上海市实验学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷

这是一份上海市实验学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷，共13页。
一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1—6题每个空格填对得4分，7—12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.若使不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是__________.
2.已知全集且，则__________.
3.已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是__________.
4.设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是__________.
5.函数的值域是__________.
6.函数在处的切线方程为__________.
7.已知函数，满足，则__________.
8.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.
9.已知函数，则不等式的解集为__________.
10.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则__________.
11.若以曲线任意一点为切点作切线，曲线上总存在异于的点，以点为切点作切线，且，则称曲线具有“可平行性”.下列曲线具有可平行性的编号为__________.（写出所有满足条件的函数的编号）
①②④
12.若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是__________.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ）.
A. B.
C. D.
14.已知函数的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
15.已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（ ）
A. B. C. D.
16.现定义如下：当，则称为延展函数，当时，均为延展函数，给定以下两个命题
①存在，与有无穷个交点；
②存在，与有无穷个交点；
则下面选项正确是（ ）
A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题
C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题
三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在棱长为2的正方体中，为的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求三棱锥的体积.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和.
（1）求的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数在时有最大值1.
（1）求实数的值；
（2）设，若当时，的最小值为，最大值为，求的值.
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数.当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的相关函数.
（1）解关于的不等式；
（2）对任意的的图象总在其相关函数图象的下方，求的取值范围；
（3）设函数.当时，求的最大值.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数，其中为常数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若，求函数在上的极值点的个数.
2024—2025学年上海市实验学校高三年级上学期
9月月考数学试卷
2024.9
一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1—6题每个空格填对得4分，7—12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.【答案】
【解析】因为使不等式成立的一个充分不必要条件是，
则.
2.【答案】
【解析】因为全集且，
则.
3.【答案】
【解析】关于的不等式的解集为，若，
故有或.
4.【答案】
【解析】由奇函数图象的特征可得在上的图象，
由图象可解出结果，故为.
5.【答案】
【解析】令，则，
因为，则，且的对称轴为，
可知，所以的值域是.
6.【答案】
【解析】.
7.【答案】1
【解析】，故，解得，则，
故.
8.【答案】
【解析】令，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，作出函数的大致图象，
又因为函数在区间上有最大值，
结合图象，由题意可得，解得.
所以实数的取值范围是.
9.【答案】
【解析】因为，
所以，即为奇函数，
因为恒成立，
所以在上单调递增，
则不等式可转化为，
所以，解得.
10.【答案】1
【解析】根据题意，函数满足，则有，
所以函数是周期为4的周期函数，
又是奇函数，且当时，，
所以
所以，可得.
11.【答案】②③
【解析】由题意得，曲线具有可平行性的条件是：方程（是导数值）至少有两个根，
①由知，当时，的取值唯一，只有0，不符合题意；
②由且，即，此方程有两不同的个根，符合题意；
③由和三角函数的周期性知，的解有无穷多个，符合题意；
④由，令，则有，当时解唯一，不符合题意.
12.【答案】
【解析】方法一：
故，则的第211个子集是.
方法二：设，
因为211是奇数，所以，则得
，
因为105是奇数，所以，即，则得
，
因为13是奇数，所以，即，则得
，
因为3是奇数，所以，即，则得
，故的第211个子集是.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.【答案】D
【解析】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变，
烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快，
当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢，
故选D.
14.【答案】D
【解析】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意；
当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，符合题意；
显然此时，则函数为单调递增，又恒过点，
因此函数的图象不过第四象限.
故选D.
15.【答案】B
【解析】的图象关于直线对称，则.
即，令，则，则也关于对称.
是奇函数，则，令，则，则也关于对称.且令，得.
由前面知道，且令，则.
且，令，则，
故周期为4.则，都不确定是否为0.
故选B.
16.【答案】D
【解析】，所以，
当时，，
当时，，
，
当时，，
当时，!，当时，，
由题意画出和的函数图像如图所示
可知是以1为周期的周期函数，因为，所以不存在直线与有无穷个交点；所以①是假命题；
当时，，是一条线段，即当!时，存在使得直线与函数图像有无数个公共点，所以②是真命题；故选D.
三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）如图，正方体中，
为的中点，连接交于，连接，
根据正方体的性质，知道垂直于上下底面，且，则两两垂直，则以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
由于棱长为2，则面对角线为，
所以
则，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为.
（2）根据题意，知道，显然，
由正方体结构特征知，面，
则到平面的距离为，
故，
故三棱锥的体积为.
18.【答案】（1）；
（2）当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元
【解析】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为，
.
（2），令得或（舍），
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值，
当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元.
19.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为函数在时有最大值1，
则，解得，所以.
（2）由（1）可得，
则，又，所以，则，
所以当时，单调递减，
所以，且，
所以是关于的方程的两个解，
即
解方程得，
又，所以.
20.【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）依题意，，则，解得，
所求不等式的解集为.
（2）由题意，，即的相关函数为，
对任意的的图象总在其相关函数图象的下方，
当时，恒成立，
由得，
在此条件下，即时，恒成立，即，即在上恒成立，
，解得，
故实数的取值范围为.
（3）当时，由（2）知在区间上，，
，令，则，
令，则，
，当且仅当“”时取等号，
的最大值为.
21.【答案】（1）极大值为，无极小值；（2）；（3）个
【解析】（1）的定义域是，
令，解得，令，解得：，
则在递增，在递减，
故，无极小值.
（2）函数的定义域为且.
，
要使函数在上单调递增，则，
又时，，
只需在上恒成立，
即在上恒成立，
由的导数为，
当时，函数递增，时，函数递减，
当即时，函数递减，可得，矛盾不成立；
当即时，函数在递减，在递增，
可得，
可得.
（3）证明：，则，
导数为，
设函数在上的极值点为，
可得，
令，
则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
又
因为，
故存在唯一的零点，即函数在上的极值点的个数为1个.