2025届上海市奉贤区高三上学期学科质量调研月考数学试卷(解析版)
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这是一份2025届上海市奉贤区高三上学期学科质量调研月考数学试卷(解析版),共16页。试卷主要包含了解答题等内容,欢迎下载使用。
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得51分.
1. 设全集,集合,则______.
【答案】
【解析】因为全集,集合,则.
故答案为:.
2. 若直线:与直线:互相垂直,则______.
【答案】0
【解析】由题意得,解得.
故答案为:0
3. 已知,则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】因为,所以不等式的解集为.
故答案为:.
4. 设若,则______.
【答案】1
【解析】当时,,解得:,满足;
当时,,方程无解,
所以,
故答案为:1
5. 若五人站成一排,如果必须相邻,那么排法共______种.
【答案】48
【解析】第一步:把捆绑当作一个元素与进行排列共有种;
第二步:之间进行排列共有种;
根据分步计数原理可知:排法的总数共有种.
故答案为:
6. 的二项展开式中的常数项为______.(用数字作答)
【答案】5
【解析】由题意可知:,
令,所以常数项为.
故答案为:
7. 已知抛物线上有一点到准线的距离为,点到轴的距离为,则抛物线的焦点坐标为______.
【答案】0,2
【解析】抛物线的准线方程为,
设点,则,由于点到准线的距离为,可得,
因为点到轴的距离为,则,所以,,解得,
故抛物线的方程为,其焦点坐标为.
故答案为:.
8. 在复平面内,为坐标原点,复数,对应的点分别为,其中为虚数单位,则的大小为______.
【答案】.
【解析】因为,,
所以,,
所以,
所以.
9. 甲乙两人下棋,每局两人获胜可能性一样,某一天两人要进行一场三局两胜的比赛,最终胜者赢得100元奖金,第一局比赛甲获胜,后因为有其他事情而中止比赛,则甲应该分__________元奖金才公平?
【答案】
【解析】乙最后获胜的情况为第二局、第三局必须乙胜,其概率为:,
即甲最终获胜的概率为,乙最终获胜的概率为,
故甲的奖金为元.
故答案为:.
10. 申辉中学高一(8)班设计了一个“水滴状”班徽的平面图(如图),徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成,其中,劣弧所在的圆为三角形的外接圆,圆心为.已知,外接圆的半径是2,则该图形的面积为______.(用含的表达式表示)
【答案】
【解析】连接,则,,
,
,
,
所以该图形的面积为.
故答案为:.
11. 上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁(图1)的屋檐下常系挂风铃(图2),风吹铃动,悦耳清脆,亦称惊鸟铃,一般一个惊鸟铃由铜铸造而成,由铃身和铃舌组成,为了知道一个惊鸟铃的质量,可以通过计算该惊鸟铃的体积,然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量,因此我们需要作出一些合理的假设:
假设1:铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥;
假设2:两圆锥的轴在同一条直线上;
假设3:铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计.
截面图如下(图3),其中,,,则制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要______千克铜.(铜的密度为)(结果精确到个位)
【答案】
【解析】由题意可知,圆锥的底面半径为,高为,
圆锥的底面半径为,高为,
因为,
所以,制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜.
故答案为:.
12. 已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集,集合,其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列,当时,则符合条件的点集的个数为______.
【答案】60
【解析】由已知,,
设,则,显然,
若,则,因此有,
由得或,对应,
同理对应,
集合中已经含有点,
因此产生的集合中,点可有也可没有,至少有一个,
所以的个数为,
若,则,
,或,,或,
对应点,
产生的集合中,点可有也可没有,至少有一个,
中至少有一个,中至少有一个,的个数为,
综上,集合的个数为.
故答案为:60.
二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,13-14选对每个得4分,15-16选对每个得5分,否则一律类分.
13. 在中,“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】一方面:,
另一方面:,但,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
14. 函数,则下列命题正确的是( )
A. 函数是偶函数B. 函数定义域是
C. 函数最大值D. 函数的最小正周期为
【答案】C
【解析】设,
由可得,
所以,函数的定义域为,定义域不关于原点对称,
所以,函数不是偶函数,A错B错;
当时,
则
,
当且仅当时,
即当时,函数取最大值,C对;
因为,
结合函数的定义域可知,函数的最小正周期为,D错.
故选:C.
15. 在四棱锥中,若,则实数组可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于选项A,若底面是平行四边形,设,则,
因此,即,故A正确;
对于选项B,若,则,故B错误;
对于选项C,若,则,故C错误;
对于选项D,若,
则,
但平面,即不共面,因此不可能成立,故D错误.
故选:A.
16. 已知数列不是常数列,前项和为,.若对任意正整数,存在正整数,使得,则称是“可控数列”.现给出两个命题:
①若各项均为正整数的等差数列满足公差,则是“可控数列”;
②若等比数列是“可控数列”,则其公比.
则下列判断正确的是( )
A. ①与②均为真命题B. ①与②均为假命题
C. ①为假命题,②为真命题D. ①为真命题,②为假命题
【答案】C
【解析】对于①,由于数列的各项均为正整数,且公差,
但对,有对任意正整数恒成立(否则,矛盾),
故对时有.
这表明不是“可控数列”,故①错误;
对于②,若等比数列是“可控数列”,
由于数列不是常数列,,故公比.
所以,
从而,
则,
当时,则,,
令,则可知当时,不成立;
当时,显然成立,而对于恒成立,
由于为严格增数列,且时,,
故问题等价于存在,使得,
记,随m的增大,减小,故,
故只需,解得,故②正确.
综上,①是假命题,②是真命题.
故选:C.
三、解答题(第17~19题每题14分,第20-21题每题18分,满分78分)
17. 已知函数y=fx,其中(常数且).
(1)若函数y=fx的图象过点,求关于的不等式的解集;
(2)若存在,使得数列是等比数列,求实数的取值范围.
解:(1)若函数y=fx的图象过点,则,
解得,舍去,所以,
由得,
解得或,
所以不等式的解集为或;
(2),
若存在,使得数列是等比数列,
则,可得,
由可得,
令,,
当时,,所以,
可得在上单调递减,所以,
则实数的取值范围.
18. 某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片,为了解芯片的某项指标,从这两种芯片中各抽取100件进行检测,获得该项指标的频率分布直方图,如图所示:
假设数据在组内均匀分布,以样本估计总体,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)已知甲型芯片指标在为航天级芯片,乙型芯片指标在为航天为航天级芯片.现分别采用分层抽样的方式,从甲型芯片指标在内取2件,乙型芯片指标在内取4件,再从这6件中任取2件,求至少有一件为航天级芯片的概率.
解:(1)由题意得,解得.
由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值:
.
(2)根据分层抽样得,来自甲型芯片指标在和的各1件,分别记为和,
来自甲型芯片指标在和分别为3件和1件,分别记为,,和,
从中任取2件,样本空间可记为,,,,,,
,,,,,,,,共15个,
记事件:至少有一件为航天级芯片,则,,,,,
,,,共9个,
所以.
19. 如图为正四棱锥为底面的中心.
(1)求证:平面,平面平面;
(2)设为上的一点,.
在下面两问中选一个,
①若,求直线与平面所成角的大小.
②已知平面与平面所成锐二面角的大小为,若,求的长.
(1)证明:因为底面是正方形,所以,
平面,平面,
所以平面;
,由四棱锥是正四棱锥,
可得平面,平面,所以,
由,平面,
所以平面,
又因为平面,所以平面平面;
(2)解:选①,如图,以点为原点,所在的直线分别为轴的
正方向建立空间直角坐标系,
由,得,
,,
由得,
所以,
因为平面,即平面,
所以是平面的一个法向量,
设直线与平面所成角为,
,
由,得,
所以直线与平面所成角为;
选②,同①以点为原点,所在的直线分别为轴的
正方向建立空间直角坐标系,设,
得,,
由得
所以,,
设为平面的一个法向量,
则得,
令得,
所以,因为平面,
所以是平面的一个法向量,
设平面与平面所成锐二面角的大小为,得,
由,
解得,即.
20. 椭圆的左右焦点分别为,设Px0,y0是第一象限内椭圆上的一点,的延长线交椭圆于点.
(1)若椭圆的离心率,求的值;
(2)若,求;
(3)若,过点的直线与椭圆交于两点,且,则当时,判断符合要求的直线有几条,说明理由?
解:(1)若,则,解得:.
(2)若,则椭圆方程为:且,
由点在第一象限可知的斜率不为,
设直线的方程为:,
直线与椭圆方程联立消去得:,
所以,,
因为,所以,
而,
解得:,把代入得:,
把代入椭圆方程得:.
(3)若,则椭圆方程为:,且,
当且直线斜率存在时,设直线的方程为:,,
直线与椭圆方程联立消去得:,
所以,,
所以,
整理得:,
当或时,即或时,
方程无解,所以不存在满足的直线;
当即时,方程只有唯一的解,
所以,存在一条满足的直线;
当,即时,方程有两个不相等实数解,
所以存在两条满足的直线;
当且直线斜率不存在时,直线即轴,满足.
综上所述:当或时,存在一条满足的直线;
当时,存在两条满足的直线;
当 时,存在三条满足的直线.
21. 若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合,则称该切线为函数的一条点切线,该函数具有点切线性质.
(1)判断函数,的奇偶性并写出它的一条点切线方程(无需理由);
(2)设,判断函数是否具有点切线性质,并说明理由;
(3)设,证明:对任意的,,函数具有点切线性质,并求出所有相应的切线方程.
(1)解:令,其中x∈R,则,
所以,函数为偶函数,且,如下图所示:
由图可知,函数的一条点切线方程为.
(2)解:因为,该函数的定义域为0,+∞,且,
令,其中,则,
所以,函数f'x在0,+∞上为增函数,
因此,不可能存在、且,使得,
因此,函数不具有点性质.
(3)证明:取点、、,
因为,则,
所以,曲线y=gx在点处的切线方程为,
即,
曲线y=gx在点处的切线方程为,
曲线y=gx在点处切线方程为,
由题意可知,这三条切线重合,
则,
由上得,则,,,
(i)若,,,
则,所以,,
因为,则(舍去);
(ii)若,,中至少有一个成立,
不妨设,则,
若,则(舍去),所以,,
故或.
综上所述,点切线方程为和.
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