2023年高考数学真题题源解密(全国卷)专题09计数原理与概率统计-特训(学生版+解析)

这是一份2023年高考数学真题题源解密(全国卷)专题09计数原理与概率统计-特训(学生版+解析)，共110页。试卷主要包含了统计，概率，随机变量的分布列和数学期望等内容，欢迎下载使用。
目录一览
①2023真题展现
②真题考查解读
③近年真题对比
④命题规律解密
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一 统计
一、解答题
1．（2023·全国乙卷理数第17题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：
记，记的样本平均数为，样本方差为．
(1)求，；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
2．（2023·全国甲卷文数第19题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表
（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：，
考向二 概率
一、单选题
1．（2023·全国乙卷理数第5题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国乙卷文数第9题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国甲卷文数第4题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国甲卷理数第6题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
考向三 随机变量的分布列和数学期望
一、单选题
1．（2023·全国乙卷理数第7题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4
2．（2023·全国甲卷理数第9题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
3．（2023·全国甲卷理数第19题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
附：
【命题意图】
1．用样本估计总体
（1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.
（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.
（3）能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.
（4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.
（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
2．统计案例
了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.
（1）独立性检验
了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.
（2）回归分析
了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
3．古典概型
（1）理解古典概型及其概率计算公式.
（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
4．随机数与几何概型
（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.
（2）了解几何概型的意义.
5．随机变量的分布列和数学期望
（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.
（3）了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.
（4）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.
（5）利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
【考查要点】
本专题内容主要考查排列组合，二项式定理，随机抽样，用样本估计总体，变量的相关性，随机事件的概率，古典概型，几何概型，回归分析，独立性检验，离散型随机变量的分布列、期望、方差、正态分布等内容。用样本估计总体，古典概型，离散型随机变量的分布列、期望、方差是高考重点，考查的能力是应用回归分析与独立性检验思想方法解决简单实际问题的能力。高考试题强调应用性，以实际问题为背景，构建数学模型，突出考查统计与概率的思想和数据处理能力及应用意识。在复习过程中，要立足课本基础知识，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样，才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果。同时，本专题题目多以生产生活中的实际问题为背景，阅读量大，首先根据文宇信息、图表信息了解考查的知识点，再结合考查目标，理解图文的内在含义，最后整合有效信息，明确数据关系。应用题的考查，加大了对考生阅读能力的要求，对题目的准确理解，找到数学模型，是解答题目的关键．考生应该把近几年各地高考及模拟题归类分析，强化训练。
【得分要点】
高频考点：随机事件与概率，统计图表，用样本估计总体；
中频考点：两个基本计数原理，排列组合，二项式定理，一元线性回归模型，2×2列联表，离散型随机变量及其分布列；
低频考点：随机事件的条件概率，正态分布，随机抽样，成对数据的统计相关性，与数列、导数等其他知识的结合。
考向一 统计
一、单选题
1．（2022·全国乙卷文数第4题）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
2．（2022·全国甲卷理数第2题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3．（2021·全国甲卷文数第2题/理数第2题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
二、解答题
1．（2022·全国乙卷文数第19题/理数第19题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
并计算得．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数．
2．（2022·全国甲卷文数第17题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，
3．（2021·全国乙卷文数第17题/理数第17题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
4．（2021·全国甲卷文数第17题/理数第17题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
考向二 概率
一、单选题
1．（2022·全国乙卷理数第10题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
2．（2022·全国甲卷文数第6题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国乙卷文数第7题）在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国乙卷理数第8题）在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国甲卷文数第10题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
6．（2021·全国甲卷理数第10题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2022·全国乙卷文数第14题/理数第13题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
8．（2022·全国甲卷理数第15题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
考向三 随机变量的分布列和数学期望
一、单选题
1．（2021·全国乙卷理数第6题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
二、解答题
2．（2022·全国甲卷理数第19题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
1.本部分内容为高考热点，一般以课程学习情境与生活实践情境来考查，全国甲、乙卷难度较小，解答题的难度有所减少，重在考查考生的逻辑思维能力以及对事件进行分析、分解和转化的能力。
2.排列组合、二项式定理、抽样方法、古典概型、用样本估计总体等等主要以选择题、填空题考查，解答题常利用排列组合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差、二项分布和正态分布等问题，注意概率和其他知识的综合考查。
3.常用公式法和排列组合知识处理小题，注意逻辑推理的灵活运用。
4.逻辑思维能力，运算求解能力和数学建模能力是本专题考查的关键能力。重点考查知识的应用性与基础性，考查的学科素养为理性思维，数学应用和数学探索。
一、单选题
1．（2023·陕西宝鸡二模）Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小张根据Keep记录的2022年1月至2022年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（ ）

A．月跑步里程逐月增加
B．月跑步里程最大值出现在10月
C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
2．（2023·广东东莞三模）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气，则这两个节气不在同一个月的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·贵州遵义三模）下图是2013-2020年国家财政性教育经费（单位：万元）和国家财政性教育经费占总教育经费占比的统计图，下列说法正确的是（ ）
A．2019年国家财政性教育经费和国家财政性教育经费占总教育经费占比均最低
B．国家财政性教育经费逐年增加
C．国家财政性教育经费占比逐年增加
D．2020年国家财政性教育经费是2014年的两倍
4．（2023·河南·襄城三模）一组数据的平均数是5，方差是1.6，若将这组数据中的每一个数据都乘以2再加上1，得到一组新数据，则这组新数据的平均数和方差分别是（ ）
A．8，6.4B．5，6.4C．11，3.2D．11，6.4
5．（2023·江苏镇江三模）南沿江高铁即将开通，某小区居民前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布；路线②骑共享单车到地铁站，乘地铁前往，路程长，但意外阻塞较少，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布.该小区的甲乙两人分别有分钟与分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别为（ ）
A．①､①B．①､②C．②､①D．②､②
6．（2023·四川凉山·三模）样本数据的平均数为4，方差为1，则样本数据的平均数，方差分别为（ ）
A．9，4B．9，2C．4，1D．2，1
7．（2023·广东深圳二模）现将5个代表团人员安排至甲､乙､丙三家宾馆入住，要求同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住.若这5个代表团中两个代表团已经入住甲宾馆且不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为（ ）
A．6B．12C．16D．18
8．（2023·河南·统考三模）已知的展开式中的系数为，则实数（ ）
A．2B．C．1D．
9．（2023·北京海淀三模）现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下事件发生的概率即（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·上海嘉定三模）已知随机变量X服从正态分布，下列四个命题：
甲：；乙：；
丙：；丁：
如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
11．（2023·河南·襄城三模）已知的展开式中的常数项是672，则（ ）
A．B．C．2D．1
12．（2023·北京海淀三模）在的展开式中，常数项为（ ）
A．1B．3C．6D．12
13．（2023·山东省实验中学二模）某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中（岁以上含岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（ ）

A．男性比女性更关注地铁建设
B．关注地铁建设的女性多数是岁以上
C．岁以下的男性人数比岁以上的女性人数多
D．岁以上的人对地铁建设关注度更高
14．（2023·山东菏泽三模）2023年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别为，五辆车随机排成一排，则车与车相邻，车与车不相邻的排法有（ ）
A．36种B．42种C．48种D．60种
15．（2023·河南三模）某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，且至少有1位语文教师入选，则不同安排方法有（ ）种．
A．16B．20C．96D．120
16．（2023·福建福州三模）厦门市博物馆由厦门博物馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈胜元故居七个馆区组成.甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有（ ）
A．22种B．20种C．12种D．10种
17．（2023·湖南益阳三模）某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（ ）
A．504种B．960种C．1008种D．1200种
18．（2023·四川泸州三模）中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则名同学所有可能的选择有（ ）
A．种B．种C．种D．种
19．（2023·河北衡水三模）第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（ ）
A．76种B．82种C．86种D．90种
20．（2023·福建宁德二模）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
21．（2023·上海闵行三模）分别抛郑3枚质地均匀的硬币，则等可能事件的样本空间中样本点的个数是 ．
22．（2023·四川南充三模）一个高中研究性学习小组对本地区2020年至2022年菜鸟驿站发展情况进行了调查，制成了该地区菜鸟驿站站点个数情况的条形图和菜鸟驿站各站点年快递收发数量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区菜鸟驿站每年平均收发快递 万件.
23．（2023·新疆阿勒泰三模）从正方体的8个顶点中取出三个顶点构成三角形，其中为直角三角形的概率为 ．
24．（2023·广东广州三模）算盘是中国传统的“珠算”工具．下图是一把算盘，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表数字，下面一粒珠（简称下珠）代表数字，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨粒下珠，则算盘表示的数为质数（除了和本身没有其它的约数）的概率是 .

25．（2023·甘肃武威三模）为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 人．
26．（2023·广东珠海三模）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有 种.
27．（2023·河南南阳三模）为了响应全国创文明城活动，某单位计划安排五名员工分别去三个小区参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，员工甲不去小区，则不同的安排方法种数共有 种．
28．（2023·上海嘉定考三模）4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有 种.
29．（2023·四川成都三模）从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为 ．
30．（2023·山东菏泽三模）已知某学校高三数学期末考试成绩服从正态分布，已知成绩落在的概率为0.4，数学考试满分150分，该学校高三有学生800人，则考试成绩140分以上的学生大约有 人．
31．（2023·福建宁德二模）若随机变量，且，则 ．
32．（2023·天津滨海三模）若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为 .
33．（2023·湖南长沙三模）每年高考结束后，各大高校会进入长沙的高中校园组织招生宣传.某中学高三年级的3名男生、2名女生去参加A，B两所高校的志愿填报咨询会，每个学生只能去其中的一所学校，且要求每所学校都既有男生又有女生参加，则不同的安排方法数是 ．
34．（2023·河北张家口三模）展开式中的系数是 .
35．（2023·福建宁德二模）若，且，则的展开式中的常数项为 ．
36．（2023·安徽马鞍山三模）甲、乙等6名同学报名参加4个社区的服务工作，每人只能选一个社区，则甲、乙选到同一个社区的概率为 ．
37．（2023·江西师大附中三模）城市地铁极大的方便了城市居民的出行，南昌地铁号线是南昌市最早建成并成功运营的一条地铁线．已知号地铁线的每辆列车有节车厢，从月日起实行“夏季运行模式”，其中节车厢开启强冷模式，节车厢开启中冷模式，节车厢开启弱冷模式．现在有甲、乙人同一时间同一地点乘坐同一趟地铁列车，由于个人原因，甲不选择强冷车厢，乙不选择弱冷车厢，但他们都是独立而随机的选择一节车厢乘坐，则甲、乙人不在同一节车厢的概率为 ．
38．（2023·江苏镇江三模）现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了九嶷山”，则 .
39．（2023·广东汕头三模）现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.1张彩票中奖金额的均值是 元.
40．（2023·海南海口二模）临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为 ．
三、解答题
41．（2023·海南三模）实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防.某医学研究机构对120个接种与未接种牛痘疫苗的密切接触者进行医学观察后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
(1)根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概率；
(2)是否有的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？
附：.
42．（2023·贵州黔东南模拟预测）二十四节气起源于黄河流域，是古代中国劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶.其中“立冬小雪十一月，大雪冬至迎新年”就是描述二十四节气农历11月和12月的节气口诀.某中学为调查本校学生对二十四节气的了解情况，组织测试活动，按照性别分层抽样抽取了150名学生进行答题，其中男生占，记录其性别和是否全部答对的情况，得到如图的等高条形图.

(1)若该校有3000人，试估计该校对二十四节气的测试活动全部答对的学生人数；
(2)完成下面的列联表，判断能否有的把握认为“是否全部答对”与性别有关？
附：，其中.
43．（2023·四川成都三模）全国中学生生物学竞赛隆重举行.为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值，并估计这名学生成绩的中位数；
(2)在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取2人，求这2人成绩都不在的概率.
44．（2023·河南开封三模）2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心、顽强拼搏获得亚军.这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕.为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.
(1)将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？
(2)在不喜爱篮球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.
附：，其中.
45．（2023·河南·襄城三模）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业，产品主要应用于森林消防、物流运输、航空测绘、军事侦察等领域，获得市场和广大观众的一致好评，该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．该公司分别收集了甲、乙两种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数，，数据如下表所示：
(1)试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若，则线性相关程度很高）
(2)从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数的概率．
附：相关公式及数据：，．
46．（2023·北京海淀三模）人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：
假设用频率估计概率.
(1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为，求的分布列和期望；
(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明）
47．（2023·黑龙江哈尔滨三模）哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.
(1)若高三学年获得决赛资格的同学个数为，求的分布列和数学期望.
(2)已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入两个纸箱中，箱中有3道选择题和2道填空题，箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入箱中，然后乙再抽取题目.已知乙从箱中抽取的第一题是选择题，求甲从箱中抽出的是2道选择题的概率.
48．（2023·山东德州·三模）某学校组织“一带一路”答题闯关活动，每位参赛选手需要回答三个问题，对于前两个问题，每个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得20分，回答错误扣10分，规定每位参赛选手回答这三个问题的总分不低于30分就算闯关成功．选手小明回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互独立．
(1)求小明回答正确至少两个问题的概率；
(2)求小明回答这三个问题的总得分的分布列，并求数学期望和闯关成功的概率．
49．（2023·山东潍坊·三模）某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品，统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）

产品的性能指数在的适合儿童使用（简称A类产品），在的适合少年使用（简称B类产品），在的适合青年使用（简称C类产品），三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）．以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率．
(1)该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量的数据做了初步处理，得到散点图（如图2）及一些统计量的值（如下表）．
表中．
根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程，求关于的回归方程；（取）
(2)求每件产品的平均销售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用）
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
50．（2023·安徽蚌埠三模）某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
(1)根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
附：
51．（2023·湖南长沙三模）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性.某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同单品，有50%的可能性出现隐藏款X．为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐，开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下数据：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为A、B款盲盒套餐的选择与年龄有关联？
(2)甲、乙、丙三人每人购买1件B款盲盒套餐，记随机变量为其中隐藏款X的个数，求的分布列和数学期望；
(3)某消费者在开售首日与次日分别购买了A款盲盒套餐与B款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，求该隐藏款来自于B款盲盒套餐的概率．
附：，其中．
52．（2023·福建福州三模）厦门思明区沙坡尾某网红店推出A、B两种不同风味的饮品.为了研究消费者性别和饮品偏好的关联性，店主调查了首次到店的消费者，整理得到如下列联表:
表1单位:人
(1)请画出列联表的等高堆积条形图，并依据小概率值的独立性检验，判断首次到店消费者的性别与饮品风味偏好是否有关联.如果结论是性别与饮品风味偏好有关联，请解释它们之间如何相互影响.

(2)店主进一步调查发现:女性消费者若前一次选择A饮品，则下一次选择A、B两种饮品的概率分别为、；若前一次选择B饮品，则下一次选择A、B两种饮品的概率分别为、；如此循环下去，求女性消费者前三次选择A、B两种饮品的数学期望，并解释其实际含义.
附:.
53．（2023·北京密云三模）为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：

(1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从第5组，第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率；
(2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以频率估计概率，求的分布列和数学期望；
(3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估计应定为多少合适？（只需写出结论）.
54．（2023·江苏·金陵三模）一只不透朋的袋中装有10个相同的小球，分别标有数字0~9，先后从袋中随机取两只小球.用事件A表示“第二次取出小球的标号是2”，事件B表示“两次取出小球的标号之和是m”.
(1)若用不放回的方式取球，求；
(2)若用有放回的方式取球，求证：事件A与事件B相互独立的充要条件是.
55．（2023·上海长宁三模）由于X病毒正在传染蔓延，对人的身体健康造成危害，某校拟对学生被感染病毒的情况进行摸底调查，首先从两个班共100名学生中随机抽取20人，并对这20人进行逐个抽血化验，化验结果如下：.已知指数不超过8表示血液中不含病毒；指数超过8表示血液中含病毒且该生已感染病毒.
(1)从已获取的20份血样中任取2份血样混合，求该混合血样含病毒的概率；
(2)已知该校共有1020人，现在学校想从还未抽血化验的1000人中，把已感染病毒的学生全找出.
方案A：逐个抽血化验；
方案B：按40人分组，并把同组的40人血样分成两份，把其中的一份血样混合一起化验，若发现混合血液含病毒，再分别对该组的40人的另一份血样逐份化验；
方案C：将方案中的40人一组改为4人一组，其他步骤与方案相同.
如果用样本频率估计总体频率，且每次化验需要不少的费用.试通过计算回答：选用哪一种方案更合算？（可供参考数据：）
56．（2023·人大附中三模）每年8月8日为我国的全民健身日,倡导大家健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣,助力全面健康成长,某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况,随机抽取100名学生作为样本,统计他们参加体育锻炼活动时间(单位:分钟),得到下表：
(1)从该校随机抽取1名学生,若已知抽到的是女生,估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率；
(2)从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人,其中初中学生的人数记为X,求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替,样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为,初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为．写出一个m的值,使得(结论不要求证明)
57．（2023·云南三模）某商场在周年庆活动期间为回馈新老顾客，采用抽奖的形式领取购物卡.该商场在一个纸箱里放15个小球（除颜色外其余均相同）：3个红球、5个黄球和7个白球，每个顾客不放回地从中拿3次，每次拿1个球，每拿到一个红球获得一张类购物卡，每拿到一个黄球获得一张类购物卡，每拿到一个白球获得一张类购物卡.
(1)已知某顾客在3次中只有1次抽到白球的条件下，求至多有1次抽到红球的概率；
(2)设拿到红球的次数为，求的分布列和数学期望.
58．（2023·浙江温州二模）为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查.调查的样本中高一年级有的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为，用样本的频率估计总体的概率.
(1)从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率；
(2)假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个年级中随机抽取5名学生，设这5名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为，求随机变量的期望.
59．（2023·河南三模）某班从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组．
(1)求数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的概率；
(2)用X表示物理兴趣小组中的女生人数，求X的分布列与数学期望．
60．（2023·上海徐汇三模）探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．某学校为了了解学生对航天知识的知晓情况，组织开展航天知识竞赛活动．本次活动中有一个风险答题环节，竞赛规则如下：风险题分为10分、20分、30分三类，答对得相应分数，答错扣相应分数，每位选手可以从中任选三道题作答．甲选手在回答风险题时，答对10分题的概率为0.9，答对20分题的概率为0.8，答对30分题的概率为0.5．
(1)若甲选手选三道题，第一道选择了10分题，第二道选择了20分题，第三道选择了30分题，求最终得分为0的概率．
(2)若甲选手第一道题选择30分风险题，第二道题和第三道题都选择20分的风险题作答，记他的最终得分为X，求X的分布列和数学期望．
1.频率分布直方图
（1）频率、频数、样本容量的计算方法
①eq \f(频率,组距)×组距＝频率．
②eq \f(频数,样本容量)＝频率，eq \f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 .
2.频率分布直方图中数字特征的计算
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．
3.非线性回归
建立非线性回归模型的基本步骤
（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；
（3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）；
（4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；
（5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；
（6）消去新元，得到非线性回归方程；
（7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
4.二项分布
（1）一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．
④二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
（2）若，则，．
5.超几何分布
（1）在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
超几何分布和二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
6.正态分布
（1）随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值．
一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．
其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
（2）原则
若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大
特别地，有；；．
由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．
2023年高考数学真题题源解密（全国卷）
专题09 计数原理与概率统计
目录一览
①2023真题展现
②真题考查解读
③近年真题对比
④命题规律解密
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一 统计
一、解答题
1．（2023·全国乙卷理数第17题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：
记，记的样本平均数为，样本方差为．
(1)求，；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
2．（2023·全国甲卷文数第19题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表
（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：，
考向二 概率
一、单选题
1．（2023·全国乙卷理数第5题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国乙卷文数第9题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国甲卷文数第4题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.故选：D.
4．（2023·全国甲卷理数第6题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
考向三 随机变量的分布列和数学期望
一、单选题
1．（2023·全国乙卷理数第7题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4
【答案】C
【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，故选：C.
2．（2023·全国甲卷理数第9题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
二、解答题
3．（2023·全国甲卷理数第19题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
附：
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）；列联表见解析，（ii）能
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【详解】（1）依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
故.
（2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为，
所以，
故列联表为：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.
【命题意图】
1．用样本估计总体
（1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.
（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.
（3）能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.
（4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.
（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
2．统计案例
了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.
（1）独立性检验
了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.
（2）回归分析
了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
3．古典概型
（1）理解古典概型及其概率计算公式.
（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
4．随机数与几何概型
（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.
（2）了解几何概型的意义.
5．随机变量的分布列和数学期望
（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.
（3）了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.
（4）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.
（5）利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
【考查要点】
本专题内容主要考查排列组合，二项式定理，随机抽样，用样本估计总体，变量的相关性，随机事件的概率，古典概型，几何概型，回归分析，独立性检验，离散型随机变量的分布列、期望、方差、正态分布等内容。用样本估计总体，古典概型，离散型随机变量的分布列、期望、方差是高考重点，考查的能力是应用回归分析与独立性检验思想方法解决简单实际问题的能力。高考试题强调应用性，以实际问题为背景，构建数学模型，突出考查统计与概率的思想和数据处理能力及应用意识。在复习过程中，要立足课本基础知识，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样，才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果。同时，本专题题目多以生产生活中的实际问题为背景，阅读量大，首先根据文宇信息、图表信息了解考查的知识点，再结合考查目标，理解图文的内在含义，最后整合有效信息，明确数据关系。应用题的考查，加大了对考生阅读能力的要求，对题目的准确理解，找到数学模型，是解答题目的关键．考生应该把近几年各地高考及模拟题归类分析，强化训练。
【得分要点】
高频考点：随机事件与概率，统计图表，用样本估计总体；
中频考点：两个基本计数原理，排列组合，二项式定理，一元线性回归模型，2×2列联表，离散型随机变量及其分布列；
低频考点：随机事件的条件概率，正态分布，随机抽样，成对数据的统计相关性，与数列、导数等其他知识的结合。
考向一 统计
一、单选题
1．（2022·全国乙卷文数第4题）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
【答案】C
【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A选项结论正确.
对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：
，
B选项结论正确.
对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，
C选项结论错误.
对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，
D选项结论正确.故选：C
2．（2022·全国甲卷理数第2题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】B
【详解】讲座前中位数为,所以错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为，
讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.故选:B.
3．（2021·全国甲卷文数第2题/理数第2题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.
二、解答题
1．（2022·全国乙卷文数第19题/理数第19题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
并计算得．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，
平均一棵的材积量为
（2）
则
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得，解之得．
则该林区这种树木的总材积量估计为
2．（2022·全国甲卷文数第17题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，
【答案】(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为，
(2)有
【详解】（1）根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，
则；
B共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则.
A家公司长途客车准点的概率为；
B家公司长途客车准点的概率为.
（2）列联表
=，
根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
3．（2021·全国乙卷文数第17题/理数第17题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
【详解】（1），
，
，
.
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
4．（2021·全国甲卷文数第17题/理数第17题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
【答案】（1）75%；60%；
（2）能.
【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
（2）,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
考向二 概率
一、单选题
1．（2022·全国乙卷理数第10题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D
2．（2022·全国甲卷文数第6题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】[方法一]：【最优解】无序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.
[方法二]：有序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，
其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为.故选：C.
3．（2021·全国乙卷文数第7题）在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设“区间随机取1个数”，对应集合为： ，区间长度为，
“取到的数小于”， 对应集合为：，区间长度为，
所以．故选：B．
4．（2021·全国乙卷理数第8题）在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图所示：

设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．
设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．
故选：B.
5．（2021·全国甲卷文数第10题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】C
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，故选：C.
6．（2021·全国甲卷理数第10题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
故选：C.
二、填空题
7．（2022·全国乙卷文数第14题/理数第13题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【答案】
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率故答案为：
8．（2022·全国甲卷理数第15题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
【答案】.
【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．故答案为：．
考向三 随机变量的分布列和数学期望
一、单选题
1．（2021·全国乙卷理数第6题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
二、解答题
2．（2022·全国甲卷理数第19题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
期望.
1.本部分内容为高考热点，一般以课程学习情境与生活实践情境来考查，全国甲、乙卷难度较小，解答题的难度有所减少，重在考查考生的逻辑思维能力以及对事件进行分析、分解和转化的能力。
2.排列组合、二项式定理、抽样方法、古典概型、用样本估计总体等等主要以选择题、填空题考查，解答题常利用排列组合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差、二项分布和正态分布等问题，注意概率和其他知识的综合考查。
3.常用公式法和排列组合知识处理小题，注意逻辑推理的灵活运用。
4.逻辑思维能力，运算求解能力和数学建模能力是本专题考查的关键能力。重点考查知识的应用性与基础性，考查的学科素养为理性思维，数学应用和数学探索。
一、单选题
1．（2023·陕西宝鸡二模）Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小张根据Keep记录的2022年1月至2022年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（ ）

A．月跑步里程逐月增加
B．月跑步里程最大值出现在10月
C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
【答案】A
【详解】由折线图可知，月跑步里程不是逐月增加的，故A不正确；
月跑步里程最大值出现在10月，故B正确；
月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；
1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确．
故选:A．
2．（2023·广东东莞三模）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气，则这两个节气不在同一个月的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意，
从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气，
∴基本事件有个，其中任取两个在同一个月的有3个，
∴这两个节气不在同一个月的概率为：，故选：A.
3．（2023·贵州遵义三模）下图是2013-2020年国家财政性教育经费（单位：万元）和国家财政性教育经费占总教育经费占比的统计图，下列说法正确的是（ ）
A．2019年国家财政性教育经费和国家财政性教育经费占总教育经费占比均最低
B．国家财政性教育经费逐年增加
C．国家财政性教育经费占比逐年增加
D．2020年国家财政性教育经费是2014年的两倍
【答案】B
【详解】对于A，显然国家财政性教育经费逐年增加，最低不是2019年，故A错误，B正确；
对于C，国家财政性教育经费占比在2015年至2019年逐年下降，故C错误；
对于D，2014年与2020年的国家财政性教育经费分别为大约250000000万元和不到450000000万元，显然不满足后者是前者的2倍的关系，故D错误.故选：B
4．（2023·河南·襄城三模）一组数据的平均数是5，方差是1.6，若将这组数据中的每一个数据都乘以2再加上1，得到一组新数据，则这组新数据的平均数和方差分别是（ ）
A．8，6.4B．5，6.4C．11，3.2D．11，6.4
【答案】D
【详解】设这组数据分别为，变化后的数据为，，则平均数，方差，故选:D．
5．（2023·江苏镇江三模）南沿江高铁即将开通，某小区居民前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布；路线②骑共享单车到地铁站，乘地铁前往，路程长，但意外阻塞较少，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布.该小区的甲乙两人分别有分钟与分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别为（ ）
A．①､①B．①､②C．②､①D．②､②
【答案】C
【详解】由正态分布的区间概率知，
，
令路线①所需时间，路线②所需时间
对于甲：有分钟可走，
走第一条路线：故，
走第二条路线：则，
所以，所以应选择路线②；
对于乙：有分钟可走，
走第二条路线：
走第一条路线：则，
所以，所以选择路线①.故选：C
6．（2023·四川凉山·三模）样本数据的平均数为4，方差为1，则样本数据的平均数，方差分别为（ ）
A．9，4B．9，2C．4，1D．2，1
【答案】A
【详解】因为样本数据的平均数为4，
所以样本数据的平均数为；
因为样本数据的方差为1，
所以样本数据的方差为.故选：A
7．（2023·广东深圳二模）现将5个代表团人员安排至甲､乙､丙三家宾馆入住，要求同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住.若这5个代表团中两个代表团已经入住甲宾馆且不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为（ ）
A．6B．12C．16D．18
【答案】A
【详解】甲宾馆不再安排代表团入住，
则乙､丙两家宾馆需安排余下的3个代表团入住，
所以一个宾馆住1个代表团，另一个宾馆住2个代表团.
共有种方法，故选：A
8．（2023·河南三模）已知的展开式中的系数为，则实数（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【详解】的展开式中的系数为，的系数为，
所以的展开式中的系数为，
依题意得，得.故选：C
9．（2023·北京海淀三模）现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下事件发生的概率即（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得A表示事件“抽到两名同学性别相同”，
则,
表示事件“抽到两名女同学”，则,
故,故选：A
10．（2023·上海嘉定三模）已知随机变量X服从正态分布，下列四个命题：
甲：；乙：；
丙：；丁：
如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【详解】因为、均等价于，
由题意可得：乙、丙均为真命题，且，
对于甲：因为，故甲为真命题；
对于丁：因为，故丁为假命题；故选：D.
11．（2023·河南·襄城三模）已知的展开式中的常数项是672，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】C
【详解】展开式的通项为，令，得，∴常数项是，故．故选：C
12．（2023·北京海淀三模）在的展开式中，常数项为（ ）
A．1B．3C．6D．12
【答案】C
【详解】因为展开式的第项为，
令，则，所以常数项为.故选：C.
13．（2023·山东省实验中学二模）某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中（岁以上含岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（ ）

A．男性比女性更关注地铁建设
B．关注地铁建设的女性多数是岁以上
C．岁以下的男性人数比岁以上的女性人数多
D．岁以上的人对地铁建设关注度更高
【答案】C
【详解】由等高条形图可得：
对于A：由左图知，样本中男性数量多于女性数量，
从而男性比女性更关注地铁建设，故A正确；
对于B：由右图知女性中岁以上的占多数，从而样本中多数女性是岁以上，
从而得到关注地铁建设的女性多数是岁以上，故B正确；
对于C：由左图知男性人数大于女性人数，由右图知岁以下的男性占男性人数比岁以上的女性占女性人数的比例少，无法判断岁以下的男性人数与岁以上的女性人数的多少，故C不一定正确；
对于D：由右图知样本中岁以上的人对地铁建设关注度更高，故D正确．故选：C．
14．（2023·山东菏泽三模）2023年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别为，五辆车随机排成一排，则车与车相邻，车与车不相邻的排法有（ ）
A．36种B．42种C．48种D．60种
【答案】A
【详解】将车与车捆在一起当一个元素使用，有种捆法，
将除车外的个元素全排，有种排法，
将车插入，不与车相邻，又种插法，故共有种排法.故选：A
15．（2023·河南三模）某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，且至少有1位语文教师入选，则不同安排方法有（ ）种．
A．16B．20C．96D．120
【答案】C
【详解】从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，有种，
其中没有语文教师入选的有种，所以满足条件的不同安排方法有种.故选：C
16．（2023·福建福州三模）厦门市博物馆由厦门博物馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈胜元故居七个馆区组成.甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有（ ）
A．22种B．20种C．12种D．10种
【答案】A
【详解】若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选一个：种，
若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选二个：种，
故若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有种方案.故选：A.
17．（2023·湖南益阳三模）某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（ ）
A．504种B．960种C．1008种D．1200种
【答案】C
【详解】依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有（种），
其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班的方法共有（种）；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在5月7日值班的方法共有(种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有(种).
因此满足题意的方法共有(种).故选：C.
18．（2023·四川泸州三模）中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则名同学所有可能的选择有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【详解】因为甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则乙可在《尚书》、《礼记》、《周易》三种书中选择一种，
甲可在除《诗经》外的三种书中任选一种，其余三种书可任意排序，
由分步乘法计数原理可知，不同的选择种数为.故选：D.
19．（2023·河北衡水三模）第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（ ）
A．76种B．82种C．86种D．90种
【答案】D
【详解】由题意知这4人中恰有2人均预约了2个馆，剩下2人均预约了1个馆，
首先将4人分成2组，有种不同的分法，
下面分2种情况：若预约2个馆的2人预约完全相同，有种不同的结果；
若预约2个馆的2人有预约1馆相同，有种不同的结果，
所以每个馆恰有2人预约的不同方案有种．故选：D.
20．（2023·福建宁德二模）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，分派方案可按人数分为3，1，1或2，2，1两种情况, 则有：种方法；
两位女教师分派到同一个地方根据题意，分派方案可分为两种情况：
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法；
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法；
故一共有：种分派方法,
这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的概率为.故选：
二、填空题
21．（2023·上海闵行三模）分别抛郑3枚质地均匀的硬币，则等可能事件的样本空间中样本点的个数是 ．
【答案】8
【详解】每枚硬币都有2种情况，即正面和反面，
则分别抛掷3枚硬币，（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），
所有，故答案为：8．
22．（2023·四川南充三模）一个高中研究性学习小组对本地区2020年至2022年菜鸟驿站发展情况进行了调查，制成了该地区菜鸟驿站站点个数情况的条形图和菜鸟驿站各站点年快递收发数量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区菜鸟驿站每年平均收发快递 万件.
【答案】1400
【详解】由图可知，三年共收发快递万件，
所以这三年中该地区菜鸟驿站每年平均收发快递万件.故答案为：1400.
23．（2023·新疆阿勒泰三模）从正方体的8个顶点中取出三个顶点构成三角形，其中为直角三角形的概率为 ．
【答案】
【详解】从正方体的8个顶点中取出3个，共有种取法.
正方体有6个表面和6个对角面，它们都是矩形(包括正方形)而每一个矩形中都有4个直角三角形，
所以共有个直角三角形.
故构成直角三角形的概率为.故答案为：.
24．（2023·广东广州三模）算盘是中国传统的“珠算”工具．下图是一把算盘，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表数字，下面一粒珠（简称下珠）代表数字，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨粒下珠，则算盘表示的数为质数（除了和本身没有其它的约数）的概率是 .

【答案】
【详解】由题意可知，算盘所表示的数可能有：、、、、、，
其中是质数的有：、，故所求事件的概率为.故答案为：
25．（2023·甘肃武威三模）为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 人．
【答案】
【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人，可得高三年级共有90人，
又由高三年级共有720名学生，则每个学生被抽到的概率为，
设该校共有名学生，可得，解得（人），即该校共有名学生.故答案为：.
26．（2023·广东珠海三模）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有 种.
【答案】24
【详解】当游泳场地安排2人时，则不同的安排方法有种，
当游泳场地安排1人时，则不同的安排方法有种，
由分类加法原理可知共有种，故答案为：24
27．（2023·河南南阳三模）为了响应全国创文明城活动，某单位计划安排五名员工分别去三个小区参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，员工甲不去小区，则不同的安排方法种数共有 种．
【答案】100
【详解】五名员工分别去三个小区A，B，C参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，
则有和两种情况，共有种情况，
员工甲去三个小区的可能性相同，所以共有种情况.故答案为：100
28．（2023·上海嘉定三模）4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有 种.
【答案】36
【详解】先选两名志愿者看成一个整体，共有种，
再与剩余志愿者一起排列，共有种，所以不同的分法共有种.故答案为：36.
29．（2023·四川成都三模）从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为 ．
【答案】
【详解】从正六边形的6个顶点中任取3个，有个三角形，
其中直角三角形如图每边对应2个，例如Rt△BDE和Rt△ADE，共有2×6＝12个，
所以所求概率为．故答案为：．
30．（2023·山东菏泽三模）已知某学校高三数学期末考试成绩服从正态分布，已知成绩落在的概率为0.4，数学考试满分150分，该学校高三有学生800人，则考试成绩140分以上的学生大约有 人．
【答案】
【详解】设学生成绩为，则，则，
因为，所以，
所以，
则考试成绩140分以上的学生大约有（人）.故答案为：.
31．（2023·福建宁德二模）若随机变量，且，则 ．
【答案】
【详解】因为，且，则，
所以，.故答案为：.
32．（2023·天津滨海三模）若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为 .
【答案】
【详解】因的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则.
则展开式中第项为.
令可得，则的系数为.故答案为：
33．（2023·湖南长沙三模）每年高考结束后，各大高校会进入长沙的高中校园组织招生宣传.某中学高三年级的3名男生、2名女生去参加A，B两所高校的志愿填报咨询会，每个学生只能去其中的一所学校，且要求每所学校都既有男生又有女生参加，则不同的安排方法数是 ．
【答案】12
【详解】第一步：先将3名男生分成两组，再分配到两所高校，共有种；
第二步：将2名女生分配到两所高校，共有种；
所以不同的安排方法有：种.故答案为：12.
34．（2023·河北张家口三模）展开式中的系数是 .
【答案】
【详解】，
的通项公式为，，
所以展开式中的系数是.故答案为：.
35．（2023·福建宁德二模）若，且，则的展开式中的常数项为 ．
【答案】
【详解】由题意，二项展开式的通项公式为：，其中，
又展开式中含有常数项，于是有解，结合，，可知，
此时，故展开式的常数项为：.故答案为：
36．（2023·安徽马鞍山三模）甲、乙等6名同学报名参加4个社区的服务工作，每人只能选一个社区，则甲、乙选到同一个社区的概率为 ．
【答案】
【详解】设4个社区分别为A、B、C、D，
由题意，每名同学去A、B、C、D这4个社区任意一个的事件相互独立，甲同学有4中情况，乙同学也有4中情况，根据分布乘法共有种情况.
如甲乙到同一社区，则有A、B、C、D，4个社区中选择一个共4种情况.
故甲、乙选到同一个社区的概率为，故答案为：.
37．（2023·江西师大附中三模）城市地铁极大的方便了城市居民的出行，南昌地铁号线是南昌市最早建成并成功运营的一条地铁线．已知号地铁线的每辆列车有节车厢，从月日起实行“夏季运行模式”，其中节车厢开启强冷模式，节车厢开启中冷模式，节车厢开启弱冷模式．现在有甲、乙人同一时间同一地点乘坐同一趟地铁列车，由于个人原因，甲不选择强冷车厢，乙不选择弱冷车厢，但他们都是独立而随机的选择一节车厢乘坐，则甲、乙人不在同一节车厢的概率为 ．
【答案】
【详解】不妨设、号为强冷车厢，、号为中冷车厢，、号弱冷车厢，
则甲可去、、、号车厢，乙可去、、、号车厢，
用表示甲去的车厢号，表示乙去的车厢号，表示甲乙两人的一种选择，
所有的基本事件为：
，
一共有个基本事件．其中同在一个车厢有种，不在同一车厢有种情况，
所以甲乙不在同一车厢的概率为．故答案为：.
38．（2023·江苏镇江三模）现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了九嶷山”，则 .
【答案】
【详解】由题意可知，4人去4个不同的景点，总事件数为，
事件的总数为，则
，
事件和事件同时发生，即“甲去了九嶷山，另外3人去了另外3个不同的景点”则
事件的总数为，所以，所以，故答案为：
39．（2023·广东汕头三模）现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.1张彩票中奖金额的均值是 元.
【答案】2
【详解】设每张彩票的中奖金额为随机变量，则.
由题意可知，，，，，，
所以.所以，的分布列为
所以，.故答案为：2.
40．（2023·海南海口二模）临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为 ．
【答案】15120
【详解】4副长联内容不同，赠送方法有种；从剩余的7副短联中选出1副赠送给乙户老人，
有种方法，再将剩余的6副短联平均分为3组，最后将这3组赠送给三户老人，
方法种数为．所以所求方法种数为．故答案为：.
三、解答题
41．（2023·海南三模）实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防.某医学研究机构对120个接种与未接种牛痘疫苗的密切接触者进行医学观察后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
(1)根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概率；
(2)是否有的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？
附：.
【答案】(1)
(2)有的把握认为密切接触者末感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关.
【详解】（1）由题意可知，末接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为
已接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为.
（2）列联表如下
则，
所以有的把握认为密切接触者末感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关.
42．（2023·贵州黔东南模拟预测）二十四节气起源于黄河流域，是古代中国劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶.其中“立冬小雪十一月，大雪冬至迎新年”就是描述二十四节气农历11月和12月的节气口诀.某中学为调查本校学生对二十四节气的了解情况，组织测试活动，按照性别分层抽样抽取了150名学生进行答题，其中男生占，记录其性别和是否全部答对的情况，得到如图的等高条形图.

(1)若该校有3000人，试估计该校对二十四节气的测试活动全部答对的学生人数；
(2)完成下面的列联表，判断能否有的把握认为“是否全部答对”与性别有关？
附：，其中.
【答案】(1)
(2)有的把握认为“是否全部答对”与性别有关
【详解】（1）由题意，男生共人，其中答对的人数；
女生共人，其中答对的人数；
故该校对二十四节气的测试活动全部答对的学生人数共
（2）按照性别分层抽样抽取出的男生人数为，则抽取的女生人数为：；
抽取的女生中全部答对的人数为：，部分答对的人数为：；
抽取的男生中全部答对的人数为：，部分答对的人数为：；
，由，
则有的把握认为“是否全部答对”与性别有关.
43．（2023·四川成都三模）全国中学生生物学竞赛隆重举行.为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值，并估计这名学生成绩的中位数；
(2)在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取2人，求这2人成绩都不在的概率.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由频率分布直方图的性质可得，，
解得，
设中位数为，因为，，
所以，
解得；
（2）的三组频率之比为，
从中分别抽取人，人，人，
将这人按所在的组编号分别为：，，，
从中任取人，所有的取法有，共种取法，
其中人成绩都不在的取法有：
，共种情况，所以这人成绩都不在的概率.
44．（2023·河南开封三模）2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心、顽强拼搏获得亚军.这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕.为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.
(1)将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？
(2)在不喜爱篮球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.
附：，其中.
【答案】(1)列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关
(2)
【详解】（1）由题意进行数据分析，得到列联表如下：
计算，
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关；
（2）不喜爱篮球运动的观众中，有男观众20人，女观众40人，
按照分层抽样的方式抽取6人，有男观众2人，记为、，女观众4人，记为1、2、3、4，
从6人中抽取2人，有：，，，，，，，，，12，13，14，23，24，34，共15个，记“所抽2人至少有一位男性”为事件，包含：，，，，，，，，，共9个.
所以.
45．（2023·河南·襄城三模）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业，产品主要应用于森林消防、物流运输、航空测绘、军事侦察等领域，获得市场和广大观众的一致好评，该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．该公司分别收集了甲、乙两种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数，，数据如下表所示：
(1)试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若，则线性相关程度很高）
(2)从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数的概率．
附：相关公式及数据：，．
【答案】(1)0.95，y与x具有较强的线性相关关系
(2)．
【详解】（1），，
所以，
由于，
相关系数，
因为，所以y与x具有较强的线性相关关系．
（2）将地点1，2，3，4，5分别记为A，B，C，D，E，任抽2个地点的可能情况有，，，，，，，，，，共10种情况，
其中在地点3，4，5，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数，即，，3种情况，故所求概率为．
46．（2023·北京海淀三模）人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：
假设用频率估计概率.
(1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为，求的分布列和期望；
(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明）
【答案】(1)16；
(2)分布列见解析；
(3)“一个”在前更合适
【详解】（1）由题意可得；
故甲类题材中“一”出现的概率为；
（2）由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，搭配“一个”出现的概率为，
则，则,,
,
故X的分布列为：
则.
（3）由题意知样本语料库中“一格”出现的概率为，
甲类题材中“一个”出现的概率为，
由于，故输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适.
47．（2023·黑龙江哈尔滨三模）哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.
(1)若高三学年获得决赛资格的同学个数为，求的分布列和数学期望.
(2)已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入两个纸箱中，箱中有3道选择题和2道填空题，箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入箱中，然后乙再抽取题目.已知乙从箱中抽取的第一题是选择题，求甲从箱中抽出的是2道选择题的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【详解】（1）依题意得甲获得决赛资格的概率为，乙获得决赛资格的概率为，
的所有可能取值为，
，，
，
所以的分布列为：
所以.
（2）记“甲从箱中抽出的是道选择题”，“乙从箱中抽取的第一题是选择题”，
则，，，，，，
所以
.甲从箱中抽出的是2道选择题的概率为.
48．（2023·山东德州·三模）某学校组织“一带一路”答题闯关活动，每位参赛选手需要回答三个问题，对于前两个问题，每个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得20分，回答错误扣10分，规定每位参赛选手回答这三个问题的总分不低于30分就算闯关成功．选手小明回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互独立．
(1)求小明回答正确至少两个问题的概率；
(2)求小明回答这三个问题的总得分的分布列，并求数学期望和闯关成功的概率．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，
【详解】（1）记：小明回答正确至少两个问题，则.
（2）由题意得，X所有的取值为：-10，0，10，20，30，40.
；
；
；
；
；
；
.
闯关成功的概率为：.
49．（2023·山东潍坊·三模）某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品，统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）

产品的性能指数在的适合儿童使用（简称A类产品），在的适合少年使用（简称B类产品），在的适合青年使用（简称C类产品），三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）．以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率．
(1)该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量的数据做了初步处理，得到散点图（如图2）及一些统计量的值（如下表）．
表中．
根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程，求关于的回归方程；（取）
(2)求每件产品的平均销售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用）
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】(1)
(2)4元，256万元
【详解】（1）由题意，
由得，，
令，则，
由表中数据可得，，则，
∴，即，
∵，∴，∴所求的回归方程为．
（2）由题意及（1）得，
设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，
由直方图可得，三类产品的频率分别为0.15，0.45，0.4，
∴，，，
所以随机变量的分布列为：
所以，
故每件产品的平均销售利润为4元；
设年收益为万元，则，
设，
则，
当时，，在单週递增，
当时，，在单调递减，
∴当，即时，有最大值为768，
∴估计当该公司一年投入256万元营销费时，能使得该产品年收益达到最大．
50．（2023·安徽蚌埠三模）某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
(1)根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
附：
【答案】(1)有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；
(2)分布列见解析，数学期望为.
【详解】（1）依题意，列联表如下：
零假设：该校学生喜欢足球与性别无关，
的观测值为，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.
（2）依题意，的可能值为，
，，
，，
所以的分布列为：
数学期望.
51．（2023·湖南长沙三模）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性.某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同单品，有50%的可能性出现隐藏款X．为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐，开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下数据：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为A、B款盲盒套餐的选择与年龄有关联？
(2)甲、乙、丙三人每人购买1件B款盲盒套餐，记随机变量为其中隐藏款X的个数，求的分布列和数学期望；
(3)某消费者在开售首日与次日分别购买了A款盲盒套餐与B款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，求该隐藏款来自于B款盲盒套餐的概率．
附：，其中．
【答案】(1)能认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关
(2)分布列见解析，
(3)
【详解】（1）零假设为：：A，B款盲盒套餐的选择与年龄之间无关联．
根据列联表中的数据，经计算得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即依据小概率值的独立性检验，能认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关；
（2）的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以的分布列为：
；
（3）设事件A：随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，
设事件：随机抽取的1件单品来自于A款盲盒套餐，
设事件：随机抽取的1件单品来自于B款盲盒套餐，
，
故由条件概率公式可得
，即该隐藏款来自于B款盲盒套餐的概率为．
52．（2023·福建福州三模）厦门思明区沙坡尾某网红店推出A、B两种不同风味的饮品.为了研究消费者性别和饮品偏好的关联性，店主调查了首次到店的消费者，整理得到如下列联表:
表1单位:人
(1)请画出列联表的等高堆积条形图，并依据小概率值的独立性检验，判断首次到店消费者的性别与饮品风味偏好是否有关联.如果结论是性别与饮品风味偏好有关联，请解释它们之间如何相互影响.

(2)店主进一步调查发现:女性消费者若前一次选择A饮品，则下一次选择A、B两种饮品的概率分别为、；若前一次选择B饮品，则下一次选择A、B两种饮品的概率分别为、；如此循环下去，求女性消费者前三次选择A、B两种饮品的数学期望，并解释其实际含义.
附:.
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【详解】（1）对于A饮品：女性消费者的频率为，男性消费者的频率为，
对于B饮品：女性消费者的频率为，男性消费者的频率为，
可得等高堆积条形图，如下图所示：

零假设：首次到店消费者的性别与饮品风味偏好无关，
因为，
所以不成立，即首次到店消费者的性别与饮品风味偏好有关，
可知首次到店消费者中女性消费者更青睐于A饮品，男性更青睐于B饮品.
（2）由题意可知：女性第一次选择A、B两种饮品的概率分别为、，
设前三次选择A饮品的次数为，则的可能取值为，
因为，
，
所以的分布列为：
可得的期望，
设前三次选择B饮品的次数为，则的期望，
即前三次中，平均有次选择A饮品，有次选择B饮品.
53．（2023·北京密云三模）为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：

(1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从第5组，第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率；
(2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以频率估计概率，求的分布列和数学期望；
(3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估计应定为多少合适？（只需写出结论）.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，
(3)
【详解】（1）由频率分布直方图可知，户居民中，第组的居民户数为，
第组的居民户数为，
从第组、第组中任取户居民，他们月均用电量都不低于的概率为.
（2）该地区月均用电量在之间的用户所占的频率为，
由题意可知，，
所以，，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
.
（3）前个矩形的面积之和为，
设月均用电量的样本数据的第百分位数为，则，
则，解得，
故应定为较为合适.
54．（2023·江苏·金陵三模）一只不透朋的袋中装有10个相同的小球，分别标有数字0~9，先后从袋中随机取两只小球.用事件A表示“第二次取出小球的标号是2”，事件B表示“两次取出小球的标号之和是m”.
(1)若用不放回的方式取球，求；
(2)若用有放回的方式取球，求证：事件A与事件B相互独立的充要条件是.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）用C表示“第一次取出小球的标号是2”，则，，，，
所以
.
（2）记第一次取出的球的标号为x，第二次的球的标号为y，用数组两次取球，则，
充分性：当时，
事件B发生包含的样本点为，
因此，事件AB发生包含的样本点为，则，
又，于是，所以事件A与事件B相互独立；
必要性
因为事件A与事件B相互独立，则，即，
而，，于是，
事件AB发生包含的样本点为，即，则，
又，，，
因此关于x的不等式组，有10组整数解，
即关于x的不等式组，有10组整数解，从而，得，
所以事件A与事件B相互独立的充要条件是.
55．（2023·上海长宁三模）由于X病毒正在传染蔓延，对人的身体健康造成危害，某校拟对学生被感染病毒的情况进行摸底调查，首先从两个班共100名学生中随机抽取20人，并对这20人进行逐个抽血化验，化验结果如下：.已知指数不超过8表示血液中不含病毒；指数超过8表示血液中含病毒且该生已感染病毒.
(1)从已获取的20份血样中任取2份血样混合，求该混合血样含病毒的概率；
(2)已知该校共有1020人，现在学校想从还未抽血化验的1000人中，把已感染病毒的学生全找出.
方案A：逐个抽血化验；
方案B：按40人分组，并把同组的40人血样分成两份，把其中的一份血样混合一起化验，若发现混合血液含病毒，再分别对该组的40人的另一份血样逐份化验；
方案C：将方案中的40人一组改为4人一组，其他步骤与方案相同.
如果用样本频率估计总体频率，且每次化验需要不少的费用.试通过计算回答：选用哪一种方案更合算？（可供参考数据：）
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【详解】（1）分血样中，不含病毒的有份，含有病毒的有份，
混合血样含病毒的概率
（2）设每次化验的费用为，每个人感染病毒的概率为，
方案：费用为；
方案：每组化验次数的分布列为：
,故总费用为；
方案：每组化验次数的分布列为：
,故总费用为；综上所述：选用方案更合算.
56．（2023·人大附中三模）每年8月8日为我国的全民健身日,倡导大家健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣,助力全面健康成长,某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况,随机抽取100名学生作为样本,统计他们参加体育锻炼活动时间(单位:分钟),得到下表：
(1)从该校随机抽取1名学生,若已知抽到的是女生,估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率；
(2)从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人,其中初中学生的人数记为X,求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替,样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为,初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为．写出一个m的值,使得(结论不要求证明)
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
(3)
【详解】（1）从该校随机抽取名学生，若已知抽到的是女生，
估计该学生参加体育实践活动时间在的概率为
（2）由题知,X的所有可能值为0,1,2,
参加体育实践活动时间在的学生总人数为，其中初中生人，
参加体育实践活动时间在的学生总人数为，其中初中生人，
记事件C为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生”,事件D为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生”,
由题意知,事件C,D相互独立,
且,
所以,
,
,
所以的分布列为：
故X的数学期望.
（3）根据男女生人数先补全初中学生各区间人数：

内初中生的总运动时间,
内高中生的总运动时间,
则,
,,
由可得，解得
57．（2023·云南三模）某商场在周年庆活动期间为回馈新老顾客，采用抽奖的形式领取购物卡.该商场在一个纸箱里放15个小球（除颜色外其余均相同）：3个红球、5个黄球和7个白球，每个顾客不放回地从中拿3次，每次拿1个球，每拿到一个红球获得一张类购物卡，每拿到一个黄球获得一张类购物卡，每拿到一个白球获得一张类购物卡.
(1)已知某顾客在3次中只有1次抽到白球的条件下，求至多有1次抽到红球的概率；
(2)设拿到红球的次数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）设事件：在次中只有次拿到白球，事件：在次中至多次拿到红球，
则事件：在次中只有次拿到白球，其它两次至多次拿到红球，
所以，，
所以.
（2）依题意拿到红球的次数为的可能取值为，，，，
所以，，
，，
所以的分布列为：
所以.
58．（2023·浙江温州二模）为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查.调查的样本中高一年级有的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为，用样本的频率估计总体的概率.
(1)从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率；
(2)假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个年级中随机抽取5名学生，设这5名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为，求随机变量的期望.
【答案】(1)0.65；
(2)1.5.
【详解】（1）记随机抽取1名学生分别来自高一、高二、高三的事件为，抽取的1 名学生每周运动总时间超过5小时的事件为，
于是，,
因此
，
所以该学生每周运动总时间超过5小时的概率为0.65.
（2）该校每名学生每周运动总时间为随机变量（单位：小时），，
则有，由（1）知，，于是，
因此，即该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率为0.3，
依题意，，则,
所以随机变量的期望为1.5.
59．（2023·河南三模）某班从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组．
(1)求数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的概率；
(2)用X表示物理兴趣小组中的女生人数，求X的分布列与数学期望．
【答案】(1).
(2)分布列见解析，.
【详解】（1）从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组，共有种，
其中数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的有种，所以所求概率为.
（2）的所有可能取值为，
，，
，，
，
所以的分布列为：
.
60．（2023·上海徐汇三模）探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．某学校为了了解学生对航天知识的知晓情况，组织开展航天知识竞赛活动．本次活动中有一个风险答题环节，竞赛规则如下：风险题分为10分、20分、30分三类，答对得相应分数，答错扣相应分数，每位选手可以从中任选三道题作答．甲选手在回答风险题时，答对10分题的概率为0.9，答对20分题的概率为0.8，答对30分题的概率为0.5．
(1)若甲选手选三道题，第一道选择了10分题，第二道选择了20分题，第三道选择了30分题，求最终得分为0的概率．
(2)若甲选手第一道题选择30分风险题，第二道题和第三道题都选择20分的风险题作答，记他的最终得分为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由已知，得甲选手最终得分为0有两种情况：
①第一次和第二次答错，第三次答对，其概率．
②第一次和第二次答对，第三次答错，其概率．
所以甲选手最终得分为0的概率．
（2）由已知，得X的所有可能取值为，，，10，30，70．
①三道题全答错，，此时．
②第一道题答错，第二道题和第三道题有一道题答对，另一道题答错，，
此时．
③第一道题答对，第二道题和第三道题都答错，，
此时．
④第一道题答错，第二道题和第三道题全答对，，
此时．
⑤第一道题答对，第二道题和第三道题有一道题答对，另一道题答错，，
此时．
⑥三道题全答对，，此时．
所以的分布列为
所以X的数学期望．
1.频率分布直方图
（1）频率、频数、样本容量的计算方法
①eq \f(频率,组距)×组距＝频率．
②eq \f(频数,样本容量)＝频率，eq \f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 .
2.频率分布直方图中数字特征的计算
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．
3.非线性回归
建立非线性回归模型的基本步骤
（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；
（3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）；
（4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；
（5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；
（6）消去新元，得到非线性回归方程；
（7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
4.二项分布
（1）一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．
④二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
（2）若，则，．
5.超几何分布
（1）在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
超几何分布和二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
6.正态分布
（1）随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值．
一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．
其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
（2）原则
若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大
特别地，有；；．
由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．
考向一 统计
考向二 概率
考向三 随机变量的分布列和数学期望
考向一 统计
考向二 概率
考向三 随机变量的分布列和数学期望
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
对照组
试验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
对照组
实验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
感染猴痘病毒
未感染猴痘病毒
未接种牛痘疫苗
20
30
已接种牛痘疫苗
10
60
0.1
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
完全答对
部分答对
合计
男
女
合计
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
男
女
合计
喜爱
30
不喜爱
40
合计
50
100
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
地点1
地点2
地点3
地点4
地点5
甲型无人运输机指标数x
2
4
5
6
8
乙型无人运输机指标数y
3
4
4
4
5
“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况
频数
“一个”
6
“一些”
4
“一穷”
2
“一条”
2
其他
16.30
24.87
0.41
1.64
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A款盲盒套餐
B款盲盒套餐
年龄低于30岁
18
30
年龄不低于30岁
22
10
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
种类
合计
A饮品
B饮品
女性
60
40
100
男性
40
60
100
合计
100
100
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
…
…
…
…
0
1
…
…
考向一 统计
考向二 概率
考向三 随机变量的分布列和数学期望
考向一 统计
考向二 概率
考向三 随机变量的分布列和数学期望
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
对照组
试验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
对照组
实验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
准点班次数
未准点班次数
合计
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
0
2
10
50
100
1000
0.8545
0.1
0.03
0.01
0.005
0.0005
感染猴痘病毒
未感染猴痘病毒
未接种牛痘疫苗
20
30
已接种牛痘疫苗
10
60
0.1
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
感染猴痘病毒
未感染猴痘病毒
合计
未接种牛痘疫苗
20
30
50
已接种牛痘疫苗
10
60
70
合计
30
90
120
完全答对
部分答对
合计
男
女
合计
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
完全答对
部分答对
合计
男
女
合计
男
女
合计
喜爱
30
不喜爱
40
合计
50
100
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
喜爱
30
10
40
不喜爱
20
40
60
合计
50
50
100
地点1
地点2
地点3
地点4
地点5
甲型无人运输机指标数x
2
4
5
6
8
乙型无人运输机指标数y
3
4
4
4
5
“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况
频数
“一个”
6
“一些”
4
“一穷”
2
“一条”
2
其他
X
0
1
2
P
0
1
2
-10
0
10
20
30
40
16.30
24.87
0.41
1.64
1.5
3.5
5.5
0.15
0.45
0.4
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
0
1
2
3
A款盲盒套餐
B款盲盒套餐
年龄低于30岁
18
30
年龄不低于30岁
22
10
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3
P
性别
种类
合计
A饮品
B饮品
女性
60
40
100
男性
40
60
100
合计
100
100
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2
3
0
1
2
3
4
X
10
30
70
P
0.02
0.16
0.02
0.32
0.16
0.32
…
…
…
…
0
1
…
…