沪教版2024-2025学年六年级上册同步提升讲义第05讲有理数的乘法与除法(十二大题型)(学生版+解析)

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第05讲 有理数的乘法与除法（十二大题型） 一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．二、有理数的除法1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．【即学即练1】计算的结果为（    ）A． B． C．2 D．8【即学即练2】的倒数是（　　）A． B． C． D．4【即学即练3】计算的结果是（    ）A． B． C． D．6【即学即练4】下列计算正确的是（    ）A． B．C． D．【即学即练5】若两个有理数在数轴上对应的点都在原点的同侧，则这两个数相除所得的商（　　）A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不对题型1：两个数的乘法运算【典例1】．计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．题型2：多个数的乘法运算【典例2】．计算（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．题型3：乘法的分配律【典例3】．利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ）A． B． C． D．【典例4】．这个运算应用了（    ）A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．加法结合律【典例5】．指出下列变化中所运用的运算律：（1） ；（2） ．【典例6】．计算： ．【典例7】．计算： ．【典例8】．计算的结果是 ．题型4：两个数乘法运算的代数应用【典例9】．若，，则下列判断正确的是（    ）A．、都是正数 B．、都是负数C．、异号且负数的绝对值大 D．、异号且正数的绝对值大【典例10】．已知，则（    ）A． B． C． D．【典例11】．下列判断正确的是 (     )A．若，则，中至少一个为零B．若，则一定有，C．若，则一定有，D．若，且，则，题型5：多个数乘法运算的代数应用【典例12】．在﹣1，﹣3，4，﹣5，0，6这六个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是（　　）A．﹣15 B．30 C．24 D．0【典例13】．个数的乘积为，则（   ）A．均为 B．最多有一个为C．至少有一个为 D．有两个数是相反数【典例14】．绝对值不大于的所有整数的乘积是（    ）A．6 B．-6 C．-36 D．0【典例15】．若，则的值为（    ）A． B．5 C．0 D．以上答案都不正确【典例16】．若a、b、c、d是互不相等的整数，且，则 ．题型6：乘法运算的实际应用【典例17】．李阿姨的月工资是5000元，扣除3500元免税项目后的部分需要按3%的税率缴纳个人所得税，她应缴个人所得税 元．【典例18】．在一个底面半径为10厘米的圆柱形水桶里，垂直放入一根底面半径为5厘米的圆柱形钢材，如果钢材完全浸没在水中，桶里的水位上升了9厘米（水未溢出），则这根钢材的体积是 立方厘米．（取3.14）【典例19】．每袋小麦超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则袋小麦对应的数分别为，，，，，0，，，，．则这袋小麦的总质量是 ．【典例20】．如图，在一块长20m，宽10m的长方形草地上，修建两条宽为1m的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为 m2．【典例21】．100米长的小棒，第1次截去，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，第5次后剩下的小棒长 米，第49次后剩下的小棒长 米．题型7：倒数【典例22】．的倒数是（　　）A． B． C． D．【典例23】．的倒数是（　　）A．2023 B． C． D．【典例24】．与互为倒数的数是（　　）A． B． C． D．【典例25】．的相反数是 ，倒数是 ．【典例26】．如果两个数的乘积为－1，那么称这两个数互为负倒数，则的负倒数为（    ）A． B．－2 C．2 D．4题型8：除法运算【典例27】．计算：（1）；    （2）；    （3）；（4）；    （5）；    （6）．【典例28】．计算：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【典例29】．计算：（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【典例30】．阅读下列材料：计算：．解法1思路：原式；对吗？答：____________．解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300．（1）请你用解法2的方法计算：；（2）现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！【典例31】．计算： ．题型9：除法运算的代数应用【典例32】．如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（    ）A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是【典例33】．如果a＋b＜0，且＞0，下列结论成立的是(   )A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0【典例34】．两个有理数的商是正数，这两个数一定(　　)A．都是负数 B．都是正数C．至少有一个是正数 D．同号【典例35】．如果，则的值与0的大小关系是（　　）A． B． C． D．不能确定【典例36】．已知，，且，则 ．【典例37】．如图所示，实数a，b在数轴上表示的点分别是A、B，下列不等式正确的是（    ）  A． B． C． D．(1)－2÷×；(2)(－510)÷(＋34)÷(－0.125)；(3)2÷÷；(4)(－81)÷2××．【典例49】．计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【典例50】．计算：得（    ）A． B． C． D．题型12：有理数的乘除混合运算的应用【典例51】．两数相除商是2.4，如果被除数扩大100倍，除数除以0.01，商是（    ）A．2.4 B．24 C．240 D．0.024【典例52】．已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么（    ）A．－6 B．－5 C． D．一、单选题1．的倒数是（　 　）A． B．2024 C． D．2．计算的结果等于（     ）A． B． C． D．3．算式3的运算符号被遮盖了，若要使该式的计算结果最小，则被遮盖的运算符号为（     ）．A．＋ B． C．× D．÷4．计算：（     ）A． B． C． D．5．下列说法错误的是（     ）A．小于的数的倒数大于其本身 B．大于1的数的倒数小于其本身当显示电量时，已行驶里程为 千米．18．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ．三、解答题19．能简算的要简算．(1)(2)(3)(4)(5)20．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．21．用合理的方法计算，并写出过程．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．22．用你喜欢的方法计算．(1)；(2)；(3)；(4)．23．计算：(1)；(2)；(3)．24．计算：(1)；(2)(3)．25．阅读下面材料．参照上面的例题．利用运算律进行简便计算：(1)；(2)．26．甲筐卖，乙筐卖，两筐苹果剩下的同样多，已知甲筐原有苹果kg，乙筐原有苹果多少千克？27．杭州第十九届亚运会期间，为全面做好赛事保障，确保赛事顺利进行，某检修小组从O地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下：，，，，，，（单位：）(1)求收工时距O 地多远？(2)若每千米耗油0.2升，那么该检修小组本次检修共耗油多少升？28．某集团公司对所属甲．乙两分厂下半年经营情况记录（其中“+”表示盈利，“﹣”表示亏损，单位：亿元）如下表．（1）计算八月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？（2）分别计算下半年甲、乙两个工厂平均每月盈利或亏损多少亿元？29．阅读：比较与的大小.方法一：利用两数差的正负来判断.因为－=＞0，所以＞.方法二：利用两数商，看商是大于1还是小于1来判断.因为÷=＞1，所以＞.请用以上两种方法，比较－和－的大小.30．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少?答：我抽取的2张卡片是________、________，乘积的最大值为 ．    （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少?答：我抽取的2张卡片是________、________，商的最小值为 ．    （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是？答：我抽取的2张卡片是________、________，组成的最大的数为 ．31．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，．(1)利用规律计算：；(2)问题拓展，求；学习目标1、会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.、理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3.、巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算。已行驶里程s（千米）0 80100140电量y（）100605030利用运算律有时能进行简便计算．例1：．例2：．月份七月份八月份九月份十月份十一月份十二月份甲厂-0.2-0.4+0.50+1.2+1.3乙厂+1.0-0.7-1.5+1.8-1.80第05讲 有理数的乘法与除法（十二大题型） 一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．二、有理数的除法1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．【即学即练1】计算的结果为（    ）A． B． C．2 D．8【答案】A【分析】本题主要考查了有理数的乘法．根据有理数乘法法则计算即可．【解析】解：．故选：A．【即学即练2】的倒数是（　　）A． B． C． D．4【答案】B【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义：“乘积为1的两个数互为倒数”求解即可．【解析】解：的倒数是，故选：B．【即学即练3】计算的结果是（    ）A． B． C． D．6【答案】A【分析】本题考查了有理数的除法，除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，由此计算即可．【解析】解：，故选：A．【即学即练4】下列计算正确的是（     ）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合法则是解题的关键．根据有理数乘除混合法则逐项计算并判定即可．【解析】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；B、，原计算错误，故此选项不符合题意；C、，计算正确，故此选项符合题意；D、，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：C．【即学即练5】若两个有理数在数轴上对应的点都在原点的同侧，则这两个数相除所得的商（　　）A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不对【答案】B【分析】本题考查了有理数的除法法则，数轴的定义，理解有理数的除法法则是解题的关键．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；根据数轴的定义，可得数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，进而根据有理数的除法法则两数相除，同号得正，异号得负”即可得出答案．【解析】解：∵两个有理数在数轴上对应的点都在原点的同侧，∴这两个有理数同号，∵有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”∴这两个数相除所得的商是正数；故选：B．题型1：两个数的乘法运算【典例1】．计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)6(4)0(5)(6)【分析】依据法则“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0”计算解答．【解析】（1）＝ =；（2）＝=（3）= =6（4）＝0（5）=＝（6）=＝【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0” ．题型2：多个数的乘法运算【典例2】．计算（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【答案】（1）0；（2）；（3）；（4）；（5）0；（6）；（7）1；（8）【分析】（1）根据0与任何数相乘都得0进行计算；（2）根据两数相乘，异号得负进行计算；（3）根据两数相乘，异号得负进行计算；（4）根据两数相乘，同号得正进行计算；（5）根据0与任何数相乘都得0进行计算（6）根据两数相乘，异号得负进行计算；（7）先利用乘法交换律，再根据两数相乘，同号得正进行计算；（8）先计算括号中的式子，再根据两数相乘，异号得负进行计算．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，正确运用有理数的乘法法则，尤其是符号法则，是解题的关键．题型3：乘法的分配律【典例3】．利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】把带分数化成假分数即可得到答案．【解析】解：，故选B．【点睛】本题主要考查了有理数乘法分配律，正确把带分数化成假分数是解题的关键．【典例4】．这个运算应用了（    ）A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．加法结合律【答案】C【分析】根据分配律特点即可求解．【解析】解： ×（-10+1-0.5）=-×10+×（1）-×0.5=-8+1-0.4故应用了分配律，故选C．【点睛】此题主要考查运算律的识别，解题的关键是熟知分配律的特点．【典例5】．指出下列变化中所运用的运算律：（1） ；（2） ．【答案】 乘法结合律 乘法分配律【分析】根据有理数的运算律进行判断即可．【解析】解：（1），属于有理数的乘法结合律，故答案为：乘法结合律；（2），属于有理数的乘法分配律，故答案为：乘法分配律．【点睛】本题考查了有理数的运算律，熟记乘法的几种运算律形式是解本题的关键．【典例6】．计算： ．【答案】2021【分析】根据有理数乘法的结合律求解即可．【解析】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了有理数乘法的结合律，熟知相关计算法则是解题的关键．【典例7】．计算： ．【答案】2021【分析】利用有理数乘法的结合律进行简便计算．【解析】解：原式，，故答案为：2021．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数乘法结合律使得计算简便．【典例8】．计算的结果是 ．【答案】/【分析】将看做整体，根据乘法分配律进行计算，再进行计算即可【解析】解：故答案为：【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘法运算律是解题的关键．题型4：两个数乘法运算的代数应用【典例9】．若，，则下列判断正确的是（    ）A．、都是正数 B．、都是负数C．、异号且负数的绝对值大 D．、异号且正数的绝对值大【答案】C【分析】根据题中已知条件可判断出x、y两个有理数的关系，即可得出答案．【解析】解：从xy＜0可知，x、y一定异号，从另一个条件x+y＜0可判断出x、y中负数的绝对值较大．故选：C．【点睛】本题考查有理数的加法、乘法，掌握有理数加法和乘法法则是正确判断的前提．【典例10】．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据有理数的乘法计算法则进行求解即可得到答案．【解析】解：∵，，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，解题的关键在于两个不为0的数相乘，同号为正，异号为负．【典例11】．下列判断正确的是 (     )A．若，则，中至少一个为零B．若，则一定有，C．若，则一定有，D．若，且，则，【答案】A【分析】若ab=0，则a，b中至少一个为0；若ab＞0，则a，b同号；若ab＜0，则a，b异号；若ab＜0且a+b＜0，则a，b异号且负数的绝对值大．【解析】解：A、若ab=0，则a，b中至少一个为0，即a=0或b=0或a=b=0，故本选项正确；B、若ab＞0，则a，b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故本选项错误；C、若ab＜0，则a，b异号，即a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，故本选项错误； D、若ab＜0且a+b＜0，则a，b异号且负数的绝对值大，故本选项错误；故选：A．【点睛】本题考查了有理数的乘法与加法法则，掌握有理数的运算法则是解题的关键．题型5：多个数乘法运算的代数应用【典例12】．在﹣1，﹣3，4，﹣5，0，6这六个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是（　　）A．﹣15 B．30 C．24 D．0【答案】C【分析】在-1，-3，4，-5，0，6这六个数中，绝对值最大的三个数是4，-5，6，再根据正数大于负数，可得：任取两个数相乘，所得的积最大的是4与6的积．【解析】解：在﹣1，﹣3，4，﹣5，0，6这六个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是：4×6＝24．故选：C．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．【典例13】．个数的乘积为，则（   ）A．均为 B．最多有一个为C．至少有一个为 D．有两个数是相反数【答案】C【分析】根据有理数的乘法法则，0乘以任何数等于0即可判断．【解析】∵0乘以任何数都为0∴个数乘积为，则至少有一个为0即可故选．【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟记0乘以任何数均等于0是本题的关键．【典例14】．绝对值不大于的所有整数的乘积是（    ）A．6 B．-6 C．-36 D．0【答案】D【分析】先写出满足条件的所有整数，再求出它们的积．【解析】解：绝对值不大于的所有整数有：0、1、-1、2、-2、3、-3，它们的积为：．故选D．【点睛】本题考查绝对值和整数的综合应用，根据已知条件写出满足条件的所有整数是解题关键．【典例15】．若，则的值为（    ）A． B．5 C．0 D．以上答案都不正确【答案】C【分析】根据绝对值的性质求得的值，再代入求解即可．【解析】解：∵∴∴则故选C．【点睛】此题考查了绝对值的性质以及有理数的乘法，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．【典例16】．若a、b、c、d是互不相等的整数，且，则 ．【答案】【分析】根据已知条件求出a、b、c、d的值，然后可以得到a+b+c+d的得数． 【解析】解：由已知，a、b、c、d的值应该在这8个数里面，∵abcd=4，对上面的数逐一进行排查，可以得到a、b、c、d的值应该是里的某一个，∴a+b+c+d=．　故答案为0．　　【点睛】本题考查有理数的乘法和加法运算，熟练掌握有理数乘法运算中的符号变化法则是解题关键．题型6：乘法运算的实际应用【典例17】．李阿姨的月工资是5000元，扣除3500元免税项目后的部分需要按3%的税率缴纳个人所得税，她应缴个人所得税 元．【答案】45【分析】扣除3500元个税免征额后的部分是5000-3500=1500元，也就是说应缴纳税额部分应是1500元，然后代入关系式：应缴纳税额部分×税率=个人所得税，计算即可．【解析】(5000-3500)×3%=1500×3%=45(元)答：她应缴个人所得税45元．故答案为：45．【点睛】本题考查了有理数乘法的实际应用，解答的关键是掌握关系式：应缴纳税额部分×税率=个人所得税．【典例18】．在一个底面半径为10厘米的圆柱形水桶里，垂直放入一根底面半径为5厘米的圆柱形钢材，如果钢材完全浸没在水中，桶里的水位上升了9厘米（水未溢出），则这根钢材的体积是 立方厘米．（取3.14）【答案】2826【分析】根据题意得出圆柱形钢材的体积等于上升的水的体积,上升的水的体积等于高为9厘米,底面半径为10厘米的圆柱的体积,据此解答即可．【解析】解：，故答案为：．【点睛】此题考查根据圆柱的体积公式列出式子,准确列出式子进行运算是解题关键．【典例19】．每袋小麦超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则袋小麦对应的数分别为，，，，，0，，，，．则这袋小麦的总质量是 ．【答案】904kg【分析】根据有理数的加法运算，可得答案．【解析】解： ， ， （kg），故答案为：904kg【点睛】本题考查了正数和负数，关键是利用有理数的混合运算解题．【典例20】．如图，在一块长20m，宽10m的长方形草地上，修建两条宽为1m的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为 m2．【答案】171【分析】直接利用草地的绿地面积＝长方形面积-长的小路面积-短的小路去掉1平米的小路面积，进而得出答案．【解析】解：由图形可得，这块草地的绿地面积为：20×10-20×1-（10﹣1）×1=200-20-9=171（m2）．故答案为：171．【点睛】此题主要考查了长方形面积，正确求出小路面积是解题关键．【典例21】．100米长的小棒，第1次截去，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，第5次后剩下的小棒长 米，第49次后剩下的小棒长 米．【答案】 2【分析】根据题意列式计算即可得出答案．【解析】∵，∴第5次后剩下的小棒长米，∵，∴第49次后剩下的小棒长2米，故答案为：，2．【点睛】本题主要考查有理数的运算，找到规律是解题的关键．题型7：倒数【典例22】．的倒数是（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据倒数的定义进行求解即可：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数．【解析】解：∵，∴的倒数是，故选A．【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数，熟知倒数的定义是解题的关键．【典例23】．的倒数是（　　）A．2023 B． C． D．【答案】B【分析】利用乘积为1的两个数互为倒数来判断即可．【解析】∵∴的倒数为故选：B．【点睛】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键．【典例24】．与互为倒数的数是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数．求一个分数的倒数也就是把这个分数的分子和分母调换位置，据此解答．【解析】解：与互为倒数的数是，故选：D．【点睛】此题主要根据倒数的意义，求一个数的倒数的方法和分数的基本性质解决问题．【典例25】．的相反数是 ，倒数是 ．【答案】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数和乘积是1的两个数互为倒数求解即可．【解析】解：∵，∴的相反数是，倒数是，故答案为：，．【点睛】本题考查相反数、倒数，属于基础题，理解相反数和倒数的定义是解答的关键，注意求倒数时要带分数要化为假分数．【典例26】．如果两个数的乘积为－1，那么称这两个数互为负倒数，则的负倒数为（    ）A． B．－2 C．2 D．4【答案】B【分析】根据负倒数的定义求解即可．【解析】解：∵，∴的负倒数为-2，故选B．【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，正确理解负倒数的定义是解题的关键．题型8：除法运算【典例27】．计算：（1）；    （2）；    （3）；（4）；    （5）；    （6）．【答案】（1）；（2）9；（3）；（4）0；（5）；（6）3．【分析】原式利用除法法则计算即可得到结果，除以一个数等于乘以这个数的倒数，两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除．【解析】（1）；    （2）；    （3）；（4）；    （5）；    （6）【点睛】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握除法运算法则是解本题的关键．【典例28】．计算：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【答案】(1)0(2)2(3)(4)(5)(6)2(7)(8)【分析】（1）根据零除以任何数都为零即可解答；（2）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可；（3）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可；（4）根据有理数除法法则计算即可；（5）根据有理数除法法则计算即可；（6）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可；（7）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可；（8）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可．【解析】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．（5）解：．（6）解：．（7）解：．（8）解：．【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，灵活运用有理数的除法运算法则成为解答本题的关键．【典例29】．计算：（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）16．【分析】（1）先计算除法，再计算加法，两个有理数相除，同号得正；（2）乘除法，同级运算，从左到右，依次将除法转化为乘法，先确定符号，再将数值相乘；（3）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律解题，注意符号；（4）先算乘除，再算减法，结合加法结合律解题；（5）先算小括号，再算除法；（6）先算小括号，再算中括号；（7）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律的逆运算解题；（8）先算小括号，再算中括号，结合乘法交换律解题．【解析】解：（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，涉及加法结合律、乘法分配律等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．【典例30】．阅读下列材料：计算：．解法1思路：原式；对吗？答：____________．解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300．（1）请你用解法2的方法计算：；（2）现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！【答案】不对；（1）；（2）．【分析】有理数的除法不满足分配率，故解法1不对；（1）先计算原式的倒数，然后即可求解；（2）先计算出的值，再求出的倒数，即可得到原式的值，然后求和即可求解．【解析】解：因为有理数的除法不满足分配率，故解法1不对；故答案为：不对；（1）∵，∴；（2）∵∴∴．【点睛】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则．【典例31】．计算： ．【答案】/【分析】计算出的结果即可得到答案．【解析】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了有理数除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．题型9：除法运算的代数应用【典例32】．如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（    ）A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是【答案】A【分析】根据数轴的定义，可得数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，进而根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”即可得出答案．【解析】数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”可知，这两个数相除所得的商是负数．故选A【点睛】本题考查了有理数的除法法则，数轴的定义，理解有理数的除法法则是解题的关键．两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除．(0除以任何一个非0的数,都得0) 公式：．【典例33】．如果a＋b＜0，且＞0，下列结论成立的是(   )A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0【答案】B【分析】直接利用有理数的除法和加法运算法则，即可得出a，b的符号．【解析】解：∵a+b＜0，且＞0，∴a，b同号，且a＜0，b＜0．故选B．【点睛】此题主要考查了有理数的除法，正确得出a，b同号是解题关键．【典例34】．两个有理数的商是正数，这两个数一定(　　)A．都是负数 B．都是正数C．至少有一个是正数 D．同号【答案】D【解析】试题分析：根据有理数的除法法则即可求得结果.两个有理数的商是正数，那么这两个数一定两数同号，故选D.考点：本题考查的是有理数的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握有理数的除法法则：两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除.【典例35】．如果，则的值与0的大小关系是（　　）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，异号得负，即可得到答案．【解析】解：，，故选：B．【点睛】主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键．【典例36】．已知，，且，则 ．【答案】或【分析】利用绝对值的代数意义，以及除法法则求出与的值，代入计算即可求出的值．【解析】解：，，且，，；，，则或．故答案为：或．【点睛】本题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【典例37】．如图所示，实数a，b在数轴上表示的点分别是A、B，下列不等式正确的是（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数轴得出，，再逐项判断即可．【解析】解：由数轴可知，，因此，故A选项错误；点A到0点的距离大于点B到0点的距离，因此，故B选项错误；由，可得，故C选项错误；由，可得，故D选项正确；故选D．【点睛】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，解题的关键是根据数轴判断出a，b的取值范围．【典例38】．若，且，异号，则的符号为（ ）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于【答案】A【分析】根据同号得正，异号得负判断即可．【解析】解：∵，异号，∴，又∵，∴．故选：A．【点睛】本题考查了有理数的乘法，除法，熟记同号得正，异号得负是解题的关键．【典例39】．已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则的值是（    ）A． B． C．0 D．2【答案】B【分析】先根据数轴上点的位置得到，再化简绝对值即可得到答案．【解析】解：由题意得，，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了化简绝对值，有理数与数轴，有理数的除法计算，正确得到是解题的关键．【典例40】．a、b为任何非零有理数，则的可能取值是（    ）A．或1 B．3或1或 C．1或3 D．或3【答案】D【分析】分、、和四种情况，再根据绝对值运算、有理数的除法与加减法运算即可得．【解析】由题意，分以下四种情况：（1）当时，，则，（2）当时，，则，（3）当时，，则，（4）当时，，则，综上，的可能取值是或3，故选：D．【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数的除法与加减法运算，依据题意，正确分四种情况讨论，并熟练掌握各运算法则是解题关键．【典例41】．已知，则 【答案】1或－3/－3或1【分析】分两种情况讨论①，②，即可求出答案.【解析】解：①，时，.②，时，.故答案为：1或－3##－3或1【点睛】本题考查绝对值的性质，熟记绝对值的性质，然后分类讨论是解决本题的关键．题型10：除法运算的实际应用【典例42】．时= 时 分；800平方米= 公顷；5千克23克= 千克．【答案】 6 45 0.08 5.023【分析】1小时等于60分，10000平方米等于1公顷，1000克等于1千克，据此即可作答．【解析】（分），即时等于6时45分；800÷10000=0.08（公顷），23÷1000=0.023（千克），即5千克23克等于5.023千克，故答案为：6，45，0.08，5.023【点睛】本题主要考查了时与分、平方米与公顷、克与千克之间的转换，掌握相应的换算比例是解答本题的关键．【典例43】．买6件同样的短袖衬衫要用1020元．(1)如果用这些钱去买长袖衬衫，就要少买2件．长袖村衫的单价是多少元？(2)如果每件短袖衬衫按七五折出售，用这些钱可以买几件短袖衬衫？【答案】(1)长袖衬衫的单价是225元/件；(2)用这些钱可以买8件短袖衬衫．【分析】（1）就是用1020元钱买6-2=4件长袖衬衫，求单价，用总价除以数量即可；（2）先求得每件短袖衬衫的售价，用金额除以单价即可求解．【解析】（1）解：1020÷（6-2）=1020÷4=255（元）；答：长袖衬衫的单价是225元/件；（2）解：每件短袖衬衫的售价为1020÷6×0.75=127.5（元），1020÷127.5=8，答：用这些钱可以买8件短袖衬衫．【点睛】本题考查了有理数乘除的应用，解答这类题目，分清数量关系，代入数值进行计算即可．【典例44】．如图，两个圆重叠在一起，重叠部分的面积是大圆面积的，是小圆面积的，已知小圆面积是，则大圆面积是( )．【答案】256【分析】根据小圆面积和重叠部分的面积是小圆面积的求出重叠部分的面积，然后根据重叠部分的面积是大圆面积的进行即可．【解析】解：∵小圆面积是，重叠部分的面积是小圆面积的，∴重叠部分的面积为：，∵重叠部分的面积是大圆面积的，∴大圆面积是：，故答案为：256．【点睛】本题考查了有理数乘除的实际应用，求出重叠部分的面积是解题的关键．【典例45】．有两列同方向行驶的火车，快车每秒行米，慢车每秒行米．如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行秒后快车超过慢车．那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？【答案】快车车长240米，慢车车长300米；如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过10秒【分析】如果从两车头对齐开始算，那么超车距离为快车的车长；如果从两车尾对齐开始算，那么超车距离为慢车车长，即可根据路程÷速度=时间求解．【解析】快车车长：（米）慢车车长：（米）重叠起到车尾相离时间： （秒）答：快车车长240米，慢车车长300米；如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过10秒．【点睛】本题考查了路程÷速度=时间，根据题意求出快车和慢车的车长是解题的关键．【典例46】．一条小河上，A在B上游150千米处．甲、乙两船分别从A、B两地同时出发，若相向而行， 3小时后相遇；若同向而行，15小时后甲被乙追上．则甲船的静水速度是每小时多少千米？【答案】甲船在静水中的速度是20千米/小时【分析】两船无论是同向而行还是相向而行，两船的速度和与速度差都与水流速度无关，故利用相向而行路程等于速度和乘以时间，追击问题路程等于速度差乘以时间，分别求速度和与速度差，两个速度相减后，除以2即可求出甲船在静水中的速度．【解析】解：速度和：速度差：甲船的速度： 答：甲船在静水中的速度是20千米/小时．【点睛】此题的关键是理解两船无论是同向而行还是相向而行，两船的速度和与速度差都与水流速度无关．题型11：有理数的乘除混合运算【典例47】．计算：(1)（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）；(2)﹣；(3)；(4)．【答案】(1)-8500(2)2(3)(4)11【分析】（1）先计算（﹣25）×（﹣4），再乘（﹣85）即可得出结果；（2）先将带分数化为假分数，再将除法运算转化为乘法运算；（3）先将括号内通分，再将除法运算转化为乘法运算；（4）利用乘法分配律计算．【解析】（1）解：（﹣85）×（﹣25）×（﹣4），＝（﹣85）×[（﹣25）×（﹣4）]，＝﹣85×100，＝﹣8500；（2）﹣2×2÷（﹣2），＝﹣××（﹣），＝2；（3）（﹣）÷（1﹣），＝（﹣）÷（），＝（﹣）÷，＝（﹣）×，＝﹣；（4），＝×36﹣×36+×36﹣×36，＝28﹣30+27﹣14，＝55﹣44，＝11．【点睛】本题考查有理数的乘法，有理数的除法，灵活运用相应运算律是解题的关键，其中正负号是易错点．【典例48】．计算：(1)－2÷×；(2)(－510)÷(＋34)÷(－0.125)；(3)2÷÷；(4)(－81)÷2××．【答案】（1）；（2）120；（3）1；（4）．【分析】（1）先计算有理数的乘法，再计算有理数的乘法即可得；（2）利用有理数的除法法则计算即可得；（3）先将带分数化为假分数，再计算有理数的除法即可得；（4）先计算有理数的除法，再计算有理数的乘法即可得．【解析】（1）原式，，；（2）原式，，，；（3）原式，，，；（4）原式，，．【点睛】本题考查了有理数的乘除法运算，熟记运算法则是解题关键．【典例49】．计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）16；（2）；（3）；（4）100；（5）；（6）.【分析】（1）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案；（2）先计算括号内的乘法，再把除法转化成乘法进行计算即可；（3）把除法转化成乘法进行计算即可；（4）先算除法，再算乘法即可得解；（5）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案；（6）把除法转化成乘法进行计算即可.【解析】（1）= =-2×（-8）=16；（2）= ==；（3）= =；（4）=-20×（-5）=100；（5）==；（6）= =.【点睛】此题主要考查了有理数的乘除法，关键是正确确定结果的符号，掌握计算法则．【典例50】．计算：得（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化．【解析】解：，故选B．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．题型12：有理数的乘除混合运算的应用【典例51】．两数相除商是2.4，如果被除数扩大100倍，除数除以0.01，商是（    ）A．2.4 B．24 C．240 D．0.024【答案】A【分析】设这两个数为a，b，根据被除数和除数的变化，求出变化后的值．【解析】解：设这两个数为a，b，则a÷b=2.4，∵被除数扩大100倍，除数除以0.01，则100a÷（b÷0.01）=100a÷b×0.01=2.4，故选A．【点睛】本题考查了有理数的乘除法，解题的关键是找到规律，根据商不变得到结果．【典例52】．已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么（    ）A．－6 B．－5 C． D．【答案】A【分析】根据题中新定义化简，计算即可解题．【解析】解：根据题意得，故选：A．【点睛】本题考查有理数大小比较及有理数的乘除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．一、单选题1．的倒数是（　　）A． B．2024 C． D．【答案】C【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键；根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可．【解析】解：的倒数是， 故选：C．2．计算的结果等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了有理数的混合运算．原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果．【解析】解：，故选：B．3．算式3的运算符号被遮盖了，若要使该式的计算结果最小，则被遮盖的运算符号为（    ）．A．＋ B． C．× D．÷【答案】C【分析】本题考查有理数的运算，有理数大小的比较，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．将各个选项中的运算符号代入题干中的式子，计算出结果，然后比较结果，即可得到使得式子结果最小时的运算符号．【解析】解：，，，，∵∴的结果最小，故选：C．4．计算：（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，利用相关运算法则求解，即可解题．【解析】解：．故选：D．5．下列说法错误的是（    ）A．小于的数的倒数大于其本身 B．大于1的数的倒数小于其本身C．一个数的倒数不可能等于它本身 D．的倒数是【答案】C【分析】本题考查倒数，有理数比较大小，掌握倒数的定义是解题的关键．根据乘积等于1的两个数互为倒数和有理数大小比较法则逐项判定即可．【解析】解：A、小于的数的倒数大于其本身，说法正确，故此选项不符合题意；B、大于1的数的倒数小于其本身，说法正确，故此选项不符合题意；C、的倒数等于它本身，故原说法错误，符合题意；D、（）的倒数是，说法正确，故此选项不符合题意；故选：C．6．下列命题中，正确的是（　　）A．若，则， B．若，则，C．若，则且 D．若，则或【答案】D【分析】本题考查了有理数的乘法，根据两个有理数相乘，同号为正，异号为负求解即可．【解析】解：若，则，或，，故A，B错误；若，则或，故C错误，D正确．故选：D．7．汽车油箱中有汽油，行驶的平均耗油量为，则汽车最多能行驶（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，直接用油箱中的油量除以平均耗油量即可得到答案．【解析】解：，∴汽车最多能行驶，故选：B．8．从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的3个数的积最大等于（    ）A．280 B．270 C．252 D．216【答案】A【分析】本题主要考查了有理数乘法计算，先求出取出的这三个数的和为20，再由，得到这10个不同的非零自然数即为从1到10的10个自然数，据此讨论分别取到1到10这10个数时的最大乘积即可得到答案．【解析】解：，所以取出的这三个数的和为20，因为，所以这10个不同的非零自然数即为从1到10的10个自然数，当取的数有10时，由于，此时三个数的积最大为，同理取的数有9时，此时三个数的积最大为，同理取的数有8时，此时三个数的积最大为，同理取的数有7时，此时三个数的积最大为，同理取的数有6时，此时三个数的积最大为，同理取的数有5时，此时三个数的积最大为，同理取的数有4时，此时三个数的积最大为，同理取的数有3时，此时三个数的积最大为，同理取的数有2时，此时三个数的积最大为，同理取的数有1时，此时三个数的积最大为，综上所述，这三个数的积的最大值为280，故选A．9．如图，数轴上点对应的有理数分别为a，b，c，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(    )个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查了数轴在有理数加减乘除法运算中的应用，数形结合，是解题的关键．先由数轴得出，再根据有理数的加法法则、有理数的乘除法法则分析，可得答案．【解析】解：∵，∴，∴结论①错误；∵，，，∴，∴，∴结论②正确；∵，，，∴，∴，∴结论③正确；∵，∴，又∴，∴结论④错误；综上，正确的个数为2个．故选：B．10．若，则的值可能是（    ）A．1和3 B．和3 C．1和 D．和【答案】B【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可．【解析】解：，设时，，或时，，或，时，，综上可得：或，故选：B．二、填空题11．填空：（1） ；    （2） ；（3） ；  （4） ．【答案】 0 【分析】本题考查有理数的除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键．根据有理数除法法则计算即可．【解析】解：（1），故答案为：；（2），故答案为：；（3），故答案为：0；（4）．故答案为：．12．计算： ．【答案】/【分析】根据有理数的乘法进行计算即可【解析】故答案为：【点睛】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算是解题的关键．13．计算： ．【答案】【分析】本题考查了有理数的除法运算．熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键．先化成分数，然后进行除法运算即可．【解析】解：，故答案为：．14．若，互为倒数，，互为相反数，则的值为 ．【答案】【分析】根据以下性质：互为倒数的两个数乘积为1，互为相反数的两个数何为0，进行求解即可．【解析】解：a，b互为倒数，c，d互为相反数，，，故答案为：【点睛】本题主要考查了相反数和倒数的定义，正确掌握其性质是解题的关键．15．在四个数中任取两个数相乘，其积的最大值是 ．【答案】8【分析】由于有两个负数和两个正数，故任取其中两个数相乘，最大的数为正数，且这两个数同号．故任取其中两个数相乘，最大的数是．【解析】解：在，，3，四个数中任取两个数相乘，其积的最大值是：，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题的关键是几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．16．大于而不大于3的所有整数的积是 ．【答案】0【分析】根据题意，得到大于而不大于3的整数有，由于其中含0，乘积为0．【解析】解：大于而不大于3的整数有，，故答案为：．【点睛】本题考查有理数乘法运算，熟记有理数乘法运算法则是解决问题的关键．17．随着人们环保意识的提高，新能源汽车市场持续增长．下面是某款新能源汽车充满电量状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）与行驶里程s（千米）之间的一组数据∶当显示电量时，已行驶里程为 千米．【答案】【分析】本题考查的是有理数的运算在是实际生活中的应用．先求出每的电量所走的里程，问题即可得解．【解析】解：由题意可得，每的电量所走的里程：（千米，当显示电量时，已行驶里程为（千米．故答案为：．18．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ．【答案】0【分析】本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出，，再分，、，、，、，分别求出的值，比较大小，即可求解．【解析】∵，，∴，，∴当，时，；当，时，；当，时，；当，时，．∵，∴的最大值为0．故答案为：0三、解答题19．能简算的要简算．(1)(2)(3)(4)(5)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】本题主要考查有理数的运算：（1）分数连乘，能约分的要先约分．（2）利用乘法的分配律．（3）括号里面的分数的分母恰好和括号外面的整数约分，则利用乘法的分配律计算．（4）将看成，这样就可以利用乘法的分配律计算．（5）将看成，这样利用乘法的分配律，正好可以和分数约分．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）20．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)0(3)(4)【分析】同号得正，异号得负，再绝对值相除；除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，据此作答即可．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键．21．用合理的方法计算，并写出过程．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）先计算除法与乘法运算，再计算加减运算即可；（2）利用加法的交换律与结合律进行简便运算即可；（3）利用乘法的交换律与结合律进行简便运算即可；（4）先通分，再计算加减运算即可；（5）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可；（6）把原式化为，再结合分配律进行简便运算即可；【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：；【点睛】本题考查的是有理数的加减乘除运算，混合运算，乘法分配率的灵活应用，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键.22．用你喜欢的方法计算．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)100(3)75(4)4【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．（1）先去括号，再利用加法结合律计算即可；（2）根据乘法结合律计算即可；（3）根据乘法分配律计算即可；（4）根据有理数的混合运算顺序，先计算小括号内的计算，再计算中括号内的运算，然后计算除法即可．【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．23．计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)18(2)(3)54【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则．（1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可；（2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可；（3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可．【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：．24．计算：(1)；(2)(3)．【答案】(1)5；(2)3；(3)【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算：（1）（2）（3）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可．【解析】（1）解：；（2）解：；26．甲筐卖，乙筐卖，两筐苹果剩下的同样多，已知甲筐原有苹果kg，乙筐原有苹果多少千克？【答案】乙筐原有苹果千克【分析】本题考查分数的除法，根据分数的乘法，除法的定义列出算术计算即可，解题的关键是理解题意，正确列出算式计算．【解析】解：乙筐原有苹果：（千克）答：乙筐原有苹果千克．27．杭州第十九届亚运会期间，为全面做好赛事保障，确保赛事顺利进行，某检修小组从O地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下：，，，，，，（单位：）(1)求收工时距O 地多远？(2)若每千米耗油0.2升，那么该检修小组本次检修共耗油多少升？【答案】(1)(2)8升【分析】本题主要考查有理数加法、乘法应用和绝对值运用． 解题关键点：理解正负数和绝对值的意义．（1）按照规定，将各数相加，由结果判断收工时距A地多远；（2）先由绝对值之和求出总路程，再算总的耗油量．【解析】（1）解： 答：收工时距O地．（2）  （升）答：该检修小组本次检修共耗油8升．28．某集团公司对所属甲．乙两分厂下半年经营情况记录（其中“+”表示盈利，“﹣”表示亏损，单位：亿元）如下表．（1）计算八月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？（2）分别计算下半年甲、乙两个工厂平均每月盈利或亏损多少亿元？【答案】（1）0.3亿元，（2）甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元．【分析】（1）由表可得出乙厂亏0.7亿元，甲厂亏0.4亿元，由此可得出结果．（2）将甲乙两厂每个月的盈利相加即可得出结果．【解析】解：（1）由图可得出乙厂亏0.7亿元，甲厂亏0.4亿元，0.7-0.4=0.3（亿元）∴可得出乙比甲多亏0.3亿元． （2）甲：﹣0.2﹣0.4+0.5+0+1.2+1.3＝2.4亿元，2.4÷6=0.4（亿元）；乙：1.0﹣0.7﹣1.5+1.8﹣1.8+0＝﹣1.2亿元，-1.2÷6=-0.2（亿元）．∴甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元．答：八月份乙厂比甲厂多亏损0.3亿元；甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元【点睛】本题考查了正负数的意义和有理数的加减法，解题关键正确理解正负数的意义，准确进行计算．29．阅读：比较与的大小.方法一：利用两数差的正负来判断.因为－=＞0，所以＞.方法二：利用两数商，看商是大于1还是小于1来判断.因为÷=＞1，所以＞.请用以上两种方法，比较－和－的大小.【答案】见解析.【解析】试题分析：比较两个的大小，可以利用两个数的差的正负来判断，也可以利用两个数的商是大于1还是小于1来判断.试题解析：(2)问题拓展，求；(3)问题解决：求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧．（1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可；（2）把各个算式写成乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数，进行简便计算即可；（3）把各个加数的分母计算后都乘以，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算即可．【解析】（1）解：依题意，∵，，，，∴；（2）解：；（3）解：∵，；，；，；……，所以原式．32．【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始时、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌．游戏规则：①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果．②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利；③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜．（相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为）【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：  (1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续；(2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果；(3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由．【答案】(1)，否(2)72(3)第六次乙出“＋”和“4”，方案和理由见解析【分析】本题考查有理数四则运算，绝对值定义．（1）根据题意列式，再利用绝对值定义即可；（2）根据题意列式即可；（3）根据题意考虑所有可能性并列出即可．【解析】（1）解：根据题意列式为：，∵，∴游戏不再继续，即：第二次结果为：；（2）解：根据题意列式为：，，；（3）解：乙必胜的方案是：第六次乙出“＋”和“4”，理由一：此时，第六次结果为76，第七次若甲出“-”和“5”，则结果为71，游戏结束，乙获胜；第七次若甲出“+”和“5”，则结果为81，游戏继续；第八次乙出“÷”和“”，结果为，游戏结束，乙获胜；理由二：所有的出牌可能有：①，甲负乙胜；②，乙负；学习目标1、会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.、理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3.、巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算。已行驶里程s（千米）0 80100140电量y（）100605030月份七月份八月份九月份十月份十一月份十二月份甲厂-0.2-0.4+0.50+1.2+1.3乙厂+1.0-0.7-1.5+1.8-1.80