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第一次月考卷（苏州专用）-2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（江苏专用）
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这是一份第一次月考卷（苏州专用）-2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（江苏专用），共27页。试卷主要包含了考试范围，对于一元二次方程，下列说法等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共27题。答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上。
3．考试范围：九年级数学上册第1-2章（苏科版）
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）
1．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）用配方法解一元二次方程：x2+6x+2=0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x +3）2=-7 B．（x +3）2=7 C．（x -3）2=7 D．（x -3）2=-7
2．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（ ）
A．2500（1+x）2=9000
B．2500（1+x%）2=9000
C．2500（1+x）+2500（1+x）2=9000
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=9000
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，以点A为圆心，以4cm长为半径作圆，则⊙A与BC的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．外离
4．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知a是方程2x2-3x-5=0的一个解，则4a2-6a的值为（ ）
A．10B．-10C．2D．-40
5．如图所示，一圆弧过方格的格点ABC，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0,4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（-1,2）B．（1,-1）C．（-1,1）D．（2,1）
6．（2023·江苏苏州·二模）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，、两点之间的距离为，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）．
A．B．C．D．
7．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接BD，作于点，连接CE，则线段CE长度的最小值为（ ）
A．3B．C．D．1
8．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的：（ ）
A．只有①B．只有①②C．①②③D．只有①②④
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
9．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为.
10．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一根为，则k的值为．
11．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为5cm，则这个扇形的半径是cm．
12．（22-23九年级上·江苏苏州·单元测试）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．
13．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，以为直径作．将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为．
14．（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点D，E，连接，的延长线交于点F，则．
15．（2024·江苏苏州·一模）我们规定：若，则．例如，则．已知，若，且，则的值为．
16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，点M为边上一点，以点M为圆心，为半径作，交x轴于点D，连接交于点E，连接，点F为中点，则的最小值为．
三、解答题（11小题，共82分）
17．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）用适当的方法解方程：
（1）；（2）．
18．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，
（1）若以为圆心，长为半径作（画图），则、、与圆的位置关系是什么？
（2）若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是______．
19．（23-24九年级上·福建漳州·期末）漳州市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个．
（1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率；
（2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？
20．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以．
（1）求和的值；
（2）若是一元二次方程的两个根，且，求的值．
21．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是弦AB上的一个动点，连接，过点作交于点．
（1）试说明当点在AB的什么位置时，CD的长取得最大值？
（2）若，求CD长的最大值．
22．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点，分别从点、同时出发，点以厘米秒的速度向终点移动，点以厘米秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为秒，问：
（1）当为何值时，点和点距离是？
（2）当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形．
23．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且
（1）求证：是的切线；
（2）若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积．
24．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）某农场要建一个饲养场（长方形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的、、三处各留、、宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长．
（1）若饲养场（长方形）的一边长为，则另一边 ______ ．
（2）若饲养场（长方形）的面积为，求边的长．
（3）饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由．
25．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，为的直径，点、都在上，且平分，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
26．（2024·江苏常州·一模）对于平面直角坐标系中的任意点Px1,y1，点Qx2,y2，如果满足，那么我们称这样点P、Q是“互为关联点”，a是点P或点Q的“关联距”．如图，的顶点，，．的圆心，半径是1．
（1）点的“关联距”是__________；
（2）边上有一点D，若点D与点A是“互为关联点”，求点D的坐标；
（3）N是上一个动点，若点N与边上一点是“互为关联点”，求点N的“关联距”a的取值范围．
27．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）我们给出定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点M（，），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若方程为，该方程的衍生点M为．
（2）若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
参考答案
一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）
1．B
【分析】本题考查配方法，利用完全平方公式进行配方即可求解．
【详解】解：x2+6x+2=0，移项得，x2+6x=-2，配方得x2+6+9x=-2+9，即（x +3）2=7，故选：B．
2．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x，根据计划第二季度的总营业额达到9100万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=9000．故选：D．
3．D
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径4比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解．
【详解】过点A作于点D，
根据等腰三角形三线合一得：，
根据勾股定理得：，
以长为半径的与的位置关系是相离，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义及代数式求值，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程求得，然后根据即可求解．
【详解】解：把代入方程得：，
则，
则．
故选：A
5．C
【分析】本题主要考查了坐标与图形，连接，作线段的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点A的坐标即可求得答案．
【详解】解：如图所示，
连接，作出的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点A的坐标为0,4，
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是-1,1．
故选：C．
6．B
【分析】连接CD，先证是等边三角形，求出，再利用扇形面积公式分别求出和，即可得出结果．
【详解】解：如图，连接CD，
由题意，，
是等边三角形，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查扇形面积计算、等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键．
7．B
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的基本性质，圆周角定理以及勾股定理连接，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再根据圆周角定理，由AD为直径得到，接着由得到点在以AB为直径的上，于是当点、、共线时，CE最小，如图，在中利用勾股定理计算出，从而得到CE的最小值
【详解】，，，
，
，
点在以AB为直径的上，
连接，
，
在中，
，，
，
由于，是定值，
点在线段上时，CE最小，如图2，
，即线段CE长度的最小值为，
故选：B．
8．D
【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可．
【详解】由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①正确；
∵方程有两个不相等的实根，
∴方程有两个不相等的实根，
即a与c异号．
∴-ac>0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②正确；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③错误；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
9．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般式，即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2，
化成的一般形式为，
一次项系数为，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程，求解即可．掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
【详解】解：把，代入方程，得：，
∴；
故答案为：．
11．12
【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可．掌握圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，是解题的关键．
【详解】解：设扇形的半径为，
由题意，得：，
解得：，
故答案为：12．
12．
【分析】根据判别式的意义得到，然后解不等式求出的取值即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴，
解得，
∴实数的取值范围是．
故答案为：．
13．2
【分析】连接并延长交于点，连接，过点作，根据切线的性质及旋转的性质可以得到四边形、四边形均为矩形，结合、、的半径及勾股定理可以求出及的长度，再利用等腰三角形的性质即可确定及的长度；
【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，过点作，
∵边与相切，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵四边形、四边形均为矩形，
∴，则，
在中，
，
∵且，
∴，
即：
故答案为：
【点睛】本题考查了切线的性质定理，旋转的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理，掌握等腰三角形、矩形的性质，理解切线的性质定理是解决本题的关键．
14．/29度
【分析】此题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理等知识，推导出是解题的关键．
由的内切圆与，分别相切于点D，E，得，，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：的内切圆与，分别相切于点D，E，
，，
，
，
∵，
，
故答案为：．
15．/
【分析】本题主要考查新定义运算和解一元二次方程，根据新定义运算法则得到一元二次方程，求解后再对方程的解进行判断即可
【详解】解：若，则
所以，，得：
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，
∵，
∴，即，的值为：，
故答案为：
16．/
【分析】如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接，由矩形的性质得到，进而得到，，证明，则，再证明为的中位线，得到，则点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动，故当三点共线且点F在上时，有最小值，利用勾股定理得到，则．
【详解】解；如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接，
∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动，
∴当三点共线且点F在上时，有最小值，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，矩形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理等等，正确作出辅助线推出点F的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题（11小题，共82分）
17．（1），；（2），
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．
（1）用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
两边同除以2得：，
开平方得：，
∴，；
（2）解：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
18．（1）作图见解析，点在圆上，点和点在圆外；（2）
【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形即可判断点与圆的位置关系．
（2）根据勾股定理计算出对角线的长度，则半径的取值范围为．
【详解】（1）
由图可知：点在圆上，点和点在圆外．
（2）连接，在中，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
19．（1）该品牌头盔销售量的月均增长率为20%
（2）该品牌头盔的销售价应定为50元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题的关键；
（1）根据增长率公式列出方程即可；
（2）利用单个头盔的利润乘以销售量等于总利润列出方程求解即可．
【详解】（1）设该品牌头盔销售量的月均增长率为x，依题意，得
．
解这个方程，得，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月均增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的销售价为y元，依题意，得
．
解这个方程，得，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔的销售价应定为50元．
20．（1）；；（2）
【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算：
（1）根据题目已知定义计算即可；
（2）先根据一元二次方程根的定义得到，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）
；
；
（2）是一元二次方程的根，
，
根据根与系数的关系得，
．
21．（1）为AB中点位置；（2）
【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理；
（1）连接，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当时，最小；
（2）根据（1）得出、重合进而根据，求出CD即可．
【详解】（1）解：连接
又为半径是一个定值，
越小，CD越大
当为垂线段时，为最小值，则CD取最大值
为AB中点位置时，CD的长取得最大值．
（2）由（1）知
、重合
的最大值是．
22．（1），；
（2），，．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质；
（1）作于E，则四边形是矩形，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解；
（2）当时，作于E，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解．当时，作于E，可得，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，作于E，
∴，∵
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
在中，由勾股定理，得，
解得：，，
当时，图（1）满足，
当时，图（2）满足，
综上所述：，；
（2）如图3，当时，作于E，
∴∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得：，，
如图4，当时，作于E，
∴，．
∵，
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴．
∴，解得：；
综上所述：，，．
23．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，是的中点，
∴，
∵的半径为，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积为：
，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（1）18；（2）；（3）不能，理由见解析
【分析】（1）由木栏总长为，即可求出的长；
（2）设，则，根据饲养场矩形）的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值；
（3）设，则，根据饲养场矩形）的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出饲养场的面积不能达到．
【详解】（1）解：．
故答案为：．
（2）解：设，则，
依题意得：，
解得：，，
∵，，
∴，
，
当时，，符合题意．
答：边的长为．
（3）解：不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：，
∵，
该方程无实数根，
饲养场的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）12
【分析】（1）由平分，根据圆周角定理的推论，可得；
（2）过点作于点，由圆周角定理和角平分线的定义得，求得，再由勾股定理求得，进而求出长，由勾股定理得，即可求得的半径.
【详解】（1）证明：平分，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
为的直径，
，，
平分，
，
，
∴，
，，
由勾股定理得，
，
，
，
，
，
的半径为12．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
26．（1）2；（2）；（3）
【分析】（1）根据“关联距”的定义求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线解析式为，设，根据点D与点A是“互为关联点”，，得到，解方程即可得到答案；
（3）同理可得直线解析式为，设是线段上一点，则；设是线段上一点，则；设是线段上一点，则；如图所示，设直线与相切于T，过点M分别作x轴，y轴的平行线，交直线于P、Q，求出，证明，推出点T为中点，则点T的坐标为，再由，可得，解得或，设是上一点，则，据此可得．
【详解】（1）解：∵，
∴点的“关联距”是2，
故答案为：2；
（2）解：设直线解析式为，
把，代入中得，
∴，
∴直线解析式为，
设，
∵点D与点A是“互为关联点”，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：同理可得直线解析式为，
设是线段上一点，则；
设是线段上一点，则，
∵，
∴；
设是线段上一点，则，
∵，
∴；
如图所示，设直线与相切于T，过点M分别作x轴，y轴的平行线，交直线于P、Q，
∴，
∴，
∴，
由切线的性质可得，
∴点T为中点，
∴点T的坐标为，
∵的半径为1，即，
∴，
解得或，
设是上一点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，直线与圆的位置关系，坐标与图形，勾股定理，解题的关键是理解题意，图象法解决问题．
27．（1）（1，2）
（2）或
（3）存在，，
【分析】（1）解方程后，根据定义即可求M点坐标；
（2）求出方程的解为x = 1或x = 5m，再分情况讨论：当5m≥1时，此时M（1，5m）；当0≤5m≤1时，此时M（5m，1），当5m< 0时，M（5m，1）；再由题意分别求出m的值即可；
（3）由直线经过定点（2，6），则方程+bx +c = 0的衍生点M为（2，6），即可求出b= 4，c=12．
【详解】（1）∵的解为x=1或2，
∴，
∴M（1，2），
该方程的衍生点M的坐标（1，2），
故答案为：（1，2）；
（2）∵的解为x=1或x=5m，
当时，，此时M（1，5m），
由题意可得1 = 5m，
解得m =，
当时，，此时M（5m，1），
∴5m=1，
∴m=；
当5m< 0时，M（5m，1），此时，
解得m =；
综上，m的值为或；
（3）存在b，c满足条件，理由如下：
∵，
∴直线经过定点，
∴方程 + bx + c = 0的衍生点M为，
∴将和代入可得,
解得，．
【点睛】本题属于一元二次方程与一次函数综合题，考查一元二次方程的解法，一次函数的图象及性质，点M为该一元二次方程的衍生点的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题．
注意事项：
1．本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共27题。答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上。
3．考试范围：九年级数学上册第1-2章（苏科版）
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）
1．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）用配方法解一元二次方程：x2+6x+2=0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x +3）2=-7 B．（x +3）2=7 C．（x -3）2=7 D．（x -3）2=-7
2．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（ ）
A．2500（1+x）2=9000
B．2500（1+x%）2=9000
C．2500（1+x）+2500（1+x）2=9000
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=9000
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，以点A为圆心，以4cm长为半径作圆，则⊙A与BC的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．外离
4．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知a是方程2x2-3x-5=0的一个解，则4a2-6a的值为（ ）
A．10B．-10C．2D．-40
5．如图所示，一圆弧过方格的格点ABC，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0,4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（-1,2）B．（1,-1）C．（-1,1）D．（2,1）
6．（2023·江苏苏州·二模）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，、两点之间的距离为，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）．
A．B．C．D．
7．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接BD，作于点，连接CE，则线段CE长度的最小值为（ ）
A．3B．C．D．1
8．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的：（ ）
A．只有①B．只有①②C．①②③D．只有①②④
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
9．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为.
10．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一根为，则k的值为．
11．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为5cm，则这个扇形的半径是cm．
12．（22-23九年级上·江苏苏州·单元测试）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．
13．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，以为直径作．将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为．
14．（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点D，E，连接，的延长线交于点F，则．
15．（2024·江苏苏州·一模）我们规定：若，则．例如，则．已知，若，且，则的值为．
16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，点M为边上一点，以点M为圆心，为半径作，交x轴于点D，连接交于点E，连接，点F为中点，则的最小值为．
三、解答题（11小题，共82分）
17．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）用适当的方法解方程：
（1）；（2）．
18．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，
（1）若以为圆心，长为半径作（画图），则、、与圆的位置关系是什么？
（2）若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是______．
19．（23-24九年级上·福建漳州·期末）漳州市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个．
（1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率；
（2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？
20．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以．
（1）求和的值；
（2）若是一元二次方程的两个根，且，求的值．
21．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是弦AB上的一个动点，连接，过点作交于点．
（1）试说明当点在AB的什么位置时，CD的长取得最大值？
（2）若，求CD长的最大值．
22．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点，分别从点、同时出发，点以厘米秒的速度向终点移动，点以厘米秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为秒，问：
（1）当为何值时，点和点距离是？
（2）当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形．
23．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且
（1）求证：是的切线；
（2）若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积．
24．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）某农场要建一个饲养场（长方形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的、、三处各留、、宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长．
（1）若饲养场（长方形）的一边长为，则另一边 ______ ．
（2）若饲养场（长方形）的面积为，求边的长．
（3）饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由．
25．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，为的直径，点、都在上，且平分，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
26．（2024·江苏常州·一模）对于平面直角坐标系中的任意点Px1,y1，点Qx2,y2，如果满足，那么我们称这样点P、Q是“互为关联点”，a是点P或点Q的“关联距”．如图，的顶点，，．的圆心，半径是1．
（1）点的“关联距”是__________；
（2）边上有一点D，若点D与点A是“互为关联点”，求点D的坐标；
（3）N是上一个动点，若点N与边上一点是“互为关联点”，求点N的“关联距”a的取值范围．
27．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）我们给出定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点M（，），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若方程为，该方程的衍生点M为．
（2）若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
参考答案
一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）
1．B
【分析】本题考查配方法，利用完全平方公式进行配方即可求解．
【详解】解：x2+6x+2=0，移项得，x2+6x=-2，配方得x2+6+9x=-2+9，即（x +3）2=7，故选：B．
2．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x，根据计划第二季度的总营业额达到9100万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=9000．故选：D．
3．D
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径4比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解．
【详解】过点A作于点D，
根据等腰三角形三线合一得：，
根据勾股定理得：，
以长为半径的与的位置关系是相离，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义及代数式求值，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程求得，然后根据即可求解．
【详解】解：把代入方程得：，
则，
则．
故选：A
5．C
【分析】本题主要考查了坐标与图形，连接，作线段的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点A的坐标即可求得答案．
【详解】解：如图所示，
连接，作出的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点A的坐标为0,4，
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是-1,1．
故选：C．
6．B
【分析】连接CD，先证是等边三角形，求出，再利用扇形面积公式分别求出和，即可得出结果．
【详解】解：如图，连接CD，
由题意，，
是等边三角形，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查扇形面积计算、等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键．
7．B
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的基本性质，圆周角定理以及勾股定理连接，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再根据圆周角定理，由AD为直径得到，接着由得到点在以AB为直径的上，于是当点、、共线时，CE最小，如图，在中利用勾股定理计算出，从而得到CE的最小值
【详解】，，，
，
，
点在以AB为直径的上，
连接，
，
在中，
，，
，
由于，是定值，
点在线段上时，CE最小，如图2，
，即线段CE长度的最小值为，
故选：B．
8．D
【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可．
【详解】由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①正确；
∵方程有两个不相等的实根，
∴方程有两个不相等的实根，
即a与c异号．
∴-ac>0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②正确；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③错误；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
9．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般式，即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2，
化成的一般形式为，
一次项系数为，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程，求解即可．掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
【详解】解：把，代入方程，得：，
∴；
故答案为：．
11．12
【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可．掌握圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，是解题的关键．
【详解】解：设扇形的半径为，
由题意，得：，
解得：，
故答案为：12．
12．
【分析】根据判别式的意义得到，然后解不等式求出的取值即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴，
解得，
∴实数的取值范围是．
故答案为：．
13．2
【分析】连接并延长交于点，连接，过点作，根据切线的性质及旋转的性质可以得到四边形、四边形均为矩形，结合、、的半径及勾股定理可以求出及的长度，再利用等腰三角形的性质即可确定及的长度；
【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，过点作，
∵边与相切，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵四边形、四边形均为矩形，
∴，则，
在中，
，
∵且，
∴，
即：
故答案为：
【点睛】本题考查了切线的性质定理，旋转的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理，掌握等腰三角形、矩形的性质，理解切线的性质定理是解决本题的关键．
14．/29度
【分析】此题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理等知识，推导出是解题的关键．
由的内切圆与，分别相切于点D，E，得，，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：的内切圆与，分别相切于点D，E，
，，
，
，
∵，
，
故答案为：．
15．/
【分析】本题主要考查新定义运算和解一元二次方程，根据新定义运算法则得到一元二次方程，求解后再对方程的解进行判断即可
【详解】解：若，则
所以，，得：
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，
∵，
∴，即，的值为：，
故答案为：
16．/
【分析】如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接，由矩形的性质得到，进而得到，，证明，则，再证明为的中位线，得到，则点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动，故当三点共线且点F在上时，有最小值，利用勾股定理得到，则．
【详解】解；如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接，
∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动，
∴当三点共线且点F在上时，有最小值，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，矩形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理等等，正确作出辅助线推出点F的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题（11小题，共82分）
17．（1），；（2），
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．
（1）用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
两边同除以2得：，
开平方得：，
∴，；
（2）解：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
18．（1）作图见解析，点在圆上，点和点在圆外；（2）
【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形即可判断点与圆的位置关系．
（2）根据勾股定理计算出对角线的长度，则半径的取值范围为．
【详解】（1）
由图可知：点在圆上，点和点在圆外．
（2）连接，在中，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
19．（1）该品牌头盔销售量的月均增长率为20%
（2）该品牌头盔的销售价应定为50元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题的关键；
（1）根据增长率公式列出方程即可；
（2）利用单个头盔的利润乘以销售量等于总利润列出方程求解即可．
【详解】（1）设该品牌头盔销售量的月均增长率为x，依题意，得
．
解这个方程，得，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月均增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的销售价为y元，依题意，得
．
解这个方程，得，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔的销售价应定为50元．
20．（1）；；（2）
【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算：
（1）根据题目已知定义计算即可；
（2）先根据一元二次方程根的定义得到，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）
；
；
（2）是一元二次方程的根，
，
根据根与系数的关系得，
．
21．（1）为AB中点位置；（2）
【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理；
（1）连接，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当时，最小；
（2）根据（1）得出、重合进而根据，求出CD即可．
【详解】（1）解：连接
又为半径是一个定值，
越小，CD越大
当为垂线段时，为最小值，则CD取最大值
为AB中点位置时，CD的长取得最大值．
（2）由（1）知
、重合
的最大值是．
22．（1），；
（2），，．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质；
（1）作于E，则四边形是矩形，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解；
（2）当时，作于E，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解．当时，作于E，可得，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，作于E，
∴，∵
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
在中，由勾股定理，得，
解得：，，
当时，图（1）满足，
当时，图（2）满足，
综上所述：，；
（2）如图3，当时，作于E，
∴∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得：，，
如图4，当时，作于E，
∴，．
∵，
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴．
∴，解得：；
综上所述：，，．
23．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，是的中点，
∴，
∵的半径为，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积为：
，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（1）18；（2）；（3）不能，理由见解析
【分析】（1）由木栏总长为，即可求出的长；
（2）设，则，根据饲养场矩形）的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值；
（3）设，则，根据饲养场矩形）的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出饲养场的面积不能达到．
【详解】（1）解：．
故答案为：．
（2）解：设，则，
依题意得：，
解得：，，
∵，，
∴，
，
当时，，符合题意．
答：边的长为．
（3）解：不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：，
∵，
该方程无实数根，
饲养场的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）12
【分析】（1）由平分，根据圆周角定理的推论，可得；
（2）过点作于点，由圆周角定理和角平分线的定义得，求得，再由勾股定理求得，进而求出长，由勾股定理得，即可求得的半径.
【详解】（1）证明：平分，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
为的直径，
，，
平分，
，
，
∴，
，，
由勾股定理得，
，
，
，
，
，
的半径为12．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
26．（1）2；（2）；（3）
【分析】（1）根据“关联距”的定义求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线解析式为，设，根据点D与点A是“互为关联点”，，得到，解方程即可得到答案；
（3）同理可得直线解析式为，设是线段上一点，则；设是线段上一点，则；设是线段上一点，则；如图所示，设直线与相切于T，过点M分别作x轴，y轴的平行线，交直线于P、Q，求出，证明，推出点T为中点，则点T的坐标为，再由，可得，解得或，设是上一点，则，据此可得．
【详解】（1）解：∵，
∴点的“关联距”是2，
故答案为：2；
（2）解：设直线解析式为，
把，代入中得，
∴，
∴直线解析式为，
设，
∵点D与点A是“互为关联点”，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：同理可得直线解析式为，
设是线段上一点，则；
设是线段上一点，则，
∵，
∴；
设是线段上一点，则，
∵，
∴；
如图所示，设直线与相切于T，过点M分别作x轴，y轴的平行线，交直线于P、Q，
∴，
∴，
∴，
由切线的性质可得，
∴点T为中点，
∴点T的坐标为，
∵的半径为1，即，
∴，
解得或，
设是上一点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，直线与圆的位置关系，坐标与图形，勾股定理，解题的关键是理解题意，图象法解决问题．
27．（1）（1，2）
（2）或
（3）存在，，
【分析】（1）解方程后，根据定义即可求M点坐标；
（2）求出方程的解为x = 1或x = 5m，再分情况讨论：当5m≥1时，此时M（1，5m）；当0≤5m≤1时，此时M（5m，1），当5m< 0时，M（5m，1）；再由题意分别求出m的值即可；
（3）由直线经过定点（2，6），则方程+bx +c = 0的衍生点M为（2，6），即可求出b= 4，c=12．
【详解】（1）∵的解为x=1或2，
∴，
∴M（1，2），
该方程的衍生点M的坐标（1，2），
故答案为：（1，2）；
（2）∵的解为x=1或x=5m，
当时，，此时M（1，5m），
由题意可得1 = 5m，
解得m =，
当时，，此时M（5m，1），
∴5m=1，
∴m=；
当5m< 0时，M（5m，1），此时，
解得m =；
综上，m的值为或；
（3）存在b，c满足条件，理由如下：
∵，
∴直线经过定点，
∴方程 + bx + c = 0的衍生点M为，
∴将和代入可得,
解得，．
【点睛】本题属于一元二次方程与一次函数综合题，考查一元二次方程的解法，一次函数的图象及性质，点M为该一元二次方程的衍生点的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题．
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