2024年重庆市第十八中学数学九上开学考试试题【含答案】

这是一份2024年重庆市第十八中学数学九上开学考试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,点E是BC边的中点,OE=1,则AB的长为（ ）
A．2B．1
C．D．4
2、（4分）如图，四边形是菱形，经过点、、，与相交于点，连接、．若，则的度数为( )
A．B．C．D．
3、（4分）如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( )
A．△AFD≌△DCEB．AF＝AD
C．AB＝AFD．BE＝AD﹣DF
4、（4分）如图，把线段AB经过平移得到线段CD，其中A，B的对应点分别为C，D．已知A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（2，1），则点D的坐标为（ ）
A．．（1，4）B．．（1，3）C．．（2，4）D．．（2，3）
5、（4分）直角三角形中，斜边，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）人文书店三月份销售某畅销书100册，五月份销售量达196册，设月平均增长率为x，则可列方程( )
A．100(1+x)=196B．100(1+2x)=196
C．100(1+x2)=196D．100(1+x)2=196
7、（4分）下列多项式中，分解因式不正确的是（ ）
A．a2+2ab=a（a+2b）B．a2-b2=（a+b）（a-b）
C．a2+b2=（a+b）2D．4a2+4ab+b2=（2a+b）2
8、（4分）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．，，D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若最简二次根式和是同类二次根式，则m=_____．
10、（4分）如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，若AD=3，AB=7，则线段MN的取值范围是______．
11、（4分）如图，在菱形中，，，点E，F分别是边，的中点，是上的动点，那么的最小值是_______.
12、（4分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为 __．
13、（4分）今年全国高考报考人数是10310000，将10310000科学记数法表示为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴、y轴的交点分别为A、B，直线y＝﹣2x+12交x轴于C，两条直线的交点为D；点P是线段DC上的一个动点，过点P作PE⊥x轴，交x轴于点E，连接BP；
（1）求△DAC的面积；
（2）在线段DC上是否存在一点P，使四边形BOEP为矩形；若存在，写出P点坐标；若不存在，说明理由；
（3）若四边形BOEP的面积为S，设P点的坐标为（x，y），求出S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
15、（8分）阅读下面的解答过程，然后答题：已知a为实数，化简：
解：原式 ①
②
（1）上述解答是否有错误?
（2）若有错误，从第几步开始出现错误?
（3）写出正确的解答过程。
16、（8分）计算
（1）
（2）
17、（10分）解不等式组．
18、（10分）如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：BE=AD；
（2）求∠BFD的度数．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）不等式组的解集是________
20、（4分）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°， PD⊥OA，M是OP的中点， DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为________cm．
21、（4分）如图，在平行四边形中，连接，且，过点作于点，过点作于点，在的延长线上取一点，，若，则的度数为____________．
22、（4分）学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为15人，频率为0.3，那么被调查的学生人数为________．
23、（4分）从1、2、3、4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数两倍的概率是 .
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）求证：对角线相等的平行四边形是矩形．(要求：画出图形，写出已知和求证，并给予证明)
25、（10分）某校在一次献爱心捐款活动中，学校团支部为了解本校学生的各类捐款人数的情况，进行了一次统计调查，并绘制成了统计图①和②，请解答下列问题．
（1）本次共调查了多少名学生．
（2）补全条形统计图．
（3）这些学生捐款数的众数为 ，中位数为 ．
（4）求平均每个学生捐款多少元．
（5）若该校有600名学生，那么共捐款多少元．
26、（12分）我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．
（发现与证明）▱ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D．
结论1：△AB′C与▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形；
结论2：B′D∥AC
…
（应用与探究）
在▱ABCD中，已知BC=2，∠B=45°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D．若以A、C、D、B′为顶点的四边形是正方形，求AC的长．(要求画出图形)
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
首先证明OE是△BCD的中位线，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，
∵BE=EC，
∴OE= CD，
∵OE=1，
∴AB=CD=2，
故答案为:A
此题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，解题关键在于求出OE是△BCD的中位线
2、C
【解析】
由菱形的性质求出∠ACB=50°，由边形是圆内接四边形可求出∠AEB=80°，然后利用三角形外角的性质即可求出的度数.
【详解】
∵四边形是菱形，，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
故选：C．
本题考查了菱形的性质，圆内接四边形的性质，三角形外角的性质. 圆内接四边形的性：①圆内接四边形的对角互补，②圆内接四边形的外角等于它的内对角，③圆内接四边形对边乘积的和，等于对角线的乘积.
3、B
【解析】
A．由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．
又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故A正确；
B．∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故B错误；
C．由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故C正确；
D．由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故D正确；
故选B．
4、A
【解析】
根据点A、C的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点D的坐标即可．
【详解】
∵A（﹣1，0）的对应点C的坐标为（2，1），
∴平移规律为横坐标加3，纵坐标加1，
∵点B（﹣2，3）的对应点为D，
∴D的坐标为（1，4）．
故选A．
本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．
5、A
【解析】
根据题意，是直角三角形，利用勾股定理解答即可.
【详解】
解：根据勾股定理，在中，

故选A
本题考查勾股定理的运用，属于基础题型，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键.
6、D
【解析】
设月平均增长率为x，分别表示出四、五月份的销售量，根据五月份的销售量列式即可.
【详解】
解：设月平均增长率为x，则四月份销售量为100（1+x）, 五月份的销售量为：
100（1+x）2=196.
故答案为：D
本题考查了列一元二次方程，理清题中等量关系是列方程的关键.
7、C
【解析】
各项分解得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：A、原式=a（a+2b），不符合题意；
B、原式=（a+b）（a-b），不符合题意；
C、原式不能分解，符合题意；
D、原式=（2a+b）2，不符合题意，
故选：C．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8、D
【解析】
根据三角形内角和定理以及直角三角形的性质即可求出答案．
【详解】
A. ∵，,∴∠C=90°, ∴是直角三角形，故能确定；
B. ，,∴∠C=90°, ∴是直角三角形，故能确定；
C. ∵， ∴是直角三角形，故能确定；
D.设a=1，b=2，c=2，
∵12+22≠22，∴△ABC不是直角三角形，故D不能判断.
故选：D．
本题考查了三角形的内角和，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练运用三角形的性质，本题属于基础题型．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1．
【解析】
由最简二次根式的定义可得3m+1=8+2m，解出m即可.
【详解】
由题意得：3m+1=8+2m，解得：m=1.
故答案为1.
本题主要考查最简二次根式的定义.
10、2≤MN≤5
【解析】
根据中位线定理和等腰直角三角形的判定证明△PMN是等腰直角三角形，求出MN=BD，然后根据点D在AB上时，BD最小和点D在BA延长线上时，BD最大进行分析解答即可．
【详解】
∵点P，M分别是CD，DE的中点，
∴PM=CE，PM∥CE，
∵点P，N分别是DC，BC的中点，
∴PN=BD，PN∥BD，
∵△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
∵PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴PM=PN=BD，
∴MN=BD，
∴点D在AB上时，BD最小，
∴BD=AB-AD=4，MN的最小值2；
点D在BA延长线上时，BD最大，
∴BD=AB+AD=10，MN的最大值为5，
∴线段MN的取值范围是2≤MN≤5．
故答案为：2≤MN≤5．
此题考查了旋转的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，关键是根据全等三角形的判定和等腰直角三角形的判定证明△PMN是等腰三角形．
11、5
【解析】
设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质推出N是AD中点，P与O重合，推出PE+PF=NF=AB，根据勾股定理求出AB的长即可．
【详解】
设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，
∴PN=PE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠BCD,AD=AB=BC=CD,OA=OC,OB=OD,AD∥BC，
∵E为AB的中点，
∴N在AD上，且N为AD的中点，
∵AD∥CB，
∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，
∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，
在△ANP和△CFP中
∵ ，
∴△ANP≌△CFP(ASA)，
∴AP=CP，
即P为AC中点，
∵O为AC中点，
∴P、O重合，
即NF过O点，
∵AN∥BF，AN=BF，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴NF=AB，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD,OA=AC=4,BO=BD=3，
由勾股定理得：AB= =5，
故答案为：5.
此题考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，解题关键在于作辅助线
12、
【解析】
在菱形 中， ，设


13、
【解析】
根据科学计数法的表示方法即可求解.
【详解】
解：将10310000科学记数法表示为．
故答案为：．
此题主要考查科学计数法的表示，解题的关键是熟知科学计数法的表示方法.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）S△DAC＝1；（2）存在， 点P的坐标是（5，2）；（3）S＝﹣x2+7x（4≤x＜6）．
【解析】
（1）想办法求出A、D、C三点坐标即可解决问题；
（2）存在．根据OB＝PE＝2，利用待定系数法即可解决问题；
（3）利用梯形的面积公式计算即可；
【详解】
（1）当y＝0时， x+2=0，
∴x＝﹣4，点A坐标为（﹣4，0）
当y＝0时，﹣2x+12＝0，
∴x＝6，点C坐标为（6，0）
由题意，解得，
∴点D坐标为（4，4）
∴S△DAC＝×10×4＝1．
（2）存在，∵四边形BOEP为矩形，
∴BO＝PE
当x＝0时，y＝2，点B坐标为（0，2），
把y＝2代入y＝﹣2x+12得到x＝5，
点P的坐标是（5，2）．
（3）∵S＝（OB+PE）•OE
∴S＝（2﹣2x+12）•x＝﹣x2+7x（4≤x＜6）．
本题考查一次函数综合题、二元一次方程组、矩形的判定和性质、梯形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
15、（1）有错误；（2）①；（3）
【解析】
观察已知代数式，要使二次根式有意义，则，a≠0，-a3≥0，即a＜0，考虑将两个二次根式写成最简二次根式的形式；
将 变形为 、 变形为 ，对其进行约分；
接下来对所得式子进行整理，即可得到本题的答案.
【详解】
（1）有错误
（2）①
（3）
本题主要考查了二次根式性质与化简，注意a是负数，不能改变符号.
16、（1）（2）
【解析】
（1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据多项式除以单项式法则展开，再进行计算即可．
【详解】
解：（1）原式=
=
（2）原式=
=
本题考查了二次根式的加减混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．
17、
【解析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集．
【详解】
解：
由(1)得：
由(2)得：,
所以，原不等式组的解为：
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18、（1）见解析；（2）60°
【解析】
（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠C=60°，然后根据SAS可证△ABE≌△CAD，再根据全等三角形的性质即得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABE=∠CAD，然后根据三角形的外角性质和角的和差即可得出结果．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
又∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD；
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角性质以及全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、x  1
【解析】
分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
详解：，解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x＞1，所以，不等式组的解集是x＞1．
故答案为：x＞1．
点睛：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
20、1
【解析】
根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到答案．
【详解】
是角平分线上的一点，，
，
，M是OP的中点，，
，
，
点C是OB上一个动点，
的最小值为P到OB距离，
的最小值，
故答案为1．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．
21、25
【解析】
根据平行四边形的性质得到BD=BA，根据全等三角形的性质得到AM=DN，推出△AMP是等腰直角三角形，得到∠MAP=∠APM=45°，根据三角形的外角的性质可得出答案．
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，
∵AB=CD，
∵BD=CD，
∴BD=BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴∠AMB=∠DNB=90°，
在△ABM与△DBN中
，
∴△ABM≌△DBN（AAS），
∴AM=DN，
∵PM=DN，
∴AM=PM，
∴△AMP是等腰直角三角形，
∴∠MAP=∠APM=45°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB=70°，
∴∠PAB=∠ABD-∠P=25°，
故答案为：25.
本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质和判定是解题的关键．
22、50
【解析】
根据频数与频率的数量关系即可求出答案．
【详解】
解：设被调查的学生人数为x，
∴，
∴x=50，
经检验x=50是原方程的解，
故答案为：50
本题考查频数与频率，解题的关键是正确理解频数与频率的关系，本题属于基础题型．
23、
【解析】
从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，
有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；
其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；
则其概率为；
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见解析.
【解析】
分析：首先根据题意写出已知和求证，再根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACD与∠BCD的关系，根据平行四边形的邻角互补，可得∠ACD的度数，根据矩形的判定，可得答案．
详解：已知：如图，在□ABCD中， AC=BD. 求证：□ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD=BC，
在△ADC和△BCD中，
∵，
∴△ADC≌△BCD，
∴∠ADC=∠BCD．
又∵AD∥CB，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=∠BCD=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形．
点睛：本题考查了矩形的判定，利用全等三角形的判定与性质得出∠ADC=∠BCD是解题关键．
25、（1）本次调查的学生总人数为50人；（2）补全条形图见解析；（3）15元、15元；（4）平均每个学生捐款13元；（5）该校有600名学生，那么共捐款7800元．
【解析】
（1）由捐款5元的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以对应百分比求得捐10元、20元的人数，据此补全图形可得；
（3）根据众数和中位数的定义计算可得；
（4）根据加权平均数的定义求解可得；
（5）总人数乘以样本中每个学生平均捐款数可得．
【详解】
（1）本次调查的学生总人数为8÷16%＝50（人）；
（2）10元的人数为50×28%＝14（人），20元的人数为50×12%＝6（人），
补全条形图如下：
（3）捐款的众数为15元，中位数为＝15（元），
故答案为：15元、15元．
（4）平均每个学生捐款 ＝13（元）；
（5）600×13＝7800，
答：若该校有600名学生，那么共捐款7800元．
本题主要考查了条形统计图及扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中获取准确的信息．
26、 [发现与证明]：证明见解析；[应用与探究]：AC的长为或1．
【解析】
[发现与证明]由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB′，证出∠EAC=∠ACB′，得出AE=CE；得出DE=B′E，证出∠CB′D=∠B′DA= (180°-∠B′ED)，由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；
[应用与探究]：分两种情况：①由正方形的性质得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函数即可求出AC；
②由正方形的性质和已知条件得出AC=BC=1．
【详解】
解：[发现与证明]：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵△ABC≌△AB′C，
∴∠ACB=∠ACB′，BC=B′C，
∴∠EAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
即△ACE是等腰三角形；
∴DE=B′E，
∴∠CB′D=∠B′DA=(180°-∠B′ED)，
∵∠AEC=∠B′ED，
∴∠ACB′=∠CB′D，
∴B′D∥AC；
[应用与探究]：分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ACDB′是正方形，
∴∠CAB′=90°，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=45°，
∴AC=BC=；
②如图1所示：AC=BC=1；
综上所述：AC的长为或1．
本题考查了平行四边形的性质、正方形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定以及平行线的判定；熟练掌握平行四边形的性质、翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人