2025届福建省泉州聚龙外国语学校数学九年级第一学期开学检测试题【含答案】

这是一份2025届福建省泉州聚龙外国语学校数学九年级第一学期开学检测试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）
A．6折B．7折
C．8折D．9折
2、（4分）使分式无意义，则x的取值范围是( )
A．x ≠ 1B．x=1C．x＜1D．x ≠－1
3、（4分）如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）下列方程有两个相等的实数根的是( )
A．B．
C．D．
5、（4分）如图所示的3×3正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5等于（ ）
A．135°B．180°C．225°D．270°
6、（4分）对一组数据：2，1，3，2，3分析错误的是（ ）
A．平均数是2.2B．方差是4C．众数是3和2D．中位数是2
7、（4分）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（ ）
A．3B．2C．D．4
8、（4分）菱形的两条对角线的长分别为 6cm、8cm，则菱形的边长是（ ）
A．10cmB．7cmC．5cmD．4cm
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在矩形ABCD中，再增加条件_____（只需填一个）可使矩形ABCD成为正方形．
10、（4分）一元二次方程有实数根，则的取值范围为____．
11、（4分）直角三角形的三边长分别为、、，若，，则__________．
12、（4分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是____.
13、（4分）数据，，，，,的方差_________________
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB与CD上，点G、H在对角线AC上，AG=CH，BE=DF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若EG=EH，AB=8，BC=1．求AE的长．
15、（8分）在正方形ABCD中，P是对角线AC上的点，连接BP、DP.
⑴求证：BP=DP；
⑵如果AB=AP，求∠ABP的度数.
16、（8分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟 米，乙在地时距地面的高度为 米；
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式．
（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？
17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，，并且满足.一动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动；动点从点出发在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，点分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动.设运动时间为(秒)
(1)求两点的坐标；
(2)当为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时两点的坐标.
(3)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出此时两点的坐标.
18、（10分）一次函数的图象经过点A（2，4）和B（﹣1，﹣5）两点．
（1）求出该一次函数的表达式；
（2）画出该一次函数的图象；
（3）判断（﹣5，﹣4）是否在这个函数的图象上？
（4）求出该函数图象与坐标轴围成的三角形面积．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为1，5，1，1．则最大的正方形E的面积是___．
20、（4分）如图，正方体的棱长为 3，点 M，N 分别在 CD，HE 上，CM＝ DM，HN＝2NE，HC 与 NM 的延长线交于点P，则 PC 的值为_____．
21、（4分）一次函数，若y随x的增大而增大，则的取值范围是 .
22、（4分）若整数m满足，且，则m的值为___________.
23、（4分）已知直线y=kx过点（1，3），则k的值为____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，且.
(1)菱形的周长为 ；
(2)若，求的长.
25、（10分）如图，在矩形中，点为上一点，连接、，．
（1）如图1，若，，求的长．
（2）如图2，点是的中点，连接并延长交于，为上一点，连接，且，求证：．
26、（12分）解方程：
（1）＝2+；
（2）．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
设可打x折，则有1200×-800≥800×5%，
解得x≥1．
即最多打1折．
故选B．
本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以2．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．
2、B
【解析】
要是分式无意义，分母必等于0.
【详解】
∵分式无意义，
∴x-1=0，
解得x=1．
故选：B．
考核知识点:分式无意义的条件.熟记无意义的条件是关键.
3、C
【解析】
先由矩形的性质折叠的性质得出∠AFE=∠D=90°，从而得出∠CFE=60°，在利用直角三角形的性质即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
由折叠得，∠AFE=∠D=90°，
∴∠BFA+∠CFE=90°，
∴∠CFE=90°-∠BFA=60°，
∵∠C=90°，
∴∠CEF=90°-∠CFE=30°，
故选C．
此题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，解本题的关键是求出∠CFE．
4、B
【解析】
分别计算各选项的判别式△值，然后和0比较大小，再根据一元二次方程根与系数的关系就可以找出符合题意的选项.
【详解】
A、△=b2 -4ac=1+24=25>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、△=b2 -4ac=36-36=0，方程有两个相等的实数根，符合题意；
C、△=b2 -4ac=25-40=-150，方程有两个不相等的实数根，不符合题意，
故选B.
本题考查了一元二次方程根的情况与与判别式△的关系：(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△＜0⇔方程没有实数根．
5、C
【解析】
首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=90°，然后即可求出答案.
【详解】
在△ABC和△AEF中，
∴△ABC≌△AEF（SAS）
∴∠5=∠BCA
∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°
在△ABD和△AEF中
∴△ABD≌△AEH（SAS）
∴∠4=∠BDA
∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°
∵∠3=45°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°
故答案选C.
本题考查的是全等三角形的判定与性质，能够根据全等将所求角转化是解题的关键.
6、B
【解析】
根据平均数、方差、众数、中位数的定义以及计算公式分别进行解答即可．
【详解】
解：A、这组数据的平均数是：（2＋1＋3＋2＋3）÷5＝2.2，故正确；
B、这组数据的方差是：[（2−2.2）2＋（1−2.2）2＋（3−2.2）2＋（2−2.2）2＋（3−2.2）2]＝0.56，故错误；
C、3和2都出现了2次，出现的次数最多，则众数是3和2，故正确；
D、把这组数据从小到大排列为：1，2，2，3，3，中位数是2，故正确．
故选：B．
此题主要考查了平均数、方差、众数、中位数的含义和求法，熟练掌握定义和求法是解题的关键，是一道基础题
7、C
【解析】
根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC=OB，即可得出答案．
【详解】
解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（1，3），
∴OM=1，BM=3，由勾股定理得：OB=
∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB，
∴AC=，
故选：C．
本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AC=OB是解此题的关键．
8、C
【解析】
根据菱形的性质，可得到直角三角形，再利用勾股定理可求出边长．
【详解】
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形，
∴菱形的边长==5cm，
故选C.
本题考查菱形的性质，解决本题的关键是能根据菱形的对角线互相垂直得到直角三角形，再根据菱形的对角线互相平分得到直角三角形的两直角边.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、AB=BC
【解析】
分析：根据领边相等的矩形是正方形，即可判定四边形ABCD是正方形.
详解：∵ AB=BC，
∴ 矩形ABCD是正方形.
故答案为AB=BC
点睛：本题考查了正方形的判定方法，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键.
10、
【解析】
根据根的判别式求解即可．
【详解】
∵一元二次方程有实数根
∴
解得
故答案为：．
本题考查了一元二次方程根的问题，掌握根的判别式是解题的关键．
11、或5
【解析】
根据斜边分类讨论，然后利用勾股定理分别求出c的值即可．
【详解】
解：①若b是斜边长
根据勾股定理可得：
②若c是斜边长
根据勾股定理可得：
综上所述：或5
故答案为：或5
此题考查的是勾股定理，掌握用勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
12、R≥3.1
【解析】
解：设电流I与电阻R的函数关系式为I＝，
∵图象经过的点（9，4），
∴k＝31，
∴I＝，
k＝31＞0，在每一个象限内，I随R的增大而减小，
∴当I取得最大值10时，R取得最小值＝3.1，
∴R≥3.1，
故答案为R≥3.1．
13、；
【解析】
首先计算平均数，再利用方差的公式计算即可.
【详解】
根据题意可得平均数
所以
故答案为1
本题主要考查方差的计算公式，应当熟练掌握，这是数据统计里一个比较重要的概念.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）AE=2．
【解析】
（1）依据矩形的性质，即可得出△AEG≌△CFH，进而得到GE=FH，∠CHF=∠AGE，由∠FHG=∠EGH，可得FH∥GE，即可得到四边形EGFH是平行四边形；
（2）由菱形的性质，即可得到EF垂直平分AC，进而得出AF=CF=AE，设AE=x，则FC=AF=x，DF=8-x，依据Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即可得到方程，即可得到AE的长．
【详解】
（1）∵矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠FCH=∠EAG，
又∵CD=AB，BE=DF，
∴CF=AE，
又∵CH=AG，
∴△AEG≌△CFH，
∴GE=FH，∠CHF=∠AGE，
∴∠FHG=∠EGH，
∴FH∥GE，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图，连接EF，AF，
∵EG=EH，四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形GFHE为菱形，
∴EF垂直平分GH，
又∵AG=CH，
∴EF垂直平分AC，
∴AF=CF=AE，
设AE=x，则FC=AF=x，DF=8-x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
∴12+（8-x）2=x2，
解得x=2，
∴AE=2．
此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
15、 (1)证明见解析；（2）67.5°．
【解析】
（1）证明△ABP≌△ADP，可得BP=DP；
（2）证得∠ABP=∠APB，由∠BAP=45°可得出∠ABP=67.5°．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABC是正方形，
∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=45°，
在△ABP和△ADP中

∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴BP=DP，
（2）∵AB=AP，
∴∠ABP=∠APB，
又∵∠BAP=45°，
∴∠ABP=67.5°．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用图形的性质证明问题．
16、（1）10；1；（2）；（3）4分钟、9分钟或3分钟．
【解析】
（1）根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度=速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；
（2）分0≤x≤2和x≥2两种情况，根据高度=初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；
（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者做差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度-甲登山全程中y关于x的函数关系式=50，即可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论．
【详解】
（1）（10-100）÷20=10（米/分钟），
b=3÷1×2=1．
故答案为：10；1．
（2）当0≤x≤2时，y=3x；
当x≥2时，y=1+10×3（x-2）=1x-1．
当y=1x-1=10时，x=2．
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为．
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y=10x+100（0≤x≤20）．
当10x+100-（1x-1）=50时，解得：x=4；
当1x-1-（10x+100）=50时，解得：x=9；
当10-（10x+100）=50时，解得：x=3．
答：登山4分钟、9分钟或3分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据高度=初始高度+速度×时间找出y关于x的函数关系式；（3）将两函数关系式做差找出关于x的一元一次方程．
17、 (1)；(2)；(3) 或.
【解析】
(1)由二次根式有意义的条件可求出a、b的值，再根据已知即可求得答案；
(2)由题意得：，则，当时，四边形是平行四边形，由此可得关于t的方程，求出t的值即可求得答案；
(3)分、两种情况分别画出符合题意的图形，
【详解】
(1)由，
则，
，
∵AB//OC，A(0，12)，B(a，c)，
∴c=12，
∴；
(2)如图，
由题意得：，
则：，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：，
；
(3)当时，过作，则四边形AOQN是矩形，
∴AN=OQ=t，QN=OA=12，
∴PN=t，
由题意得：，
解得：，
故，
当时，过作轴，
由题意得：，
则，
解得：，
故.
本题考查了二次根式有意义的条件，平行形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，坐标与图形的性质等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
18、（1）y＝3x﹣2；（2）图象见解析；（3）（﹣5，﹣4）不在这个函数的图象上；（4）．
【解析】
（1）利用待定系数法即可求得；
（2）利用两点法画出直线即可；
（3）把x＝﹣5代入解析式，即可判断；
（4）求得直线与坐标轴的交点，即可求得．
【详解】
解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b
∵一次函数的图象经过点A（2，4）和B（﹣1，﹣5）两点
∴，
解得：
∴一次函数的表达式为y＝3x﹣2；
（2）描出A、B点，作出一次函数的图象如图：
（3）由（1）知，一次函数的表达式为y＝3x﹣2
将x＝﹣5代入此函数表达式中得，y＝3×（﹣5）﹣2＝﹣17≠﹣4
∴（﹣5，﹣4）不在这个函数的图象上；
（4）由（1）知，一次函数的表达式为y＝3x﹣2
令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，则3x﹣2＝0，
∴x＝，
∴该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：×2×＝．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、2
【解析】
试题分析：如图，根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S1，S1+S1=S3，
∵正方形A、B、C、D的面积分别为1，5，1，1，
∵最大的正方形E的面积S3=S1+S1=1+5+1+1=2．
20、1
【解析】
根据已知首先求出MC=1，HN=2，再利用平行线分线段成比例定理得到，进而得出PH=6，所以PC=PH-CH=1．
【详解】
解：∵正方体的棱长为1，点M，N分别在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，
∴MC=1，HN=2，
∵DC∥EH，
∴，
∵HC=1，
∴PC=1，
∴PH=6，
∴PC=PH-CH=1．
故答案为：1．
本题考查了平行线分线段成比例定理等知识，根据已知得出PH的长是解决问题的关键．
21、．
【解析】
一次函数的图象有两种情况：
①当时，函数的值随x的值增大而增大；
②当时，函数的值随x的值增大而减小．
由题意得，函数的y随x的增大而增大，．
22、，，．
【解析】
由二次根式的性质，得到，结合，即可求出整数m的值．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴整数m的值为：，，；
故答案为：，，．
本题考查了二次根式的性质，以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，正确得到m的取值范围．
23、1
【解析】
将点（1，1）代入函数解析式即可解决问题．
【详解】
解：∵直线y=kx过点（1，1），
∴1=k，
故答案为：1．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)1; (2)AC=
【解析】
（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；
（2）利用勾股定理可求出AO的长，进而解答即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴菱形ABCD的周长为：1；
故答案为1．
（2）∵四边形ABCD是菱形，BD＝2，AB＝2，
∴AC⊥BD，BO＝1，
∴AO＝，
∴AC＝2AO＝．
本题主要考查菱形的性质，能够利用勾股定理求出AO的长是解题关键，此题难度一般．
25、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求AB和AE的长，然后根据矩形的性质求得CD和ED的长，从而利用勾股定理求解；
（2）延长交的延长线于，利用AAS定理证得，得到，，然后求得，从而使问题得解．
【详解】
解：（1）∵矩形，∴
又∵
∴
设，在中，
即
解得：，（舍）
∴
∵矩形∴，
∴
在中，，
∴；
（2）如答图，延长交的延长线于
∵，∴
又∵为的中点，∴
在和中
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
本题考查矩形的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，有一定的综合性，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
26、（1）x＝0；（1）x＝1．
【解析】
(1)两边同时乘以x-1，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可；
(1)两边同时乘以3(x-3)，化为整式方程，解整式方程后进行验根即可得.
【详解】
(1)两边同时乘以x-1，得：
3x﹣5＝1(x﹣1)﹣x﹣1，
解得：x＝0，
检验：当x＝0时，x-1≠0，
所以x=0是分式方程的解；
(1)两边同时乘以3(x-3)，得
1x﹣1＝11x﹣11+x﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，3(x-3)≠0，
所以x=1是分式方程的解．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法以及注意事项是解题的关键.解分式方程要进行验根.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人