2022届上海市第六十中学高三上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份2022届上海市第六十中学高三上学期9月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届上海市第六十中学高三上学期9月月考数学试题 一、填空题1．函数 的定义域为_____.【答案】【解析】根据题意可知，，即可求出结果.【详解】由题意可知，，解得，所以的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查函数的定义域，充分理解函数和的定义域是解决问题的关键．2．已知，命题“若，则或”是______命题（填“真”或“假”）.【答案】真【分析】互为逆否命题的两个命题等价，当原命题不易判断真假时，可以先判断其逆否命题的真假.【详解】原命题和逆否命题互为等价命题，命题的逆否命题“若且，则”显然是真命题，所以原命题也是真命题.故答案为真【点睛】本题考查四种命题的关系，以及判断命题的真假，属于基础题型，四种命题中，原命题和逆否命题等价，否命题和逆命题互为逆否，也是等价命题，所以判断命题真假时，当命题不好判断时，可以转化其逆否命题判断.3．己知，则______．【答案】【分析】将函数化为，即可得到结果.【详解】因为所以故答案为:4．已知，，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】依题意可得，，即，再根据幂函数的性质解得；【详解】解：因为，，则不等式，即，即因为为偶函数，且在上单调递增，所以的解集为故答案为：【点睛】本题考查幂函数的性质的应用，属于基础题.5．函数的单调递增区间为__．【答案】【分析】求得的定义域，由二次函数和对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得所求区间【详解】令，解得或，则的定义域为，由在单调递减，根据复合函数的单调性：同增异减，求出的减区间即为的增区间，再结合的定义域可知的单调递增区间为，故答案为：6．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________.【答案】【分析】对分成和两种情况进行分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.【详解】当时，，满足题意；当时，则，即，解得：，综上：.故答案为：【点睛】本小题主要考查一元二次方程恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.7．已知关于的方程的两根均在区间内，则实数的取值范围是__．【答案】【分析】转化化二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出的取值范围.【详解】令，因为两根均在区间内，所以，，解得故答案为：8．设是定义在R上以2为周期的偶函数，当时，，则函数在上的解析式是________【答案】【详解】设，则，结合题意可得：，设，则，故.综上可得，函数在上的解析式是.9．若函数的值域是，则实数的取值范围是___________．【答案】【详解】试题分析：当时，，又因为函数的值域为，所以当时，能取遍的所有实数，由得，所以应填.【点睛】本题考查分段函数的表示方法与指、对数函数的图象与性质，属中档题；本题的难点是值域为，即与时两部分的值域的并集为全体实数，解决这个问题关键在于正确的转化，把当时，能取遍的所有实数转化为，考查学生的理解能力，体现了数学的化归与转化思想.10．已知函数，其定义域为，若函数在其定义域内有反函数，则实数的取值范围是________【答案】【解析】由函数，其对称轴为，且开口向上，所以若，在为减函数，在为增函数，结合本题目给定的定义域进行分段讨论，从而可求出实数t的取值范围.【详解】函数，其对称轴为，且开口向上，所以若，在为减函数，在为增函数， 若，即，则在定义域上单调递增，所以具有反函数； 若，即，则在定义域上单调递减，所以具有反函数； 当，即时，由于区间关于对称轴的对称区间是，于是当或，即或时，函数在定义域上满足一一对应关系，具有反函数．综上，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了函数的单调性、对称性、反函数，以及分段函数的定义域、值域等有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题型.若要求一函数的反函数，首先要求出此函数的单调区间，最好求出对应的值域，然后在各个单调区间进行运算求解，并将x，y进行互换，定义域与值域互换，从而得到反函数.11．函数的图象绕着坐标原点旋转弧度，若仍是函数图象，则可取值的集合为________【答案】【解析】以对勾函数的渐近线为参照并结合其为奇函数，利用数形结合即可得到时，绕着坐标原点旋转弧度时，可取值的集合.【详解】根据对勾函数的性质可知函数的渐近线方程为和，若仍是函数图像，则函数的图象与垂直于轴的直线仅有一个交点，结合图象可知 两条渐近线的夹角为，以两条渐近线为参照，结合函数为奇函数，可知时逆时针旋转时，仍为函数.故答案为：【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，函数的概念及函数的奇偶性，属于中档题.12．已知函数为偶函数，为奇函数，其中为复数，则__．【答案】【分析】根据奇函数和偶函数定义可确定和，知是方程的两根，由此可确定，验证可知具有周期性，周期为，由此可计算求得结果.【详解】为偶函数，，即，，即；为奇函数，，即，，是方程的两根，解得：，不妨令，，，，；同理可得：，，；则具有周期性，周期均为，具有周期性，周期为，又，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用复数运算的周期性求值的问题，解题关键是能够根据奇偶性的定义确定的具体取值，从而验证出具有周期性. 二、单选题13．若，则下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】通过反例，，可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确.【详解】若，，则，，则A、B错误；若，，则，则C错误；，，又，，则D正确.故选：D.14．定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可知，将化为，再根据定义域和单调性即可求解.【详解】∵是偶函数，，故可变形为，∵在区间上单调递减，故.故选：C.15．定义在实数集上的奇函数满足，当时，若，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抽象函数关系式和奇函数的定义可整理求得的周期为，利用周期和奇偶性可整理得到，由此构造方程求得结果.【详解】由得：，又为上的奇函数，即，，，是以为周期的周期函数，，，，解得：.故选：【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求解参数值的问题，解题关键是能够利用奇偶性和抽象函数关系式确定函数的周期，进而利用周期性和奇偶性求得函数值.16．关于函数，有下列命题：①函数的图象关于轴对称；②当或时，为增函数；③无最大值，也无最小值．其中正确命题的个数是（   ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据偶函数的定义判断①；根据对勾函数及对数函数的单调性可判断②；根据基本不等式及偶函数的性质可判断③.【详解】①定义域为，又满足，所以函数的图象关于轴对称，正确；②当时是增函数；当时，函数是增函数，根据复合函数知，当或时是增函数，正确；③（当且仅当时等号成立），又是偶函数，所以函数的最小值是，不正确．故选:C. 三、解答题17．设函数定义域为集合，函数定义域为集合.（1）求集合和；（2）已知，满足，且是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）根据对数函数和二次根式的定义求得函数定义域；（2）求出，根据充分条件可得的范围．【详解】（1）由得，即或，解得或，∴，由，得，，∴．（2）由（1），，，，时，，∵是的充分条件，∴．【点睛】本题考查求与对数函数、幂函数有关的函数的定义域，考查由充分条件求参数范围，解题方法是根据定义逐步求解即可．属于基础题．18．已知满足，求的最大值与最小值及相应的x的值．【答案】当时，取最小值为；当时，取最大值为．【分析】由条件求得，化简函数y的解析式为，由此可得y的最大值与最小值及相应的x的值.【详解】由题意，解得，，又，当时，，当时，，即当时，；当时，．19．新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投入成本为.当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品售价为0.05万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完.（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（Ⅱ）该公司决定将此药品所获利润的用来捐赠防疫物资.当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，可捐赠10万元物资款.【解析】（Ⅰ）根据题意得千件药品销售额为万元，进而得；（Ⅱ）当时，由二次函数性质得当时，取得最大值万元，当时，由基本不等式得当时，取得最大值1000万元，进而得年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，可捐赠10万元物资款.【详解】（Ⅰ）因为每件药品售价为0.05万元，则千件药品销售额为万元，依题意得：当时，.当时，.所以.（Ⅱ）当时，.此时，当时，取得最大值万元.当时，.此时，即时，取得最大值1000万元.由于，所以当年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，此时可捐赠10万元物资款.【点睛】关键点点睛：本题考查数学应用题，解决问题的关键是根据题意，建立数学模型，将实际问题数学化，再根据数学二次函数最值与基本不等式的知识求解得答案，最后回归实际应用问题，作答，考查知识迁移应用能力，数学建模能力，是中档题.20．已知函数.(1)求函数的值域；(2)判断并证明函数的单调性；(3)已知，求关于的不等式的解集.【答案】(1)(2)增函数，证明见解析(3)答案见解析 【分析】（1）利用可解不等式求得函数值域；（2）任取，由可得结论；（3）将所求不等式化为，根据单调性可整理得到，分别在、、和的情况下，根据一元二次不等式的解法求得结果.【详解】（1）令，则，，，即，解得：，即的值域为.（2）为定义在上的增函数.证明如下：任取，且，则；，，又，，，为定义在上的增函数.（3）为增函数且，由得：，即；当时，不等式为，解得：；当时，令，解得：，，则当，即时，不等式的解为；当，即时，不等式的解为；当，即时，不等式的解为；综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.21．已知函数，函数的图像与函数的图像关于直线对称.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围；（3）设函数，试用列举法表示集合.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】(1)根据函数的图像与函数的图像关于直线对称，可知两函数互为反函数，从而求出函数的解析式; (2)根据函数的单调性建立等式关系,在有两个不等的根,从而求出p的范围;(3)先求出函数的值域,然后根据值域中的整数来求相应的的值,即可求出集合M.【详解】(1)因为函数的图像与函数的图像关于直线对称，所以函数与函数互为反函数。则(2) 函数在区间上单调递增函数在区间上的值域为， 即，在有两个不等的根,，解得(3) 又易得函数的值域为，此时【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解,以及函数的值域和列举法,同时考查了分析问题,解决问题的能力,属于一般性题目。.