安徽省淮南市龙湖中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份安徽省淮南市龙湖中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解方程，解答题等内容，欢迎下载使用。

(温馨提示：本次监测时间2 小时，满分150分)
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)
1.将一元二次方程 3x²+1=6x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为( ).
A.3, -6 B.3, 6 C.3, 1 D.3x², -6x
2.下列式子中，是二次函数的是( ).
A.y=1x2 B.y=2x²+1
C.x²-2x+3=0 D.y=x+1x-1-x²
3.若关于x的一元二次方程( m-1x²+5x+m²-3m+2=0的常数项为0，则m等于( ).
A.1 B.2 C.1 或2 D.0
4.若关于x的方程 kx²-2x+3=0有实数根，则k的取值范围是( ).
A.k<13 B.k≤13 C.k<13 且k≠0 D.k≤13 且 k≠0
5.已知一元二次方程 x²-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为( ).
A.13 B.11 或13 C.11 D.12
6.将二次函数 y=2x²的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是( ).
A.y=2x+2²+3 B.y=2x+2²-3 C.y=2x-2²-3 D.y=2x-2²+3
7.某区为加强校园建设，2019 年投入1000万元，预计2020年，2021年两年共投入4000 万元. 设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是( ).
A.10001+x²=4000
B.10001+x²=4000
C.10001+x+10001+x²=4000
D.1000+10001+x+10001+x²=4000
8.在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数 y=-ax²-c的图象大致为( ).
9.对于一元二次方程( ax²+bx+c=0a≠0,下列说法：
①若a+b+c=0, 则| b²-4ac≥0;②若方程 ax²+c=0有两个不相等的实根，则方程 ax²+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若c是方程 ax²+bx+c=0的一个根，则一定有 ac+b+1=0成立：
④若x₀是一元二次方程 ax²+bx+c=0的根，则 b²-4ac=2ax₀+b².
其中正确的( ).
A.①② B.①②④ C.①②③④ D.①②③
10.对称轴为直线x=1的抛物线 y=ax²+bx+c(a、b、c)为常数，且： a≠0)如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc<0,②(a+c)²0,④3a+c>0,⑤a+b≤m( am+b)(m为任意实数)，⑥当x<-1时，y随x的增大而增大. 其中结论正确的个数为( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.下列方程中，属于一元二次方程的有 (填题号).
①2x²-3y-5=0; 23₃x²-5=0;③x²=2x; 1x④ₓ+4=x²⑤y² 2₂y-3=
12.已知二次函数 y=mx²+m²-3x+1,当x=-1时, y取得最大值, 则 m=.
13.顶点坐标为(0，2)，且与抛物线 y=-13x2的形状相同、开口方向相反的抛物线对应的函数解析式为 .
14.(1)已知: x₁,x₂是关于x的方程 x²-2x+k-1=0的两实数根，且 x2x1+x1x2=x12+2x2-1,则k的值为 .
(2)已知m，n是关于x的一元二次方程 x²-2tx+t²-2t+4=0的两实数根，则( m+2n+2的最小值是 .
三、解方程(本大题共1小题，共8分)
15.解下面的方程：
12x²-10x-1=0;
23x²-5x-2=0
四、解答题(本题共8小题，共82分)
16.(本小题8分)
已知二次函数 y=ax²+bx+c的图象经过点( -10、50、0、-5.
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当 0≤x≤5时，求此函数的最小值与最大值.17.(本小题8分)
观察下列一组方程：①x²-x=0; ②x²-3x+2=0; ③x²-5x+6=0;④x²-7x+12=0……它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”.
(1)若 x²+kx+56=0也是“连根一元二次方程”，写出实数k的值，并解这个一元二次方程；
(2)请写出第n个方程和它的根.
18.(本小题8分)为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有111 个人参与了本次活动.
(1)x的值是多少?
(2)再经过几轮转发后，参与人数会超过 10000 人?
19.(本小题10 分)已知抛物线 y=ax²+2ax+3a²-4a≠0
(1)该抛物线的对称轴为 ；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；
(3)若a>0, 设点M(m,y₁),N(2,y₂)在)在该抛物线上，若 y₁>y₂,求m的取值范围.
20.(本小题10 分)
如图, 在长方形ABCD中, AB=5cm, BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以 1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.
(1)填空: BQ= cm, PB = cm(用含t的代数式表示).
(2)当t为何值时, PQ的长度等于 5cm?
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于 26cm²?若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
21.(本小题12分)2024年7月13号淮南市全民健身运动会在淮南市民生体育馆开幕.某公司购买一种T恤衫参加此比赛. 了解到某商店正好有这种T恤衫的促销，当购买 10 件时每件140元，购买数量每增加1件单价减少1元；当购买数量为60 件(含60 件)以上时，一律每件80 元.
(1)如果购买x件(1022.(本小题12 分)
阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次、方程来解.类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程 x³+x²-2x=0，可以通过因式分解把它转化为 xx²+x-2=0,解方程x=0 和 x²+x-2=0,可得方程 x³+x²-2x=0的解.
(1)问题: 方程 x³+x²-2x=0的解是 x₁=0,x₂=.x₃=.
(2)拓展：用“转化”思想求方程 2x+3=x的解.
(3)应用: 如图, 已知矩形草坪ABCD的长AD=8m, 宽/ AB=3m,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD，DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长.
23.(本小题14分)
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A-10,B40,C0-4)三点，点P 是直线BC下方抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)是否存在点P，使 △POC是以OC为底边的等腰三角形? 若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由：
(3)动点P运动到什么位置时， △PBC面积最大，求出此时P点坐标和 △PBC的最大面积