2025届—度第一期重庆清华中学九年级数学第一学期开学质量跟踪监视模拟试题【含答案】

这是一份2025届—度第一期重庆清华中学九年级数学第一学期开学质量跟踪监视模拟试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）将直线y=2x-3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图，第一个图形中有4个“”，第二个图形中有7个“”，第三个图形中有11个“”，按照此规律下去，第8个图形中“”的个数为（ ）.
A．37B．46C．56D．67
3、（4分）把根号外的因式移入根号内，结果（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）过原点和点的直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
6、（4分）如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，则BG的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
7、（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是AD边上一点，连接CE，将△CDE沿CE翻折，点D的对应点是F，连接AF，当△AEF是直角三角形时，AF的值是（ ）
A．4B．2C．4，2D．4，5，2
8、（4分）在□中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）分解因式：5x3﹣10x2=_______．
10、（4分）如图, ，分别平分与，，，则与之间的距离是__________．

11、（4分）一次函数y＝mx﹣4中，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____﹣
12、（4分）计算：__．
13、（4分）在●〇●〇〇●〇〇〇●〇〇〇〇●〇〇〇〇〇中，空心圈“〇”出现的频率是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）解下列各题：
（1）分解因式：；
（2）已知，，求的值.
15、（8分）是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
16、（8分）某学校打算招聘英语教师。对应聘者进行了听、说、读、写的英语水平测试，其中甲、乙两名应聘者的成绩（百分制）如下表所示。
（1）如果学校想招聘说、读能力较强的英语教师，听、说、读、写成绩按照2：4：3：1的比确定，若在甲、乙两人中录取一人，请计算这两名应聘者的平均成绩（百分制）。从他们的成绩看，应该录取谁？
（2）学校按照（1）中的成绩计算方法，将所有应聘者的最后成绩绘制成如图所示的频数分布直方图（每组分数段均包含左端数值，不包含右端数值，如最后左边一组分数为：）。
①参加该校本次招聘英语教师的应聘者共有______________人（直接写出答案即可）。
②学校决定由高分到低分录用3名教师，请判断甲、乙两人能否被录用？并说明理由。
17、（10分）在等边三角形ABC中，高AD＝m，求等边三角形ABC的面积．
18、（10分）如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点C（3，0），顶点D（0，4），过点A作AF⊥y轴于F点，过点B作x轴的垂线交过A点的反比例函数y＝（k＞0）的图象于E点，交x轴于G点．
（1）求证：△CDO≌△DAF．
（2）求反比例函数解析式及点E的坐标；
（3）如图2，过点C作直线l∥AE，在直线l上是否存在一点P使△PAC是等腰三角形？若存在，求P点坐标，不存在说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）反比例函数的图象过点P（2，6），那么k的值是 ．
20、（4分）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AC＋BD＝10，BC＝3，则△AOD的周长为 ．
21、（4分）化简b  0  _______．
22、（4分）如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处向正东方向行了100米到达B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC＝_____米．
23、（4分）有一块田地的形状和尺寸如图，则它的面积为_________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某公司经营甲、乙两种商品，两种商品的进价和售价情况如下表：
两种商品的进价和售价始终保持不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件．设购进甲种商品件，两种商品全部售出可获得利润为万元．
（1）与的函数关系式为__________________；
（2）若购进两种商品所用的资金不多于200万元，则该公司最多购进多少合甲种商品？
（3）在（2）的条件下，请你帮该公司设计一种进货方案，使得该公司获得最大利润，并求出最大利润是多少？
25、（10分）如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．
(1)求证B′E＝BF；
(2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给出证明．
26、（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点.求证：CD＝EF．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
【详解】
y=2（x-2）-3+3=2x-1．
化简，得
y=2x-1，
故选B．
本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
2、B
【解析】
设第n个图形有an个“•”（n为正整数），观察图形，根据给定图形中“•”个数的变化可找出变化规律“an=+1（n为正整数）”，再代入n=8即可得出结论．
【详解】
设第n个图形有an个“•”（n为正整数）．
观察图形，可知：a1=1+2+1=4，a2=1+2+3+1=7，a3=1+2+3+4+1=11，a4=1+2+3+4+5+1=16，…，
∴an=1+2+…+n+（n+1）+1=+1（n为正整数），
∴a8=+1=1．
故选：B．
考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“•”个数的变化找出变化规律“an=+1（n为正整数）”是解题的关键．
3、B
【解析】
根据 可得 ，所以移入括号内为进行计算即可.
【详解】
根据根式的性质可得，所以
因此
故选B.
本题主要考查根式的性质，关键在于求a的取值范围.
4、A
【解析】
设直线的解析式为y=kx（k≠0），把（2，3）代入函数解析式，根据待定系数法即可求得．
【详解】
解：∵直线经过原点，
∴设直线的解析式为y=kx（k≠0），
把（2，3）代入得3=2k，
解得，
该直线的函数解析式为y=x．
故选：A．
此题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
5、B
【解析】
【分析】根据菱形的性质逐项进行判断即可得答案.
【详解】菱形的四条边相等，
菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，
菱形对角线垂直但不一定相等，
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
6、B
【解析】
分析：利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；
详解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，AG=AG，AB=AF， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG=GF，∵E是边CD的中点，∴DE=CE=6，
设BG=x，则CG=12－x，GE=x+6，∵GE2=CG2+CE2， ∴（x+6）2=（12-x）2+62，
解得：x=1， ∴BG=1． 故选B．
点睛：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．
7、C
【解析】
当∠AFE＝90°时，由∠AFE＝∠EFC＝90°可知点F在AC上，先依据勾股定理求得AC的长，然后结合条件FC＝DC＝3，可求得AF的长；当∠AFE＝90°，可证明四边形CDEF为正方形，则EF＝3，AE＝4，最后，依据勾股定理求解即可．
【详解】
如下图所示：当点F在AC上时．
∵AB＝3，BC＝8，
∴AC＝1．
由翻折的性质可知：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝3，
∴AF＝4．
如下图所示：
∵∠FED＝∠D＝∠DCF＝90°，
∴四边形CDEF为矩形．
由翻折的性质可知EF＝DE，
∴四边形CDEF为正方形．
∴DE＝EF＝3．
∴AE＝4．
∴AF＝＝＝4．
综上所述，AF的长为4或4．
故选：C．
本题主要考查的是翻折的性质，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
8、B
【解析】
依据平行四边形的性质可得∠B＝∠D，通过已知∠B+∠D＝216°，求出∠B＝108°，再借助∠A＝180°﹣∠B即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°．
∵∠B+∠D＝216°，
∴∠B＝108°．
∴∠A＝180°﹣108°＝72°．
故选：B．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、5x2(x-2)
【解析】
5x3-10x2=2x2(x-2)
10、1
【解析】
过点G作GF⊥BC于F，交AD于E，根据角平分线的性质得到GF=GH=5，GE=GH=5，计算即可．
【详解】
解：过点G作GF⊥BC于F，交AD于E，
∵AD∥BC，GF⊥BC，
∴GE⊥AD，
∵AG是∠BAD的平分线，GE⊥AD，GH⊥AB，
∴GE=GH=4，
∵BG是∠ABC的平分线，FG⊥BC，GH⊥AB，
∴GF=GE=4，
∴EF=GF+GE=1，
故答案为：1．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11、m＜1
【解析】
利用一次函数图象与系数的关系列出关于m的不等式m＜1即可．
【详解】
∵一次函数y＝mx﹣4中，y随x的增大而减小，
∴m＜1，
故答案是：m＜1．
本题主要考查一次函数图象与系数的关系．解答本题的关键是注意理解：k＞1时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜1时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．
12、-
【解析】
直接利用二次根式的性质分别计算得出答案．
【详解】
解：原式
．
故答案为：．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
13、0.1
【解析】
用空心圈出现的频数除以圆圈的总数即可求解．
【详解】
解：由图可得，总共有20个圆，出现空心圆的频数是15，频率是15÷20＝0.1．
故答案是：0.1．
考查了频率的计算公式：频率=频数÷数据总数，是需要识记的内容．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）－12
【解析】
（1）都含有因数 ，利用提取公因式法即可解答
（2）先提取公因式xy，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据计算即可得解．
【详解】
解：（1）

.
（2）∵，，
∴
，
，
.
本题考查因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键.
15、存在;k只能取3，4，5
【解析】
解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于k的式子，然后解出k的范围，即可知道k的取值．
【详解】
解:解方程组得
∵x大于1，y不大于1从而得不等式组
解之得2＜k≤5
又∵k为整数
∴k只能取3，4，5
答：当k为3，4，5时，方程组的解中，x大于1，y不大于1．
此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，要注意的是x＞1，y≤1，则解出x，y关于k的式子，最终求出k的范围，即可知道整数k的值．
16、（1）录取乙；（2）①30，②乙一定能被录用；甲不一定能被录用，见解析.
【解析】
（1）根据加权平均数的定义与性质即可求解判断；
（2）①根据直方图即可求解；②根据直方图判断甲乙所在的分段，即可判断.
【详解】
解：（1）由题意得，
（分）
（分）
∵
∴应该录取乙。
（2）①30
②由频数分布直方图可知成绩最高一组分数段中有1人，而分，所以乙是第一名，一定被录取；在一组有5人，其中有2人被录用，分，可确定甲在本组中，但不能确定甲在本组中排第几名，所以甲不一定能被录用。
此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知加权平均数的求解与性质.
17、S＝.
【解析】
如图，求出BC的长即可解决问题．
【详解】
解：如图，

设等边三有形边长为，由勾股定理，得：
，
∴
∴面积为：S＝
本题考查等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18、（1）见解析；（2）为y＝，点E的坐标为（7，1）；（3）在直线l上存在一点P使△PAC是等腰三角形，点P的坐标为（﹣3，6），（﹣2，5），（8，﹣5），（﹣，）．
【解析】
（1）利用同角的余角相等可得出∠CDO＝∠DAF，结合∠DOC＝∠AFD＝90°及DC＝AD，可证出△CDO≌△DAF；
（2）利用全等三角形的性质可求出AF，FD的长，进而可得出点A的坐标，由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数解析式，同（1）可证出△CDO≌△BCG，利用全等三角形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标；
（3）由点A，E的坐标，利用待定系数法可求出直线AE的解析式，结合直线l∥AE及点C的坐标可求出直线l的解析式，设点P的坐标为（m，﹣m+3），结合点A，C的坐标可得出AC2，AP2，CP2的值，分AC＝AP，CA＝CP及PA＝PC三种情况可得出关于m的方程，解之即可得出点P的坐标．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDO＝90°．
∵∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠CDO＝∠DAF．
在△CDO和△DAF中，
，
∴△CDO和△DAF（AAS）．
（2）解：∵点C的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，1），
∴OC＝3，OD＝1．
∵△CDO和△DAF，
∴FA＝OD＝1，FD＝OC＝3，
∴OF＝OD+FD＝7，
∴点A的坐标为（1，7）．
∵反比例函数y＝（k＞0）过点A，
∴k＝1×7＝28，
∴反比例函数解析式为y＝．
同（1）可证出：△CDO≌△BCG，
∴GB＝OC＝3，GC＝OD＝1，
∴OG＝OC+GC＝7，
∴点G的坐标为（7，0）．
当x＝7时，y＝＝1，
∴点E的坐标为（7，1）．
（3）解：设直线AE的解析式为y＝ax+b（a≠0），
将A（1，7），E（7，1）代入y＝ax+b，得：，
解得：，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x+2．
∵直线l∥AE，且直线l过点C（3，0），
∴直线l的解析式为y＝﹣x+3．
设点P的坐标为（m，﹣m+3），
∵点A的坐标为（1，7），点C的坐标为（3，0），
∴AP2＝（m﹣1）2+（﹣m+3﹣7）2＝2m2+32，AC2＝（3﹣1）2+（0﹣7）2＝50，CP2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣12m+4．
分三种情况考虑：
①当AC＝AP时，50＝2m2+32，
解得：m1＝3（舍去），m2＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，6）；
②当CA＝CP时，50＝2m2﹣12m+4，
解得：m3＝﹣2，m1＝8，
∴点P的坐标为（﹣2，5）或（8，﹣5）；
③当PA＝PC时，2m2+32＝2m2﹣12m+4，
解得：m＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，）．
综上所述：在直线l上存在一点P使△PAC是等腰三角形，点P的坐标为（﹣3，6），（﹣2，5），（8，﹣5），（﹣，）．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数及一次函数解析式、平行线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理AAS证出△CDO≌△DAF；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分AC=AP，CA=CP及PA=PC三种情况，找出关于m的方程．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1．
【解析】
试题分析：∵反比例函数的图象过点P（2，6），∴k=2×6=1，故答案为1．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
20、8
【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可得：OA+OD=（AC+BD）=5，AD=BC=3，则△AOD的周长为5+3=8.
考点：平行四边形的性质.
21、
【解析】
式子的分子和分母都乘以 即可得出 ，根据b是负数去掉绝对值符号即可．
【详解】
∵b<0，
∴=.
故答案为： .
此题考查分母有理化，解题关键在于掌握运算法则
22、50
【解析】
在图中两个直角三角形中，先根据已知角的正切函数，分别求出AC和BC，根据它们之间的关系，构建方程解答．
【详解】
由已知得，在Rt△PBC中，∠PBC＝60°，PC＝BCtan60°＝BC，
在Rt△APC中，∠PAC＝30°，AC＝PC＝3BC＝100+BC，
解得，BC＝50，
∴PC＝50（米），
答：灯塔P到环海路的距离PC等于50米．
故答案为：50
此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键明确解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
23、1．
【解析】
先连接AC，求出AC的长，再判断出△ABC的形状，继而根据三角形面积公式进行求解即可.
【详解】
连接AC，
∵△ACD是直角三角形，
∴，
因为102+122=132，所以△ABC是直角三角形，
则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，
即×24×10-×6×8
=120-24
=1，
故答案为：1．
本题考查了勾股定理及其逆定理，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）w＝0.5x+40；（2）10；（3）该公司购进甲种商品10件，乙种商品10件时，该公司获得最大利润，最大利润是45万元
【解析】
（1）设该公司购进甲种商品x件，则乙种商品（20﹣x）件，根据题意可得等量关系：公司获得的利润w＝甲种商品的利润+乙种商品的利润，根据等量关系可得函数关系式；
（2）根据资金不多于20万元列出不等式组；
（3）根据一次函数的性质：k＞0时，w随x的增大而增大可得答案．
【详解】
解：（1）设该公司购进甲种商品x件，则乙种商品（20﹣x）件，
根据题意得：w＝（14.5﹣12）x+（10﹣8）（20﹣x），
整理得：w＝0.5x+40；
故答案为：w＝0.5x+40；
（2）由题意得：12x+8（20﹣x）≤200，解得x≤10，
故该公司最多购进10台甲种商品；
（3）∵对于函数w＝0.5x+40，w随x的增大而增大，
∴当x＝10时，能获得最大利润，最大利润为：w＝0.5×10+40＝45（万元），
故该公司购进甲种商品10件，乙种商品10件时，该公司获得最大利润，最大利润是45万元．
此题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，找出等量关系，列出函数关系式．
25、（1）证明见解析；
（1）a，b，c三者存在的关系是a+b>c,理由见解析.
【解析】
（1）首先根据题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，接着根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明B′E=BF；
（1）解答此类题目时要仔细读题，根据三角形三边关系求解分类讨论解答，要提高全等三角形的判定结合勾股定理解答．
证明：（1）由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠B′EF=∠BFE，
∴∠B′FE=∠B'EF，
∴B′F=BE，
∴B′E=BF；
解：（1）答：a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况：
（ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a1+b1=c1．
证明：连接BE，则BE=B′E，
由（1）知B′E=BF=c，
∴BE=c．
在△ABE中，∠A=90°，
∴AE1+AB1=BE1，
∵AE=a，AB=b，
∴a1+b1=c1；
（ⅱ）a，b，c三者存在的关系是a+b＞c．
证明：连接BE，则BE=B′E．
由（1）知B′E=BF=c，
∴BE=c，
在△ABE中，AE+AB＞BE，
∴a+b＞c．
“点睛”此题以证明和探究结论形式来考查矩形的翻折、等角对等边、三角形全等、勾股定理等知识．第一，较好考查学生表述数学推理和论证能力，第（1）问重点考查了学生逻辑推理的能力，主要利用等角对等边、翻折等知识来证明；第二，试题呈现显示了浓郁的探索过程，试题设计的起点低，图形也很直观，也可通过自已动手操作，寻找几何元素之间的对应关系，形成较为常规的方法解决问题，第（1）问既考查了学生对勾股定理掌握的程度又考查学生的数学猜想和探索能力，这对于培养学生创新意识和创新精神十分有益；第三，解题策略多样化在本题中得到了充分的体现．
26、根据直角三角形的性质可得，再根据中位线定理可得，问题得证.
【解析】
根据直角三角形斜边中中线等于斜边的一半可得，再根据中位线定理可得，从而可以得到
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
进价(万元/件)
售价(万元/件)
甲
12
14.5
乙
8
10