2023年高考数学真题题源解密(全国卷)专题07解三角形-特训(学生版+解析)

这是一份2023年高考数学真题题源解密(全国卷)专题07解三角形-特训(学生版+解析)，共69页。试卷主要包含了正弦定理解三角形，解三角形面积，解三角形的实际应用等内容，欢迎下载使用。
目录一览
①2023真题展现
②真题考查解读
③近年真题对比
④命题规律解密
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一 正弦（余弦）定理解三角形
一、单选题
1．（2023·全国乙卷文数第4题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
1．（2023·全国甲卷理数第16题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
考向二 解三角形面积
一、解答题
1．（2023·全国乙卷理数第18题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
2．（2023·全国甲卷文数第17题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【命题意图】
1．正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2．应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
【考查要点】
解三角形，多以一个三角形为背景，也可能会以四边形为背景，考查利用正弦能理、余弦定理解三角形.
【得分要点】
高频考点：正弦定理、余弦定理、解三角形面积
中频考点：解三角形的实际应用
考向一 正弦（余弦）定理解三角形
一、单选题
1．（2021·全国甲卷文数第8题）在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
二、填空题
1．（2022·全国甲卷理数第16题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
三、解答题
1．（2022·全国乙卷文数第17题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
2．（2022·全国乙卷理数第17题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
考向二 解三角形面积
一、填空题
1．（2021·全国乙卷理数第15题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则 ．
考向三 解三角形的实际应用
一、单选题
1．（2022·全国甲卷理数第8题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国乙卷理数第9题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
3．（2021·全国甲卷理数第8题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
解三角形的知识，有较强的几何意义，除了考查学生的应用意识和建模能力之外，更重要的是考查能否用正弦定理、余弦定理解决问题。解三角部分题目侧重基础，主要考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.预计2024年主要还是考查正余弦定理解三角形。
一、单选题
1．（2023·四川南充三模）在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川南充二模）设△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a=b，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山东济宁二模）的内角的对边分别为，若边上的高为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·四川宜宾三模）在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
5．（2023·辽宁丹东二模）中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河南·襄城三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（ ）
A．B．C．8D．4
7．（2023·江西南昌三模）八一广场是南昌市的心脏地带，八一南昌起义纪念塔是八一广场的标志性建筑，塔座正面镌刻“八一南昌起义简介”碑文，东、西、南三门各有一副反映武装起义的人物浮雕，塔身正面为“八一起义纪念塔”铜胎鎏金大字，塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成．现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为纪念塔最顶端，B为纪念塔的基座（B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C、D两点，测得的长为m．已知兴趣小组利用测角仪可测得的角有，则根据下列各组中的测量数据，不能计算出纪念塔高度的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·新疆阿勒泰三模）在中，平分，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·江西鹰潭·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，则（ ）
A．B．4C．D．
10．（2023·山东聊城三模）在中，，点在边上，且，若，则长度的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．（2023·河南·襄城三模）在中，内角A，，所对的边分别为，，，，为上一点，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·河南开封三模）在中，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·江西上饶二模）在中，的角平分线交于点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·江苏南京二模）在中，角，，的对边分别为，，．若，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·河南郑州·三模）在△ABC中，若，，，点P为△ABC内一点，PA⊥PB且，则（ ）
A．B．C．2D．5
16．（2023·江西师大附中三模）已知中，角的对边分别为，且，为的中点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·湖南岳阳三模）如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为 γ ．想在山高的处的山腰建立一个亭子，则此山腰高为（ ）
A．B．
C．D．
18．（2023·湖南邵阳三模）拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在△ABC中，已知，且，，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的边长为（ ）
A．3B．2C．D．
二、填空题
19．（2023·上海嘉定三模）在中，已知，则角的大小为 .
20．（2023·江西九江三模）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积为 .
21．（2023·北京海淀三模）已知中，，且，则的面积是 ．
22．（2023·广东广州三模）在中，点D在边上，，，，，则的长为 ．
23．（2023·河北邯郸三模）中，角A，，所对的边分别为，，，且，，则= ．
24．（2023·四川雅安三模）已知内角所对的边分别为面积为，且的中点为，则的长是 ．
25．（2023·山东济南三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为 米.
26．（2023·福建宁德二模）在中，，，则的最大值为 ．
27．（2023·贵州遵义三模）在中，，D为BC边上一点，且，则的最小值为 .
三、解答题
28．（2023·北京海淀三模）在中，.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
29．（2023·福建宁德二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，，为中点，求的长．
30．（2023·天津河西三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求的值；
(2)若，
（i）求的值；
（ⅱ）求的值.
31．（2023·河北张家口三模）在中，内角的对边分别为.
(1)若，求的面积；
(2)求的值.
32．（2023·山东烟台三模）在中，为中点，．
(1)若，求的面积；
(2)若，求的长．
33．（2023·福建福州三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)求B；
(2)D为AC的中点，,求的面积.
34．（2023·全国·校联考三模）已知分别为的内角的对边，且.
(1)求角；
(2)若的面积为，求的周长.
35．（2023·广东东莞三模）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求角的大小；
(2)设，，求的值.
36．（2023·广东广州三模）在△中，角的对边分别为，且，，设与的夹角为．
(1)当时，求及△的面积；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数的最大值与最小值．
条件①：；条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
37．（2023·河北·校联考三模）在中，角的对边分别为，且．
(1)判断的形状；
(2)若，点分别在边上，且，求的面积．
38．（2023·四川成都三模）在锐角三角形中，角的对边分别为，为在方向上的投影向量，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的周长.
39．（2023·上海徐汇三模）如图，中，角、、的对边分别为、、.

(1)若，求角的大小；
(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.
40．（2023·四川·成都三模）已知分别为锐角ABC内角的对边，．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
41．（2023·上海闵行三模）如图，是边长为2的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.

(1)若，求的长；
(2)用表示的面积，并求的取值范围.
42．（2023·江苏镇江三模）在凸四边形中，.
(1)若.求的长；
(2)若四边形有外接圆，求的最大值.
43．（2023·云南·校联考三模）已知函数在上单调，且.
(1)求的解析式；
(2)若钝角的内角的对边分别是，且，，求周长的最大值.
44．（2023·江苏无锡三模）已知的内角，，所对的边分别是，，，且______.
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答.
(1)求；
(2)若，，点为的中点，点满足，且，相交于点，求.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
45．（2023·江苏·金陵三模）已知，，其中，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.
1.其他三角形面积公式
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
2.正弦定理的应用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①边化角，角化边
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大边对大角 大角对大边
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
3.内角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③在中，内角成等差数列.
2023年高考数学真题题源解密（全国卷）
专题07 解三角形
目录一览
①2023真题展现
②真题考查解读
③近年真题对比
④命题规律解密
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一 正弦（余弦）定理解三角形
一、单选题
1．（2023·全国乙卷文数第4题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，则.故选：C.
二、填空题
1．（2023·全国甲卷理数第16题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．故答案为：．
考向二 解三角形面积
一、解答题
1．（2023·全国乙卷理数第18题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
2．（2023·全国甲卷文数第17题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
【命题意图】
1．正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2．应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
【考查要点】
解三角形，多以一个三角形为背景，也可能会以四边形为背景，考查利用正弦能理、余弦定理解三角形.
【得分要点】
高频考点：正弦定理、余弦定理、解三角形面积
中频考点：解三角形的实际应用
考向一 正弦（余弦）定理解三角形
一、单选题
1．（2021·全国甲卷文数第8题）在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），故.故选：D.
二、填空题
1．（2022·全国甲卷理数第16题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
【答案】
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.
三、解答题
1．（2022·全国乙卷文数第17题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
2．（2022·全国乙卷理数第17题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，由余弦定理可得，
则，所以，
故，所以，所以的周长为.
考向二 解三角形面积
一、填空题
1．（2021·全国乙卷理数第15题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则 ．
【答案】
【详解】由题意，，所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
考向三 解三角形的实际应用
一、单选题
1．（2022·全国甲卷理数第8题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，所以，
又，所以三点共线，即，
又，所以，
则，故，
所以.故选：B.
2．（2021·全国乙卷理数第9题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
【答案】A
【详解】如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．故选：A.
3．（2021·全国甲卷理数第8题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
【答案】B
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．故选：B．
解三角形的知识，有较强的几何意义，除了考查学生的应用意识和建模能力之外，更重要的是考查能否用正弦定理、余弦定理解决问题。解三角部分题目侧重基础，主要考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.预计2024年主要还是考查正余弦定理解三角形。
一、单选题
1．（2023·四川南充三模）在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由得，所以，
由于,故选：A
2．（2023·四川南充二模）设△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a=b，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由正弦定理可知，
故选：B.
3．（2023·山东济宁二模）的内角的对边分别为，若边上的高为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，边上的高为CD,
因为，所以，所以，
由勾股定理可得，
由余弦定理可得.故选：B
4．（2023·四川宜宾三模）在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【详解】，，，
，，，
由正弦定理得.
设，，，
∵，∴，
，
化简得，点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆.
过C作，当CD最大时，有最大值，.故选：C
5．（2023·辽宁丹东二模）中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由正弦定理，得，因为BC>AC，所以．故选：D
6．（2023·河南·襄城三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（ ）
A．B．C．8D．4
【答案】D
【详解】在中，由可得，
即
所以，因为，所以，且，
所以，又，可得，
由正弦定理可得．故选：D.
7．（2023·江西南昌三模）八一广场是南昌市的心脏地带，八一南昌起义纪念塔是八一广场的标志性建筑，塔座正面镌刻“八一南昌起义简介”碑文，东、西、南三门各有一副反映武装起义的人物浮雕，塔身正面为“八一起义纪念塔”铜胎鎏金大字，塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成．现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为纪念塔最顶端，B为纪念塔的基座（B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C、D两点，测得的长为m．已知兴趣小组利用测角仪可测得的角有，则根据下列各组中的测量数据，不能计算出纪念塔高度的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】对于A，由可以解，又，可求塔高度，故选项A能计算出纪念塔高度；
对于B，在中，由，无法解三角形，在中，由，无法解三角形，在中，已知两角无法解三角形，所以无法解出任意三角形，故选项B不能计算出纪念塔高度；
对于C，由，，可以解，可求，又，即可求塔高度，故选项C能计算出纪念塔高度；
对于D，如图，过点作于点，连接，
由题意知，平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
平面，所以，则，
由，知,，故可知的大小，由，，可解，可求，又，可求塔高度，故选项D能计算出纪念塔高度；故选：B.
8．（2023·新疆阿勒泰三模）在中，平分，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】如图，记，

在中，，则，
在中，，则,
∵平分，∴，∴，
∴，∴
∴，∴
∴，∴，
∴或，
当时，为等腰三角形，∴，，∴；
当时，，即，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∵，∴的最小值为.故选：C.
9．（2023·江西鹰潭·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】B
【详解】由，得，
由成等差数列，得，由余弦定理，得，
即，整理，得，由得，由得.
则，，所以，故选：B.
10．（2023·山东聊城三模）在中，，点在边上，且，若，则长度的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】如图，
以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
设，因为，则 ，
所以，即，
所以点轨迹是一个圆，圆心，半径，
，，，
求长度的最大值即为求长度的最大值,
在中，由正弦定理，
则，当时，即与圆相切时，，
则长度的最大值为4，长度的最大值为5.
故选：C.
11．（2023·河南·襄城三模）在中，内角A，，所对的边分别为，，，，为上一点，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
如图所示，在中，由，得．
又，即，
所以，
化简得．①
在中，由余弦定理得，，②
由①②式，解得．由，得，
将其代入②式，得，解得，
故的面积．故选：D
12．（2023·河南开封三模）在中，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】在中，因为，，，
由余弦定理可得，，
即，所以，
解得，或（舍去），
所以，故选：A.
13．（2023·江西上饶二模）在中，的角平分线交于点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
如图所示，在中，由余弦定理得
，
∴，∴为等腰三角形，，，
又∵为角平分线，∴，
∴在中，，
由正弦定理得得，.故选：A．
14．（2023·江苏南京二模）在中，角，，的对边分别为，，．若，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，即，
即，
，则，，则，故，
，故，.故选：B
15．（2023·河南郑州·三模）在△ABC中，若，，，点P为△ABC内一点，PA⊥PB且，则（ ）
A．B．C．2D．5
【答案】B
【详解】
在中，由余弦定理得，即，解得，
在Rt中，令，则，
在中，，
由正弦定理得，即，
所以，又，所以，所以．故选：B．
16．（2023·江西师大附中三模）已知中，角的对边分别为，且，为的中点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】在中，由及正弦定理得，而为的中点，
在中，由余弦定理得：，

整理得，，即有且为锐角，
因此当且仅当最小值，锐角最大，最大，
，
当，即时，，
所以的最大值为.故选：A
17．（2023·湖南岳阳三模）如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为 γ ．想在山高的处的山腰建立一个亭子，则此山腰高为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意可知，，，
分别在，中，，，
所以，
又
在中，由正弦定理可得，，
即， ，
在中，.
所以山腰高为.故选：C.
18．（2023·湖南邵阳三模）拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在△ABC中，已知，且，，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的边长为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【详解】如图，连接，由题设，
因为以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，
所以，，故.故选：B.
二、填空题
19．（2023·上海嘉定三模）在中，已知，则角的大小为 .
【答案】
【详解】因为，
由正弦定理得，即，
又因为，所以，
所以，所以.故答案为：.
20．（2023·江西九江三模）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积为 .
【答案】
【详解】解析：由及正弦定理，得，
，由余弦定理知，
，，.故答案为：.
21．（2023·北京海淀三模）已知中，，且，则的面积是 ．
【答案】3
【详解】在中，，，
解得，而，因此，
所以的面积.故答案为：3
22．（2023·广东广州三模）在中，点D在边上，，，，，则的长为 ．
【答案】
【详解】
由题意，作交于，
因为，，，，
所以，则，
在中，由余弦定理可得，
.所以.故答案为：.
23．（2023·河北邯郸三模）中，角A，，所对的边分别为，，，且，，则= ．
【答案】
【详解】因为，所以由正弦定理可得，
因为，所以
所以，又由
计算可得所以，由可知，即，
故.故答案为：.
24．（2023·四川雅安三模）已知内角所对的边分别为面积为，且的中点为，则的长是 ．
【答案】
【详解】由可得，
由正弦定理可得，，即，
由余弦定理可得，因为，所以，
由，解得，
由可得，由，
解得，联立可得，
故为正三角形，所以中线.故答案为：
25．（2023·山东济南三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为 米.
【答案】
【详解】由题意，，所以，
所以在中，，，
又，所以，
在中，由正弦定理得，，所以，
在中，，
由余弦定理得，，
所以.故答案为：
26．（2023·福建宁德二模）在中，，，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】因为，，可得，
则，且，即，
所以
，其中，
当，即时，取得最大值.故答案为：.
27．（2023·贵州遵义三模）在中，，D为BC边上一点，且，则的最小值为 .
【答案】
【详解】由，
得，
则，
所以，
则，
当时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
三、解答题
28．（2023·北京海淀三模）在中，.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，因为，，
所以由正弦定理得.
（2）因为，所以.
由余弦定理得，
解得或（舍）.
所以的面积.
29．（2023·福建宁德二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，，为中点，求的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），即，
化简得，解得，
因为，所以．
（2）由余弦定理得，
即，解得，
因为
，
故的长度为．
30．（2023·天津河西三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求的值；
(2)若，
（i）求的值；
（ⅱ）求的值.
【答案】(1)
(2)（i）；（ⅱ）
【详解】（1）由，且C是三角形的内角，则，
因为，由正弦定理得，
所以.
（2）（i）由余弦定理得，
即，解得或.
（ⅱ）由（1）知，由知A为锐角，得，
所以，
，
所以.
31．（2023·河北张家口三模）在中，内角的对边分别为.
(1)若，求的面积；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，所以，即，
又，所以，所以，
所以.
（2）由，得，得，
所以，所以，
所以
.
32．（2023·山东烟台三模）在中，为中点，．
(1)若，求的面积；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，，
由余弦定理可知，
因为，所以，
所以;
（2）在中，设,
则由正弦定理，
即，得，所以，
，
所以，
所以，
由正弦定理得：，即．
33．（2023·福建福州三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)求B；
(2)D为AC的中点，,求的面积.
【答案】(1)
(2)或,
【详解】（1）
（2）D为AC的中点，,
,,
,,
或,
当时,，
时,
所以的面积为或.
34．（2023·全国·校联考三模）已知分别为的内角的对边，且.
(1)求角；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）解：因为，
所以由正弦定理得.
因为，所以，
所以.
因为，所以，所以，即.
所以，即又，所以.
（2）因为的面积为，所以.
由，所以.由余弦定理得，
又，所以.解得.故的周长为.
35．（2023·广东东莞三模）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求角的大小；
(2)设，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理得：，
因为，所以，可得，
即，，又，可得；
（2）在中，由余弦定理得：，
由，以及，可得，
因为，所以A是锐角，所以，
因此，，
所以，，
综上，，.
36．（2023·广东广州三模）在△中，角的对边分别为，且，，设与的夹角为．
(1)当时，求及△的面积；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数的最大值与最小值．
条件①：；条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)，
(2)条件选择见解析，最大值为，最小值为0
【详解】（1）由余弦定理得，
，
所以，
△的面积．
（2）
．
选择条件①：
因为，所以，
所以，，
即.
故，．
选择条件②：
因为，，
所以，故．
所以，，
即.
故，．
37．（2023·河北·校联考三模）在中，角的对边分别为，且．
(1)判断的形状；
(2)若，点分别在边上，且，求的面积．
【答案】(1)是直角三角形
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
化简得，所以是直角三角形；
（2）由（1）得，
因为，所以，
则，
因为，
所以，
,
,
，
，所以.
38．（2023·四川成都三模）在锐角三角形中，角的对边分别为，为在方向上的投影向量，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由为在方向上的投影向量，则，
又，即，
根据正弦定理，，
在锐角中，，则，即，
由，则，整理可得，解得（负值舍去）.

（2）由，根据正弦定理，可得，
在中，，则，
所以，所以，
由（1）可知，则，
由，则，解得（负值舍去），
根据正弦定理，可得，则，，
故的周长.
39．（2023·上海徐汇三模）如图，中，角、、的对边分别为、、.

(1)若，求角的大小；
(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
即，则，
整理得，而，即，又因为，
所以.
（2）在中，，
由余弦定理得，
于是，解得，
当且仅当时取等号，
所以当时，周长取得最大值.
40．（2023·四川·成都三模）已知分别为锐角ABC内角的对边，．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵．
∴，
∴，
因为为锐角三角形内角，所以，，
所以，
所以，即；
（2）由题意得，解得，
所以，
由正弦定理得，
因为函数在上单调递减，
所以当时，，所以当时，，
所以，∴的取值范围为．
41．（2023·上海闵行三模）如图，是边长为2的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.

(1)若，求的长；
(2)用表示的面积，并求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，且是边长为2的正三角形，
则，且，
所以在中，由余弦定理得，
所以；
（2）由，则，则，
在中，由正弦定理有，得，
所以
，
又，且，则，所以，
所以，则，故的取值范围为.
42．（2023·江苏镇江三模）在凸四边形中，.
(1)若.求的长；
(2)若四边形有外接圆，求的最大值.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）因为，所以，
所以，
由余弦定理可知，，即
（2）因为四边形有外接圆，所以，
因为，且由正弦定理可知，，
所以，即，
设，则，
由正弦定理可知，，
所以，同理可知，
所以，
因为，所以，所以当，
即时，取得最大值为.

43．（2023·云南·校联考三模）已知函数在上单调，且.
(1)求的解析式；
(2)若钝角的内角的对边分别是，且，，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
因为在上单调，且，所以，解得，
又，所以为的一条对称轴，所以，
解得，所以，所以.
（2）因为，即，
又，所以，所以或，
解得或，
因为为钝角三角形，所以，
由余弦定理，即，
即，当且仅当时取等号，
所以，所以，
即周长的最大值为.
44．（2023·江苏无锡三模）已知的内角，，所对的边分别是，，，且______.
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答.
(1)求；
(2)若，，点为的中点，点满足，且，相交于点，求.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【详解】（1）若选择条件①：
因为，所以，
由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以.
若选择条件②：
因为，所以由正弦定理得，
即，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以.
若选择条件③：
因为，所以由余弦定理得，
即，
因为，所以，所以，
又因为，所以.
（2）法一：因为为中点，点满足，
所以，.
因为，，，所以，
所以，
，
故.
又因为与的夹角即，所以.
法二：以为原点建立平面直角坐标系（如图），

则，，，
由可知.
联立直线，的方程解得，
所以.
45．（2023·江苏·金陵三模）已知，，其中，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，
(2)
【详解】（1）因为，，
则，
，
故，
因为最小正周期为，所以，所以，故，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
（2）由（1）及，即，又，
所以，解得，
又为锐角三角形，即，即，
解得；
由正弦定理得，又，则，
所以.
1.其他三角形面积公式
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
2.正弦定理的应用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①边化角，角化边
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大边对大角 大角对大边
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
3.内角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③在中，内角成等差数列.
考向一 正弦（余弦）定理解三角形
考向二 解三角形面积
考向一 正弦（余弦）定理解三角形
考向二 解三角形面积
考向三 解三角形的实际应用
考向一 正弦（余弦）定理解三角形
考向二 解三角形面积
考向一 正弦（余弦）定理解三角形
考向二 解三角形面积
考向三 解三角形的实际应用