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苏科版数学七年级上册全程通关培优(专项卷+章节复习+期中期末备考)期末压轴题型专练(解答题30题)(特训（学生版+解析）)
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这是一份苏科版数学七年级上册全程通关培优(专项卷+章节复习+期中期末备考)期末压轴题型专练(解答题30题)(特训（学生版+解析）)，共48页。试卷主要包含了44，25．，5×18+5×，5x+2等内容，欢迎下载使用。
试题说明：精选各地名校期中期末真题中难度题目，对苏科版七年级上册1-6章知识点内容强化巩固，优选30道解答题，结合易错，常考类题型着重复习，进一步提升学生的解题技巧，减少失误，优化方法。加强几何与计算的综合能力
1．（4分）（2016秋•江阴市期末）如图，直线AB、CD相交于O，∠2﹣∠1＝15°，∠3＝130°．
（1）求∠2的度数；
（2）试说明OE平分∠COB．
2．（4分）（2022秋•亭湖区期末）已知x＝3是关于x的方程（k+3）x﹣10＝3x﹣2k的解．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是直线AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．
（4分）（2022秋•亭湖区期末）先化简，再求值：a2﹣（3a2﹣2b2）+3（a2﹣b2），其中a＝﹣2，b＝3．
4．（4分）（2022秋•大丰区期末）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
（1）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）： ；
（2）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
5．（6分）（2022秋•仪征市期末）如图，∠AOB＝120°，射线OC在平面内．
（1）若∠AOC与∠BOC互补，则∠BOC＝ ；
（2）射线OC绕点O从射线OA的反向延长线的位置出发，顺时针旋转角α（0°＜α＜180°），OM平分∠AOC．
①若∠BOC＝90°，则∠MOB的度数为 ；
②是否存在α的值，使得∠MOC与∠BOC互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由．
6．（6分）（2022秋•惠山区校级期末）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度为a米/秒．
（1）若a＝1，求两人第一次相遇所用的时间；
（2）若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值．
7．（4分）（2022秋•惠山区校级期末）如图是用11块完全相同的小正方体搭成的几何体．
（1）请在方格中分别画出它的主视图、左视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体．
8．（4分）（2022秋•泗阳县期末）如图，是由几个大小完全相同的小正方体垒成的几何体．
（1）请分别画出你所看到的三视图；
（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和主视图不变，最多可以再添加 个小正方体．
9．（6分）（2022秋•丹徒区期末）如图，∠AOB内部有一射线OC，OC⊥OA，∠AOC与∠BOC的度数比为3：2．射线OM从OA出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线ON从OC出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线ON与射线OB重合后，立即以原速逆时针旋转，当ON与OC重合后再次改变方向顺时针向OB旋转（即ON在OC与OB之间来回摆动），当OM与OC重合时，OM与ON都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．
（1）t＝1时，∠MON＝ °；
（2）当t为何值时，OC恰好是∠MON的平分线；
（3）在旋转的过程中，作∠CON的角平分线OP，是否存在某个时间段，使得∠MOP的度数保持不变？如果存在，求出∠MOP的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由．
10．（5分）（2022秋•丹徒区期末）已知关于m的方程的解也是关于x的方程2（x﹣8）﹣n＝6的解．
（1）求m、n的值；
（2）如图，数轴上，O为原点，点M对应的数为m，点N对应的数为n．
①若点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，求线段PQ的长度；
②若点P从点N出发以1个单位/秒的速度沿数轴正方向运动，点Q从点M出发以2个单位/秒的速度沿数轴负方向运动，经过 秒，P、Q两点相距3个单位．
11．（4分）（2022秋•太仓市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）如图中与∠COE互补的角是 ；（把符合条件的角都写出来）
（2）若∠AOD＝∠EOF，求∠AOD的度数．
12．（5分）（2022秋•玄武区校级期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如表：
（1）小明家3月份用水量为20m3，应缴纳水费 元；
（2）设某户某月的用水量为xm3，应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示）
（3）小红家6月份和7月份的用水量共50m3，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为 m3， m3．
13．（4分）（2022秋•玄武区校级期末）如图是由9个大小相同的小正方体组成的简单几何体．
（1）画出该几何体的三视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持主视图和俯视图不变，最多可以添加 块小正方体．
14．（6分）（2022秋•海门市期末）已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部，∠COD＝60°．
（1）如图1，若∠BOD＝30°，求∠AOC的度数；
（2）如图2，若OE平分∠BOC，请说明：∠AOC＝2∠DOE；
（3）如图3，若在∠AOB的外部分别作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，试探究∠AOP，∠BOQ，∠COD三者之间的数量关系，并说明理由．
15．（6分）（2022秋•秦淮区期末）已知∠AOB＝α，∠COD＝β，保持∠AOB不动，∠COD的OC边与OA边重合，然后将，∠COD绕点O按顺时针方向任意转动一个角度γ（0°≤γ≤360°），（本题中研究的其它角的度数均小于180°）
（1）[特例分析]
如图1，若γ＝30°，α＝β＝90°，则∠BOD＝ °，∠AOD+∠BOC＝ °．
（2）[一般化研究]
如图2，若α+β＝180°，随着γ的变化，探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由．
（3）[继续一般化]
随着γ的变化，直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系、（结果用含α、β的代数式表示）．
16．（6分）（2022秋•太仓市期末）如图1，将一副三角板摆放在直线MN上，在三角板OAB和三角板OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，∠AOB＝45°，∠COD＝30°．
（1）保持三角板OCD不动，当三角板OAB旋转至图2位置时，∠BOD与∠AON有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）如图3，若三角板OAB开始绕点O以每秒6度的速度逆时针旋转的同时、三角板OCD也绕点O以每秒3度的速度逆时针旋转，当OB旋转至射线OM上时，两块三角板同时停止转动．设旋转时间为t秒，则在此过程中，是否存在t，使得∠BOD+∠AON＝60°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
17．（4分）（2022秋•太仓市期末）一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的6折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元．问：
（1）每件服装的标价、成本各多少元？
（2）为保证5%的利润，最多能打几折？
18．（5分）（2022秋•秦淮区期末）阅读解方程的途径．
（1）按照图1所示的途径，填写图2内空格．
① ；
② ．
（2）已知关于x的方程+c＝的解是x＝1或x＝2（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，k≠0）的解（用含k、m的代数式表示）．
19．（4分）（2022秋•高新区期末）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝x2﹣2x﹣y+xy﹣5
（1）求A﹣3B；
（2）若（x+y﹣）2+|xy+1|＝0，求A﹣3B的值；
（3）若A﹣3B的值与y的取值无关，求x的值．
20．（6分）（2022秋•广陵区校级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M、点N表示的数分别为m、n，则M、N两点之间的距离MN＝|m﹣n|，线段MN的中点表示的数为．如图，数轴上点M表示的数为﹣1，点N表示的数为3．
（1）直接写出：线段MN的长度是 ，线段MN的中点表示的数为 ；
（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：|x+1|+|x﹣3|有最小值是 ，|x+1|﹣|x﹣3|有最大值是 ；
（3）点S在数轴上对应的数为x，且x是方程2x﹣1＝x+4的解，动点P在数轴上运动，若存在某个位置，使得PM+PN＝PS，则称点P是关于点M、N、S的“麓山幸运点”，请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”？若存在，则求出所有“麓山幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由．
21．（6分）（2022秋•江都区期末）如图，点O在直线AB上，在同一平面内，以O为顶点作直角∠COD．射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD．
（1）如图1，当∠AOC＝40°时，∠AOE＝ °，∠BOF＝ °．
（2）如图1，猜想∠AOE与∠BOF的数量关系，并说明理由．
（3）直接写出图2和图3中，∠AOE与∠BOF的数量关系．图2： ；图3： ．
22．（6分）（2022秋•连云港期末）如图1，点O是直线AB上一点，射线OC从OA开始以每秒3°的速度绕点O顺时针转动，射线OD从OB开始以每秒5°的速度绕点O逆时针转动，当OC、OD相遇时，停止运动；将∠AOC、∠BOD分别沿OC、OD翻折，得到∠COE、∠DOF，设运动的时间为t（单位：秒）
（1）如图2，当OE、OF重合时，∠COD＝ °；
（2）当t＝10时，∠EOF＝ °，当t＝12时，∠EOF＝ °；
（3）如图3，射线OP在直线AB的上方，且∠AOP＝70°，在运动过程中，当射线OE、OP、OF其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值．
23．（3分）（2022秋•溧水区期末）如图是7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体，请在方格纸中用实线画出该几何体的主视图，左视图和俯视图．用若干个棱长为1cm的小正方体搭成如图所示的几何体．
24．（6分）（2022秋•连云港期末）某电商销售A、B两种产品，相关信息如表：
（1）该电商十月份备货A、B两种产品一共用去31200元，其中A产品的数量比B产品数量的多40件，A、B两种产品各备货多少件？
（2）该电商准备在十一月份的“双十一”活动中采取以下的优惠政策：A产品实行“买五免一”成组销售（每5件商品为一组，每买5件商品可以获得其中1件商品免费的优惠活动），B产品打八五折．
①A产品实行的“买五免一”的优惠活动相当于每件A产品打 折；
②若A、B两种产品均全部售完，则“双十一”期间这两种商品的总利润将比十月份增加5000元．该电商计划为“双十一”备货A产品500件，则B产品的备货数量是多少件？
25．（6分）（2022秋•高邮市期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣10、50，点P从点B开始沿数轴的负方向运动．
（1）在点P的运动过程中，若点P与点A的距离是线段AB长度一半时，点P对应的数是 ；
（2）若点P的运动速度为6个单位长度/分钟，在点P的运动过程中，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍，求点P的运动时间；
（3）如图，若点Q在以原点O为圆心，OA为半径的圆上，∠QOB＝60°，点以Q以20°/分钟的速度顺时针运动，若点Q在运动一圈的时间内，P、Q两点能相遇，求点P的速度．
26．（4分）（2022秋•秦淮区期末）先化简，再求值：7a2b+（﹣4a2b+5ab2）﹣（2a2b﹣3ab2），其中a＝﹣1，b＝2．
27．（5分）（2022秋•高新区期末）甲、乙两个旅行团同时去苏州旅游，已知乙团人数比甲团人数多4人，两团人数之和恰等于两团人数之差的18倍．
（1）问甲、乙两个旅行团的人数各是多少？
（2）若乙团中儿童人数恰为甲团中儿童人数的3倍少2人，某景点成人票价为每张100元，儿童票价是成人票价的六折，两旅行团在此景点所花费的门票费用相同，求甲、乙两团儿童人数各是多少？
28．（5分）（2022秋•兴化市校级期末）甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如表：
甲班分两次共购买苹果80千克（第二次多于第一次），共付出185元，乙班则一次购买苹果80千克．
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？
29．（6分）（2021春•大连期末）如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
30．（6分）（2022秋•兴化市校级期末）某商场购进一批西服，进价为每套250元，原定每套以290元的价格销售，这样每天可销售200套．如果每套比原销售价降低10元销售，则每天可多销售100套．该商场为了确定销售价格，作了如下测算，请你参加测算，并由此归纳得出结论．（每套西服的利润＝每套西服的销售价﹣每套西服的进价）．
（1）按原销售价销售，每天可获利润 元；
（2）若每套降低10元销售，每天可获利润 元；
（3）如果每套销售价降低10元，每天就多销售100套，每套销售价降低20元，每天就多销售200套，按这种方式，若每套降低10x元（0≤x≤4，x为正整数）请列出每天所获利润的代数式 ；
（4）计算x＝2和x＝3时，该商场每天获利润多少元？
（5）根据以上的测算，如果你是该商场的经理，你将如何确定商场的销售方案？
2023-2024学年苏科版数学七年级上册期末压轴题型专练（解答题30题）
试题满分：150分 考试时间：150分钟 试卷难度：0.44
试题说明：精选各地名校期中期末真题中难度题目，对苏科版七年级上册1-6章知识点内容强化巩固，优选30道解答题，结合易错，常考类题型着重复习，进一步提升学生的解题技巧，减少失误，优化方法。加强几何与计算的综合能力
1．（4分）（2016秋•江阴市期末）如图，直线AB、CD相交于O，∠2﹣∠1＝15°，∠3＝130°．
（1）求∠2的度数；
（2）试说明OE平分∠COB．
解：（1）∵∠3＝130°，∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠3＝50°，
∵∠2﹣∠1＝15°，
∴∠2＝15°+∠1＝65°；
（2）∵∠1＝50°，∠2＝65°，∠1+∠COE+∠2＝180°，
∴∠COE＝65°，
∴∠COE＝∠2
∴OE平分∠COB．
2．（4分）（2022秋•亭湖区期末）已知x＝3是关于x的方程（k+3）x﹣10＝3x﹣2k的解．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是直线AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．
（1）把x＝﹣3代入原方程得：﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k，
解得：k＝2；
（2）当k＝2时，BC＝2AC，AB＝6cm，
∴AC＝2cm，BC＝4cm，
当C在线段AB上时，如图1，
∵D为AC的中点，
∴；
当C在BA的延长线时，如图2，
∵BC＝2AC，AB＝6cm，
∴AC＝6cm，
∵D为AC的中点，
∴，
∴CD为1cm或3cm．
3．（4分）（2022秋•亭湖区期末）先化简，再求值：a2﹣（3a2﹣2b2）+3（a2﹣b2），其中a＝﹣2，b＝3．
原式＝a2﹣3a2+2b2+3a2﹣3b2
＝a2﹣b2；
当a＝﹣2；b＝3时，
原式＝（﹣2）2﹣32
＝4﹣9
＝﹣5．
4．（4分）（2022秋•大丰区期末）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
（1）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）： 26cm2 ；
（2）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
解：（1）这个几何体的表面积＝2（4+4+5）＝26（cm2），
故答案为：26cm2．
（2）三视图如图所示．
5．（6分）（2022秋•仪征市期末）如图，∠AOB＝120°，射线OC在平面内．
（1）若∠AOC与∠BOC互补，则∠BOC＝ 30° ；
（2）射线OC绕点O从射线OA的反向延长线的位置出发，顺时针旋转角α（0°＜α＜180°），OM平分∠AOC．
①若∠BOC＝90°，则∠MOB的度数为 105° ；
②是否存在α的值，使得∠MOC与∠BOC互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图1所示，当OC、OB在OA的同侧时，
∵∠AOC与∠BOC互补，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOC+∠BOC+120°＝180°，
∴∠BOC＝30°；
如图2所示，当OC、OB在OA的两侧时，
∵∠AOC与∠BOC互补，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOC+∠BOC﹣120°＝180°，
∴∠BOC＝150°；
综上所述，∠BOC＝30°或∠BOC＝150°；
（2）①如图，∵∠BOC＝90°，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝30°，
∵OM平分∠AOC，
∴，
∴∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝105°；
②如图3所示，当OC在OB左侧时，
∵∠MOC与∠BOC互余，
∴∠BOC＝90°﹣∠MOC，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠MOC，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝60°，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝∠MOC﹣30°，
∵∠COD+∠AOC＝180°，
∴2∠MOC+∠MOC﹣30°＝180°，
∴∠MOC＝70°，
∴α＝∠COD＝40°；
如图4所示，当OC在OB右侧时，
∵∠MOC与∠BOC互余，
∴∠BOM＝∠BOC+∠MOC＝90°，
∴∠AOM＝180°﹣∠BOD﹣∠BOM＝30°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOM＝60°，
∴α＝∠COD＝180°﹣∠AOC＝120°；
综上所述，存在α＝40°或α＝120°使得∠MOC与∠BOC互余．
6．（6分）（2022秋•惠山区校级期末）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度为a米/秒．
（1）若a＝1，求两人第一次相遇所用的时间；
（2）若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值．
（1）设小红、爷爷两人第一次相遇所用的时间为x秒，
根据题意，得：3x﹣x＝200，
解这个方程，得：x＝100．
答：小红、爷爷两人第一次相遇所用的时间100秒．
（2）①当a＞3时，
根据题意，得：80a﹣80×3＝100，
解得：a＝4.25．
②当a＜3时，
根据题意，得：80×3﹣80a＝200，
解得：a＝0.5．
答：a的值为0.5或者4.25．
7．（4分）（2022秋•惠山区校级期末）如图是用11块完全相同的小正方体搭成的几何体．
（1）请在方格中分别画出它的主视图、左视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加 4 个小正方体．
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
故如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加4个小正方体．
故答案为：4．
8．（4分）（2022秋•泗阳县期末）如图，是由几个大小完全相同的小正方体垒成的几何体．
（1）请分别画出你所看到的三视图；
（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和主视图不变，最多可以再添加 3 个小正方体．
解：（1）图形如下：
（2）保持俯视图和主视图不变，最多可往第2列前面的1个几何体上放一个小正方体，在第3列前面的1个几何体上放2个小正方体，
2+1＝3（个）．
故最多可以再添加3个小正方体．
故答案为：3．
9．（6分）（2022秋•丹徒区期末）如图，∠AOB内部有一射线OC，OC⊥OA，∠AOC与∠BOC的度数比为3：2．射线OM从OA出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线ON从OC出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线ON与射线OB重合后，立即以原速逆时针旋转，当ON与OC重合后再次改变方向顺时针向OB旋转（即ON在OC与OB之间来回摆动），当OM与OC重合时，OM与ON都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．
（1）t＝1时，∠MON＝ 100 °；
（2）当t为何值时，OC恰好是∠MON的平分线；
（3）在旋转的过程中，作∠CON的角平分线OP，是否存在某个时间段，使得∠MOP的度数保持不变？如果存在，求出∠MOP的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解：（1）当t＝1时，∠AOM＝10°，∠CON＝20°，
∴∠COM＝∠AOC﹣∠AOM＝90°﹣10°＝80°，
∴∠MON＝∠COM+∠CON＝100°；
故答案为：100；
（2）∵OC⊥OA，∠AOC与∠BOC的度数比为3：2，
∴∠AOC＝90°，∠BOC＝60°，
∴ON从OC旋转到OB（或从OB旋转到OC）需要60°÷20°＝3（秒），OM从OA旋转到OC需要90°÷10°＝9（秒），
当0≤t≤3时，∠COM＝90°﹣10°t，∠CON＝20°t，
∵OC恰好是∠MON的平分线，
∴90°﹣10°t＝20°t，
解得t＝3；
当3＜t≤6时，∠COM＝90°﹣10°t，∠CON＝60°﹣20°（t﹣3），
∵OC恰好是∠MON的平分线，
∴90°﹣10°t＝60°﹣20°（t﹣3），
解得t＝3（舍去）；
当6＜t≤9时，∠COM＝90°﹣10°t，∠CON＝20°（t﹣6），
∵OC恰好是∠MON的平分线，
∴90°﹣10°t＝20°（t﹣6），
解得t＝7；
综上所述，当t为3或7时，OC恰好是∠MON的平分线；
（3）存在某个时间段，使得∠MOP的度数保持不变，理由如下：
当0≤t≤3时，∠COM＝90°﹣10°t，∠CON＝20°t，
∵OP平分∠CON，
∴∠COP＝∠CON＝10°t，
∴∠MOP＝∠COM+∠COP＝90°﹣10°t+10°t＝90°，
∴0≤t≤3时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP＝90°；
当3＜t≤6时，∠COM＝90°﹣10°t，∠CON＝60°﹣20°（t﹣3）＝120°﹣20°t，
∵OP平分∠CON，
∴∠COP＝∠CON＝60°﹣10°t，
∴∠MOP＝∠COM+∠COP＝90°﹣10°t+60°﹣10°t＝150°﹣20°t，
∴3＜t≤6时，∠MOP的度数随t的改变而改变；
当6＜t≤9时，∠COM＝90°﹣10°t，∠CON＝20°（t﹣6）＝20°t﹣120°，
∵OP平分∠CON，
∴∠COP＝∠CON＝10°t﹣60°，
∴∠MOP＝∠COM+∠COP＝90°﹣10°t+10°t﹣60°＝30°，
∴6＜t≤9时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP＝30°；
综上所述，0≤t≤3时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP＝90°；6＜t≤9时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP＝30°．
10．（5分）（2022秋•丹徒区期末）已知关于m的方程的解也是关于x的方程2（x﹣8）﹣n＝6的解．
（1）求m、n的值；
（2）如图，数轴上，O为原点，点M对应的数为m，点N对应的数为n．
①若点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，求线段PQ的长度；
②若点P从点N出发以1个单位/秒的速度沿数轴正方向运动，点Q从点M出发以2个单位/秒的速度沿数轴负方向运动，经过 3或5 秒，P、Q两点相距3个单位．
解：（1）解方程得，m＝10，
∵方程2（x﹣8）﹣n＝6的解为x＝10，
∴4﹣n＝6，
解得n＝﹣2，
∴m、n的值分别为10，﹣2；
（2）①∵点M对应的数为10，点N对应的数为﹣2，点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，
∴OP＝ON＝1，OQ＝OM＝5，
∴PQ＝OP+OQ＝1+5＝6；
②设经过x秒P、Q两点相距3个单位，
根据题意得：﹣2+x﹣（10﹣2x）＝3或（10﹣2x）﹣（﹣2+x）＝3，
解得x＝5或x＝3，
故经过3秒或5秒，A、B两点相距3个单位．
故答案为：3或5．
11．（4分）（2022秋•太仓市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）如图中与∠COE互补的角是 ∠EOD，∠AOF ；（把符合条件的角都写出来）
（2）若∠AOD＝∠EOF，求∠AOD的度数．
解：（1）∵∠COE+∠EOD＝180°，
∴∠EOD与∠COE互补；
∵∠COE+∠BOC＝90°，∠BOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠BOF，
∵∠BOF+∠AOF＝180°，
∴∠COE+∠AOF＝180°，
∴∠AOF与∠COE互补；
综上：∠EOD和∠AOF与∠COE互补．
故答案为：∠EOD，∠AOF．∠∠
（2）设∠AOD＝x，则∠EOF＝5x，∠EOC＝90°﹣x，
∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等），
∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝90°+90°﹣x＝5x，
即6x＝180°，
解得：x＝30°．
∴∠AOD＝30°．
12．（5分）（2022秋•玄武区校级期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如表：
（1）小明家3月份用水量为20m3，应缴纳水费 73 元；
（2）设某户某月的用水量为xm3，应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示）
（3）小红家6月份和7月份的用水量共50m3，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为 16 m3， 34 m3．
解：（1）根据题意得：3.5×18+5×（20﹣18）
＝3.5×18+5×2
＝63+10
＝73（元）．
故答案为：73；
（2）根据题意得：当x≤18时，应缴纳水费3.5x元；
当18＜x≤25时，应缴纳水费3.5×18+5（x﹣18）＝（5x﹣27）元；
当x＞25时，应缴纳水费3.5×18+5×（25﹣18）+7（x﹣25）＝（7x﹣77）元．
∴应缴纳水费元；
（3）设小红家6月份的用水量为ym3，则7月份的用水量为（50﹣y）m3．
当y≤18时，3.5y+7（50﹣y）﹣77＝217，
解得：y＝16；
当18＜y＜25时，5y﹣27+7（50﹣y）﹣77＝217，
解得：y＝14.5（不符合题意，舍去）．
∴y＝16，
∴50﹣y＝50﹣16＝34，
∴小红家6月份的用水量为16m3，7月份的用水量为34m3．
故答案为：16，34．
13．（4分）（2022秋•玄武区校级期末）如图是由9个大小相同的小正方体组成的简单几何体．
（1）画出该几何体的三视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持主视图和俯视图不变，最多可以添加 5 块小正方体．
解：（1）如图，三视图即为所求．
（2）主视图和俯视图不变，最多可以添加5块小正方体（俯视图中2+2+1＝5）．
故答案为：5．
14．（6分）（2022秋•海门市期末）已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部，∠COD＝60°．
（1）如图1，若∠BOD＝30°，求∠AOC的度数；
（2）如图2，若OE平分∠BOC，请说明：∠AOC＝2∠DOE；
（3）如图3，若在∠AOB的外部分别作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，试探究∠AOP，∠BOQ，∠COD三者之间的数量关系，并说明理由．
解（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝120°﹣60°＝60°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠AOC＝60°﹣30°＝30°；
（2）∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC，
∵∠EOD＝∠COD﹣∠COE，∠COD＝60°，
∴∠EOD＝60°﹣∠BOC，
∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝120°﹣∠BOC，
∴∠AOC＝2∠EOD；
（3）∵∠AOP+∠AOC＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠AOC，
∵∠BOQ+∠BOD＝90°，
∴∠BOQ＝90°﹣∠BOD，
∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣（∠AOC+∠BOD）＝180°﹣（∠AOB﹣∠COD），
∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣（120°﹣60°）＝120°＝2×60°，
∴∠AOP+∠BOQ＝2∠COD．
15．（6分）（2022秋•秦淮区期末）已知∠AOB＝α，∠COD＝β，保持∠AOB不动，∠COD的OC边与OA边重合，然后将，∠COD绕点O按顺时针方向任意转动一个角度γ（0°≤γ≤360°），（本题中研究的其它角的度数均小于180°）
（1）[特例分析]
如图1，若γ＝30°，α＝β＝90°，则∠BOD＝ 30 °，∠AOD+∠BOC＝ 180 °．
（2）[一般化研究]
如图2，若α+β＝180°，随着γ的变化，探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由．
（3）[继续一般化]
随着γ的变化，直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系、（结果用含α、β的代数式表示）．
解：（1）由转动角度γ＝30°可知，∠BOD＝30°，
∵α＝β＝90°，即：∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝（∠AOC+∠COD）+（∠AOB﹣∠AOC）＝180°，
故答案为：30；180；
（2）∠AOD+∠BOC＝180°，理由如下：
如图，OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时，
∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，
如图，OC在∠AOB外部时，OD在∠AOB外部时，
∠AOD+∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝180°，
如图，OC在∠AOB外部时，OD在∠AOB内部时，
∵∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB﹣∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，
综上，∠AOD+∠BOC＝180°；
（3）A、O、D线γ＝180°﹣β，360°﹣β，
B、O、C线γ＝α﹣α+180°，
①当0＜γ＜α时，∠AOC＝γ，则∠AOD＝β+γ，∠BOC＝α﹣γ，
∴∠AOD+∠BOC＝α+β；
②当α≤γ＜180°﹣β时，∠AOD＝β+γ，∠BOC＝γ﹣α，
∴∠AOD﹣∠BOC＝α+β，
③当180°﹣β≤γ＜α+180°时，∠AOD＝360°﹣β﹣γ，∠BOC＝γ﹣α，
∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣α﹣β，
④当α+180°≤γ≤360°﹣β时，∠AOD＝360°﹣β﹣γ，∠BOC＝360°﹣（γ﹣α）＝360°﹣γ+α，
∴∠BOC﹣∠AOD＝α+β，
⑤当360°﹣β≤γ＜360°时，∠AOD＝γ﹣180°﹣（180°﹣β）＝γ+β﹣360°，∠BOC＝360°﹣γ+α，
∴∠AOD+∠BOC＝α+β，
综上，当0＜γ＜α时，∠AOD+∠BOC＝α+β；
当α≤γ＜180°﹣β时，∠AOD﹣∠BOC＝α+β；
当180°﹣β≤γ＜α+180°时，∠AOD+∠BOC＝360°﹣α﹣β；
当α+180°≤γ≤360°﹣β时，∠BOC﹣∠AOD＝α+β；
当360°﹣β≤γ＜360°时，∠AOD+∠BOC＝α+β．
16．（6分）（2022秋•太仓市期末）如图1，将一副三角板摆放在直线MN上，在三角板OAB和三角板OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，∠AOB＝45°，∠COD＝30°．
（1）保持三角板OCD不动，当三角板OAB旋转至图2位置时，∠BOD与∠AON有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）如图3，若三角板OAB开始绕点O以每秒6度的速度逆时针旋转的同时、三角板OCD也绕点O以每秒3度的速度逆时针旋转，当OB旋转至射线OM上时，两块三角板同时停止转动．设旋转时间为t秒，则在此过程中，是否存在t，使得∠BOD+∠AON＝60°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∠BOD﹣∠AON＝15°，理由如下：
由题意得：∠BOD＝∠AOB+∠AOD＝45°+∠AOD，
∠AON＝∠COD+∠AOD＝30°+∠AOD，
∴∠BOD﹣∠AON＝45°+∠AOD﹣（30°+∠AOD）＝15°，
即∠BOD﹣∠AON＝15°；
（2）存在，
由题意得：∠BON＝6t，∠DON＝30°+3t，
当OA与ON重合时，6t＝45，解得：t＝（秒），
当OB与OD重合时，6t＝30°+3t，解得：t＝10（秒），
当OB与OM重合时，6t＝180，解得：t＝30（秒），
∴①当0时，∠AON＝45°﹣6t，∠BOD＝30°+3t﹣6t＝30°﹣3t，
则∠BOD+∠AON＝75°﹣9t＝60°，
解得：t＝；
②当时，∠AON＝6t﹣45°，∠BOD＝30°+3t﹣6t＝30°﹣3t，
则∠BOD+∠AON＝3t﹣15°＝60°，
解得：t＝25（不符合题意）；
③当10＜t≤30时，∠AON＝6t﹣45°，∠BOD＝6t﹣（30°+3t）＝3t﹣30°，
则∠BOD+∠AON＝9t﹣75°＝60°，
解得：t＝15；
综上所述，当t为秒或15秒时使得∠BOD+∠AON＝60°．
17．（4分）（2022秋•太仓市期末）一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的6折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元．问：
（1）每件服装的标价、成本各多少元？
（2）为保证5%的利润，最多能打几折？
解：（1）设每件服装的成本为x元，则标价为y元，
根据题意得：，
解得：x＝200，
∴y＝300．
答：每件服装的标价为300元，成本为200元．
（2）设为保证5%的利润，最多能打a折，
300×﹣200＝200×5%．
a＝7．
答：为保证不亏本，最多能打7折．
18．（5分）（2022秋•秦淮区期末）阅读解方程的途径．
（1）按照图1所示的途径，填写图2内空格．
① x﹣1＝2 ；
② x＝3 ．
（2）已知关于x的方程+c＝的解是x＝1或x＝2（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，k≠0）的解（用含k、m的代数式表示）．
解：（1）根据图1可得：①x﹣1＝2；②x＝3．
（2）由题意得：kx+m＝1或kx+m＝2，
解得：，．
19．（4分）（2022秋•高新区期末）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝x2﹣2x﹣y+xy﹣5
（1）求A﹣3B；
（2）若（x+y﹣）2+|xy+1|＝0，求A﹣3B的值；
（3）若A﹣3B的值与y的取值无关，求x的值．
解：（1）原式＝3x2﹣x+2y﹣4xy﹣3（x2﹣2x﹣y+xy﹣5）
＝3x2﹣x+2y﹣4xy﹣3x2+6x+3y﹣3xy+15
＝5x+5y﹣7xy+15；
（2）∵（x+y﹣）2+|xy+1|＝0，（x+y﹣）2≥0，|xy+1|≥0，
∴x+y﹣＝0，xy+1＝0，
∴x+y＝，xy＝﹣1，
∴原式＝5（x+y）﹣7xy+15
＝5×﹣7×（﹣1）+15
＝4+7+15
＝26；
（3）由（1）知：A﹣3B＝5x+5y﹣7xy+15
＝5x+（5﹣7x）y+15，
∵A﹣3B的值与y的取值无关，
∴5﹣7x＝0，
解得：x＝．
∴若A﹣3B的值与y的取值无关，x的值为．
20．（6分）（2022秋•广陵区校级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M、点N表示的数分别为m、n，则M、N两点之间的距离MN＝|m﹣n|，线段MN的中点表示的数为．如图，数轴上点M表示的数为﹣1，点N表示的数为3．
（1）直接写出：线段MN的长度是 4 ，线段MN的中点表示的数为 1 ；
（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：|x+1|+|x﹣3|有最小值是 4 ，|x+1|﹣|x﹣3|有最大值是 4 ；
（3）点S在数轴上对应的数为x，且x是方程2x﹣1＝x+4的解，动点P在数轴上运动，若存在某个位置，使得PM+PN＝PS，则称点P是关于点M、N、S的“麓山幸运点”，请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”？若存在，则求出所有“麓山幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由．
解：（1）MN＝|﹣1﹣3|＝4，线段MN的中点表示的数为：＝1，
故答案为：4，1；
（2）∵|x+1|+|x﹣3|≥4，
∴|x+1|+|x﹣3|有最小值为4，
∵|x+1|﹣|x﹣3|≤4，
∴|x+1|﹣|x﹣3|有最大值为4，
故答案为：4，4；
（3）解方程2x﹣1＝x+4得：x＝6，
设P表示的数为y，
∵PM+PN＝PS，
∴|y+1|+|y﹣3|＝|y﹣6|，
当y＜﹣1时，方程可化为：﹣y﹣1+3﹣y＝6﹣y，解得：y＝﹣4，
当﹣1≤y＜3时，方程可化为：y+1+3﹣y＝6﹣y，解得：y＝2，
当3≤y＜6时，方程可化为：y+1+y﹣3＝6﹣y，解得：y＝（舍去），
当y≥6时，方程可化为：y+1+y﹣3＝y﹣6，解得：y＝﹣4（舍去），
∴在数轴上存在“麓山幸运点”，所表示的数为：﹣4或2．
21．（6分）（2022秋•江都区期末）如图，点O在直线AB上，在同一平面内，以O为顶点作直角∠COD．射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD．
（1）如图1，当∠AOC＝40°时，∠AOE＝ 20 °，∠BOF＝ 25 °．
（2）如图1，猜想∠AOE与∠BOF的数量关系，并说明理由．
（3）直接写出图2和图3中，∠AOE与∠BOF的数量关系．图2： ∠BOF＝∠AOE﹣45° ；图3： ∠BOF+∠AOE＝135° ．
解：（1）∵∠COD＝90°，∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝180°﹣∠COD﹣∠AOC＝50°，
∵射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC＝20°，∠BOF＝∠BOD＝25°，
故答案为：20，25；
（2）∠AOE+∠BOF＝45°，
理由：∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，
∵射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC，∠BOF＝∠BOD，
∴∠AOE+∠BOF＝∠AOC+∠BOD
＝（∠AOC+∠BOD）
＝45°，
∴∠AOE+∠BOF＝45°；
（3）图2中，∠AOE与∠BOF的数量关系为∠BOF＝∠AOE﹣45°，
理由：∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC，
∵∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣∠BOC，
∵射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC＝（180°﹣∠BOC）＝90°﹣∠BOC，
∠BOF＝∠BOD＝（90°﹣∠BOC）＝45°﹣∠BOC，
∴∠BOF＝∠AOE﹣45°；
图3中，∠AOE与∠BOF的数量关系为∠BOF+∠AOE＝135°，
理由：∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC，
∵∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝90°+∠BOC，
∵射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC＝（180°﹣∠BOC）＝90°﹣∠BOC，
∠BOF＝∠BOD＝（90°+∠BOC）＝45°+∠BOC，
∴∠BOF+∠AOE＝135°；
故答案为：∠BOF＝∠AOE﹣45°；∠BOF+∠AOE＝135°．
22．（6分）（2022秋•连云港期末）如图1，点O是直线AB上一点，射线OC从OA开始以每秒3°的速度绕点O顺时针转动，射线OD从OB开始以每秒5°的速度绕点O逆时针转动，当OC、OD相遇时，停止运动；将∠AOC、∠BOD分别沿OC、OD翻折，得到∠COE、∠DOF，设运动的时间为t（单位：秒）
（1）如图2，当OE、OF重合时，∠COD＝ 90 °；
（2）当t＝10时，∠EOF＝ 20 °，当t＝12时，∠EOF＝ 12 °；
（3）如图3，射线OP在直线AB的上方，且∠AOP＝70°，在运动过程中，当射线OE、OP、OF其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值．
解：（1）∵将∠AOC、∠BOD分别沿OC、OD翻折，得到∠COE、∠DOF，
∴∠AOC＝∠EOC，∠BOD＝∠FOD，
∵∠AOC+∠EOC+∠BOD+∠FOD＝180°，
∴∠COD＝∠COE+∠FOD＝90°，
故答案为90；
（2）当t＝10时，∠AOC＝∠COE＝10×3°＝30°，∠BOD＝∠DOF＝10×5°＝50°，
∴∠EOF＝180°﹣∠AOC﹣∠COE﹣∠BOD﹣∠DOF＝20°，
当t＝12时，如图，
∠AOC＝∠COE＝12×3°＝36°，∠BOD＝∠DOF＝12×5°＝60°，
∴∠EOF＝∠AOC+∠COE+∠BOD+∠DOF﹣180°＝12°，
故答案为20，12；
（3）①当OP是∠EOF的角平分线时，则∠EOF＝∠FOP，如图3，
由折叠可知∠AOC＝∠COE＝3t°，∠BOD＝∠DOF＝5t°，
∵∠AOP+∠BOP＝180°，∠AOP＝70°，
∴∠BOP＝110°，
∴∠EOP＝∠AOP﹣∠AOC﹣∠COE＝70°﹣6t°，∠FOP＝∠BOP﹣∠BOD﹣∠DOF＝110°﹣10t°，
∴70°﹣6t°＝110°﹣10t°，
解得t＝10；
②当OF是∠POE的角平分线时，则∠POF＝∠FOE，如图，
由折叠可知∠AOC＝∠COE＝3t°，∠BOD＝∠DOF＝5t°，
∵∠AOP+∠BOP＝180°，∠AOP＝70°，
∴∠BOP＝110°，
∴，∠FOP＝∠BOP﹣∠BOD﹣∠DOF＝110°﹣10t°，
∴，
解得；③当OE是∠POF的角平分线时，则∠POF＝∠FOE，如图，
由折叠可知∠AOC＝∠COE＝3t°，∠BOD＝∠DOF＝5t°，
∵∠AOP+∠BOP＝180°，∠AOP＝70°，
∴∠BOP＝110°，
∴∠EOP＝∠AOC+∠COE﹣∠AOP＝6t°﹣70°，，
∴，
解得；
∵t的值为或读数为负，舍去．
综上，t的值为10．
23．（3分）（2022秋•溧水区期末）如图是7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体，请在方格纸中用实线画出该几何体的主视图，左视图和俯视图．用若干个棱长为1cm的小正方体搭成如图所示的几何体．
解：三视图如图所示：
24．（6分）（2022秋•连云港期末）某电商销售A、B两种产品，相关信息如表：
（1）该电商十月份备货A、B两种产品一共用去31200元，其中A产品的数量比B产品数量的多40件，A、B两种产品各备货多少件？
（2）该电商准备在十一月份的“双十一”活动中采取以下的优惠政策：A产品实行“买五免一”成组销售（每5件商品为一组，每买5件商品可以获得其中1件商品免费的优惠活动），B产品打八五折．
①A产品实行的“买五免一”的优惠活动相当于每件A产品打 八 折；
②若A、B两种产品均全部售完，则“双十一”期间这两种商品的总利润将比十月份增加5000元．该电商计划为“双十一”备货A产品500件，则B产品的备货数量是多少件？
解：（1）设B产品备货x件，
∵A产品的数量比B产品数量的多40件，
∴A产品备件，
∵该电商十月份备货两种产品一共用去31200元，
∴，
解得：x＝600，
∴；
∴A产品备货240件，B产品备货600件；
（2）①∵A产品实行的“买五免一”，即买五件花四件的钱，，
∴A产品实行的“买五免一”的优惠活动相当于每件A产品打八折；
故答案为：八；
②设“双十一”B产品的备货数量是y件，
∵“双十一”A产品的备货数量是500件，
∴“双十一”两种产品的利润为[500×（45×0.8﹣30）+（60×0.85﹣40）y]元，
∵十月份两种产品的利润为：240×（45﹣30）+600（60﹣40）＝15600（元），
又∵“双十一”期间这两种商品的总利润将比十月份增加5000元，
∴500×（45×0.8﹣30）+（60×0.85﹣40）y﹣5000＝156000，
解得：y＝1600，
∴“双十一”B产品的备货数量是1600件．
25．（6分）（2022秋•高邮市期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣10、50，点P从点B开始沿数轴的负方向运动．
（1）在点P的运动过程中，若点P与点A的距离是线段AB长度一半时，点P对应的数是 20或﹣40 ；
（2）若点P的运动速度为6个单位长度/分钟，在点P的运动过程中，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍，求点P的运动时间；
（3）如图，若点Q在以原点O为圆心，OA为半径的圆上，∠QOB＝60°，点以Q以20°/分钟的速度顺时针运动，若点Q在运动一圈的时间内，P、Q两点能相遇，求点P的速度．
解：（1）∵点A、B对应的数分别为﹣10、50，
∴AB＝50﹣（﹣10）＝60，PA＝|x﹣（﹣10）|＝|x+10|，
依题意，
解得：x＝20或x＝﹣40，
故答案为：20或﹣40；
（2）点P的运动时间为t，则点P表示的数为50﹣6t，
∴PB＝6t，PA＝|50﹣6t+10|＝|60﹣6t|，
依题意，3|60﹣6t|＝6t，
解得：或t＝15，
∴点P的运动时间为或15分钟；
（3）分2种情况讨论，
①当相遇点在10，则点Q的运动时间为（360﹣60）÷20＝15分钟，
∴50﹣10＝40个单位长度/分钟，
②当相遇点在﹣10，即点A，则点Q的运动时间为（180﹣60）÷20＝6分钟，
∴50﹣（﹣10）＝6060÷6＝10个单位长度/分钟，
26．（4分）（2022秋•秦淮区期末）先化简，再求值：7a2b+（﹣4a2b+5ab2）﹣（2a2b﹣3ab2），其中a＝﹣1，b＝2．
解：7a2b+（﹣4a2b+5ab2）﹣（2a2b﹣3ab2），
＝7a2b﹣4a2b+5ab2﹣2a2b+3ab2
＝a2b+8ab2
当a＝﹣1，b＝2时，
原式＝（﹣1）2×2+8×（﹣1）×22
＝2﹣32
＝﹣30．
27．（5分）（2022秋•高新区期末）甲、乙两个旅行团同时去苏州旅游，已知乙团人数比甲团人数多4人，两团人数之和恰等于两团人数之差的18倍．
（1）问甲、乙两个旅行团的人数各是多少？
（2）若乙团中儿童人数恰为甲团中儿童人数的3倍少2人，某景点成人票价为每张100元，儿童票价是成人票价的六折，两旅行团在此景点所花费的门票费用相同，求甲、乙两团儿童人数各是多少？
解：（1）设甲旅行团的人数为x人，那么乙旅行团的人为x+4人，
由题意得：x+x+4＝4×18
解得：x＝34，
∴x+4＝38
答：甲、乙两个旅行团的人数各是34人，38人．
（2）设甲团儿童人数为m人，则可知乙团儿童人数为（3m﹣2）人，
所以甲团成人有（34﹣m）人，乙团成人有（38﹣3m+2）人．
根据题意列方程得：100（34﹣m）+m×100×60%＝100（38﹣3m+2）+（3m﹣2）×100×60%，
解得：m＝6．
∴3m﹣2＝16．
答：甲团儿童人数为6人，乙团儿童人数为16人．
28．（5分）（2022秋•兴化市校级期末）甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如表：
甲班分两次共购买苹果80千克（第二次多于第一次），共付出185元，乙班则一次购买苹果80千克．
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？
解：（1）185﹣2×80＝25．乙班少付出25元；
（2）设第一次买了x千克，则第二次买了（80﹣x）千克，
若两次都在30﹣50之间，2.5x+2.5（80﹣x）＝185，无解；
若一次在0﹣30之间，二次在30﹣50之间，3x+2.5（80﹣x）＝185，无解；
若一次在0﹣30之间，二次在50kg以上，3x+2（80﹣x）＝185，x＝25在0﹣30之间，80﹣x＝55．
答：甲班第一次购买了25千克，第二次购买了55千克．
29．（6分）（2021春•大连期末）如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意可得，
20t＝5t+120
解得t＝8，
即t＝8min时，射线OC与OD重合；
（2）由题意得，
20t+90＝120+5t或20t﹣90＝120+5t，
解得，t＝2或t＝14
即当t＝2min或t＝14min时，射线OC⊥OD；
（3）存在，
由题意得，120﹣20t＝5t或20t﹣120＝5t+120﹣20t或20t﹣120﹣5t＝5t，
解得t＝4.8或t＝或t＝12，
即当以OB为角平分线时，t的值为4.8min；当以OC为角平分线时，t的值为min，当以OD为角平分线时，t的值为12min．
30．（6分）（2022秋•兴化市校级期末）某商场购进一批西服，进价为每套250元，原定每套以290元的价格销售，这样每天可销售200套．如果每套比原销售价降低10元销售，则每天可多销售100套．该商场为了确定销售价格，作了如下测算，请你参加测算，并由此归纳得出结论．（每套西服的利润＝每套西服的销售价﹣每套西服的进价）．
（1）按原销售价销售，每天可获利润 8000 元；
（2）若每套降低10元销售，每天可获利润 9000 元；
（3）如果每套销售价降低10元，每天就多销售100套，每套销售价降低20元，每天就多销售200套，按这种方式，若每套降低10x元（0≤x≤4，x为正整数）请列出每天所获利润的代数式 （40﹣10x）（200+100x） ；
（4）计算x＝2和x＝3时，该商场每天获利润多少元？
（5）根据以上的测算，如果你是该商场的经理，你将如何确定商场的销售方案？
解：根据题意得：
∵依据利润＝每件的获利×件数，
∴（1）（290﹣250）×200＝8000（元），
（2）（280﹣250）×（200+100）＝9000（元），
（3）（40﹣10x）（200+100x），
（4）当x＝2时，利润为（40﹣10×2）（200+100×2）＝8000（元），
当x＝3时，利润为（40﹣10×3）（200+100×3）＝5000（元），
（5）由题意可知0≤x≤4，x为正整数，
当x＝0时，上式＝（40﹣10×0）（200+100×0）＝8000（元），
当x＝1时，上式＝（40﹣10×1）（200+100×1）＝9000（元），
当x＝4时，上式＝（40﹣10×4）（200+100×4）＝0（元），
所以每套降低10元销售时获利最多，作为商场的经理应以每套280元的价格销售
户月用水量（m3）
收费标准（元/m3）
不超过18m3
3.5
超过18m3，但不超过25m3的部分
5
超过25m3的部分
7
进价（元/件）
售价（元/件）
A产品
30
45
B产品
40
60
购买苹果数
不超过30千克
30千克以上但不超过50千克
50千克以上
每千克价格
3元
2.5元
2元
户月用水量（m3）
收费标准（元/m3）
不超过18m3
3.5
超过18m3，但不超过25m3的部分
5
超过25m3的部分
7
进价（元/件）
售价（元/件）
A产品
30
45
B产品
40
60
购买苹果数
不超过30千克
30千克以上但不超过50千克
50千克以上
每千克价格
3元
2.5元
2元
试题说明：精选各地名校期中期末真题中难度题目，对苏科版七年级上册1-6章知识点内容强化巩固，优选30道解答题，结合易错，常考类题型着重复习，进一步提升学生的解题技巧，减少失误，优化方法。加强几何与计算的综合能力
1．（4分）（2016秋•江阴市期末）如图，直线AB、CD相交于O，∠2﹣∠1＝15°，∠3＝130°．
（1）求∠2的度数；
（2）试说明OE平分∠COB．
2．（4分）（2022秋•亭湖区期末）已知x＝3是关于x的方程（k+3）x﹣10＝3x﹣2k的解．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是直线AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．
（4分）（2022秋•亭湖区期末）先化简，再求值：a2﹣（3a2﹣2b2）+3（a2﹣b2），其中a＝﹣2，b＝3．
4．（4分）（2022秋•大丰区期末）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
（1）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）： ；
（2）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
5．（6分）（2022秋•仪征市期末）如图，∠AOB＝120°，射线OC在平面内．
（1）若∠AOC与∠BOC互补，则∠BOC＝ ；
（2）射线OC绕点O从射线OA的反向延长线的位置出发，顺时针旋转角α（0°＜α＜180°），OM平分∠AOC．
①若∠BOC＝90°，则∠MOB的度数为 ；
②是否存在α的值，使得∠MOC与∠BOC互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由．
6．（6分）（2022秋•惠山区校级期末）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度为a米/秒．
（1）若a＝1，求两人第一次相遇所用的时间；
（2）若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值．
7．（4分）（2022秋•惠山区校级期末）如图是用11块完全相同的小正方体搭成的几何体．
（1）请在方格中分别画出它的主视图、左视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体．
8．（4分）（2022秋•泗阳县期末）如图，是由几个大小完全相同的小正方体垒成的几何体．
（1）请分别画出你所看到的三视图；
（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和主视图不变，最多可以再添加 个小正方体．
9．（6分）（2022秋•丹徒区期末）如图，∠AOB内部有一射线OC，OC⊥OA，∠AOC与∠BOC的度数比为3：2．射线OM从OA出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线ON从OC出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线ON与射线OB重合后，立即以原速逆时针旋转，当ON与OC重合后再次改变方向顺时针向OB旋转（即ON在OC与OB之间来回摆动），当OM与OC重合时，OM与ON都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．
（1）t＝1时，∠MON＝ °；
（2）当t为何值时，OC恰好是∠MON的平分线；
（3）在旋转的过程中，作∠CON的角平分线OP，是否存在某个时间段，使得∠MOP的度数保持不变？如果存在，求出∠MOP的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由．
10．（5分）（2022秋•丹徒区期末）已知关于m的方程的解也是关于x的方程2（x﹣8）﹣n＝6的解．
（1）求m、n的值；
（2）如图，数轴上，O为原点，点M对应的数为m，点N对应的数为n．
①若点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，求线段PQ的长度；
②若点P从点N出发以1个单位/秒的速度沿数轴正方向运动，点Q从点M出发以2个单位/秒的速度沿数轴负方向运动，经过 秒，P、Q两点相距3个单位．
11．（4分）（2022秋•太仓市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）如图中与∠COE互补的角是 ；（把符合条件的角都写出来）
（2）若∠AOD＝∠EOF，求∠AOD的度数．
12．（5分）（2022秋•玄武区校级期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如表：
（1）小明家3月份用水量为20m3，应缴纳水费 元；
（2）设某户某月的用水量为xm3，应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示）
（3）小红家6月份和7月份的用水量共50m3，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为 m3， m3．
13．（4分）（2022秋•玄武区校级期末）如图是由9个大小相同的小正方体组成的简单几何体．
（1）画出该几何体的三视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持主视图和俯视图不变，最多可以添加 块小正方体．
14．（6分）（2022秋•海门市期末）已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部，∠COD＝60°．
（1）如图1，若∠BOD＝30°，求∠AOC的度数；
（2）如图2，若OE平分∠BOC，请说明：∠AOC＝2∠DOE；
（3）如图3，若在∠AOB的外部分别作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，试探究∠AOP，∠BOQ，∠COD三者之间的数量关系，并说明理由．
15．（6分）（2022秋•秦淮区期末）已知∠AOB＝α，∠COD＝β，保持∠AOB不动，∠COD的OC边与OA边重合，然后将，∠COD绕点O按顺时针方向任意转动一个角度γ（0°≤γ≤360°），（本题中研究的其它角的度数均小于180°）
（1）[特例分析]
如图1，若γ＝30°，α＝β＝90°，则∠BOD＝ °，∠AOD+∠BOC＝ °．
（2）[一般化研究]
如图2，若α+β＝180°，随着γ的变化，探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由．
（3）[继续一般化]
随着γ的变化，直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系、（结果用含α、β的代数式表示）．
16．（6分）（2022秋•太仓市期末）如图1，将一副三角板摆放在直线MN上，在三角板OAB和三角板OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，∠AOB＝45°，∠COD＝30°．
（1）保持三角板OCD不动，当三角板OAB旋转至图2位置时，∠BOD与∠AON有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）如图3，若三角板OAB开始绕点O以每秒6度的速度逆时针旋转的同时、三角板OCD也绕点O以每秒3度的速度逆时针旋转，当OB旋转至射线OM上时，两块三角板同时停止转动．设旋转时间为t秒，则在此过程中，是否存在t，使得∠BOD+∠AON＝60°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
17．（4分）（2022秋•太仓市期末）一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的6折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元．问：
（1）每件服装的标价、成本各多少元？
（2）为保证5%的利润，最多能打几折？
18．（5分）（2022秋•秦淮区期末）阅读解方程的途径．
（1）按照图1所示的途径，填写图2内空格．
① ；
② ．
（2）已知关于x的方程+c＝的解是x＝1或x＝2（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，k≠0）的解（用含k、m的代数式表示）．
19．（4分）（2022秋•高新区期末）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝x2﹣2x﹣y+xy﹣5
（1）求A﹣3B；
（2）若（x+y﹣）2+|xy+1|＝0，求A﹣3B的值；
（3）若A﹣3B的值与y的取值无关，求x的值．
20．（6分）（2022秋•广陵区校级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M、点N表示的数分别为m、n，则M、N两点之间的距离MN＝|m﹣n|，线段MN的中点表示的数为．如图，数轴上点M表示的数为﹣1，点N表示的数为3．
（1）直接写出：线段MN的长度是 ，线段MN的中点表示的数为 ；
（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：|x+1|+|x﹣3|有最小值是 ，|x+1|﹣|x﹣3|有最大值是 ；
（3）点S在数轴上对应的数为x，且x是方程2x﹣1＝x+4的解，动点P在数轴上运动，若存在某个位置，使得PM+PN＝PS，则称点P是关于点M、N、S的“麓山幸运点”，请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”？若存在，则求出所有“麓山幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由．
21．（6分）（2022秋•江都区期末）如图，点O在直线AB上，在同一平面内，以O为顶点作直角∠COD．射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD．
（1）如图1，当∠AOC＝40°时，∠AOE＝ °，∠BOF＝ °．
（2）如图1，猜想∠AOE与∠BOF的数量关系，并说明理由．
（3）直接写出图2和图3中，∠AOE与∠BOF的数量关系．图2： ；图3： ．
22．（6分）（2022秋•连云港期末）如图1，点O是直线AB上一点，射线OC从OA开始以每秒3°的速度绕点O顺时针转动，射线OD从OB开始以每秒5°的速度绕点O逆时针转动，当OC、OD相遇时，停止运动；将∠AOC、∠BOD分别沿OC、OD翻折，得到∠COE、∠DOF，设运动的时间为t（单位：秒）
（1）如图2，当OE、OF重合时，∠COD＝ °；
（2）当t＝10时，∠EOF＝ °，当t＝12时，∠EOF＝ °；
（3）如图3，射线OP在直线AB的上方，且∠AOP＝70°，在运动过程中，当射线OE、OP、OF其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值．
23．（3分）（2022秋•溧水区期末）如图是7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体，请在方格纸中用实线画出该几何体的主视图，左视图和俯视图．用若干个棱长为1cm的小正方体搭成如图所示的几何体．
24．（6分）（2022秋•连云港期末）某电商销售A、B两种产品，相关信息如表：
（1）该电商十月份备货A、B两种产品一共用去31200元，其中A产品的数量比B产品数量的多40件，A、B两种产品各备货多少件？
（2）该电商准备在十一月份的“双十一”活动中采取以下的优惠政策：A产品实行“买五免一”成组销售（每5件商品为一组，每买5件商品可以获得其中1件商品免费的优惠活动），B产品打八五折．
①A产品实行的“买五免一”的优惠活动相当于每件A产品打 折；
②若A、B两种产品均全部售完，则“双十一”期间这两种商品的总利润将比十月份增加5000元．该电商计划为“双十一”备货A产品500件，则B产品的备货数量是多少件？
25．（6分）（2022秋•高邮市期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣10、50，点P从点B开始沿数轴的负方向运动．
（1）在点P的运动过程中，若点P与点A的距离是线段AB长度一半时，点P对应的数是 ；
（2）若点P的运动速度为6个单位长度/分钟，在点P的运动过程中，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍，求点P的运动时间；
（3）如图，若点Q在以原点O为圆心，OA为半径的圆上，∠QOB＝60°，点以Q以20°/分钟的速度顺时针运动，若点Q在运动一圈的时间内，P、Q两点能相遇，求点P的速度．
26．（4分）（2022秋•秦淮区期末）先化简，再求值：7a2b+（﹣4a2b+5ab2）﹣（2a2b﹣3ab2），其中a＝﹣1，b＝2．
27．（5分）（2022秋•高新区期末）甲、乙两个旅行团同时去苏州旅游，已知乙团人数比甲团人数多4人，两团人数之和恰等于两团人数之差的18倍．
（1）问甲、乙两个旅行团的人数各是多少？
（2）若乙团中儿童人数恰为甲团中儿童人数的3倍少2人，某景点成人票价为每张100元，儿童票价是成人票价的六折，两旅行团在此景点所花费的门票费用相同，求甲、乙两团儿童人数各是多少？
28．（5分）（2022秋•兴化市校级期末）甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如表：
甲班分两次共购买苹果80千克（第二次多于第一次），共付出185元，乙班则一次购买苹果80千克．
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？
29．（6分）（2021春•大连期末）如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
30．（6分）（2022秋•兴化市校级期末）某商场购进一批西服，进价为每套250元，原定每套以290元的价格销售，这样每天可销售200套．如果每套比原销售价降低10元销售，则每天可多销售100套．该商场为了确定销售价格，作了如下测算，请你参加测算，并由此归纳得出结论．（每套西服的利润＝每套西服的销售价﹣每套西服的进价）．
（1）按原销售价销售，每天可获利润 元；
（2）若每套降低10元销售，每天可获利润 元；
（3）如果每套销售价降低10元，每天就多销售100套，每套销售价降低20元，每天就多销售200套，按这种方式，若每套降低10x元（0≤x≤4，x为正整数）请列出每天所获利润的代数式 ；
（4）计算x＝2和x＝3时，该商场每天获利润多少元？
（5）根据以上的测算，如果你是该商场的经理，你将如何确定商场的销售方案？
2023-2024学年苏科版数学七年级上册期末压轴题型专练（解答题30题）
试题满分：150分 考试时间：150分钟 试卷难度：0.44
试题说明：精选各地名校期中期末真题中难度题目，对苏科版七年级上册1-6章知识点内容强化巩固，优选30道解答题，结合易错，常考类题型着重复习，进一步提升学生的解题技巧，减少失误，优化方法。加强几何与计算的综合能力
1．（4分）（2016秋•江阴市期末）如图，直线AB、CD相交于O，∠2﹣∠1＝15°，∠3＝130°．
（1）求∠2的度数；
（2）试说明OE平分∠COB．
解：（1）∵∠3＝130°，∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠3＝50°，
∵∠2﹣∠1＝15°，
∴∠2＝15°+∠1＝65°；
（2）∵∠1＝50°，∠2＝65°，∠1+∠COE+∠2＝180°，
∴∠COE＝65°，
∴∠COE＝∠2
∴OE平分∠COB．
2．（4分）（2022秋•亭湖区期末）已知x＝3是关于x的方程（k+3）x﹣10＝3x﹣2k的解．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是直线AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．
（1）把x＝﹣3代入原方程得：﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k，
解得：k＝2；
（2）当k＝2时，BC＝2AC，AB＝6cm，
∴AC＝2cm，BC＝4cm，
当C在线段AB上时，如图1，
∵D为AC的中点，
∴；
当C在BA的延长线时，如图2，
∵BC＝2AC，AB＝6cm，
∴AC＝6cm，
∵D为AC的中点，
∴，
∴CD为1cm或3cm．
3．（4分）（2022秋•亭湖区期末）先化简，再求值：a2﹣（3a2﹣2b2）+3（a2﹣b2），其中a＝﹣2，b＝3．
原式＝a2﹣3a2+2b2+3a2﹣3b2
＝a2﹣b2；
当a＝﹣2；b＝3时，
原式＝（﹣2）2﹣32
＝4﹣9
＝﹣5．
4．（4分）（2022秋•大丰区期末）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
（1）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）： 26cm2 ；
（2）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
解：（1）这个几何体的表面积＝2（4+4+5）＝26（cm2），
故答案为：26cm2．
（2）三视图如图所示．
5．（6分）（2022秋•仪征市期末）如图，∠AOB＝120°，射线OC在平面内．
（1）若∠AOC与∠BOC互补，则∠BOC＝ 30° ；
（2）射线OC绕点O从射线OA的反向延长线的位置出发，顺时针旋转角α（0°＜α＜180°），OM平分∠AOC．
①若∠BOC＝90°，则∠MOB的度数为 105° ；
②是否存在α的值，使得∠MOC与∠BOC互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图1所示，当OC、OB在OA的同侧时，
∵∠AOC与∠BOC互补，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOC+∠BOC+120°＝180°，
∴∠BOC＝30°；
如图2所示，当OC、OB在OA的两侧时，
∵∠AOC与∠BOC互补，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOC+∠BOC﹣120°＝180°，
∴∠BOC＝150°；
综上所述，∠BOC＝30°或∠BOC＝150°；
（2）①如图，∵∠BOC＝90°，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝30°，
∵OM平分∠AOC，
∴，
∴∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝105°；
②如图3所示，当OC在OB左侧时，
∵∠MOC与∠BOC互余，
∴∠BOC＝90°﹣∠MOC，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠MOC，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝60°，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝∠MOC﹣30°，
∵∠COD+∠AOC＝180°，
∴2∠MOC+∠MOC﹣30°＝180°，
∴∠MOC＝70°，
∴α＝∠COD＝40°；
如图4所示，当OC在OB右侧时，
∵∠MOC与∠BOC互余，
∴∠BOM＝∠BOC+∠MOC＝90°，
∴∠AOM＝180°﹣∠BOD﹣∠BOM＝30°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOM＝60°，
∴α＝∠COD＝180°﹣∠AOC＝120°；
综上所述，存在α＝40°或α＝120°使得∠MOC与∠BOC互余．
6．（6分）（2022秋•惠山区校级期末）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度为a米/秒．
（1）若a＝1，求两人第一次相遇所用的时间；
（2）若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值．
（1）设小红、爷爷两人第一次相遇所用的时间为x秒，
根据题意，得：3x﹣x＝200，
解这个方程，得：x＝100．
答：小红、爷爷两人第一次相遇所用的时间100秒．
（2）①当a＞3时，
根据题意，得：80a﹣80×3＝100，
解得：a＝4.25．
②当a＜3时，
根据题意，得：80×3﹣80a＝200，
解得：a＝0.5．
答：a的值为0.5或者4.25．
7．（4分）（2022秋•惠山区校级期末）如图是用11块完全相同的小正方体搭成的几何体．
（1）请在方格中分别画出它的主视图、左视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加 4 个小正方体．
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
故如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多可以再添加4个小正方体．
故答案为：4．
8．（4分）（2022秋•泗阳县期末）如图，是由几个大小完全相同的小正方体垒成的几何体．
（1）请分别画出你所看到的三视图；
（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和主视图不变，最多可以再添加 3 个小正方体．
解：（1）图形如下：
（2）保持俯视图和主视图不变，最多可往第2列前面的1个几何体上放一个小正方体，在第3列前面的1个几何体上放2个小正方体，
2+1＝3（个）．
故最多可以再添加3个小正方体．
故答案为：3．
9．（6分）（2022秋•丹徒区期末）如图，∠AOB内部有一射线OC，OC⊥OA，∠AOC与∠BOC的度数比为3：2．射线OM从OA出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线ON从OC出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线ON与射线OB重合后，立即以原速逆时针旋转，当ON与OC重合后再次改变方向顺时针向OB旋转（即ON在OC与OB之间来回摆动），当OM与OC重合时，OM与ON都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．
（1）t＝1时，∠MON＝ 100 °；
（2）当t为何值时，OC恰好是∠MON的平分线；
（3）在旋转的过程中，作∠CON的角平分线OP，是否存在某个时间段，使得∠MOP的度数保持不变？如果存在，求出∠MOP的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解：（1）当t＝1时，∠AOM＝10°，∠CON＝20°，
∴∠COM＝∠AOC﹣∠AOM＝90°﹣10°＝80°，
∴∠MON＝∠COM+∠CON＝100°；
故答案为：100；
（2）∵OC⊥OA，∠AOC与∠BOC的度数比为3：2，
∴∠AOC＝90°，∠BOC＝60°，
∴ON从OC旋转到OB（或从OB旋转到OC）需要60°÷20°＝3（秒），OM从OA旋转到OC需要90°÷10°＝9（秒），
当0≤t≤3时，∠COM＝90°﹣10°t，∠CON＝20°t，
∵OC恰好是∠MON的平分线，
∴90°﹣10°t＝20°t，
解得t＝3；
当3＜t≤6时，∠COM＝90°﹣10°t，∠CON＝60°﹣20°（t﹣3），
∵OC恰好是∠MON的平分线，
∴90°﹣10°t＝60°﹣20°（t﹣3），
解得t＝3（舍去）；
当6＜t≤9时，∠COM＝90°﹣10°t，∠CON＝20°（t﹣6），
∵OC恰好是∠MON的平分线，
∴90°﹣10°t＝20°（t﹣6），
解得t＝7；
综上所述，当t为3或7时，OC恰好是∠MON的平分线；
（3）存在某个时间段，使得∠MOP的度数保持不变，理由如下：
当0≤t≤3时，∠COM＝90°﹣10°t，∠CON＝20°t，
∵OP平分∠CON，
∴∠COP＝∠CON＝10°t，
∴∠MOP＝∠COM+∠COP＝90°﹣10°t+10°t＝90°，
∴0≤t≤3时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP＝90°；
当3＜t≤6时，∠COM＝90°﹣10°t，∠CON＝60°﹣20°（t﹣3）＝120°﹣20°t，
∵OP平分∠CON，
∴∠COP＝∠CON＝60°﹣10°t，
∴∠MOP＝∠COM+∠COP＝90°﹣10°t+60°﹣10°t＝150°﹣20°t，
∴3＜t≤6时，∠MOP的度数随t的改变而改变；
当6＜t≤9时，∠COM＝90°﹣10°t，∠CON＝20°（t﹣6）＝20°t﹣120°，
∵OP平分∠CON，
∴∠COP＝∠CON＝10°t﹣60°，
∴∠MOP＝∠COM+∠COP＝90°﹣10°t+10°t﹣60°＝30°，
∴6＜t≤9时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP＝30°；
综上所述，0≤t≤3时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP＝90°；6＜t≤9时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP＝30°．
10．（5分）（2022秋•丹徒区期末）已知关于m的方程的解也是关于x的方程2（x﹣8）﹣n＝6的解．
（1）求m、n的值；
（2）如图，数轴上，O为原点，点M对应的数为m，点N对应的数为n．
①若点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，求线段PQ的长度；
②若点P从点N出发以1个单位/秒的速度沿数轴正方向运动，点Q从点M出发以2个单位/秒的速度沿数轴负方向运动，经过 3或5 秒，P、Q两点相距3个单位．
解：（1）解方程得，m＝10，
∵方程2（x﹣8）﹣n＝6的解为x＝10，
∴4﹣n＝6，
解得n＝﹣2，
∴m、n的值分别为10，﹣2；
（2）①∵点M对应的数为10，点N对应的数为﹣2，点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，
∴OP＝ON＝1，OQ＝OM＝5，
∴PQ＝OP+OQ＝1+5＝6；
②设经过x秒P、Q两点相距3个单位，
根据题意得：﹣2+x﹣（10﹣2x）＝3或（10﹣2x）﹣（﹣2+x）＝3，
解得x＝5或x＝3，
故经过3秒或5秒，A、B两点相距3个单位．
故答案为：3或5．
11．（4分）（2022秋•太仓市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）如图中与∠COE互补的角是 ∠EOD，∠AOF ；（把符合条件的角都写出来）
（2）若∠AOD＝∠EOF，求∠AOD的度数．
解：（1）∵∠COE+∠EOD＝180°，
∴∠EOD与∠COE互补；
∵∠COE+∠BOC＝90°，∠BOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠BOF，
∵∠BOF+∠AOF＝180°，
∴∠COE+∠AOF＝180°，
∴∠AOF与∠COE互补；
综上：∠EOD和∠AOF与∠COE互补．
故答案为：∠EOD，∠AOF．∠∠
（2）设∠AOD＝x，则∠EOF＝5x，∠EOC＝90°﹣x，
∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等），
∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝90°+90°﹣x＝5x，
即6x＝180°，
解得：x＝30°．
∴∠AOD＝30°．
12．（5分）（2022秋•玄武区校级期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如表：
（1）小明家3月份用水量为20m3，应缴纳水费 73 元；
（2）设某户某月的用水量为xm3，应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示）
（3）小红家6月份和7月份的用水量共50m3，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为 16 m3， 34 m3．
解：（1）根据题意得：3.5×18+5×（20﹣18）
＝3.5×18+5×2
＝63+10
＝73（元）．
故答案为：73；
（2）根据题意得：当x≤18时，应缴纳水费3.5x元；
当18＜x≤25时，应缴纳水费3.5×18+5（x﹣18）＝（5x﹣27）元；
当x＞25时，应缴纳水费3.5×18+5×（25﹣18）+7（x﹣25）＝（7x﹣77）元．
∴应缴纳水费元；
（3）设小红家6月份的用水量为ym3，则7月份的用水量为（50﹣y）m3．
当y≤18时，3.5y+7（50﹣y）﹣77＝217，
解得：y＝16；
当18＜y＜25时，5y﹣27+7（50﹣y）﹣77＝217，
解得：y＝14.5（不符合题意，舍去）．
∴y＝16，
∴50﹣y＝50﹣16＝34，
∴小红家6月份的用水量为16m3，7月份的用水量为34m3．
故答案为：16，34．
13．（4分）（2022秋•玄武区校级期末）如图是由9个大小相同的小正方体组成的简单几何体．
（1）画出该几何体的三视图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持主视图和俯视图不变，最多可以添加 5 块小正方体．
解：（1）如图，三视图即为所求．
（2）主视图和俯视图不变，最多可以添加5块小正方体（俯视图中2+2+1＝5）．
故答案为：5．
14．（6分）（2022秋•海门市期末）已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部，∠COD＝60°．
（1）如图1，若∠BOD＝30°，求∠AOC的度数；
（2）如图2，若OE平分∠BOC，请说明：∠AOC＝2∠DOE；
（3）如图3，若在∠AOB的外部分别作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，试探究∠AOP，∠BOQ，∠COD三者之间的数量关系，并说明理由．
解（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝120°﹣60°＝60°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠AOC＝60°﹣30°＝30°；
（2）∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC，
∵∠EOD＝∠COD﹣∠COE，∠COD＝60°，
∴∠EOD＝60°﹣∠BOC，
∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝120°﹣∠BOC，
∴∠AOC＝2∠EOD；
（3）∵∠AOP+∠AOC＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠AOC，
∵∠BOQ+∠BOD＝90°，
∴∠BOQ＝90°﹣∠BOD，
∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣（∠AOC+∠BOD）＝180°﹣（∠AOB﹣∠COD），
∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣（120°﹣60°）＝120°＝2×60°，
∴∠AOP+∠BOQ＝2∠COD．
15．（6分）（2022秋•秦淮区期末）已知∠AOB＝α，∠COD＝β，保持∠AOB不动，∠COD的OC边与OA边重合，然后将，∠COD绕点O按顺时针方向任意转动一个角度γ（0°≤γ≤360°），（本题中研究的其它角的度数均小于180°）
（1）[特例分析]
如图1，若γ＝30°，α＝β＝90°，则∠BOD＝ 30 °，∠AOD+∠BOC＝ 180 °．
（2）[一般化研究]
如图2，若α+β＝180°，随着γ的变化，探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由．
（3）[继续一般化]
随着γ的变化，直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系、（结果用含α、β的代数式表示）．
解：（1）由转动角度γ＝30°可知，∠BOD＝30°，
∵α＝β＝90°，即：∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝（∠AOC+∠COD）+（∠AOB﹣∠AOC）＝180°，
故答案为：30；180；
（2）∠AOD+∠BOC＝180°，理由如下：
如图，OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时，
∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，
如图，OC在∠AOB外部时，OD在∠AOB外部时，
∠AOD+∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝180°，
如图，OC在∠AOB外部时，OD在∠AOB内部时，
∵∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB﹣∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，
综上，∠AOD+∠BOC＝180°；
（3）A、O、D线γ＝180°﹣β，360°﹣β，
B、O、C线γ＝α﹣α+180°，
①当0＜γ＜α时，∠AOC＝γ，则∠AOD＝β+γ，∠BOC＝α﹣γ，
∴∠AOD+∠BOC＝α+β；
②当α≤γ＜180°﹣β时，∠AOD＝β+γ，∠BOC＝γ﹣α，
∴∠AOD﹣∠BOC＝α+β，
③当180°﹣β≤γ＜α+180°时，∠AOD＝360°﹣β﹣γ，∠BOC＝γ﹣α，
∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣α﹣β，
④当α+180°≤γ≤360°﹣β时，∠AOD＝360°﹣β﹣γ，∠BOC＝360°﹣（γ﹣α）＝360°﹣γ+α，
∴∠BOC﹣∠AOD＝α+β，
⑤当360°﹣β≤γ＜360°时，∠AOD＝γ﹣180°﹣（180°﹣β）＝γ+β﹣360°，∠BOC＝360°﹣γ+α，
∴∠AOD+∠BOC＝α+β，
综上，当0＜γ＜α时，∠AOD+∠BOC＝α+β；
当α≤γ＜180°﹣β时，∠AOD﹣∠BOC＝α+β；
当180°﹣β≤γ＜α+180°时，∠AOD+∠BOC＝360°﹣α﹣β；
当α+180°≤γ≤360°﹣β时，∠BOC﹣∠AOD＝α+β；
当360°﹣β≤γ＜360°时，∠AOD+∠BOC＝α+β．
16．（6分）（2022秋•太仓市期末）如图1，将一副三角板摆放在直线MN上，在三角板OAB和三角板OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，∠AOB＝45°，∠COD＝30°．
（1）保持三角板OCD不动，当三角板OAB旋转至图2位置时，∠BOD与∠AON有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）如图3，若三角板OAB开始绕点O以每秒6度的速度逆时针旋转的同时、三角板OCD也绕点O以每秒3度的速度逆时针旋转，当OB旋转至射线OM上时，两块三角板同时停止转动．设旋转时间为t秒，则在此过程中，是否存在t，使得∠BOD+∠AON＝60°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∠BOD﹣∠AON＝15°，理由如下：
由题意得：∠BOD＝∠AOB+∠AOD＝45°+∠AOD，
∠AON＝∠COD+∠AOD＝30°+∠AOD，
∴∠BOD﹣∠AON＝45°+∠AOD﹣（30°+∠AOD）＝15°，
即∠BOD﹣∠AON＝15°；
（2）存在，
由题意得：∠BON＝6t，∠DON＝30°+3t，
当OA与ON重合时，6t＝45，解得：t＝（秒），
当OB与OD重合时，6t＝30°+3t，解得：t＝10（秒），
当OB与OM重合时，6t＝180，解得：t＝30（秒），
∴①当0时，∠AON＝45°﹣6t，∠BOD＝30°+3t﹣6t＝30°﹣3t，
则∠BOD+∠AON＝75°﹣9t＝60°，
解得：t＝；
②当时，∠AON＝6t﹣45°，∠BOD＝30°+3t﹣6t＝30°﹣3t，
则∠BOD+∠AON＝3t﹣15°＝60°，
解得：t＝25（不符合题意）；
③当10＜t≤30时，∠AON＝6t﹣45°，∠BOD＝6t﹣（30°+3t）＝3t﹣30°，
则∠BOD+∠AON＝9t﹣75°＝60°，
解得：t＝15；
综上所述，当t为秒或15秒时使得∠BOD+∠AON＝60°．
17．（4分）（2022秋•太仓市期末）一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的6折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元．问：
（1）每件服装的标价、成本各多少元？
（2）为保证5%的利润，最多能打几折？
解：（1）设每件服装的成本为x元，则标价为y元，
根据题意得：，
解得：x＝200，
∴y＝300．
答：每件服装的标价为300元，成本为200元．
（2）设为保证5%的利润，最多能打a折，
300×﹣200＝200×5%．
a＝7．
答：为保证不亏本，最多能打7折．
18．（5分）（2022秋•秦淮区期末）阅读解方程的途径．
（1）按照图1所示的途径，填写图2内空格．
① x﹣1＝2 ；
② x＝3 ．
（2）已知关于x的方程+c＝的解是x＝1或x＝2（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，k≠0）的解（用含k、m的代数式表示）．
解：（1）根据图1可得：①x﹣1＝2；②x＝3．
（2）由题意得：kx+m＝1或kx+m＝2，
解得：，．
19．（4分）（2022秋•高新区期末）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝x2﹣2x﹣y+xy﹣5
（1）求A﹣3B；
（2）若（x+y﹣）2+|xy+1|＝0，求A﹣3B的值；
（3）若A﹣3B的值与y的取值无关，求x的值．
解：（1）原式＝3x2﹣x+2y﹣4xy﹣3（x2﹣2x﹣y+xy﹣5）
＝3x2﹣x+2y﹣4xy﹣3x2+6x+3y﹣3xy+15
＝5x+5y﹣7xy+15；
（2）∵（x+y﹣）2+|xy+1|＝0，（x+y﹣）2≥0，|xy+1|≥0，
∴x+y﹣＝0，xy+1＝0，
∴x+y＝，xy＝﹣1，
∴原式＝5（x+y）﹣7xy+15
＝5×﹣7×（﹣1）+15
＝4+7+15
＝26；
（3）由（1）知：A﹣3B＝5x+5y﹣7xy+15
＝5x+（5﹣7x）y+15，
∵A﹣3B的值与y的取值无关，
∴5﹣7x＝0，
解得：x＝．
∴若A﹣3B的值与y的取值无关，x的值为．
20．（6分）（2022秋•广陵区校级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M、点N表示的数分别为m、n，则M、N两点之间的距离MN＝|m﹣n|，线段MN的中点表示的数为．如图，数轴上点M表示的数为﹣1，点N表示的数为3．
（1）直接写出：线段MN的长度是 4 ，线段MN的中点表示的数为 1 ；
（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：|x+1|+|x﹣3|有最小值是 4 ，|x+1|﹣|x﹣3|有最大值是 4 ；
（3）点S在数轴上对应的数为x，且x是方程2x﹣1＝x+4的解，动点P在数轴上运动，若存在某个位置，使得PM+PN＝PS，则称点P是关于点M、N、S的“麓山幸运点”，请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”？若存在，则求出所有“麓山幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由．
解：（1）MN＝|﹣1﹣3|＝4，线段MN的中点表示的数为：＝1，
故答案为：4，1；
（2）∵|x+1|+|x﹣3|≥4，
∴|x+1|+|x﹣3|有最小值为4，
∵|x+1|﹣|x﹣3|≤4，
∴|x+1|﹣|x﹣3|有最大值为4，
故答案为：4，4；
（3）解方程2x﹣1＝x+4得：x＝6，
设P表示的数为y，
∵PM+PN＝PS，
∴|y+1|+|y﹣3|＝|y﹣6|，
当y＜﹣1时，方程可化为：﹣y﹣1+3﹣y＝6﹣y，解得：y＝﹣4，
当﹣1≤y＜3时，方程可化为：y+1+3﹣y＝6﹣y，解得：y＝2，
当3≤y＜6时，方程可化为：y+1+y﹣3＝6﹣y，解得：y＝（舍去），
当y≥6时，方程可化为：y+1+y﹣3＝y﹣6，解得：y＝﹣4（舍去），
∴在数轴上存在“麓山幸运点”，所表示的数为：﹣4或2．
21．（6分）（2022秋•江都区期末）如图，点O在直线AB上，在同一平面内，以O为顶点作直角∠COD．射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD．
（1）如图1，当∠AOC＝40°时，∠AOE＝ 20 °，∠BOF＝ 25 °．
（2）如图1，猜想∠AOE与∠BOF的数量关系，并说明理由．
（3）直接写出图2和图3中，∠AOE与∠BOF的数量关系．图2： ∠BOF＝∠AOE﹣45° ；图3： ∠BOF+∠AOE＝135° ．
解：（1）∵∠COD＝90°，∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝180°﹣∠COD﹣∠AOC＝50°，
∵射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC＝20°，∠BOF＝∠BOD＝25°，
故答案为：20，25；
（2）∠AOE+∠BOF＝45°，
理由：∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，
∵射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC，∠BOF＝∠BOD，
∴∠AOE+∠BOF＝∠AOC+∠BOD
＝（∠AOC+∠BOD）
＝45°，
∴∠AOE+∠BOF＝45°；
（3）图2中，∠AOE与∠BOF的数量关系为∠BOF＝∠AOE﹣45°，
理由：∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC，
∵∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣∠BOC，
∵射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC＝（180°﹣∠BOC）＝90°﹣∠BOC，
∠BOF＝∠BOD＝（90°﹣∠BOC）＝45°﹣∠BOC，
∴∠BOF＝∠AOE﹣45°；
图3中，∠AOE与∠BOF的数量关系为∠BOF+∠AOE＝135°，
理由：∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC，
∵∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝90°+∠BOC，
∵射线OE、射线OF分别平分∠AOC、∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC＝（180°﹣∠BOC）＝90°﹣∠BOC，
∠BOF＝∠BOD＝（90°+∠BOC）＝45°+∠BOC，
∴∠BOF+∠AOE＝135°；
故答案为：∠BOF＝∠AOE﹣45°；∠BOF+∠AOE＝135°．
22．（6分）（2022秋•连云港期末）如图1，点O是直线AB上一点，射线OC从OA开始以每秒3°的速度绕点O顺时针转动，射线OD从OB开始以每秒5°的速度绕点O逆时针转动，当OC、OD相遇时，停止运动；将∠AOC、∠BOD分别沿OC、OD翻折，得到∠COE、∠DOF，设运动的时间为t（单位：秒）
（1）如图2，当OE、OF重合时，∠COD＝ 90 °；
（2）当t＝10时，∠EOF＝ 20 °，当t＝12时，∠EOF＝ 12 °；
（3）如图3，射线OP在直线AB的上方，且∠AOP＝70°，在运动过程中，当射线OE、OP、OF其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值．
解：（1）∵将∠AOC、∠BOD分别沿OC、OD翻折，得到∠COE、∠DOF，
∴∠AOC＝∠EOC，∠BOD＝∠FOD，
∵∠AOC+∠EOC+∠BOD+∠FOD＝180°，
∴∠COD＝∠COE+∠FOD＝90°，
故答案为90；
（2）当t＝10时，∠AOC＝∠COE＝10×3°＝30°，∠BOD＝∠DOF＝10×5°＝50°，
∴∠EOF＝180°﹣∠AOC﹣∠COE﹣∠BOD﹣∠DOF＝20°，
当t＝12时，如图，
∠AOC＝∠COE＝12×3°＝36°，∠BOD＝∠DOF＝12×5°＝60°，
∴∠EOF＝∠AOC+∠COE+∠BOD+∠DOF﹣180°＝12°，
故答案为20，12；
（3）①当OP是∠EOF的角平分线时，则∠EOF＝∠FOP，如图3，
由折叠可知∠AOC＝∠COE＝3t°，∠BOD＝∠DOF＝5t°，
∵∠AOP+∠BOP＝180°，∠AOP＝70°，
∴∠BOP＝110°，
∴∠EOP＝∠AOP﹣∠AOC﹣∠COE＝70°﹣6t°，∠FOP＝∠BOP﹣∠BOD﹣∠DOF＝110°﹣10t°，
∴70°﹣6t°＝110°﹣10t°，
解得t＝10；
②当OF是∠POE的角平分线时，则∠POF＝∠FOE，如图，
由折叠可知∠AOC＝∠COE＝3t°，∠BOD＝∠DOF＝5t°，
∵∠AOP+∠BOP＝180°，∠AOP＝70°，
∴∠BOP＝110°，
∴，∠FOP＝∠BOP﹣∠BOD﹣∠DOF＝110°﹣10t°，
∴，
解得；③当OE是∠POF的角平分线时，则∠POF＝∠FOE，如图，
由折叠可知∠AOC＝∠COE＝3t°，∠BOD＝∠DOF＝5t°，
∵∠AOP+∠BOP＝180°，∠AOP＝70°，
∴∠BOP＝110°，
∴∠EOP＝∠AOC+∠COE﹣∠AOP＝6t°﹣70°，，
∴，
解得；
∵t的值为或读数为负，舍去．
综上，t的值为10．
23．（3分）（2022秋•溧水区期末）如图是7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体，请在方格纸中用实线画出该几何体的主视图，左视图和俯视图．用若干个棱长为1cm的小正方体搭成如图所示的几何体．
解：三视图如图所示：
24．（6分）（2022秋•连云港期末）某电商销售A、B两种产品，相关信息如表：
（1）该电商十月份备货A、B两种产品一共用去31200元，其中A产品的数量比B产品数量的多40件，A、B两种产品各备货多少件？
（2）该电商准备在十一月份的“双十一”活动中采取以下的优惠政策：A产品实行“买五免一”成组销售（每5件商品为一组，每买5件商品可以获得其中1件商品免费的优惠活动），B产品打八五折．
①A产品实行的“买五免一”的优惠活动相当于每件A产品打 八 折；
②若A、B两种产品均全部售完，则“双十一”期间这两种商品的总利润将比十月份增加5000元．该电商计划为“双十一”备货A产品500件，则B产品的备货数量是多少件？
解：（1）设B产品备货x件，
∵A产品的数量比B产品数量的多40件，
∴A产品备件，
∵该电商十月份备货两种产品一共用去31200元，
∴，
解得：x＝600，
∴；
∴A产品备货240件，B产品备货600件；
（2）①∵A产品实行的“买五免一”，即买五件花四件的钱，，
∴A产品实行的“买五免一”的优惠活动相当于每件A产品打八折；
故答案为：八；
②设“双十一”B产品的备货数量是y件，
∵“双十一”A产品的备货数量是500件，
∴“双十一”两种产品的利润为[500×（45×0.8﹣30）+（60×0.85﹣40）y]元，
∵十月份两种产品的利润为：240×（45﹣30）+600（60﹣40）＝15600（元），
又∵“双十一”期间这两种商品的总利润将比十月份增加5000元，
∴500×（45×0.8﹣30）+（60×0.85﹣40）y﹣5000＝156000，
解得：y＝1600，
∴“双十一”B产品的备货数量是1600件．
25．（6分）（2022秋•高邮市期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣10、50，点P从点B开始沿数轴的负方向运动．
（1）在点P的运动过程中，若点P与点A的距离是线段AB长度一半时，点P对应的数是 20或﹣40 ；
（2）若点P的运动速度为6个单位长度/分钟，在点P的运动过程中，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍，求点P的运动时间；
（3）如图，若点Q在以原点O为圆心，OA为半径的圆上，∠QOB＝60°，点以Q以20°/分钟的速度顺时针运动，若点Q在运动一圈的时间内，P、Q两点能相遇，求点P的速度．
解：（1）∵点A、B对应的数分别为﹣10、50，
∴AB＝50﹣（﹣10）＝60，PA＝|x﹣（﹣10）|＝|x+10|，
依题意，
解得：x＝20或x＝﹣40，
故答案为：20或﹣40；
（2）点P的运动时间为t，则点P表示的数为50﹣6t，
∴PB＝6t，PA＝|50﹣6t+10|＝|60﹣6t|，
依题意，3|60﹣6t|＝6t，
解得：或t＝15，
∴点P的运动时间为或15分钟；
（3）分2种情况讨论，
①当相遇点在10，则点Q的运动时间为（360﹣60）÷20＝15分钟，
∴50﹣10＝40个单位长度/分钟，
②当相遇点在﹣10，即点A，则点Q的运动时间为（180﹣60）÷20＝6分钟，
∴50﹣（﹣10）＝6060÷6＝10个单位长度/分钟，
26．（4分）（2022秋•秦淮区期末）先化简，再求值：7a2b+（﹣4a2b+5ab2）﹣（2a2b﹣3ab2），其中a＝﹣1，b＝2．
解：7a2b+（﹣4a2b+5ab2）﹣（2a2b﹣3ab2），
＝7a2b﹣4a2b+5ab2﹣2a2b+3ab2
＝a2b+8ab2
当a＝﹣1，b＝2时，
原式＝（﹣1）2×2+8×（﹣1）×22
＝2﹣32
＝﹣30．
27．（5分）（2022秋•高新区期末）甲、乙两个旅行团同时去苏州旅游，已知乙团人数比甲团人数多4人，两团人数之和恰等于两团人数之差的18倍．
（1）问甲、乙两个旅行团的人数各是多少？
（2）若乙团中儿童人数恰为甲团中儿童人数的3倍少2人，某景点成人票价为每张100元，儿童票价是成人票价的六折，两旅行团在此景点所花费的门票费用相同，求甲、乙两团儿童人数各是多少？
解：（1）设甲旅行团的人数为x人，那么乙旅行团的人为x+4人，
由题意得：x+x+4＝4×18
解得：x＝34，
∴x+4＝38
答：甲、乙两个旅行团的人数各是34人，38人．
（2）设甲团儿童人数为m人，则可知乙团儿童人数为（3m﹣2）人，
所以甲团成人有（34﹣m）人，乙团成人有（38﹣3m+2）人．
根据题意列方程得：100（34﹣m）+m×100×60%＝100（38﹣3m+2）+（3m﹣2）×100×60%，
解得：m＝6．
∴3m﹣2＝16．
答：甲团儿童人数为6人，乙团儿童人数为16人．
28．（5分）（2022秋•兴化市校级期末）甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如表：
甲班分两次共购买苹果80千克（第二次多于第一次），共付出185元，乙班则一次购买苹果80千克．
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？
解：（1）185﹣2×80＝25．乙班少付出25元；
（2）设第一次买了x千克，则第二次买了（80﹣x）千克，
若两次都在30﹣50之间，2.5x+2.5（80﹣x）＝185，无解；
若一次在0﹣30之间，二次在30﹣50之间，3x+2.5（80﹣x）＝185，无解；
若一次在0﹣30之间，二次在50kg以上，3x+2（80﹣x）＝185，x＝25在0﹣30之间，80﹣x＝55．
答：甲班第一次购买了25千克，第二次购买了55千克．
29．（6分）（2021春•大连期末）如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意可得，
20t＝5t+120
解得t＝8，
即t＝8min时，射线OC与OD重合；
（2）由题意得，
20t+90＝120+5t或20t﹣90＝120+5t，
解得，t＝2或t＝14
即当t＝2min或t＝14min时，射线OC⊥OD；
（3）存在，
由题意得，120﹣20t＝5t或20t﹣120＝5t+120﹣20t或20t﹣120﹣5t＝5t，
解得t＝4.8或t＝或t＝12，
即当以OB为角平分线时，t的值为4.8min；当以OC为角平分线时，t的值为min，当以OD为角平分线时，t的值为12min．
30．（6分）（2022秋•兴化市校级期末）某商场购进一批西服，进价为每套250元，原定每套以290元的价格销售，这样每天可销售200套．如果每套比原销售价降低10元销售，则每天可多销售100套．该商场为了确定销售价格，作了如下测算，请你参加测算，并由此归纳得出结论．（每套西服的利润＝每套西服的销售价﹣每套西服的进价）．
（1）按原销售价销售，每天可获利润 8000 元；
（2）若每套降低10元销售，每天可获利润 9000 元；
（3）如果每套销售价降低10元，每天就多销售100套，每套销售价降低20元，每天就多销售200套，按这种方式，若每套降低10x元（0≤x≤4，x为正整数）请列出每天所获利润的代数式 （40﹣10x）（200+100x） ；
（4）计算x＝2和x＝3时，该商场每天获利润多少元？
（5）根据以上的测算，如果你是该商场的经理，你将如何确定商场的销售方案？
解：根据题意得：
∵依据利润＝每件的获利×件数，
∴（1）（290﹣250）×200＝8000（元），
（2）（280﹣250）×（200+100）＝9000（元），
（3）（40﹣10x）（200+100x），
（4）当x＝2时，利润为（40﹣10×2）（200+100×2）＝8000（元），
当x＝3时，利润为（40﹣10×3）（200+100×3）＝5000（元），
（5）由题意可知0≤x≤4，x为正整数，
当x＝0时，上式＝（40﹣10×0）（200+100×0）＝8000（元），
当x＝1时，上式＝（40﹣10×1）（200+100×1）＝9000（元），
当x＝4时，上式＝（40﹣10×4）（200+100×4）＝0（元），
所以每套降低10元销售时获利最多，作为商场的经理应以每套280元的价格销售
户月用水量（m3）
收费标准（元/m3）
不超过18m3
3.5
超过18m3，但不超过25m3的部分
5
超过25m3的部分
7
进价（元/件）
售价（元/件）
A产品
30
45
B产品
40
60
购买苹果数
不超过30千克
30千克以上但不超过50千克
50千克以上
每千克价格
3元
2.5元
2元
户月用水量（m3）
收费标准（元/m3）
不超过18m3
3.5
超过18m3，但不超过25m3的部分
5
超过25m3的部分
7
进价（元/件）
售价（元/件）
A产品
30
45
B产品
40
60
购买苹果数
不超过30千克
30千克以上但不超过50千克
50千克以上
每千克价格
3元
2.5元
2元
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