
∴∠DFB＝∠DBF＝30°，
∴∠BAF＝180°﹣∠ABD﹣∠DBF﹣∠BFD＝90°，
∴BF＝2AB＝8，
综上所述，当△CDF与△ABD相似时，BF的长为4或8．
主题
跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图

测量步骤
步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米；
步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；（以上数据均为近似值）
主题
跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图

测量步骤
步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米；
步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；（以上数据均为近似值）