2024-2025学年天津市宝坻区名校数学九上开学学业水平测试模拟试题【含答案】

这是一份2024-2025学年天津市宝坻区名校数学九上开学学业水平测试模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和方差分别是（ ）
A．4，1B．4，2C．5，1D．5，2
2、（4分）函数 中，自变量 的取值范围是( )
A．B．C．D．
3、（4分）下列多项式中能用完全平方公式分解的是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相较于点O，BD＝8，BC＝5，AE⊥BC于点E，则AE的长为( )
A．5B．C．D．
5、（4分）如图①，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，且AB∥x轴.直线y=-x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图②，那么平行四边形ABCD的面积为（）
A．4B．C．D．8
6、（4分）一个直角三角形的两边长分别为，则第三边长可能是（ ）
A．B．C．或2D．
7、（4分）在一次数学测试中，将某班51名学生的成绩分为5组，第一组到第四组的频率之和为1．8，则第5组的频数是（ ）
A．11B．9C．8D．7
8、（4分）若分式的值为0，则x的值为
A．﹣1B．0C．2D．﹣1或2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在四边形中，同一条边上的两个角称为邻角．如果一个四边形一条边上的邻角相等，且这条边的对边上的邻角也相等，那么这个四边形叫做C形．根据研究平行四边形及特殊四边形的方法，在下面的横线上至少写出两条关于C形的性质：_____．
10、（4分）若1＜x＜2，则|x﹣3|+的值为_____．
11、（4分）化简﹣的结果是_____．
12、（4分）如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是_____．
13、（4分）我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这7名同学成绩的______________（填”平均数”“众数”或“中位数”）
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）分式化简：（a-）÷
15、（8分）已知：如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，过点F作FG⊥BF交BC的延长线于点G．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）如果AB= 2，∠BAD=60°，求FG的长．
16、（8分）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如下表：
设其中甲种商品购进x件，商场售完这100件商品的总利润为y元．
(Ⅰ)写出y关于x的函数关系式；
(Ⅱ)该商场计划最多投入8000元用于购买这两种商品，
①至少要购进多少件甲商品？
②若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
17、（10分）如图，在平面内，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 O 又是菱形B1A1OC1的一个顶点，菱形 ABCD≌菱形 B1A1OC1，AB=BD=1．菱形B1A1OC1 绕点 O 转动，求两个菱形重叠部分面积的取值范围，请说明理由．
18、（10分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED
（1）判断△BEC的形状，并加以证明；
（2）若∠ABE＝45°，AB＝2时，求BC的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）的倒数是_____．
20、（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的延长线上一点，且DE＝DC，点P为边AD上一动点，且PC⊥PG，PG＝PC，点F为EG的中点．当点P从D点运动到A点时，则CF的最小值为___________
21、（4分）若一元二次方程有两个不相同的实数根，则实数的取值范围________.
22、（4分）△ABC 中，已知：∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，则 AC＝_____．
23、（4分）一组数据5，7，2，5，6的中位数是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）反比例函数的图象经过点点是直线上一个动点，如图所示，设点的横坐标为且满足过点分别作轴，轴，垂足分别为与双曲线分别交于两点，连结．
（1）求的值并结合图像求出的取值范围；
（2）在点运动过程中，求线段最短时点的坐标；
（3）将三角形沿着翻折，点的对应点得到四边形能否为菱形？若能，求出点坐标；若不能，说明理由；
（4）在点运动过程中使得求出此时的面积．
25、（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点。已知点A在格点，请在给定的网格中按要求画出图形.
（1）以为顶点在图甲中画一个面积为21的平行四边形且它的四个顶点都在格点。
（2）以为顶点在图乙中画一个周长为20的菱形且它的四个顶点都在格点。
26、（12分）如图，矩形的两边，的长分别为3，8，且点，均在轴的负半轴上，是的中点，反比例函数的图象经过点，与交于点.
（1）若点坐标为，求的值；
（2）若，且点的横坐标为，则点的横坐标为______（用含的代数式表示），点的纵坐标为______，反比例函数的表达式为______.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据题目中的数据可以直接写出众数，求出相应的平均数和方差，从而可以解答本题．
【详解】
数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数是4，
，
则s2＝=2，
故选B．
本题考查方差和众数，解答本题的关键是明确众数的定义，会求一组数据的方差．
2、D
【解析】
试题分析：根据分式有意义的条件是分母不为1；分析原函数式可得关系式x+1≠1，解可得答案．
解：根据题意可得x+1≠1；
解得x≠﹣1；
故选D．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为1．
3、B
【解析】
能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可.
【详解】
A. 中-x不是积的2倍，故不符合题意；
B. =(1-x)2，符合题意；
C. 中只有1个平方项，故不符合题意；
D. 两个平方项的符号不一致，故不符合题意；
故选B.
本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键．两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍，是易错点．
4、C
【解析】
在中，根据求出OC，再利用面积法可得，由此求出AE即可．
【详解】
四边形ABCD是菱形，，
，，
在中，，
，
故，
解得：．
故选C．
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用三角形面积求出AE的长是解题关键．
5、D
【解析】
根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，则AB=8-4=4，当直线经过D点，设交AB与N，则，作DM⊥AB于点M．利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】
根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，则，
如图所示，
当直线经过D点，设交AB与N，则，作于点M．
与轴形成的角是，轴，
，则△DMN为等腰直角三角形，
设
由勾股定理得，
解得，即DM=2
则平行四边形的面积是：．
故选：D．
本题考查一次函数与几何综合，解题的关键利用l与m的函数图像判断平行四边形的边长与高．
6、C
【解析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】
解：设第三边为x，
①当8是直角边，则62+82=x2解得x=10，
②当8是斜边，则62+x2=82，解得x=2 ．
∴第三边长为10或2．
故选：C．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
7、A
【解析】
频率总和为1，由此求出第五组的频率，然后由频率是频数与总数之比，求出频数即可.
【详解】
解：第五组的频率为，所以第五组的频数为.
故答案为：A
本题考查了频率频数，掌握频率频数的定义是解题的关键.
8、C
【解析】
根据分式值为零的条件可得x﹣2＝0，再解方程即可．
【详解】
解：由题意得：x﹣2＝0，且x+1≠0，
解得：x＝2，
故选C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、是轴对称图形；对角线相等；有一组对边相等；有一组对边平行.
【解析】
根据C形的定义，利用研究平行四边形及特殊四边形的方法，从边、角、对角线以及对称性这几个方面分析即可．
【详解】
根据C形的定义，称C形中一条边上相等的邻角为C形的底角，这条边叫做C形的底边，夹在两底边间的边叫做C形的腰．则C形的性质如下：
C形的两底边平行；C形的两腰相等；
C形中同一底上的两个底角相等；C形的对角互补；
C形的两条对角线相等；
C形是轴对称图形．
故答案为：C形的两底边平行；C形的两腰相等；
C形中同一底上的两个底角相等；C形的对角互补；
C形的两条对角线相等；
C形是轴对称图形
本题考查了平行四边形性质的应用，学生的阅读理解能力与知识的迁移能力，掌握研究平行四边形及特殊四边形的方法，并且能够灵活运用是解题的关键．
10、1
【解析】
先根据1＜x＜1得出x﹣3＜0，x﹣1＞0，再去绝对值符号并把二次根式进行化简，合并同类项即可．
【详解】
解：∵1＜x＜1，
∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，
∴原式＝3﹣x+x﹣1＝1．
故答案为1．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
11、﹣
【解析】
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果
【详解】
原式=
=
=
故答案为:
此题考查分式的加减法，掌握运算法则是解题关键
12、a＜﹣1
【解析】
根据不等式两边同时除以一个正数不等号方向不变，同时除以一个负数不等号方向改变即可解本题．
【详解】
解：∵不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，
∴a+1＜0，
∴a＜﹣1，
故答案为：a＜﹣1．
本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式两边同时除以一个负数不等号方向改变是解决本题的关键．
13、中位数
【解析】
七名选手的成绩，如果知道中位数是多少，与自己的成绩相比较，就能知道自己是否能进入前四名，因为中位数是七个数据中的第四个数，
【详解】
解：因为七个数据从小到大排列后的第四个数是这七个数的中位数，知道中位数，然后与自己的成绩比较，就知道能否进入前四，即能否参加决赛．
故答案为：中位数．
考查中位数、众数、平均数反映一组数据的特征，中位数反映之间位置的数，说明比它大的占一半，比它小的占一半；众数是出现次数最多的数，平均数反映一组数据的平均水平和集中趋势，理解意义是正确判断的前提．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、a-b
【解析】
利用分式的基本性质化简即可.
【详解】
＝＝＝.
此题考查了分式的化简，用到的知识点是分式的基本性质、完全平方公式.
15、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）根据平行四边形的性质证得AB=BE=AF，得到四边形ABEF是平行四边形，再根据邻边相等证得结论；
（2）根据菱形的性质求得∠BAE=30°，OB=OF=1，再根据FG⊥BF求出∠G==30°，得到BG=4，根据勾股定理求出FG.
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE.
∴∠AEB =∠BAE.
∴AB=BE.
同理：AB=AF.
∴AF=BE，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形.
又∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形.
（2） ∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF，AE平分∠BAD，
∵AB= 2，∠BAD=60°，
∴∠BAE=30°，∠FBE=∠ABF=60°,
∴OB=OF=1，
∴BF=2，
又∵FG⊥BF，
∴∠BFG==90°，
∴∠G==30°，
∴BG=4，
∴．
此题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质 .
16、 (Ⅰ)；(Ⅱ)①至少要购进20件甲商品；②售完这些商品，则商场可获得的最大利润是2800元．
【解析】
(Ⅰ)根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×甲的进货数量+（乙的售价-乙的进价）×乙的进货数量列关系式并化简即可得答案；(Ⅱ)①根据总成本最多投入8000元列不等式即可求出x的范围，即可得答案；②根据一次函数的增减性确定其最大值即可.
【详解】
(Ⅰ)根据题意得：
则y与x的函数关系式为．
(Ⅱ)，解得．
∴至少要购进20件甲商品．
，
∵，
∴y随着x的增大而减小
∴当时，有最大值，．
∴若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是2800元．
本题考查一次函数的实际应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.
17、≤s ．
【解析】
分别求出重叠部分面积的最大值，最小值即可解决问题
【详解】
如图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∵AB=BD，
∴AB=BD=AD=1，
∴△ABD是等边三角形，
当AE=EB，AF=FD时，重叠部分的面积最大，最大面积=S△ABD=××12=，
如图2中，当OA1与BC交于点E，OC1交AB与F时，作OG⊥AB与G，OH⊥BC于H．
易证△OGF≌△OHE，
∴S四边形BEOF=S四边形OGBH=×=，
观察图象图象可知，在旋转过程中，重叠部分是三角形时，当点E与B重合，此时三角形的面积最小为，
综上所述，重叠部分的面积S的范围为≤s≤．
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
声明：本试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
18、（1）详见解析；（2）
【解析】
（1）根据矩形的性质和角平分线的性质可得∠BEC=∠BCE，可得BE=BC，则△BEC是等腰三角形；（2）根据勾股定理可求BE的长，即可求BC的长.
【详解】
解：（1）△BEC是等腰三角形，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
∴△BEC是等腰三角形
（2）在矩形ABCD中，∠A＝90°，且∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝2，
∴BE＝
由（1）知BC＝BE，
∴BC＝
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
分析：根据倒数的意义或二次根式的化简进行计算即可.
详解：因为×=1
所以的倒数为.
故答案为.
分析：此题主要考查了求一个数的倒数，关键是明确倒数的意义，乘积为1的两数互为倒数.
20、
【解析】
由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=AG=．
【详解】
解：连接FD
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=4，∠B=90°，
∴AC=，
当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，
∴EG的中点为D，即F与D重合，
当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，
∵D是AE的中点，F是EG的中点，
∴DF是△EAG的中位线，
∴DF∥AG，
∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，
∴∠BAG=45°，
∴∠EAG=135°，
∴∠EDF=135°，
∴∠FDA=45°，
∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，
此时CF最小，
此时CF=AG=；
故答案为：．
本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
21、且
【解析】
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠1且△=（-2）2-4m＞1，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：根据题意得m≠1且△=（-2）2-4m＞1，
解得m＜1且m≠1．
故答案为：m＜1且m≠1．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞1时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=1时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜1时，方程无实数根．
22、15
【解析】
根据勾股定理即可算出结果.
【详解】
在△ABC中，∠C=90°，AB=17，BC=8，
所以AC=
故答案为：15
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键．
23、1
【解析】
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】
解：将数据从小到大排列2，1，1，6，7，
因此中位数为1．
故答案为1
本题考查了中位数，正确理解中位数的意义是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1），，（2），（3）能，，
（4）
【解析】
（1）先把（1，3）代入求出k的值，再由两函数有交点求出m的值，根据函数图象即可得出结论；
（2）根据线段OC最短可知OC为∠AOB的平分线，对于，令，即可得出C点坐标，把代入中求出的值即可得出P点坐标；
（3）当OC=OD时，四边形O′COD为菱形，由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA=OB，由此时P横纵坐标相等且在直线上即可得出结论．
（4）设，则，，根据PD=DB，构建方程求出，即可解决问题．
【详解】
解：（1）∴反比例函数（x＞0，k≠0）的图象进过点（1，3），
∴把（1，3）代入，解得，
．
∵ ，
∴，
，
∴由图象得：；
（2）∵线段OC最短时，
∴OC为∠AOB的平分线，
∵对于，令，
∴，即C，
∴把代入中，得：，即P；
（3）四边形O′COD能为菱形，
∵当OC=OD时，四边形O′COD为菱形，
∴由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA=OB，
∴此时P横纵坐标相等且在直线上，
即，解得：，即P．
（4）设B，则，
∵PD=DB，
∴，
解得：（舍弃），
∴，D，，，
本题属于反比例函数综合题，考查的是反比例函数的图像与性质，涉及到菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，在解答此题时要注意利用数形结合求解．
25、见解析
【解析】
（1）因为平行四边形为21，所以平行四边形的高可以是7，底边长为3，利用平行四边形的性质得出符合题意的答案；
（2）因为平行四边形为20，所以平行四边形的高可以是4，底边长为5，直接利用菱形的性质得出符合题意的答案．
【详解】
解：（1）如图甲所示：平行四边形ABCD即为所求；
（2）如图乙所示：菱形ABCD即为所求．
此题考查菱形、平行四边形的性质，正确掌握菱形、平行四边形的性质是解题关键．
26、（1）；（2） ，1，.
【解析】
（1）根据矩形的性质，可得A,E的坐标，根据待定系数法即可求解；
（2）根据勾股定理，可得AE的长，根据线段的和差，可得FB，可得F的占比，根据待定系数法，可得m的值，即可求解.
【详解】
解：（1）∵四边形是矩形，
∴，即轴，
，，
∵是的中点，
∴，
∵点坐标为，
∴，∴，
∴点的坐标为.
把点代入反比例函数得，，∴.
（2）如图，连接AE,∵点E的横坐标为a，BC=3
∴点F的横坐标为a-3，
又∵在Rt△ADE中，AE=
∴AF=AE+2=7，BF=8-7=1
∴点F的纵坐标为1，
∴E（a，4），F（a-3,1）
∵反比例函数经过E,F
∴4a=1(a-3)
解得a=-1，
∴E（-1，4）
∴k=-4，
故反比例函数的解析式为
此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知勾股定理、反比例函数的图像与性质.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
商品名称
甲
乙
进价(元/件)
40
90
售价(元/件)
60
120