上海市第六十中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份上海市第六十中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1. 已知等差数列满足，，则 .
2．已知数列an中，a1=1，且an=an-1+n（n≥2且n∈N*），则a4= .
3．空间三个平面最多将空间分成 部分.（用数字回答）
4.已知数列{an}中，a1＝12，an+1＝3an+1，则an= .
5. 已知等比数列是严格减数列，其前项和为若成等差数列，则=_________.
6．已知数列{an}是等差数列，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，满足a1+5a3＝S8，则当Sn取得最大值时，
n＝ ．
7．已知等比数列{an}满足lg2（a1a2a3a4a5）＝5，等差数列{bn}满足b3＝a3，则b1+b2+b3+b4+b5＝ ．
8．设α,β表示两个平面，l表示直线，A,B,C表示三个不同的点，给出下列命题：
①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α；②α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=AB；
③若l⊂α，A∈l，则A∉α； ④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合.
其中假命题的序号是 .
9．已知通项公式为an=kn2-n-2的数列an为严格增数列，则实数k的取值范围是 .
10．在数列{an}中，a1＝1，an＝an﹣1（n≥2，n∈N*），则数列{}的前n项和Tn＝ ．
二、单选题
11．用数学归纳法证明：12+22+⋯+n2+⋯+22+12=n2n2+13（n为正整数）从k到k+1时，等式左边
需增加的代数式是（ ） A．k2+(k+1)2 B．k2+(k+1)2+k2 C．(k+1)2 D．2k+1
12．△AOB的斜二测直观图△A'O'B'如图所示，则△AOB的面积是（ ）
A．2B．2C．22D．4
13．对于数列an，以下命题正确的个数有（ ）
①若an2=4n，n∈N*，则an为等比数列； ②若an⋅an+2=an+12，n∈N*，则an为等比数列；
③若am⋅an=2m+n，m，n∈N*，则an为等比数列. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三、解答题
14.（1）用符号语言表示下列语句，并画出图形：
直线AB，AC分别在平面α，β内，且点A在平面α与平面β的交线l上．
（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是A1B1，AD，BB1的中点，平面α过M，N，P三点，
则平面α截此正方体的截面为一个多边形，（ⅰ）仅用铅笔和无刻度直尺，在图2正方体中画出此截面多边形
（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）；（ⅱ）若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长．
15．已知函数f(x)=1x+1，数列an是正项等比数列，且a10=1，（1）计算f(x)+f(1x)的值；
（2）用书本上推导等差数列前n项和的方法，求fa1+fa2+fa3+⋅⋅⋅+fa18+fa19的值．
16．已知数列an满足a1=1，设该数列的前n项和为Sn，且Sn，Sn+1，2a1成等差数列.
（1）用数学归纳法证明：Sn=2n-12n-1（n是正整数）；（2）求数列an的通项公式.
17.保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署. 2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿. 为了
响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房，预计在今后的
若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米. （1）到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积（以2021年为累计的第一年）将首次不少于475 万平方米？（2）到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
18．设数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an-2n+1，数列bn满足bn=lg2ann+1，其中n∈N*.
（1）证明an2n为等差数列，求数列an的通项公式；（2）求数列an2n+1的前n项和为Tn；
（3）求使不等式1+1b1⋅1+1b3⋅⋅⋅⋅⋅1+1b2n-1≥m⋅b2n+1，对任意正整数n都成立的最大实数m的值.
上海第六十中学2024-2025学年高二上10月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1. 已知等差数列满足，，则 .
1．5【分析】由等差数列的性质可得.
【详解】因为an是等差数列，所以a1+a6=a3+a4，则有12=7+a3，解得a3=5.故答案为：5.
2．已知数列an中，a1=1，且an=an-1+n（n≥2且n∈N*），则a4= .
【分析】由已知得an-an-1=n，然后利用累加法及等差数列求和公式即可求出数列an的通项公式，即可.
【详解】由已知得an-an-1=n，∴(an-an-1)+(an-1-an-2)+⋯+(a2-a1)=n+(n-1)+⋯⋯+2，
即an-a1=2+3+……+n，又a1=1，∴an=1+2+3+⋯⋯+n=n(n+1)2；∴a4=10.
空间三个平面最多将空间分成 部分.（用数字回答）
【分析】根据空间平面的位置关系的知识确定正确答案.
【详解】三个平面将空间最多分成8个部分，如下图所示.故答案为：8.
3．8【分析】当三个平面相交时可得答案.
【详解】当三个平面两两相交时，可讲空间分成最多的部分，分成4部分.故答案为：8.
4.已知数列{an}中，a1＝12，an+1＝3an+1，则an= .
【分析】构造，根据等比数列的定义及通项公式即可求解.
【解答】因为a1＝1，an+1＝3an+1，所以，又a1+12＝1，，
所以是以首项为1，公比为3的等比数列，所以an=3n-1-12.
5. 已知等比数列是严格减数列，其前项和为若成等差数列，则=_________.
5．3【分析】利用等差数列的定义和等比数列的求和公式即可.
【详解】因为a1，2a2，3a3成等差数列，故a1+3a3=4a2，即a1+3a1q2=4a1q，3q2-4q+1=0,解得：q=1或q=13，因为等比数列an是严格减数列，且a1=2>0，故q=13；所以limn→∞Sn=limn→∞21-13n1-13=3.故答案为：3.
6．已知数列{an}是等差数列，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，满足a1+5a3＝S8，则当Sn取得最大值时，
n＝ 9或10 ．【分析】利用等差数列的性质直接求解．
【详解】数列{an}是等差数列，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，满足a1+5a3＝S8，
∴a1+5（a1+2d）＝8a1+28d，解得a1＝﹣9d，∴a10＝0，∵a1＞0，d＜0，∴a＝9或a＝10时，Sn取得最大值．
故答案为：9或10．【点晴】本题考查等差数列的前n项和最大时项数n的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．已知等比数列{an}满足lg2（a1a2a3a4a5）＝5，等差数列{bn}满足b3＝a3，则b1+b2+b3+b4+b5＝ 10 ．
【分析】由已知结合等比数列的性质可求a3，然后结合等差数列的性质即可求解．【详解】因为等比数列{an}中，
lg2（a1a2a3a4a5）＝lg2（a35）＝5，所以a3＝2，因为b3＝a3＝2，则由等差数列的性质得b1+b2+b3+b4+b5＝5b3＝10．
故答案为：10．【点晴】本题主要考查了等差数列与等比数列的性质，属于基础题．
8．设α,β表示两个平面，l表示直线，A,B,C表示三个不同的点，给出下列命题：
①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α；②α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=AB；
③若l⊂α，A∈l，则A∉α；④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合.
其中假命题的序号是 .
【分析】根据平面的基本性质对给出的四个命题分别进行分析、判断后即可得到真命题的个数．
【详解】对于①，根据公理1可知l⊂α，所以①正确；对于②，由题意得平面α,β有公共点，根据公理3可知
α，β相交，且α∩β=AB，所以②正确；对于③，由于l⊂α，A∈l，可得A∈α，所以③不正确；对于④，
由A，B，C三点不共线可得确定一个平面，所以α与β重合，所以④正确．综上可得①②④正确，故选③．
【点睛】本题考查平面的基本性质及命题真假的判定，解题时可根据题意及平面的性质逐个进行判断，关键是
熟记平面的基本性质，属于基础题．
9．已知通项公式为an=kn2-n-2的数列an为严格增数列，则实数k的取值范围是 .
9．13,+∞【分析】依题意有an+1>ann∈N*，解得k>12n+1n∈N*，求出12n+1max即可得k的取值范围.
【详解】an=kn2-n-2，若an为递增数列，则an+1>ann∈N*，有kn+12-n+1-2>kn2-n-2n∈N*，解得k>12n+1n∈N*，则k>12n+1max，n=1时12n+1max=13，所以k>13，则k的取值范围为13，+∞.
故答案为：13，+∞.
10．在数列{an}中，a1＝1，an＝an﹣1（n≥2，n∈N*），则数列{}的前n项和Tn＝ ．
【分析】由条件可得＝•，令bn＝，可得bn＝•bn﹣1，由bn＝b1••…•，
求得bn，进而得到an，可得＝＝2（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到
所求和．【详解】在数列{an}中，a1＝1，an＝an﹣1（n≥2，n∈N*），可得＝•，
令bn＝，可得bn＝•bn﹣1，由bn＝b1••…•＝1••…•＝，
可得an＝，即有＝＝2（﹣），
则前n项和Tn＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＝．故答案为：．【点晴】本题考查
数列的求和，注意运用构造数列法，结合数列恒等式，考查裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于难题．
二、单选题
11．用数学归纳法证明：12+22+⋯+n2+⋯+22+12=n2n2+13（n为正整数）从k到k+1时，等式左边需增加的代数式是（ ） A．k2+(k+1)2 B．k2+(k+1)2+k2 C．(k+1)2 D．2k+1
11．A.【分析】取n=k+1和n=k带入左式相减得到答案.【详解】等式左边需增加的代数式是：
12+22+⋯+k2+k+12+k2+⋯+22+12-12+22+⋯+k2+⋯+22+12=k2+(k+1)2.故选：A.
12．△AOB的斜二测直观图△A'O'B'如图所示，则△AOB的面积是（ ）
A．2B．2C．22D．4
12．D【分析】由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，再计算原图形的面积即可.
【详解】由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示：故△ABC的面积为12×2×4=4.故选: D.
13．对于数列an，以下命题正确的个数有（ ）
①若an2=4n,n∈N*，则an为等比数列； ②若an⋅an+2=an+12,n∈N*，则an为等比数列；
③若am⋅an=2m+n,m,n∈N*，则an为等比数列. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B.【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断各选项.
【详解】由若an2=4n，n∈N*，得an=±2n，an+1=±2n+1，an+1an=±2，即后一项与前一项的比不一定为常数，
故①错误；当an=0时，满足an+12=an⋅an+2，n∈N*，但数列an不是等比数列，故②错误；am⋅an=2m+n，n∈N*，则an≠0，am⋅an+1=2m+n+1，所以an+1an=2，则数列an为2为公比的等比数列，故③正确. 故选：B.
14.（1）用符号语言表示下列语句，并画出图形：
直线AB，AC分别在平面α，β内，且点A在平面α与平面β的交线l上．
（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是A1B1，AD，BB1的中点，平面α过M，N，P三点，
则平面α截此正方体的截面为一个多边形，（ⅰ）仅用铅笔和无刻度直尺，在图2正方体中画出此截面多边形
（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）；（ⅱ）若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长．
【分析】（1）根据文字语言先画出图形，再根据图形用符号语言表示即可；
（2）（ⅰ）尺规作图即可得解；（ⅱ）由题意利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）用符号表示：α∩β＝l，AB⊂α，AC⊂β，AC∩α＝A，AB∩β＝B，
如图：
（2）（ⅰ）在图2正方体中画出此截面多边形如右图所示：
（ⅱ）PQ＝QS，RM＝RT，
截面多边形的周长等于PQ+QN+NR+RM+MP＝NS+NT+MP，NS＝NT＝，AN＝3，
＝＝，＝＝1，所以NT＝NS＝＝3，
MP＝TS﹣MT﹣PS＝﹣2＝3，所以截面多边形的周长等于6+3．
【点晴】（1）本题考查了点、线、面的位置关系，是基础题，正确理解三种语言的转换是解决问题的关键；
（2）考查了尺规作图的应用，考查了数形结合思想和逻辑推理能力，属于中档题．
15．已知函数f(x)=1x+1，数列an是正项等比数列，且a10=1，（1）计算f(x)+f(1x)的值；
（2）用书本上推导等差数列前n项和的方法，求fa1+fa2+fa3+⋅⋅⋅+fa18+fa19的值．
15．（1）1；（2）192/9.5.【分析】根据给定条件计算当x>0时，f(x)+f(1x)的值，再结合等比数列性质计算作答.
【详解】（1）函数f(x)=1x+1，当x>0时，f(x)+f(1x)=11+x+11+1x=11+x+x1+x=1，
（2）因数列an是正项等比数列，且a10=1，则a1a19=a2a18=a3a17=⋯=a102=1，
f(a1)+f(a19)=f(a1)+f(1a1)=1，同理f(a2)+f(a18)=f(a3)+f(a17)=⋯=f(a10)+f(a10)=1，
令S=f(a1)+f(a2)+f(a3)+⋯+f(a18)+f(a19)，又S=f(a19)+f(a18)+f(a17)+⋯+f(a2)+f(a1)，
则有2S=19，S=192，所以fa1+fa2+fa3+⋅⋅⋅+fa18+fa19=192.
故答案为：（1）1；（2）192/9.5.
16．已知数列an满足a1=1，设该数列的前n项和为Sn，且Sn，Sn+1，2a1成等差数列.
（1）用数学归纳法证明：Sn=2n-12n-1（n是正整数）；（2）求数列an的通项公式.
16．（1）证明见解析；（2）an=12n-1.
【分析】（1）先根据题意得到Sn+1,Sn之间的等式关系，再证明n=1时，符合题意，而后假设n=k时，所证成立，最后再根据Sn+1,Sn,an+1之间的关系，推出n=k+1时所证成立即可；（2）根据（1）的结论，结合an=Sn-Sn-1，可得出当n≥2时，an的通项公式，再验证n=1时，是否符合通项公式，最后写出通项公式即可.
【详解】（1）证明：因为Sn，Sn+1，2a1成等差数列，所以2Sn+1=Sn+2a1，
因为a1=1，所以上式可化简为2Sn+1=Sn+2，将Sn+1-Sn=an+1带入上式可得：Sn+1+an+1=2，
当n=1时，S1=21-121-1=1=a1，符合Sn=2n-12n-1，假设当n=k时，有Sk=2k-12k-1成立，
则当n=k+1时，Sk+1=Sk+ak+1，因为Sn+1+an+1=2，所以Sk+1=Sk+2-Sk+1,
所以Sk+1=Sk2+1=2k-12k+1=2k+1-12k，符合Sn=2n-12n-1，故有Sn=2n-12n-1成立；
（2）由（1）可得Sn=2n-12n-1，a1=S1=1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-12n-1-2n-1-12n-2=12n-1，
因为a1=1，符合an=12n-1，故an=12n-1.
17.保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署. 2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿. 为了
响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年
增加5万平方米. （1）到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积（以2021年为累计的第一年）将首次不少于475 万平方米？（2）到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
（1）2030；（2）2026﹒【分析】(1)设保障性租赁住房面积形成数列，由题意可知，是等差数列，
其中，，结合等差数列的前项和公式，即可求解．(2)设新建住房面积形成数列，由题意可知，
是等比数列，其中，，则可得的通项公式，通过求解不等式，即可求解．
【详解】（1）设保障性租赁住房面积形成数列，由题意可知，是等差数列，其中，，
则，令≥475，即，而为正整数，解得，
故到2030年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米；
（2）设新建住房面积形成数列，由题意可知，是等比数列，其中，，
则，由题意知，，则，满足上式不等式的最小正整数，
故到2026年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于．
18．设数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an-2n+1，数列bn满足bn=lg2ann+1，其中n∈N*.
（1）证明an2n为等差数列，求数列an的通项公式；（2）求数列an2n+1的前n项和为Tn；
（3）求使不等式1+1b1⋅1+1b3⋅⋅⋅⋅⋅1+1b2n-1≥m⋅b2n+1，对任意正整数n都成立的最大实数m的值.
18．(1)证明见解析；an=(n+1)⋅2n；(2)Tn=13(4n+83)⋅4n-89；(3)233.
【分析】（1）根据数列递推式可得an-2an-1=2n，整理变形结合等差数列定义即可证明结论，并求得数列的通项
公式；（2）利用错位相减法即可求得答案；（3）将原不等式化为1+11+13⋯1+12n-1≥m2n+1，
即可分离参数，继而构造函数，判断其单调性，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，即可求得答案.
【详解】（1）当n=1时，a1=S1=2a1-4，则a1=4，当n≥2时，an=Sn-Sn-1,∴an-2an-1=2n，
即an2n-an-12n-1=1，即an2n是以a12=2为首项，公差为1的等差数列，故an2n=n+1,∴an=(n+1)⋅2n；
（2）由（1）可得an2n+1=(n+1)⋅4n，故Tn=2×4+3×42+⋯+(n+1)⋅4n，
故4Tn=2×42+3×43+⋯+n⋅4n+(n+1)⋅4n+1，
则-3Tn=2×4+42+43+⋯+4n-(n+1)⋅4n+1=4+4(1-4n)1-4-(n+1)⋅4n+1=83-(4n+83)⋅4n，
故Tn=13(4n+83)⋅4n-89；
（3）bn=lg2ann+1=lg22n=n，则1+1b1⋅1+1b3⋅⋅⋅⋅⋅1+1b2n-1≥m⋅b2n+1，
即1+11+13⋯1+12n-1≥m2n+1，即m≤1+11+13·⋯·1+12n-12n+1对任意正整数n都成立，
令fn=1+11+13·⋯·1+12n-12n+1，则f(n+1)=1+11+13·⋯·1+12n-11+12n+12n+3，
故fn+1fn=2n+22n+1⋅2n+3=4n2+8n+44n2+8n+3>1， 即fn,n∈N+随着n的增大而增大，
故fn≥f1=233，即m≤233，即实数m的最大值为233.【点睛】第三问根据数列不等式恒成立问题求解参数的
最值问题时，要利用分离参数法推得m≤1+11+13⋯⋯1+12n-12n+1对任意正整数n都成立，之后的关键就在于构造函数，
并判断该函数的单调性，从而利用最值求得答案.