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2024-2025学年上海市华东师大二附中九年级（上）开学数学试卷（含解析）
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这是一份2024-2025学年上海市华东师大二附中九年级（上）开学数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若把分式3xx+y中的x和y的值同时扩大3倍，则分式的值( )
A. 不变B. 扩大9倍C. 扩大3倍D. 缩小到原来的13
2.若一元二次方程(k−1)x2+3x+k2−1=0的一个根为0，则k的值为( )
A. k=0B. k=1C. k=−1D. k=1或k=−1
3.“x的3倍与y的和不小于2”用不等式可表示为( )
A. 3x+y>2B. 3(x+y)>2C. 3x+y≥2D. 3(x+y)≥2
4.已知一组数据70，80，80，85，85，85，则它的众数和中位数分别为( )
A. 85，80B. 85，85C. 85，82.5D. 80，80
5.将四个相同的矩形(长是宽的3倍)，用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有( )
A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种
6.已知b<0时，二次函数y=ax2+bx+a2−1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.4的算术平方根是______．
8.已知AP=2，则点H是AP的黄金分割点(AH9.在实数范围内因式分解：2x2−y2= ______
10.某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，则选中男生的可能性是______．
11.某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为60°，那么这个观察点到建筑物的距离为______．
12.抛物线y=ax2−1上有一点P(2,2)，平移该抛物线，使其顶点落在点A(1,1)处，这时点P落在点Q处，则点Q的坐标为______．
13.如图，BFFC=3，G为AF的中点，则BGBE=______．
14.如图，∠CDE=∠B，△ABC与△EDC的周长之比是5：3，那么点A到BC的距离与点E到DC的距离之比是______．
15.在等腰三角形ABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB或AC)的比值也确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)=∠A的对边(底边)∠A的邻边(腰)=BCAB.例：T(60°)=1，那么T(120°)=______．
16.我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点A(2,3)和点B(3,2)为一对“关联点对”.如果反比例函数y=10x在第一象限内的图象上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为3 2，那么这对“关联点对”中，距离x轴较近的点的坐标为______．
17.勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形EFGH组成的．若小正方形的边长是1，每个直角三角形的短的直角边长是3，则大正方形ABCD的面积是______．
18.定义：如图1，对于线段AB的内分点C和外分点D，如果满足ACCB=ADDB，那么称A、B、C、D是“调和点列”.如图2，在△ABC中，点D在AB上，点E在AB的延长线上，连接CE，射线CD、CB与射线AM交于点F、G，AG//CE，若A、B、D、E是调和点列，且AD=2，BE=3，则AFAG的值是______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：−12020+(13)−12−| 3−2|+ 27．
20.(本小题8分)
求不等式组4(x+1)≤7x+10x−521.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且ABAC=ADCE，∠BAD=∠ECA．
(1)求证：AC2=BC⋅CD；
(2)若AD是△ABC的中线，求CEAC的值．
22.(本小题8分)
正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗.位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉(每天只能生产其中一种)．
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕.据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋.汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
23.(本小题8分)
如图，已知直线y1=kx+3与坐标轴交于A，B两点，直线y2=ax+b与坐标轴交于C(−6,0)，D两点，两直线的交点为M(−4,−1)．
(1)求k，a，b的值；
(2)连接OM，试说明S△BCM+S△AOB=S△DOM(S表示面积)；
(3)x轴上存在点T，使得S△ATM=S△ADM，求出此时点T的坐标．
24.(本小题8分)
已知，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(8,0)，点B的坐标为(0,6).抛物线C1：y=−ax2+2x上有一点P，以点P为顶点的抛物线C2经过点B(点P与点B不重合)，抛物线C1和C2形状相同，开口方向相反．
(1)当抛物线C1经过点A时，求抛物线C1的表达式；
(2)求抛物线C2的对称轴；
(3)当a<0时，设抛物线C1的顶点为Q，抛物线C2的对称轴与x轴的交点为F，联结PQ、QO、FQ，求证：QO平分∠PQF．
25.(本小题8分)
解图形往往与图形的性质密切相关
(1)由已学的全等判定：ASA，SAS，HL，AAS可知
结论1：判定两三角形全等的必要元素是______；
结论2：解三角形时至少需要知道一条边的原因是______；
(2)如图，在锐角△ABC中至少有两个锐角，∠C始终为锐角，设AB长为a，请用△ABC三个角的三角比和a的代数式表示△ABC的周长；
(3)在解各种形状的梯形的过程中，我们最多需要______个条件，最少需要______个条件，最少条件时需要知道的元素可以为______．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意得：9x3x+3y=3xx+y，
则分式的值不变．
故选A
把原式中x换为3x，y换为3y，计算即可做出判断．
此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：把x=0代入一元二次方程(k−1)x2+3x+k2−1=0，
得k2−1=0，
解得k=−1或1；
又k−1≠0，
即k≠1；
所以k=−1．
故选：C．
把x=0代入方程(k−1)x2+3x+k2−1=0，解得k的值．注意：二次项系数不为零．
本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零．
3.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
关系式为：x的3倍+y≥2，把相关数值代入即可．
【解答】
解：根据题意，可列不等式为：3x+y≥2，
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：70，80，80，85，85，85，
最中间的两个数是80，85
则中位数是80+852=82.5；
在这组数据中出现次数最多的是85，
则众数是85；
∴众数和中位数分别为85，82.5
故选：C．
根据众数和中位数的概念分别进行求解即可．
本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5.【答案】C
【解析】解：设小矩形的宽为x，则长为3x；本题可分四种情况：
(1)如图①，矩形的周长为：4x+4x+3x+3x=14x；
(2)如图②，矩形的周长为：3x+3x+4x+4x=14x；
(3)如图③，矩形的周长为：6x+6x+2x+2x=16x；
(4)如图④，矩形的周长为：3x×4×2+2x=26x；
因此大矩形的周长为14x、16x或26x，共三种情况，故选C．
根据题意，则可以拼成的大矩形的图形可以有四种情况，分别求出它们的各自的周长，然后判断所得周长的值有几种情况．
能够根据已知条件拼出不同的图形，注意必须找出所有可能的不同周长值的情况，以免漏解．
6.【答案】C
【解析】解：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以x=−b2a=0，
解得b=0，
与b<0相矛盾；
第3个图，抛物线开口向上，a>0，
经过坐标原点，a2−1=0，
解得a1=1，a2=−1(舍去)，
对称轴x=−b2a=−b2×1>0，
所以b<0，符合题意，
故a=1，
第4个图，抛物线开口向下，a<0，
经过坐标原点，a2−1=0，
解得a1=1(舍去)，a2=−1，
对称轴x=−b2a=−b2×(−1)>0，
所以b>0，不符合题意，
综上所述，a的值等于1．
故选C．
根据抛物线开口向上a>0，抛物线开口向下a<0，然后利用抛物线的对称轴或与y轴的交点进行判断，从而得解．
本题考查了二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系，a的符号由抛物线开口方向确定，难点在于利用图象的对称轴、与y轴的交点坐标判断出b的正负情况，然后与题目已知条件b<0比较．
7.【答案】2
【解析】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
8.【答案】3− 5
【解析】解：∵点H是AP的黄金分割点，AH∴HP=AP× 5−12，
∵AP=2，
∴HP=2× 5−12= 5−1，
∴AH=AP−HP=2−( 5−1)=3− 5，
故答案为：3− 5．
根据黄金分割点的定义和AH此题考查了黄金分割，关键是理解黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值，计算时要注意AH9.【答案】( 2x+y)( 2x−y)
【解析】解：2x2−y2=( 2x+y)( 2x−y)，
故答案为：( 2x+y)( 2x−y)．
根据平方差公式进行因式分解即可．
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10.【答案】25
【解析】解：某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，共有19种情况，其中男生被选中的有4种结果，
∴选中男生的可能性是410=25，
故答案为：25．
根据概率公式求解即可．
本题考查可能性的大小，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
11.【答案】5 3米
【解析】解：如图，
由题意得：∠DAC=60°，AB=15米，
∴∠ACB=∠DAC=60°，
∴tan∠ACB=ABCB=15CB= 3，
∴CB=15 3=5 3(米)，
故答案为：5 3米．
根据题意画出示意图，然后根据俯角的定义可得∠DAC=60°，然后可得出∠ACB的度数，进而根据∠ACB的正切值可得出BC的长度，即得出了这个观察点到建筑物的距离．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解答本题的关键是熟练掌握解直角三角形的知识及俯角的定义．
12.【答案】(3,4)
【解析】解：由题意知：抛物线由y=ax2−1平移至y=a(x−1)2+1的过程中，向右平移了1个单位，向上平移了2个单位，则有：
P点向右平移一个单位，得(3,2)，再向上平移两个单位，得(3,4)；
即Q点的坐标为(3,4)．
首先根据平移后顶点A的坐标，判断出抛物线平移的过程，然后再按此方法平移P点即可得到Q点的坐标．
此题主要考查了二次函数图象的平移，能够根据平移规律“左加右减，上加下减”判断出二次函数的平移过程是解答此题的关键．
13.【答案】78
【解析】解：如图，作FH//AC交BG于点H，
∵∠FHG=∠AEG，∠FGH=∠AGE，FG=AG，
∴△FGH≌△AGE(AAS)，
∴GH=GE=12HE，
设GH=GE=m，则HE=2m，
∵△BFH∽△BCE，
∴BHHE=BFFC=3，
∴BH=3HE=6m，
∴BG=BH+GH=6m+m=7m，BE=BH+HE=6m+2m=8m，
∴BGBE=7m8m=78，
故答案为：78．
作FH//AC交BG于点H，先证明△FGH≌△AGE，得GH=GE=12HE，设GH=GE=m，则HE=2m，由FH//AC得△BFH∽△BCE，则BHHE=BFFC=3，可推导出BH=6m，BG=7m，BE=8m，即可求得BGBE=7m8m=78．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
14.【答案】5：3
【解析】解：∵∠CDE=∠B，∠C=∠C，
∴△ABC∽△EDC，
∵△ABC与△EDC的周长之比是5：3，
∴点A到BC的距离与点E到DC的距离之比是5：3，
故答案为：5：3．
根据相似三角形的判定定理得到△ABC∽△EDC，根据相似三角形的性质计算即可．
此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
15.【答案】 3
【解析】解：∠BAC=90°，AB=AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD=60°，
∴BD= 32AB，
∴BC= 3AB，
∴T(120°)= 3．
故答案是： 3．
根据T(A)的定义解答即可．
本题考查了解直角三角形，正确理解T(A)的定义是解题的关键．
16.【答案】(5,2)
【解析】解：设反比例函数y=10x在第一象限内的图象上一对“关联点对”为A(a,b)，B(b,a)且a>b>0，
∴ab=10，
∵这两个点之间的距离为3 2，
∴AB= (a−b)2+(b−a)2=3 2，
∴a−b=3，
由a−b=3ab=10，解得：a=5b=2或a=−2b=−5(舍)，
∴A(5,2)，B(2,5)，
∴距离x轴较近的点的坐标为(5,2)，
故答案为：(5,2)．
根据题意利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求得关联点的坐标，即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、解方程组，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求出反比例函数图象上的关联点．
17.【答案】25
【解析】解：∵EF=1，BE=3，
∴BF=BE+EF=4，
∴S正方形ABCD=4⋅S△BCF+S正方形EFGH=4×12×4×3+1×1=25．
故答案为：25．
由BF=BE+EF结合“小正方形的边长是1，每个直角三角形的短的直角边长是3”即可得出直角三角形较长直角边的长度，结合三角形的面积公式以及正方形面积公式即可得出结论．
本题考查了三角形的面积以及正方形的面积，解题的关键是求出直角三角形的较长直角边长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分割图形求面积法表示出大正方形的面积是关键．
18.【答案】12
【解析】解：∵A、B、D、E是调和点列，
∴ADDB=AEBE，
∴2DB=AE3=5+DB3，
∴DB=1(负值舍去)，
∴AB=3，DE=4，
∵AG//CE，
∴△ADF∽△EDC，△ABG∽△EBC，
∴AFCE=ADDE=12，AGCE=ABBE=1，
∴AF=12CE，AG=CE，
∴AFAG=12，
故答案为：12．
先求出DB=1，通过证明△ADF∽△EDC，△ABG∽△EBC，可得AFCE=ADDE=12，AGCE=ABBE=1，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
19.【答案】解：原式=−1+312−(2− 3)+3 3
=−1+ 3−2+ 3+3 3
=5 3−3．
【解析】直接利用分数指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：4(x+1)≤7x+10①x−5解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x<72，
∴不等式组的解集为：−2≤x<72，
∴不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．
【解析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，求出非负整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵ABAC=ADCE，∠BAD=∠ECA，
∴△BAD∽△ACE，
∴∠B=∠EAC，
∵∠ACB=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴ACCD=BCAC，
∴AC2=BC⋅CD；
(2)∵∠ADC是△ABD的外角，∠CED是△ACE的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，∠CED=∠CAE+∠ECA，
由(1)可知，∠B=∠EAC，∠BAD=∠ECA，
∴∠ADC=∠CED，
∴CE=CD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BC=2CD，
∴BC=2CE，
由(1)得：AC2=BC⋅CD，
∴AC2=2CE⋅CE，
∴(CEAC)2=12，
即CEAC= 22．
【解析】(1)首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE进而求出△ABC∽△DAC，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
(2)由三角形的外角性质可得：∠ADC=∠B+∠BAD，∠CED=∠CAE+∠ECA，可证得∠ADC=∠CED，则有CE=CD，再结合(1)的结论，以及AD是△ABC的中线，即可求解．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据已知得出△BAD∽△ACE是解题关键．
22.【答案】解：(1)设总共生产了a袋手工汤圆，
依题意得，0.3a450+0.5a300=21，
解得a=9000，
经检验a=9000是原方程的解，
答：总共生产了9000袋手工汤圆；
(2)设促销时每袋应降价x元，
当刚好10天全部卖完时，
依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x)(225+752x)=40500，
整理得：x2−6x+45=0，
Δ=62−4×45<0，
∴方程无解，
∴10天不能全部卖完，
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润：(15−13)[9000−2×225−8(225+752x)]=12600−600x，
∴依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x)(225+752x)+12600−600x=40500，
解得x1=1，x2=3．
∵要促销，
∴x=3，
即促销时每袋应降价3元．
【解析】(1)设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；
(2)设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论．
23.【答案】解：(1)∵直线y1=kx+3和直线y2=ax+b的交点为M(−4,−1)，
∴−1=−4k+3，
∴k=1；
又直线y2=ax+b与坐标轴交于C(−6,0)，
∴−1=−4a+b0=−6a+b，解得：a=−12b=−3；
(2)由(1)知：y1=x+3，y2=−12x−3；
当x=0时，y1=3，y2=−3，当y1=0时，x=−3，
∴A(0,3)，B(−3,0)，D(0,−3)，
∴AO=3，OD=3，OB=3，BC=3，
∴S△BCM=12×3×1=32,S△AOB=12×3×3=92,S△DOM=12×3×4=6，
∴S△BCM+S△AOB=6=S△DOM；
(3)设T(m,0)，
∴BT=|m+3|
∵S△ADM=12AD⋅xM=12×6×4=12，
∴S△ATM=S△ATB+S△BTM=12×|m+3|×4=2|m+3|=12，
∴|m+3|=6，
∴m=−9或m=3；
∴T(−9,0)或T(3,0)．
【解析】(1)把M(−4,−1)代入y1=kx+3，求出k的值，待定系数法求出a，b的值；
(2)求出A，B，D的坐标，分别求出S△BCM，S△AOB，S△DOM，即可得出结论；
(3)设T(m,0)，利用S△ATM=S△ATB+S△BTM=S△ADM，列式计算即可．
本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
24.【答案】解：(1)将点A(8,0)代入抛物线C1：y=−ax2+2x，
得−a⋅82+2×8=0，解得a=14，
得抛物线C1得表达式为y=−14x2+2x；
(2)由抛物线C1和C2形状相同，开口方向相反，设抛物线C2得表达式为y=ax2+bx+c，
把B(0,6)代入抛物线C2：y=ax2+bx+c，得c=6，
则抛物线C2得表达式为y=ax2+bx+6，
由点P在抛物线C1上，设点P的坐标为(m,−am2+2m)，
由点P是抛物线C2的顶点，得−b2a=m24a−b24a=−am2+2m，解得m=3b=−6a，
得点P的坐标为(3,−9a+6)，
即抛物线C2的对称轴为直线x=3；
(3)由点Q是抛物线C1的顶点，得Q(1a,1a)，
过点Q作QN⊥x轴，QM⊥y轴，垂足分别为点N，M，PQ交y轴于点E，如下图所示，
∵Q(1a,1a)，
∴OM=ON=−1a，
∴△OQM是等腰直角三角形，
∴∠QON=∠QOM=45°，
∴∠QON+∠NOE=∠QOM+∠MOF，即∠QOE=∠QOF，
设直线PQ表达式为y=kx+b，
代入Q(1a,1a)，P(3,−9a+6)，得k=1−3ab=3，
∴直线PQ表达式为y=(1−3a)x+3，
把x=0代入y=(1−3a)x+3，得y=3，
得点E的坐标为(0,3)，
∴OE=OF，
∵OQ=OQ，∠QOE=∠QOF，
∴△QOE≌△QOF，
∴∠OQE=∠OQF，
∴QO平分∠PQF．
【解析】(1)将点A的坐标代入抛物线C1的解析式，求出a的值；
(2)通过题意求出抛物线C2的解析式，假设点P的坐标，代入抛物线C2求出m的值，从而得到抛物线C2的对称轴；
(3)过点Q作QN⊥x轴，QM⊥y轴，垂足分别为点N，M，PQ交y轴于点E，利用a表示点P、点Q的坐标，得到各边的数量关系，通过证明△QOE≌△QOF，得到QO平分∠PQF．
本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数顶点的坐标，全等三角形的性质与判定等知识点．
25.【答案】一条边对应相等 确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值 5 3 三边或两边一角或两角一边
【解析】解：(1)由题意得，判定两三角形全等的必要元素是一条边对应相等，解三角形时至少需要知道一条边的原因是确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值；
(2)当∠B和∠C为锐角时，如图所示，过点A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，BD=AB⋅csB=acsB，AD=AB⋅sinB=asinB，
在Rt△ADC中，CD=ADtanC=asinBtanC，AC=ADsinC=asinBsinC，
∴BC=BD+CD=acsB+asinBtanC，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=a+acsB+asinBtanC+asinBsinC；
当∠A和∠C是锐角时，过点B作BD⊥AC于D，
在Rt△ABD中，AD=AB⋅csA=acsA，BD=AB⋅sinA=asinA，
在Rt△BDC中，CD=BDtanC=asinAtanC，BC=BDsinC=asinAsinC，
∴AC=AD+CD=acsA+asinAsinC，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=a+acsA+asinAsinC+asinAsinC；
综上所述，当∠B和∠C为锐角时，△ABC的周长为a+acsB+asinBtanC+asinBsinC；当∠A和∠C是锐角时，△ABC的周长为a+acsA+asinAsinC+asinAsinC；
(3)当梯形是直角梯形时，需要知道三条边的长或两条边和其中一个角，或两个角和一条边，故最小需要3个条件，当梯形不是特殊梯形(不是等腰梯形，直角梯形时)需要知道四条边和一个角或三边和两个角等共5个条件，故最多需要5个条件；
故答案为：5；3；三边或两边一角或两角一边．
(1)根据全等三角形的判定定理和解直角三角形的相关知识求解即可；
(2)分当∠B和∠C为锐角时，当∠A和∠C是锐角时，两种情况从第三个角的顶点作其对边的高，再分别解直角三角形表示出△ABC的三边长即可得到答案；
(3)直角梯形或等腰梯形时需要的条件最小，普通梯形需要的条件最多，据此求解即可．
本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等；
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数．
1.若把分式3xx+y中的x和y的值同时扩大3倍，则分式的值( )
A. 不变B. 扩大9倍C. 扩大3倍D. 缩小到原来的13
2.若一元二次方程(k−1)x2+3x+k2−1=0的一个根为0，则k的值为( )
A. k=0B. k=1C. k=−1D. k=1或k=−1
3.“x的3倍与y的和不小于2”用不等式可表示为( )
A. 3x+y>2B. 3(x+y)>2C. 3x+y≥2D. 3(x+y)≥2
4.已知一组数据70，80，80，85，85，85，则它的众数和中位数分别为( )
A. 85，80B. 85，85C. 85，82.5D. 80，80
5.将四个相同的矩形(长是宽的3倍)，用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有( )
A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种
6.已知b<0时，二次函数y=ax2+bx+a2−1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.4的算术平方根是______．
8.已知AP=2，则点H是AP的黄金分割点(AH
10.某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，则选中男生的可能性是______．
11.某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为60°，那么这个观察点到建筑物的距离为______．
12.抛物线y=ax2−1上有一点P(2,2)，平移该抛物线，使其顶点落在点A(1,1)处，这时点P落在点Q处，则点Q的坐标为______．
13.如图，BFFC=3，G为AF的中点，则BGBE=______．
14.如图，∠CDE=∠B，△ABC与△EDC的周长之比是5：3，那么点A到BC的距离与点E到DC的距离之比是______．
15.在等腰三角形ABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB或AC)的比值也确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)=∠A的对边(底边)∠A的邻边(腰)=BCAB.例：T(60°)=1，那么T(120°)=______．
16.我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点A(2,3)和点B(3,2)为一对“关联点对”.如果反比例函数y=10x在第一象限内的图象上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为3 2，那么这对“关联点对”中，距离x轴较近的点的坐标为______．
17.勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形EFGH组成的．若小正方形的边长是1，每个直角三角形的短的直角边长是3，则大正方形ABCD的面积是______．
18.定义：如图1，对于线段AB的内分点C和外分点D，如果满足ACCB=ADDB，那么称A、B、C、D是“调和点列”.如图2，在△ABC中，点D在AB上，点E在AB的延长线上，连接CE，射线CD、CB与射线AM交于点F、G，AG//CE，若A、B、D、E是调和点列，且AD=2，BE=3，则AFAG的值是______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：−12020+(13)−12−| 3−2|+ 27．
20.(本小题8分)
求不等式组4(x+1)≤7x+10x−5
如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且ABAC=ADCE，∠BAD=∠ECA．
(1)求证：AC2=BC⋅CD；
(2)若AD是△ABC的中线，求CEAC的值．
22.(本小题8分)
正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗.位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉(每天只能生产其中一种)．
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕.据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋.汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
23.(本小题8分)
如图，已知直线y1=kx+3与坐标轴交于A，B两点，直线y2=ax+b与坐标轴交于C(−6,0)，D两点，两直线的交点为M(−4,−1)．
(1)求k，a，b的值；
(2)连接OM，试说明S△BCM+S△AOB=S△DOM(S表示面积)；
(3)x轴上存在点T，使得S△ATM=S△ADM，求出此时点T的坐标．
24.(本小题8分)
已知，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(8,0)，点B的坐标为(0,6).抛物线C1：y=−ax2+2x上有一点P，以点P为顶点的抛物线C2经过点B(点P与点B不重合)，抛物线C1和C2形状相同，开口方向相反．
(1)当抛物线C1经过点A时，求抛物线C1的表达式；
(2)求抛物线C2的对称轴；
(3)当a<0时，设抛物线C1的顶点为Q，抛物线C2的对称轴与x轴的交点为F，联结PQ、QO、FQ，求证：QO平分∠PQF．
25.(本小题8分)
解图形往往与图形的性质密切相关
(1)由已学的全等判定：ASA，SAS，HL，AAS可知
结论1：判定两三角形全等的必要元素是______；
结论2：解三角形时至少需要知道一条边的原因是______；
(2)如图，在锐角△ABC中至少有两个锐角，∠C始终为锐角，设AB长为a，请用△ABC三个角的三角比和a的代数式表示△ABC的周长；
(3)在解各种形状的梯形的过程中，我们最多需要______个条件，最少需要______个条件，最少条件时需要知道的元素可以为______．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意得：9x3x+3y=3xx+y，
则分式的值不变．
故选A
把原式中x换为3x，y换为3y，计算即可做出判断．
此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：把x=0代入一元二次方程(k−1)x2+3x+k2−1=0，
得k2−1=0，
解得k=−1或1；
又k−1≠0，
即k≠1；
所以k=−1．
故选：C．
把x=0代入方程(k−1)x2+3x+k2−1=0，解得k的值．注意：二次项系数不为零．
本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零．
3.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
关系式为：x的3倍+y≥2，把相关数值代入即可．
【解答】
解：根据题意，可列不等式为：3x+y≥2，
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：70，80，80，85，85，85，
最中间的两个数是80，85
则中位数是80+852=82.5；
在这组数据中出现次数最多的是85，
则众数是85；
∴众数和中位数分别为85，82.5
故选：C．
根据众数和中位数的概念分别进行求解即可．
本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5.【答案】C
【解析】解：设小矩形的宽为x，则长为3x；本题可分四种情况：
(1)如图①，矩形的周长为：4x+4x+3x+3x=14x；
(2)如图②，矩形的周长为：3x+3x+4x+4x=14x；
(3)如图③，矩形的周长为：6x+6x+2x+2x=16x；
(4)如图④，矩形的周长为：3x×4×2+2x=26x；
因此大矩形的周长为14x、16x或26x，共三种情况，故选C．
根据题意，则可以拼成的大矩形的图形可以有四种情况，分别求出它们的各自的周长，然后判断所得周长的值有几种情况．
能够根据已知条件拼出不同的图形，注意必须找出所有可能的不同周长值的情况，以免漏解．
6.【答案】C
【解析】解：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以x=−b2a=0，
解得b=0，
与b<0相矛盾；
第3个图，抛物线开口向上，a>0，
经过坐标原点，a2−1=0，
解得a1=1，a2=−1(舍去)，
对称轴x=−b2a=−b2×1>0，
所以b<0，符合题意，
故a=1，
第4个图，抛物线开口向下，a<0，
经过坐标原点，a2−1=0，
解得a1=1(舍去)，a2=−1，
对称轴x=−b2a=−b2×(−1)>0，
所以b>0，不符合题意，
综上所述，a的值等于1．
故选C．
根据抛物线开口向上a>0，抛物线开口向下a<0，然后利用抛物线的对称轴或与y轴的交点进行判断，从而得解．
本题考查了二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系，a的符号由抛物线开口方向确定，难点在于利用图象的对称轴、与y轴的交点坐标判断出b的正负情况，然后与题目已知条件b<0比较．
7.【答案】2
【解析】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
8.【答案】3− 5
【解析】解：∵点H是AP的黄金分割点，AH
∵AP=2，
∴HP=2× 5−12= 5−1，
∴AH=AP−HP=2−( 5−1)=3− 5，
故答案为：3− 5．
根据黄金分割点的定义和AH
【解析】解：2x2−y2=( 2x+y)( 2x−y)，
故答案为：( 2x+y)( 2x−y)．
根据平方差公式进行因式分解即可．
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10.【答案】25
【解析】解：某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，共有19种情况，其中男生被选中的有4种结果，
∴选中男生的可能性是410=25，
故答案为：25．
根据概率公式求解即可．
本题考查可能性的大小，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
11.【答案】5 3米
【解析】解：如图，
由题意得：∠DAC=60°，AB=15米，
∴∠ACB=∠DAC=60°，
∴tan∠ACB=ABCB=15CB= 3，
∴CB=15 3=5 3(米)，
故答案为：5 3米．
根据题意画出示意图，然后根据俯角的定义可得∠DAC=60°，然后可得出∠ACB的度数，进而根据∠ACB的正切值可得出BC的长度，即得出了这个观察点到建筑物的距离．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解答本题的关键是熟练掌握解直角三角形的知识及俯角的定义．
12.【答案】(3,4)
【解析】解：由题意知：抛物线由y=ax2−1平移至y=a(x−1)2+1的过程中，向右平移了1个单位，向上平移了2个单位，则有：
P点向右平移一个单位，得(3,2)，再向上平移两个单位，得(3,4)；
即Q点的坐标为(3,4)．
首先根据平移后顶点A的坐标，判断出抛物线平移的过程，然后再按此方法平移P点即可得到Q点的坐标．
此题主要考查了二次函数图象的平移，能够根据平移规律“左加右减，上加下减”判断出二次函数的平移过程是解答此题的关键．
13.【答案】78
【解析】解：如图，作FH//AC交BG于点H，
∵∠FHG=∠AEG，∠FGH=∠AGE，FG=AG，
∴△FGH≌△AGE(AAS)，
∴GH=GE=12HE，
设GH=GE=m，则HE=2m，
∵△BFH∽△BCE，
∴BHHE=BFFC=3，
∴BH=3HE=6m，
∴BG=BH+GH=6m+m=7m，BE=BH+HE=6m+2m=8m，
∴BGBE=7m8m=78，
故答案为：78．
作FH//AC交BG于点H，先证明△FGH≌△AGE，得GH=GE=12HE，设GH=GE=m，则HE=2m，由FH//AC得△BFH∽△BCE，则BHHE=BFFC=3，可推导出BH=6m，BG=7m，BE=8m，即可求得BGBE=7m8m=78．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
14.【答案】5：3
【解析】解：∵∠CDE=∠B，∠C=∠C，
∴△ABC∽△EDC，
∵△ABC与△EDC的周长之比是5：3，
∴点A到BC的距离与点E到DC的距离之比是5：3，
故答案为：5：3．
根据相似三角形的判定定理得到△ABC∽△EDC，根据相似三角形的性质计算即可．
此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
15.【答案】 3
【解析】解：∠BAC=90°，AB=AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD=60°，
∴BD= 32AB，
∴BC= 3AB，
∴T(120°)= 3．
故答案是： 3．
根据T(A)的定义解答即可．
本题考查了解直角三角形，正确理解T(A)的定义是解题的关键．
16.【答案】(5,2)
【解析】解：设反比例函数y=10x在第一象限内的图象上一对“关联点对”为A(a,b)，B(b,a)且a>b>0，
∴ab=10，
∵这两个点之间的距离为3 2，
∴AB= (a−b)2+(b−a)2=3 2，
∴a−b=3，
由a−b=3ab=10，解得：a=5b=2或a=−2b=−5(舍)，
∴A(5,2)，B(2,5)，
∴距离x轴较近的点的坐标为(5,2)，
故答案为：(5,2)．
根据题意利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求得关联点的坐标，即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、解方程组，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求出反比例函数图象上的关联点．
17.【答案】25
【解析】解：∵EF=1，BE=3，
∴BF=BE+EF=4，
∴S正方形ABCD=4⋅S△BCF+S正方形EFGH=4×12×4×3+1×1=25．
故答案为：25．
由BF=BE+EF结合“小正方形的边长是1，每个直角三角形的短的直角边长是3”即可得出直角三角形较长直角边的长度，结合三角形的面积公式以及正方形面积公式即可得出结论．
本题考查了三角形的面积以及正方形的面积，解题的关键是求出直角三角形的较长直角边长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分割图形求面积法表示出大正方形的面积是关键．
18.【答案】12
【解析】解：∵A、B、D、E是调和点列，
∴ADDB=AEBE，
∴2DB=AE3=5+DB3，
∴DB=1(负值舍去)，
∴AB=3，DE=4，
∵AG//CE，
∴△ADF∽△EDC，△ABG∽△EBC，
∴AFCE=ADDE=12，AGCE=ABBE=1，
∴AF=12CE，AG=CE，
∴AFAG=12，
故答案为：12．
先求出DB=1，通过证明△ADF∽△EDC，△ABG∽△EBC，可得AFCE=ADDE=12，AGCE=ABBE=1，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
19.【答案】解：原式=−1+312−(2− 3)+3 3
=−1+ 3−2+ 3+3 3
=5 3−3．
【解析】直接利用分数指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：4(x+1)≤7x+10①x−5
解不等式②得：x<72，
∴不等式组的解集为：−2≤x<72，
∴不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．
【解析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，求出非负整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵ABAC=ADCE，∠BAD=∠ECA，
∴△BAD∽△ACE，
∴∠B=∠EAC，
∵∠ACB=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴ACCD=BCAC，
∴AC2=BC⋅CD；
(2)∵∠ADC是△ABD的外角，∠CED是△ACE的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，∠CED=∠CAE+∠ECA，
由(1)可知，∠B=∠EAC，∠BAD=∠ECA，
∴∠ADC=∠CED，
∴CE=CD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BC=2CD，
∴BC=2CE，
由(1)得：AC2=BC⋅CD，
∴AC2=2CE⋅CE，
∴(CEAC)2=12，
即CEAC= 22．
【解析】(1)首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE进而求出△ABC∽△DAC，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
(2)由三角形的外角性质可得：∠ADC=∠B+∠BAD，∠CED=∠CAE+∠ECA，可证得∠ADC=∠CED，则有CE=CD，再结合(1)的结论，以及AD是△ABC的中线，即可求解．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据已知得出△BAD∽△ACE是解题关键．
22.【答案】解：(1)设总共生产了a袋手工汤圆，
依题意得，0.3a450+0.5a300=21，
解得a=9000，
经检验a=9000是原方程的解，
答：总共生产了9000袋手工汤圆；
(2)设促销时每袋应降价x元，
当刚好10天全部卖完时，
依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x)(225+752x)=40500，
整理得：x2−6x+45=0，
Δ=62−4×45<0，
∴方程无解，
∴10天不能全部卖完，
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润：(15−13)[9000−2×225−8(225+752x)]=12600−600x，
∴依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x)(225+752x)+12600−600x=40500，
解得x1=1，x2=3．
∵要促销，
∴x=3，
即促销时每袋应降价3元．
【解析】(1)设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；
(2)设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论．
23.【答案】解：(1)∵直线y1=kx+3和直线y2=ax+b的交点为M(−4,−1)，
∴−1=−4k+3，
∴k=1；
又直线y2=ax+b与坐标轴交于C(−6,0)，
∴−1=−4a+b0=−6a+b，解得：a=−12b=−3；
(2)由(1)知：y1=x+3，y2=−12x−3；
当x=0时，y1=3，y2=−3，当y1=0时，x=−3，
∴A(0,3)，B(−3,0)，D(0,−3)，
∴AO=3，OD=3，OB=3，BC=3，
∴S△BCM=12×3×1=32,S△AOB=12×3×3=92,S△DOM=12×3×4=6，
∴S△BCM+S△AOB=6=S△DOM；
(3)设T(m,0)，
∴BT=|m+3|
∵S△ADM=12AD⋅xM=12×6×4=12，
∴S△ATM=S△ATB+S△BTM=12×|m+3|×4=2|m+3|=12，
∴|m+3|=6，
∴m=−9或m=3；
∴T(−9,0)或T(3,0)．
【解析】(1)把M(−4,−1)代入y1=kx+3，求出k的值，待定系数法求出a，b的值；
(2)求出A，B，D的坐标，分别求出S△BCM，S△AOB，S△DOM，即可得出结论；
(3)设T(m,0)，利用S△ATM=S△ATB+S△BTM=S△ADM，列式计算即可．
本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
24.【答案】解：(1)将点A(8,0)代入抛物线C1：y=−ax2+2x，
得−a⋅82+2×8=0，解得a=14，
得抛物线C1得表达式为y=−14x2+2x；
(2)由抛物线C1和C2形状相同，开口方向相反，设抛物线C2得表达式为y=ax2+bx+c，
把B(0,6)代入抛物线C2：y=ax2+bx+c，得c=6，
则抛物线C2得表达式为y=ax2+bx+6，
由点P在抛物线C1上，设点P的坐标为(m,−am2+2m)，
由点P是抛物线C2的顶点，得−b2a=m24a−b24a=−am2+2m，解得m=3b=−6a，
得点P的坐标为(3,−9a+6)，
即抛物线C2的对称轴为直线x=3；
(3)由点Q是抛物线C1的顶点，得Q(1a,1a)，
过点Q作QN⊥x轴，QM⊥y轴，垂足分别为点N，M，PQ交y轴于点E，如下图所示，
∵Q(1a,1a)，
∴OM=ON=−1a，
∴△OQM是等腰直角三角形，
∴∠QON=∠QOM=45°，
∴∠QON+∠NOE=∠QOM+∠MOF，即∠QOE=∠QOF，
设直线PQ表达式为y=kx+b，
代入Q(1a,1a)，P(3,−9a+6)，得k=1−3ab=3，
∴直线PQ表达式为y=(1−3a)x+3，
把x=0代入y=(1−3a)x+3，得y=3，
得点E的坐标为(0,3)，
∴OE=OF，
∵OQ=OQ，∠QOE=∠QOF，
∴△QOE≌△QOF，
∴∠OQE=∠OQF，
∴QO平分∠PQF．
【解析】(1)将点A的坐标代入抛物线C1的解析式，求出a的值；
(2)通过题意求出抛物线C2的解析式，假设点P的坐标，代入抛物线C2求出m的值，从而得到抛物线C2的对称轴；
(3)过点Q作QN⊥x轴，QM⊥y轴，垂足分别为点N，M，PQ交y轴于点E，利用a表示点P、点Q的坐标，得到各边的数量关系，通过证明△QOE≌△QOF，得到QO平分∠PQF．
本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数顶点的坐标，全等三角形的性质与判定等知识点．
25.【答案】一条边对应相等 确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值 5 3 三边或两边一角或两角一边
【解析】解：(1)由题意得，判定两三角形全等的必要元素是一条边对应相等，解三角形时至少需要知道一条边的原因是确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值；
(2)当∠B和∠C为锐角时，如图所示，过点A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，BD=AB⋅csB=acsB，AD=AB⋅sinB=asinB，
在Rt△ADC中，CD=ADtanC=asinBtanC，AC=ADsinC=asinBsinC，
∴BC=BD+CD=acsB+asinBtanC，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=a+acsB+asinBtanC+asinBsinC；
当∠A和∠C是锐角时，过点B作BD⊥AC于D，
在Rt△ABD中，AD=AB⋅csA=acsA，BD=AB⋅sinA=asinA，
在Rt△BDC中，CD=BDtanC=asinAtanC，BC=BDsinC=asinAsinC，
∴AC=AD+CD=acsA+asinAsinC，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=a+acsA+asinAsinC+asinAsinC；
综上所述，当∠B和∠C为锐角时，△ABC的周长为a+acsB+asinBtanC+asinBsinC；当∠A和∠C是锐角时，△ABC的周长为a+acsA+asinAsinC+asinAsinC；
(3)当梯形是直角梯形时，需要知道三条边的长或两条边和其中一个角，或两个角和一条边，故最小需要3个条件，当梯形不是特殊梯形(不是等腰梯形，直角梯形时)需要知道四条边和一个角或三边和两个角等共5个条件，故最多需要5个条件；
故答案为：5；3；三边或两边一角或两角一边．
(1)根据全等三角形的判定定理和解直角三角形的相关知识求解即可；
(2)分当∠B和∠C为锐角时，当∠A和∠C是锐角时，两种情况从第三个角的顶点作其对边的高，再分别解直角三角形表示出△ABC的三边长即可得到答案；
(3)直角梯形或等腰梯形时需要的条件最小，普通梯形需要的条件最多，据此求解即可．
本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等；
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数．
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