安徽省淮北市 濉溪县孙疃中心学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份安徽省淮北市 濉溪县孙疃中心学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 函数的一次项系数是（ ）
A. B. 1C. 3D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的基本概念，二次函数的一般式为：（a、b、c是常数，）．其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，根据定义作答即可．
【详解】解：函数的一次项系数是．
故选：A．
2. 当时，函数的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求函数值，将代入函数解析式进行求解即可．
【详解】解：当时，；
故选：A．
3. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程根的情况为（ ）

A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法准确判断
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像与一元二次方程的关系；依题意，关于的方程的根即抛物线与轴的交点坐标，根据函数图像即可求解．
【详解】解：由图像知，与轴无交点，
即关于的方程的方程没有实数根，
故选：C．
4. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由顶点坐标可设解析式为，再根据抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，得到即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为
可设其解析式为
抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同
抛物线的解析式为．
故选：D．
5. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标为D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解．
【详解】解：A、，开口向下，原说法错误；
B、对称轴是直线，原说法错误；
C、顶点坐标为，说法正确；
D、当时，y随x的增大而减大，原说法错误；
故选：C．
6. 红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
故选：．
7. 直线经过第一、二、四象限，那么的图像大致为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数图象，根据一次函数的图象经过第一、二、四象限判断出、的符号，从而判断出函数开口方向，对称轴的位置，据此即可判断．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，
二次函数的开口向下，对称轴在轴右侧，且经过原点，
故选：B．
8. 生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：）与温度x（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度最适宜时，该种酶的活性值为（ ）
A. 14B. C. 240D. 44
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数实际应用，根据题意把解析式化为顶点式求出顶点的纵坐标即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵在最适宜温度时，酶的活性最强，
∴当温度最适宜时，该种酶的活性值为240，
故选：C．
9. 如图，在平面直角坐标系中，有两条顶点（点和点）都在轴上的抛物线、这两抛物线与在轴上方且平行轴的直线交于，，，四点，，，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质和矩形的判定与性质，过作轴于点，过作轴于点，可得四边形是矩形，再根据性质得，最后根据二次函数的对称性即可求解，熟练掌握二次函数的性质和矩形的判定与性质是解题的关键．
【详解】如图，过作轴于点，过作轴于点，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，，
∵为顶点，
∴根据抛物线的对称性可知：，，
∴，
∴，
故选：．
10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键．
①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确
抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
∵当时，取得小值，
∴，
当m为任意实数，则，故③正确，
④∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 抛物线的顶点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
故答案：．
12. 若函数是关于x的二次函数，则a的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故答案为；1．
13. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，则发射石块在空中飞行的最大高度为是______米．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意得抛物线经过点，代入解析式求解即可，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【详解】解：根据题意得抛物线经过点，代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为，顶点坐标为，
∴最大高度为10米，
故答案为：10．
14. 如表记录了抛物线中两个变量x与y的5组对应值，其中，根据表中信息，
（1）_____；
（2）当时，直线与该抛物线有两个公共点，则k的取值范围是_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，注意数形结合．
（1）根据表格中的数据，时，，代入中，求出即可；
（2）由表知，抛物线的对称轴为直线，则由对称性可得，则可求出函数解析式，根据解析式即可确定k的范围．
【详解】解：（1）根据表格中的数据可知：时，，
代入得：
，
解得：；
故答案为：；
（2）由表知，函数自变量取时，对应函数值相等，
则抛物线的对称轴为直线，
由表知，函数自变量取，1时，对应函数值相等且为0，
则由对称知，，即，
表明抛物线与x轴的两个交点坐标为，
把这两点坐标代入中，得：
，
解得：，
即；
当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，如图，
则直线位于直线于过顶点且平行于x轴的两直线间；
而，则抛物线的顶点坐标为，
所以；
故答案为：．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知抛物线经过点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）判断该抛物线与x轴是否有交点，并说明理由．
【答案】（1）
（2）没有交点，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是抛物线与x轴交点，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数解析式，二次函数的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与x轴的交点个数．
（1）利用待定系数法确定抛物线解析式即可；
（2）根据根的判别式符号来判断该抛物线与x轴的交点个数．
【小问1详解】
解：把代入二次函数，
得，
解得．
∴该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：该抛物线与x轴没有交点，理由如下：
当时，则，
∵，
∴该抛物线与x轴没有交点．
16. 如图所示是一个矩形菜地，一边靠墙（墙足够长），另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为，门宽是，若设这块菜地的宽为．
（1）求菜地的面积与之间的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题列二次函数关系式，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
（1）设这块菜地的宽为，则这块菜地的长为，再利用矩形的面积公式即可得出菜地的面积与之间的函数关系式；
（2）由场地的长，结合门宽是即可得解．
【小问1详解】
解：设这块菜地的宽为，则这块菜地有门的宽为，这块菜地的长为，
由题意得：；
【小问2详解】
解：由题意得：，
∴，
∵门宽是，
∴，
∴．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 抛物线y＝x2+4x+3.

（1）求出该抛物线对称轴和顶点坐标．
（2）在所给的平面直角坐标系中用描点法画出这条抛物线．
【答案】（1）对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣2，﹣1）；（2）图象如图所示．见解析.
【解析】
【分析】(1)根据二次函数一般式，转化为二次函数顶点式，即可求出顶点坐标和对称轴.
(2)令y=0，计算出二次函数与x轴的交点坐标，在坐标系中标出，根据问题（1）确定顶点坐标的位置，然后从左至右依次连线即可解决.
【详解】（1）y＝x2+4x+3＝x2+4x+4﹣4+3＝（x+2）2﹣1，
顶点坐标为（﹣2，﹣1），
对称轴为x＝﹣1；
（2）当y＝0时，x2+4x+3＝0，
则（x+1）（x+3）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴交于点（﹣1，0）（﹣3，0），
图象如图所示．
【点睛】本题考查了二次函数顶点坐标和对称轴的确定，用描点法画二次函数的图像，解决本题的关键是正确的将二次函数一般式转化为顶点式，求二次函数与x轴的交点坐标.
18. 如图是某次足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表：
（1）求h与t之间的函数表达式；
（2）该运动员踢出的足球在第多少秒落地？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．
（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）将代入抛物线的解析式，求出x的值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意可设抛物线解析式为：，
当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，
解得：或，
∴该运动员踢出的足球在第落地．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，点在轴上，点在轴上，抛物线经过点，．
（1）根据图象，直接写出不等式的解集．
（2）若对称轴上有一点，当最小时，则点的坐标是 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、二次函数与一次函数的交点问题等知识，解题的关键是数形结合．
（1）根据直线方程得到点的坐标，再根据图象不等式的解集即为二次函数在一次函数上方时对应的自变量取值范围；
（2）根据待定系数法求出抛物线解析式，即可求出抛物线对称轴，根据二次函数对称性可得点C关于对称轴的对称点是点A，连接，则，得出当点三点共线时，最小，最小值为，点P位于对称轴与直线交点，即可求解；
【小问1详解】
解：当时，，解得，
当时，，
则点，
根据图象得，不等式的解集为；
【小问2详解】
解：把，分别代入得，
解得．
∴该抛物线的解析式为；
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
如图，根据二次函数对称性可得点C关于对称轴的对称点是点A，连接，
则，
当点三点共线时，最小，最小值，点P位于对称轴与直线交点，
∴．
20. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点作垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求，该抛物线的顶点到的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数解析式；
（2）现需在这一隧道内壁的同样高度的A、B处安装上照明灯，如图所示，若要求A、B两个照明灯之间的水平距离为8m，求出此时A、B两个照明灯距离地面的高度．
【答案】（1）
（2）5m
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
（1）设抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解．
（2）求出点A的横坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，该抛物线的顶点到的距离为9m．
∴抛物线的顶点，
可设抛物线的解析式为，
把代入，得，
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：、B距离地面的高度相同，
、两点关于抛物线的对称轴对称．
如图，过点作轴的垂线，交轴于点，交抛物线的对称轴于点，则经过点A．
由（1）知，抛物线的对称轴为，则．
，
则，
，，
点的横坐标为2，B点的横坐标为10，
令，代入抛物线的解析式，
得，
此时A、B两个照明灯距离地面的高度为5m．
六、解答题（本题满分12分）
21. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第二象限内的一个动点，连接，，设点P的横坐标为m．
（1）求线段的长；
（2）请用含m的代数式表示的面积；
（3）若，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点的坐标为
【解析】
【分析】（1）令，求出A-2,0，B4,0，即可得解；
（2）连接，求出，得到，求出，由题意得：，求出，，再由即可得解；
（3）根据题意结合（2）得出，计算即可得解．
【小问1详解】
解：在中，令，则，
解得：，，
∴A-2,0，B4,0，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，
，
在中，令，则，即，
∴，
∵B4,0，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：由（2）可得：，
由题意得：，
解得：，，
∵点在第二象限，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数综合—三角形面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
七、解答题（本题满分12分）
22. 某村民在网络直播平台推销某种农副产品，在试销售的30天中，第天（且为整数）的售价为（元/千克），当时，；当时，．销量（千克）与的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第天的销售额为（元）．
（1）_____，_____；
（2）写出第天的销售额与之间的函数关系式；
（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？
【答案】（1）；30
（2）
（3）共有7天销售额超过500元
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能正确理解题意是关键．
（1）依据题意得，计算即可得解；
（2）依据题意，当时，由（1）得，从而计算可得；再由当时，，进而可以得解；
（3）依据题意，分和两种情况进行判断即可计算得解．
【小问1详解】
解：由题意得，
，
故答案为：；30；
【小问2详解】
解：由题意知，当时，由（1）得，
，
当时，，
；
【小问3详解】
解：由题意知，当时，，
，
当时，取最大值400，
此时销售额不超过500元，
当时，令，
，
共有7天销售额超过500元．
八、解答题（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，点为抛物线上一点且横坐标为，点在对称轴左侧，点是抛物线上一点（点与点不重合），直线平行于直线，以为斜边向下作等腰直角三角形，使轴．
（1）求的值；
（2）当时，求的面积；
（3）若坐标原点与的顶点的连线将的面积分成的两部分，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）的值为或
【解析】
【分析】（1）由抛物线对称轴，即可求解；
（2）由平面直角坐标系中的面积，即可求解；
（3）当点在轴上方时，则将的面积分成的两部分，即或，即可求解；当点在轴下方时，无解即可得到答案．
【小问1详解】
解：的对称轴为直线，
，解得；
【小问2详解】
解：由（1）知，抛物线的表达式为，
当时，，则点，
直线平行于直线，且过点，
设直线的表达式为，将代入得，解得，
直线的表达式为，
点为抛物线上一点，点在对称轴左侧，点是抛物线上一点（点与点不重合），
联立抛物线和直线的表达式，则，即，则，解得或，
当时，，则，
以为斜边向下作等腰直角三角形，使轴，如图所示：
轴，且，
、，
点，
；
【小问3详解】
解：设点，
直线平行于直线，且过点，
设直线的表达式为，将代入得，解得，
直线的表达式为，
点为抛物线上一点，点在对称轴左侧，点是抛物线上一点（点与点不重合），
联立抛物线和直线的表达式，则，即，则，解得或，
当时，，则，
以为斜边向下作等腰直角三角形，使轴，如图所示：
轴，且，
、，
点，则，
轴，
直线表达式为，
是直线与抛物线的另一个交点，且纵坐标为，则，即，则，解得或，即，
当点在轴上方时，如图所示：
将的面积分成的两部分，即或，
由、可得，直线表达式为，
设直线的表达式为，
将点、代入表达式可得，则直线的表达式为，
联立方程得，解得，则，
或，解得（舍去）或或；
当点在轴下方时，如图所示：
此时，不能将的面积分成的两部分，此种情况不存在，无解；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，涉及二次函数图象与性质、直线与二次函数综合、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数与图形面积综合等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．x
…
1
3
…
y
…
m
0
2
0
m
…
0
2
3
6
…
0
…