黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

这是一份黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了本卷命题范围，已知正数满足，则的最小值为，下列命题中为真命题的是，给定非空集合，如果对于任意的，等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章，第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．集合的真子集的个数是（ ）
A．3B．4C．7D．8
3．已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，，若．则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
7．某健身沙龙开设了游泳、跑步、骑车三项运动，会员中有44人参加游泳运动，42人参加跑步运动，38人参加骑车运动，其中同时参加游泳、跑步、骑车三项运动的有10人，没有参加任何运动的有20人，若健身沙龙共有会员100名，则只参与两个运动项目的有（ ）
A．24人B．26人C．36人D．38人
8．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中为真命题的是（ ）
A．，
B．，
C．若．则“”是“”的充要条件
D．若，则“是无理数”是“是无理数”的充要条件
10．给定非空集合，如果对于任意的，（与可以相等，也可以不相等），都有，，，则称集合是一个闭集合．则（ ）
A．集合是闭集合
B．已知集合是闭集合，若，则
C．存在只含有101个元素的闭集合
D．若集合是闭集合，且，则
11．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．的最大值为1
D．当时，设关于的方程的解分别为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．命题“，”的否定是______．
13．已知集合，，若，则实数的取值范围为______．
14．已知，，满足，若存在实数，使得恒成立，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
16．（15分）
已知，．
（1）若有且只有一个为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17．（15分）
一墙一文化，一村一风景．在美丽乡村创建中，墙绘依托其公共性、视觉冲击等特点担负美化乡村、宣传乡村的使命．如图所示，某乡村拟建一绘画墙，在墙面上画三幅大小相同的矩形图画，每一幅画的面积为9600平方厘米，要求图画上四周空白的宽度为2厘米，每幅图画之间的空隙的宽度为2厘米．设绘画墙的长和宽分别为厘米，厘米．
（1）求关于的关系式；
（2）为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？
18．（17分）
已知二次函数．
（1）若二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，且的面积为3，求实数的值；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求关于的不等式的解集．
19．（17分）
已知集合．
（1）判断3，20，25是否是集合中的元素，并说明理由；
（2）若，，证明：；
（3）证明：存在无穷多个完全平方数属于集合（若一个数能表示成某个整数的平方的形式．则称这个数为完全平方数）．
2024级高一学年上学期10月份月考试题·数学
参考答案、提示及评分细则
1．C ，A错误；，元素与集合不能用符号，B错误；根据子集的定义，有，C正确；集合不是集合中的元素，不能用符号，D错误．
2．A 由题知，所以集合的真子集的个数是．
3．D 取，，，则，故A错误；取，，，则，故B错误；取，，则，故C错误；因为，所以，所以，故D正确．
4．B 由题可知或，，由，可得，所以．
5．B ，当且仅当，时取等号．
6．C 当时，恒成立；当时，由题意，得解得，综上，实数的取值范围为，则“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是．
7．A 设只参加游泳和跑步的有人，只参加骑车和游泳的有人，只参加跑步和骑车的有人，由题意画出Venn图，如图所示，则只参加游泳的有：人，只参加跑步的有：人，只参加骑车的有：人，所以参加运动的有：人，由题意得，解得，所以只参与两个运动项目的有24人．
8．C 不等式可化为，①时，不等式的解集为，不合题意；②当时，不等式的解为，且，若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得；③当时，不等式的解为，且，若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得．综上可知，正数的取值范围为或．
9．ABD 因为，所以，，故A正确；取，则，所以，，故B正确；当时，显然成立，故C错误；因为2是有理数，所以“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故D正确．
10．ABD 由两个偶数的和、差、积都是偶数，得集合是闭集合，故A正确；集合为闭集合，则必有，若，则有，，故B正确；设集合中有101个元素，则除了0外还有非零元素，由B选项可知，显然集合必定有无数个元素，故C错误；由C选项可知，若，则必有，可得，故D正确．
11．BC 由题意知即则，显然当时，，故A错误；
，即，故B正确；，又（当且仅当时取等号），所以，故C正确；
方程可化为，整理得，解得，，则，当时，，故D错误．
12．，命题“，”的否定是“，”．
13．或由题知，集合为一次函数上的点构成的集合，集合为反比例函数上的点构成的集合，若，则方程有非零解，整理得，则，解得或．
14．6 因为，，所以，即，得，所以，当且仅当时等号成立．由，得，整理得，即，所以．因为存在实数，使得恒成立，所以，即的最小值为6．
15．解：（1）由，得或，
由，得，
所以或．
（2）由，得．
①当，即时，，满足，符合题意．
②当，即时，若满足，则有解得．
综上所述，实数的取值范围为．
16．解：（1）由，得；
当时，由，得．
若有且只有一个为真命题，则真假，或假真，
当真假时，解得；
当假真时，解得，
综上，实数的取值范围为或．
（2）由，得．
因为是的充分不必要条件，则且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围为．
17．解：（1）由题意知每一幅矩形图画的长为厘米，宽为厘米，
则有，
整理得．
（2）由（1）知绘画墙墙面的面积，
则，由基本不等式，有，当且仅当时取等号．
故，此时，
故当绘画墙墙面的长为248厘米，宽为124厘米时，绘画墙面的面积最小．
18．解：（1）令，则有，得两点的坐标分别为，
令，得点的坐标为，
故的面积为，解得或．
（2）不等式可化为，
若不等式恒成立，则必有解得，
故若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为．
（3）不等式可化为，
①当时，不等式的解集为或，
②当时，不等式的解集为，
③当时，不等式的解集为，
④当时，不等式的解集为．
19．（1）解：由，知5是集合中最小的元素，故3不是集合中的元素；
由，，知20，25是集合中的元素．
（2）证明：由，，
设，，，，，，，，
则
．
①若，有，，可得；
②若，有
，
又由，有，有，
可得，，可得，
由上知，若，，则．
（3）证明：设，且，
由．
又，，
．
假设，有，又由，有，可得，
又由，，得为有理数，
又由为无理数，与矛盾，故有，
由上可知．
又因为为完全平方数，且有无数多个，所以存在无穷多个完全平方数属于集合．