2024年梧州市重点中学数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】

这是一份2024年梧州市重点中学数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列选项中，可以用来证明命题“若a²>1,则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a=－2.B．a==－1C．a=1D．a=2
2、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，如果∠A+∠C＝100°，则∠B的度数是（ ）
A．130°B．80°C．100°D．50°
3、（4分）计算（）3÷的结果是（ ）
A．B．y2C．y4D．x2y2
4、（4分）如图，将直径为2cm的半圆水平向左平移2cm，则半圆所扫过的面积（阴影部分）为（ ）
A．πcm2B．4 cm2C．cm2D．cm2
5、（4分）如图，矩形中，，，、分别是边、上的点，且与之间的距离为4，则的长为（ ）
A．3B．C．D．
6、（4分）下列命题中，不正确的是（ ）.
A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线互相垂直且平分
C．菱形的对角线互相垂直且平分D．正方形的对角线相等且互相垂直平分
7、（4分）如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点(含端点，但点不与点重合)，点，分别为，的中点，则长度的最大值为( )
A．8B．6C．4D．5
8、（4分）到三角形三条边的距离相等的点是三角形（ ）的交点.
A．三条中线B．三条角平分线C．三条高D．三条边的垂直平分线
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在△ABC中，AB＝12，AC＝5，BC＝13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则PM的最小值为_____．
10、（4分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何?译文是：今有门不知其高、宽，有竿，不知其长、短，横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为尺，则可列方程为__________．
11、（4分）如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，-2），则点F的坐标是
12、（4分）如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____．
13、（4分）已知一组数据11、17、11、17、11、24共六个数，那么数11在这组数据中的频率是______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知：在平面直角坐标系中有两条直线y=﹣1x+3和y=3x﹣1．
(1)确定这两条直线交点所在的象限，并说明理由；
(1)求两直线与坐标轴正半轴围成的四边形的面积．
15、（8分）已知，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx－3（k≠0）交x轴于点A，交y轴与点B．
（1）如图1，若k＝1，求线段AB的长；
（2）如图2，点C与点A关于y轴对称，作射线BC；
①若k＝3，请写出以射线BA和射线BC所组成的图形为函数图像的函数解析式；
② y轴上有一点D(0，3)，连接AD、CD，请判断四边形ABCD的形状并证明；若≥9，求k的取值范围
16、（8分）已知y＋6与x成正比例，且当x＝3时，y＝－12，求y与x的函数关系式．
17、（10分）先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值.
18、（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，1），交y轴于点B（1，n），且m，n满足＋（n﹣12）2＝1．
（1）求直线AB的解析式及C点坐标；
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；
（3）如图2，点E（1，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若方程的两根，则的值为__________．
20、（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（1，0）， C（3，1），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_____________．
21、（4分）如图，边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，菱形的面积为______．
22、（4分）在式子中，x的取值范围是__________________.
23、（4分）已知a﹣2b＝10，则代数式a2﹣4ab+4b2的值为___．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象都经过点．
（1）求一次函数和正比例函数的解析式；
（2）若点是线段上一点，且在第一象限内，连接，设的面积为，求面积关于的函数解析式．
25、（10分）解下列一元二次方程
（1）
（2）
26、（12分）已知：是一元二次方程的两实数根.
（1）求 的值；
（2）求 x1 x2的值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题：
用来证明命题“若a2＞2，则a＞2”是假命题的反例可以是：a=－2．因为a=－2时，a2＞2，但
a＜2．故选A
2、A
【解析】
根据平行四边形的性质即可解答.
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，
∠A+∠C＝100°，
故∠A=∠C=50°，
且AD∥BC，
故∠B=180°-50°=130°.
故答案选A.
本题考查平行四边形性质，对边平行，熟悉掌握是解题关键.
3、B
【解析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】
解：原式＝
＝
= ，
故选：B．
此题考查分式的运算及幂的运算，难度一般．
4、B
【解析】
根据平移后阴影部分的面积恰好是长1cm，宽为1cm的矩形，再根据矩形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：∵平移后阴影部分的面积恰好是长为1cm，宽为1cm的矩形，
∴S阴影=1×1=4cm1．
故选B．
本题考查的是图形平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键．
5、D
【解析】
过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD＝4＝AB，∠G＝90°，再利用AAS证明△AEB≌△GED，根据全等三角形的性质可得AE＝EG． 设AE＝EG＝x，则ED＝5﹣x，在Rt△DEG中，由勾股定理得可得方程x2+42＝（5﹣x）2， 解方程求得x的值即可得AE的长．
【详解】
过点D作DG⊥BE，垂足为G，如图所示：

则GD＝4＝AB，∠G＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5，∠A＝90°＝∠G，
在△AEB和△GED中，
∴△AEB≌△GED（AAS）．
∴AE＝EG．
设AE＝EG＝x，则ED＝5﹣x，
在Rt△DEG中，由勾股定理得：ED2＝EG2+GD2，
∴x2+42＝（5﹣x）2，
解得：x＝，即AE＝．
故选D．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，正确作出辅助线，证明AE＝EG是解决问题的关键.
6、B
【解析】
A. ∵平行四边形的对角线互相平分，故正确；
B. ∵矩形的对角线互相平分且相等，故不正确；
C. ∵菱形的对角线互相垂直且平分 ，故正确；
D. ∵正方形的对角线相等且互相垂直平分，故正确；
故选B.
7、D
【解析】
根据三角形中位线定理可知，求出的最大值即可.
【详解】
如图，连结，
，，
，
当点与点重合时，的值最大即最大，
在中，，，，
，
的最大值．
故选：．
本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型.
8、B
【解析】
到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心．
【详解】
解：到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心，即三个内角平分线的交点．
故选：B．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据题意可证△ABC是直角三角形，则可以证四边形AEPF是矩形，可得AP=EF，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半，可得AP=EF=2PM，则AP值最小时，PM值最小，根据垂线段最短，可求AP最小值，即可得PM的最小值．
【详解】
解：连接AP，
∵AB2+AC2＝169，BC2＝169
∴AB2+AC2＝BC2
∴∠BAC＝90°，且PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AEPF是矩形
∴AP＝EF，∠EPF＝90°
又∵M是EF的中点
∴PM＝EF
∴当EF值最小时，PM值最小，即当AP值最小时，PM值最小．
根据垂线段最短，即当AP⊥BC时AP值最小
此时S△ABC＝AB×AC＝BC×AP
∴AP＝
∴EF＝
∴PM＝
故答案为
本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理逆定理，以及垂线段最短，关键是证EF=AP
10、．
【解析】
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】
解：根据勾股定理可得：
，即x2-8x+16+x2-4x+4= x2，
解得：x1=2（不合题意舍去），x2=10，
10-2=8（尺），
10-4=6（尺）．
答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺．
故答案为： ．
本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解题的关键．
11、（，0）．
【解析】
试题分析：∵正方形的顶点A（m，2），
∴正方形的边长为2，
∴BC=2，
而点E（n，），
∴n=2+m，即E点坐标为（2+m，），
∴k=2•m=（2+m），解得m=1，
∴E点坐标为（3，），
设直线GF的解析式为y=ax+b，
把E（3，），G（0，﹣2）代入得，
解得，
∴直线GF的解析式为y=x﹣2，
当y=0时，x﹣2=0，解得x=，
∴点F的坐标为（，0）．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
12、36°
【解析】
由正五边形的性质得出∠B=108°，AB=CB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B=108°，AB=CB，
∴∠ACB=（180°﹣108°）÷2=36°；
故答案为36°．
13、0.1
【解析】
根据公式：频率=即可求解．
【详解】
解：11的频数是3，则频率是：=0.1．
故答案是：0.1．
本题考查了频率公式：频率=，理解公式是关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)两直线交点坐标为(1，1)，在第一象限；(1).
【解析】
(1)联立两直线解析式成方程组，解方程组即可求出交点坐标，进而即可得出交点所在的象限；
(1)令直线y=﹣1x+3与x、y轴分别交于点A、B，直线y=3x﹣1与x、y轴分别交于点C、D，两直线交点为E，由直线AB、CD的解析式即可求出点A、B、C的坐标，利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式即可求出两直线与坐标轴正半轴围成的四边形的面积．
【详解】
(1)联立两直线解析式得：，
解得：，
∴两直线交点坐标为(1，1)，在第一象限．
(1)令直线y=﹣1x+3与x、y轴分别交于点A、B，直线y=3x﹣1与x、y轴分别交于点C、D，两直线交点为E，如图所示．
令y=﹣1x+3中x=0，则y=3，
∴B(0，3)；
令y=﹣1x+3中y=0，则x=，
∴A(，0)．
令y=3x﹣1中y=0，则x=，
∴C(，0)．
∵E(1，1)，
∴S四边形OCEB=S△AOB﹣S△ACE=OA•OB﹣AC•yE=××3﹣×(﹣)×1=．
此题考查两条直线相交或平行问题，联立直线解析式成方程组求出交点
15、 (1) ；(2) ；(3)四边形ABCD为菱形，-2≤k≤2且k≠1．
【解析】
(1)将k=1代入解析式中求出解析式，再令x=1，求出B点坐标进而求出OB的长，再在Rt△AOB中使用勾股定理即可求解；
(2)①当k=3时，求出AB的解析式，进而求出点A的坐标，再根据对称性求出C点坐标，进而求出BC的解析式，再写出自变量的取值范围即可；
②先证明OB=OD，OA=OC，且AC⊥BD，即可证明四边形ABCD为菱形，进而求出其面积．
【详解】
解：(1)由题意知，将k=1代入y＝kx－3，
即直线AB的解析式为：y=x-3，
令x=1，求出B点坐标为(1,-3)，故OB=3，
令y=1，求出A点坐标为(3,1)，故OA=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理有：，
故答案为：；
(2)①当k=3时，直线AB的解析式为：y=3x-3，
令y=1，则x=1，求出点A的坐标为(1,1)，
令x=1，则y=-3，求出点B的坐标为(1,-3),
∵点C与点A关于y轴对称，故点C（-1，1），
设直线BC的解析式为：，代入B、C两点坐标：
，解得，故直线BC的解析式为：，
∴以射线BA和射线BC所组成的图形为函数图像的函数解析式为：，
故答案为：；
②四边形ABCD为菱形，理由如下：
∵点B（1，-3），点D（1，3），故OB=OD，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴OA=OC，
由对角线互相平分的四边形是平行四边形知，四边形ABCD为平行四边形，
又∵AC⊥BD，
故四边形ABCD为菱形；
令y＝kx－3中y=1，解得，∴A(，1)，则点C(，1)，
则AC=，
∴菱形ABCD的面积为，
解得：且，
故答案为：且．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、面积的计算等，综合性强，难度适中，熟练掌握一次函数的图像和性质及菱形的性质和判定是解决本题的关键．
16、y=﹣2x﹣1．
【解析】
试题分析：先根据y+1与x成正比例关系，假设函数解析式，再根据已知的一对对应值，求得系数k即可．
解：∵y+1与x成正比例，
∴设y+1=kx（k≠0），
∵当x=3时，y=﹣12，
∴﹣12+1=3k，
解得k=﹣2
∴y+1=﹣2x，
∴函数关系式为y=﹣2x﹣1．
17、2
【解析】
根据分式的运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件找出a的值代入原式即可求出答案．
【详解】
解：
∴取，原式=.
本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于中等题型．
18、（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，1）；（3）点P的坐标（，）
【解析】
（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；
（2）画出图象，由CD⊥AB知可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；
（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.
【详解】
解：（1）∵＋（n﹣12）2＝1，
∴m＝6，n＝12，
∴A（6，1），B（1，12），
设直线AB解析式为y＝kx＋b，
则有，解得，
∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，
∵直线AB过点C（a，a），
∴a＝－2a＋12，∴a＝4，
∴点C坐标（4，4）．
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，
设直线CD解析式为y＝x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，
∴直线CD解析式为y＝x＋2，
∴点D坐标（－4，1）．
（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，
图2
∵直线EC解析式为y＝x－2，直线CF解析式为y＝－x＋，
∵×（－）＝－1，
∴直线CE⊥CF，
∵EC＝2，CF＝2，
∴EC＝CF，
∴△FCE是等腰直角三角形，
∴∠FEC＝45°，
∵直线FE解析式为y＝－5x－2，
由解得，
∴点P的坐标为（）.
本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F（－2，8）是解题的突破口.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据根与系数的关系求出，代入即可求解．
【详解】
∵是方程的两根
∴=-=4，==1
∴===4+1=1，
故答案为：1．
此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知=-，=的运用．
20、（-2，0）或（4，0）或（2，2）
【解析】
分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．
【详解】
解：分三种情况：①AB为对角线时，点D的坐标为（-2，0）；
②BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；
③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）.
综上所述，点D的坐标可能是（-2，0）或（4，0）或（2，2）．
故答案为（-2，0）或（4，0）或（2，2）．
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21、1
【解析】
根据菱形的对角线互相垂直且互相平分可得出对角线BD的长度，进而根据对角线乘积的一半可得出菱形的面积．
【详解】
解：在菱形ABCD中，
由题意得：B0==4，
∴BD=8，
故可得菱形ABCD的面积为×8×6=1．
故答案为1．
本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质．
22、x≥2
【解析】
分析:根据被开方式是非负数列不等式求解即可.
详解:由题意得，
x-2≥0，
x≥2.
故答案为：x≥2.
点睛: 本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
23、1．
【解析】
将a2﹣4ab+4b2进行因式分解变形为（a﹣2b）2，再把a﹣2b＝10，代入即可.
【详解】
∵a﹣2b＝10，∴a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2＝102＝1，故答案为：1．
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式因式分解，求出相应的式子的值．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）y=﹣x+4，；（2）S=2x（0＜x≤3）．
【解析】
（1）把B（3，1）分别代入y=﹣x+b和y=kx即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
（1）把B（3，1）分别代入y=﹣x+b和y=kx得1=﹣3+b，1=3k，解得：b=4，k，∴y=﹣x+4，yx；
（2）∵点P（x，y）是线段AB上一点，∴S•xP2x（0＜x≤3）．
本题考查了两直线相交或平行，三角形面积的求法，待定系数法确定函数关系式，正确的理解题意是解题的关键．
25、（1），；（2），.
【解析】
（1）将方程左边因式分解，继而求解可得；
（2）运用配方法求解即可.
【详解】
（1）∵（x+3）（x+7）=0，
∴x+3=0或x+7=0，
解得：，；
（2）
，
，
∴
∴ .
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
26、（1）27；（2）
【解析】
（1）根据根与系数的关系，求出和 的值，即可得到答案；
（2）根据题意，可得，计算即可得到答案.
【详解】
解：（1）∵是一元二次方程的两实数根，
∴，，
∴；
（2）根据题意，，
∴；
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握，，然后变形计算即可.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分