第一次月考卷（无锡专用）-2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（江苏专用）

这是一份第一次月考卷（无锡专用）-2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（江苏专用），共28页。试卷主要包含了考试范围等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上。
3．考试范围：九年级数学上册第1-2章（苏科版）
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．ax2+bx+c=0 C．（x-1）（x+3）=-3 D．4x2-xy+7=0
2．（23-24八年级下·江苏南通·期末）一元二次方程x2+2x-3=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，2，3B．0，2，-3 C．0，-2，-3 D．1，2，-3
3．（2024九年级上·江苏·专题练习）进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ）
A．1+x+x（x+1）=81 B．1+（1+x）+x（x+1）=81 C．1+x+x2=81 D．x（x+1）=81
4．（24-25九年级上·全国·单元测试）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．①B．②C．③D．④
5．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知⊙O的半径为9cm，若OA=10cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O外B．点A在⊙O上C．点A在⊙O内D．不能确定
6．（2024九年级上·江苏·专题练习）若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的一个根是3，则m的值为（ ）
A．-3B．3或-3C．3D．0
7．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的方程，则的值是（ ）
A．B．1C．或1D．3或
9．（2024·江苏常州·模拟预测）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数y=x的图象如图所示，则方程的根为（ ）
A．B．
C．，D．，，
10．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是
12．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是．
13．（2023·江苏淮安·一模）已知，分别是方程的两个实数根，则．
14．（23-24九年级下·甘肃武威·期中）如图，从一张腰长为的等腰直角三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为．
15．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了秒钟后，的面积等于．
16．（2024·江苏·模拟预测）如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为．

17．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为．
18．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作圆，在的边上取一点，过点作的切线，切点记为．若，且满足条件的点恰有3个，则的取值应满足的条件为．
三、解答题（10小题，共64分）
19．（23-24九年级上·江苏常州·期末）解下列方程：
（1）；（2）．
20．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知：，且，求的值．
21．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
22．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．

（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长（结果保留）．
23．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知P是上一点，在上作两点，使得分别满足以下条件：
（1）在图①中，；
（2）在图②中，．
（说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．）
24．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm．
（1）的长为米；
（2）如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
25．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，与相切于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
26．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，的半径是2，是的内接三角形．

（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在上找一点D，使；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连结、、，四边形是平行四边形，则_______；、、围成的封闭图形的面积是_______．
27．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）我们知道，平面直角坐标系中，若、，则的长度可表示为．若点与点关于原点对称，为第一象限内动点，且．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若的面积为2，求P点坐标；
28．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，点以的速度从点向点运动，点以的速度从点向点运动，点同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆．
（1）当时，的半径是，与直线的位置关系是；
（2）在点从点向点运动过程中，当与直线相切时，求的值；
（3）连接，交于点，如图，当时，求的值．
参考答案
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．
本题根据一元二次方程的定义求解．
【详解】解：A、该方程属于分式方程，不符合题意；
B、该方程中，当a＝0时，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
C、（x-1）（x+3）=-3化简得：x2+2x=0符合一元二次方程的定义，符合题意；
D、该方程中含有2个未知数，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键在于将方程转化为一元一次方程的一般形式即可解答. 将方程转化为一元一次方程的一般形式，然后找出方程的二次项系数、一次项系数及常数项即可.
【详解】解：方程x2+2x-3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2，-3，故选D
3．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人，
第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染．
根据题意得：．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
5．A
【分析】本题考查点与圆的位置关系．若⊙O的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在⊙O上；当时，点P在⊙O内；当时，点P在⊙O外．熟记相关结论即可．
【详解】解：∵，
∴点A在外
故选：A
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是明确能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；把代入方程得，然后求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是3，
∴，
解得．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了圆周角定理，连接，证明，利用直角三角形的两锐角互余求出，然后由同弧所对的圆周角相等即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理得应用．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：．
8．B
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可．
【详解】解：设，则此方程可化为，
∴，
∴或，
解得，，
∴的值是1或．
当时，，
∵，
∴此方程无解，
∴的值是1．
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了函数的图象，解一元二次方程．根据新定义和函数图象进行讨论是解题的关键．
根据新定义和函数图象分情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；然后分别求关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：由题意知，当时，，解得或，均不合题意；
当时，，解得或（舍去）；
当时，，方程没有实数解；
当时，，方程没有实数解；
∴方程的解为0，
故选：B．
10．A
【分析】本题考查矩形的性质、直径所对的圆周角是直角、勾股定理, 熟练掌握以上知识是解题的关键．
先根据矩形的性质，证明，故可得在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，连接交弧于点，此时取最小值，利用勾股定理算出，即可算出．
【详解】解：∵，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，
如图所示，连接交弧于点，此时取最小值，
∵，，
∴，
∴，
∴，即的最小值为，
故选．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程可得，再解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：
12．
【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方的非负性是解题关键．根据直接开平方法可得关于m的不等式，进而求解可得．
【详解】解：可以用直接开平方法求解，
，
．
故答案为．
13．
【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
根据根与系数的关系得到，，然后将通分代入求解即可．
【详解】解：∵，分别是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧长的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到弧，计算即可．
【详解】过作于点，
，，
，
，
设圆锥的底面圆的半径为，则，
，
解得，
故答案为：．
15．2或
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是Q点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般．设经过x秒，的面积等于，分类讨论当秒时，Q点在上运动，P在上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当秒时，Q点在上运动，P在上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值．
【详解】解：设经过x秒，的面积等于，
当秒时，Q点在上运动，P在上运动，
，，
∴，
解得或4，
又知，
故符合题意，
当秒时，Q点在上运动，P在上运动，
，
解得．
故答案为：2或．
16．
【分析】连接，由，得到，求得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
17．
【分析】连接、，如图，根据切线的性质得，再利用勾股定理得到，利用垂线段最短，当最小时，最小，然后求出的最小值，从而得到的最小值．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
【详解】解：连接、，如图，
直线切于点，
，
在中，，
当最小时，最小，
当直线时，有最小值2，
的最小值为．
故答案为．
18．或．
【分析】本题主要考了圆的切线性质和勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．第一步，根据题目，我们知道中，，，，．第二步，分情况讨论点的情况．
【详解】解：中，，，，
．
作于，
，
①当时，
存在2个、上各一个）
②当时，
存在3个，
；
③当，
存在4个，
④当时，
存在3个，
；
⑤当时，
存在2个，
⑥当时，
存在1个，
⑦当时，
存在0个，
综上，或．
故答案为：或．
三、解答题（10小题，共64分）
19．（1）；（2）．
【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）运用配方法解一元二次方程即可求解；
（2）运用因式分解法求一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
∴或，
∴，．
20．3
【分析】本题考查根与系数的关系，分式的值等知识．由题意．推出，可得结论．
【详解】解：由可知．
两边除以得到，．
即，
又，且，即．
，是方程的两根，
，
．
21．（1）；（2）
【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，
（1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，根据根的判别式得到关于m的不等式是解题的关键；
（2）根据根与系数的关系得到，又求出，然后代入求解即可．
【详解】（1）方程有实数根，
，
，
即；
（2）为该方程的两个实数根，
，
又，
∴
∴
∴，
将代入得，
∴．
22．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，即可；
（2）根据，得到，进而得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，求出半径的长，根据弧长公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，则：，

∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，弧长公式，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查圆周角定理．掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
（1）过圆心，作一条直线，交圆上于，两点就是所求；
（2）在圆上选一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，就是所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
∵是直径，
∴；
（2）解：如图，即为所求．

证明：连接，如图所示：

以 A 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 B ，
连接 ，
则，
∴，
∴
24．（1）；
（2）养殖园的面积不能达到，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据隔离网的总长为30m，且，得出，进而得出答案；
（2）养殖园的面积不能达到，根据各边之间的关系，可得出，结合矩形养殖园面积为，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，进而可得出养殖园的面积不能达到．
【详解】（1）解：∵隔离网的总长为30m，且，
∴，
∴米，
故答案为：；
（2）解：养殖园的面积不能达到，理由如下：
∵隔离网的总长为30m，
设，
∴，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程无实数根，
∴养殖园的面积不能达到．
25．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，可得，根据切线的性质可得，进而得出，则，根据等量代换即可得证；
（2）过点作，交于点，根据垂径定理可得，故，根据矩形的判定和性质，即可求解．
【详解】（1）解：连接，如图，
是的切线，
，
又，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：作，如图，
，，
由（）知，
四边形是矩形，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线．
26．（1）见解析；（2），
【分析】本题考查了作图-角平分线，圆周角定理，扇形的面积：
（1）作的角平分线交于点D，由同弧所对的圆周角相等可得；
（2）证明为等边三角形即可求得，再根据三角形的面积和扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，作的角平分线交于点D，则

（2）解：如图，设、交于点E，

四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
平分，
由（1）知平分，
与在同一直线上，
为的直径，
，
为等边三角形，
；
，
，
为等边三角形，的半径是2，
，
，
、、围成的封闭图形的面积为，
故答案为：，．
27．（1）；（2）点P的坐标为或
【分析】本题考查了两点间距离公式，坐标与图象，关于原点对称的点，一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）利用原点对称得到点，再根据建立方程求解，即可解题；
（2）根据题意分两种情况讨论，当点P在的下方时，设点P的坐标为，过点P作轴交于点H．结合的面积为2，构造方程求解即可，当点P在的上方时，同法可求．
【详解】（1）解：点与点关于原点对称，
，
，
，
两边平方后得：，
整理得，
两边平方后得：
整理得，
；
（2）解：如图，当点P在的下方时，设点P的坐标为，过点P作轴交于点H．
直线的解析式为，
，
，
，
，
解得或，
经检验或都是分式方程的解，但不符合题意，
，
当点P在的上方时，同法可得
综上所述，满足条件的点P的坐标为2,1或．
28．（1），相离；（2）；（3）
【分析】（）过点作于，交于，由得到的直径是，求出即可得到的半径，利用三角形中位线得到，进而得到，即可判断与直线的位置关系；
（）当与相切时，设切点为，连接并延长交于，根据得到方程，解方程即可求解；
（）过作，交的延长线于点，连接，证明，得到，由得到方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴的直径是，，
当时，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴的半径为，
∵，是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴与直线的位置关系是相离，
故答案为：，相离；
（2）解：如图，当与相切时，设切点为，连接并延长交于，则，，，
∵，，
∴，
∴，
在中，∵，，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的值为；
（3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质、直线和圆的位置关系，勾股定理、中位线的判定和性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．