中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)考点冲刺过关03函数及其图像(6大考点模拟41题3年中考真题12题)特训(原卷版+解析)

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考点1：平面直角坐标系与函数（10年2考，4~5分）
考点2：一次函数及其应用（10年10考，4~17分）
考点3：反比例函数及其应用（10年10考，4~12分）
考点4：二次函数的图象与性质（10年10考，4~18分）
考点5：二次函数性质的综合应用（10年5考，12分）
考点6：二次函数的实际应用（10年6考，5~14分）
【安徽最新模拟练】
一、单选题
1．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（﹣2，﹣2），“马”位于点（1，﹣2），则“兵”位于点（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣4，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，﹣2）
2．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）如图，已知点A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B，若的面积为1，则k的值为（ ）
A．1B．C．2D．
3．（2023·安徽合肥·统考二模）某种水果的购买金额（元）与购买量（千克）之间的函数图象如图所示，当购买该种水果9千克时，需要付款（ ）
A．120元B．140元C．170元D．180元
4．（2023·安徽滁州·统考一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·安徽·校联考一模）已知一次函数，y随x的增大而增大，则a的值可以是（ ）
A．B．C．0D．
6．（2023·安徽安庆·统考一模）一次函数的与的部分对应值如下表所示：
根据表中数据分析，下列结论正确的是（ ）．
A．该函数的图象与轴的交点坐标是(，)
B．该函数的图象经过第一、二、四象限
C．若点(，)、(，)均在该函数图象上，则
D．将该函数的图象向上平移个单位长度得的图象
7．（2023·安徽滁州·统考一模）、两个蔬菜加工团队同时加工蔬菜，所加工的蔬菜量（单位：吨）与加工时间（单位：天）之间的函数关系如图，下列结论正确的是（ ）
A．第6天时，团队比团队多加工200吨
B．开工第3天时，、团队加工的蔬菜量相同
C．、团队都加工600吨蔬菜时，加工时间相差1天
D．开工第2或天时，、团队所加工的蔬菜量之差为100吨
8．（2023·安徽蚌埠·统考一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，二次函数的图象经过点A，B，C．现有四个推断：
①抛物线开口向下；
②当时，y取最大值；
③当时．关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；
④直线经过点A，C，当时，x的取值范围是；
其中推断正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
10．（2023·安徽合肥·统考一模）已知二次函数的图象与轴有两个交点，分别是，，二次函数的图象与轴的一个交点是，则的值是（ ）
A．7B．C．7或1D．或
11．（2023·安徽蚌埠·统考二模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线顶点一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
13．（2023·安徽合肥·统考二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，其中甲先出发，如图是甲、乙行驶路程（km），（km）与时间x（h）变化的图像，下列说法不正确的是（ ）
A．乙车开始行驶时，甲车在乙车前处B．乙车的平均速度是
C．在距离A城处，乙车追上甲车D．乙车比甲车早到B城
14．（2023·安徽蚌埠·校考二模）在平面直角坐标系中，已知为常数，且，，则关于x的一次函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023·安徽滁州·统考一模）已知点在直线上，且，则下列关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
17．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）已知：抛物线．
（1）此抛物线的对称轴为直线____；
（2）当时，y的最小值为−4，则______．
18．（2023·安徽·模拟预测）如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：
①y随x的增大而减小；
②；
③关于x的方程的解为；
④当时，．其中不正确的是___________．（请你将不正确序号填在横线上）
19．（2023·安徽蚌埠·校考二模）已知关于的二次函数（，为常数，且，）的图象与轴交于，两点．请完成下列问题：
（1）线段的长为___________．
（2）若该二次函数的图象的顶点为，且与轴的正半轴交于点．当时，的值为___________．
20．（2023·安徽六安·统考模拟预测）已知直线经过抛物线的顶点，且当时，．则：
（1）直线与抛物线都经过同一个定点，这个定点的坐标是______．
（2）当时，的取值范围是______．
21．（2023·安徽合肥·统考一模）已知抛物线．
（1）若，抛物线的顶点坐标为____；
（2）直线与直线交于点P，与抛物线交于点Q．若当时，的长度随m的增大而减小，则a的取值范围是____．
三、解答题
22．（2023·安徽滁州·校考一模）在中，，，现有动点从点出发，沿线段向点方向运动：动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求：
(1)当时，、两点之间的距离是多少？
(2)若的面积为，求关于的函数关系式．
(3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？
23．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点与点关于轴对称，求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
24．（2023·安徽安庆·统考一模）某公司生产的一种季节性产品，其单件成本与售价随季节的变化而变化.据调查：
①该种产品一月份的单件成本为6.6元/件，且单件成本每月递增0.2元/件；
②该种产品一月份的单件售价为5元/件，六月份的单件售价最高可达到10元/件，单件售价y（元/件）与时间x（月）的二次函数图象如图所示.
(1)求该产品在六月份的单件生产成本；
(2)该公司在哪个月生产并销售该产品获得的单件收益w最大？
(3)结合图象，求在全年生产与销售中一共有几个月产品的单件收益不亏损？（注：单件收益=单件售价-单件成本）
25．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知反比例函数及一次函数的图象相交于点，
(1)求这两个函数的解析式；
(2)一次函数的图象不经过第______象限，随的增大而______；
(3)反比例函数的图象的两个分支分别在第______象限内，如果、两点在该双曲线的同一支上，且，那么______．
26．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点D，与y轴交于点C．
(1)求m，n的值；
(2)观察函数图象，直接写出不等式的解集： ．
27．（2023·安徽宿州·宿州市第十一中学校考模拟预测）如图，直线和直线分别与轴交于点，点，顶点为的抛物线与轴的右交点为点．
(1)若，求的值和抛物线的对称轴；
(2)当点在下方时，求顶点与距离的最大值；
(3)在和所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出时“整点”的个数．
28．（2023·安徽六安·统考模拟预测）如图，直线与抛物线相交于，两点，与抛物线对称轴交于点，且点，分别在轴，轴上，抛物线的顶点为．
(1)求抛物线的解析式和点的坐标；
(2)点是线段上的动点，交，两点之间的抛物线于点，点的坐标为，．
①求（用含的代数式表示）；
②求与之间的函数关系式，并求出的最小值．
29．（2023·安徽安庆·统考一模）怀宁县为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为，种草所需费用（元）与的函数解析式为；栽花所需费用（元）与的函数关系式为．
(1)设这块空地的绿化总费用为（元），请利用与的函数关系式，帮社区求出的最大值；
(2)若种草部分的面积不少于，栽花部分的面积不少于，请求出的最小值．
30．（2023·安徽·统考一模）某班级一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平面上）．同学受游戏启发，将弹珠抽象为一个点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为，已知，，．
(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标；
(2)该同学抛出的弹珠能否投入箱子？请通过计算说明；
31．（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离为d m．当m，m，m时，解答下列问题：
(1)①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求出点B的坐标；
(2)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
32．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，的顶点坐标分别为，，．将绕原点O逆时针旋转90°的图形得到．
(1)画出的图形，并写出的坐标．
(2)若点在边上，直接写出点P旋转后对应点的坐标．
33．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为，最大宽度为，现计划将此余料进行切割．
(1)如图，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式．
(2)如图，若切割成矩形，求此矩形的最大周长．
(3)若切割成宽为的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长．（结果保留根号）
34．（2023·安徽合肥·校考一模）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？
(3)求该班每年购买纯净水费用的最大值，并指出当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水更合算．
35．（2023·安徽·模拟预测）如图，直线分别交轴、轴于、两点，绕点按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过、、三点．
(1)填空：， 、 ， 、 ， ；
(2)求抛物线的函数关系式；
(3)为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
36．（2023·安徽芜湖·统考二模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，直线经过点、．
(1)抛物线解析式为______，直线解析式为______；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点与点，不重合，过点作轴于点，交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式及自变量的取值范围，并求出的最大值；
(3)已知点为抛物线对称轴上的一个动点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
37．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m．
①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值；
②若，求m的值．
38．（2023·安徽黄山·统考一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成.矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为.
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点.
①求的最大值.②某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围.
39．（2023·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考二模）某公园要在小广场上建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
40．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点A．
(1)分别求出点A、、的坐标；
(2)若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式；
(3)在的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标．
41．（2023·安徽·模拟预测）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．
【安徽实战真题练】
一、单选题
1．（2021·安徽·统考中考真题）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ）
A．23cmB．24cmC．25cmD．26cm
2．（2022·安徽·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·安徽·统考中考真题）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·安徽·统考中考真题）如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·安徽·统考中考真题）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算．走得最快的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、填空题
6．（2020·安徽·统考中考真题）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点与反比例函数上的图象在第一象限内交于点轴，轴，垂足分别为点，当矩形与的面积相等时，的值为__________．
7．（2021·安徽·统考中考真题）设抛物线，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点，则______；
（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．
8．（2022·安徽·统考中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．
三、解答题
9．（2020·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
判断点是否在直线上．并说明理由；
求的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
10．（2021·安徽·统考中考真题）已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
11．（2021·安徽·统考中考真题）已知抛物线的对称轴为直线．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
12．（2022·安徽·统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
x
…
1
3
…
y
…
7
4
2
…
售价x（元/件）
销售量（件）
100
考点冲刺过关03函数及其图像（6大考点模拟41题3年中考真题12题）
【安徽十年真题考点及分值细目表】
考点1：平面直角坐标系与函数（10年2考，4~5分）
考点2：一次函数及其应用（10年10考，4~17分）
考点3：反比例函数及其应用（10年10考，4~12分）
考点4：二次函数的图象与性质（10年10考，4~18分）
考点5：二次函数性质的综合应用（10年5考，12分）
考点6：二次函数的实际应用（10年6考，5~14分）
【安徽最新模拟练】
一、单选题
1．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（﹣2，﹣2），“马”位于点（1，﹣2），则“兵”位于点（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣4，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，﹣2）
【答案】B
【分析】根据“帅”位于点（-2，-2），“马”位于点（1，-2），可知原点位置，然后可得“兵”的坐标.
【详解】解：如图
∵“帅”位于点（﹣2，﹣2），“马”位于点（1，﹣2），
∴原点在这两个棋子的上方两个单位长度的直线上且在马的左边，距离马的距离为1个单位的直线上，两者的交点就是原点O，
∴“兵”位于点（﹣4，1）．
故选B．
【点睛】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．
2．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）如图，已知点A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B，若的面积为1，则k的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，然后去绝对值即可得．
【详解】解：由反比例函数的图象可知，，
的面积为1，点为反比例函数的图象上一点，且轴，
，
解得或（舍去），
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，熟记反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键．
3．（2023·安徽合肥·统考二模）某种水果的购买金额（元）与购买量（千克）之间的函数图象如图所示，当购买该种水果9千克时，需要付款（ ）
A．120元B．140元C．170元D．180元
【答案】B
【分析】利用待定系数法设，根据图象代入求出解析式，再求当对应的函数值即可．
【详解】解，由题意得：设
当时，函数图象经过，
∴代入得：
解得：
∴
当时，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据图象信息求出函数解析式是解决本题的关键．
4．（2023·安徽滁州·统考一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数和二次函数的性质用排除法得到答案．
【详解】解：∵一次函数解析式为，
∴图像呈上升趋势，
∴排除A、D，
∵二次函数解析式为，
当时，，
∴二次函数与y轴正半轴有交点，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
5．（2023·安徽·校联考一模）已知一次函数，y随x的增大而增大，则a的值可以是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而增大，得出，进而即可求解．
【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而增大，
∴，
∵，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
6．（2023·安徽安庆·统考一模）一次函数的与的部分对应值如下表所示：
根据表中数据分析，下列结论正确的是（ ）．
A．该函数的图象与轴的交点坐标是(，)
B．该函数的图象经过第一、二、四象限
C．若点(，)、(，)均在该函数图象上，则
D．将该函数的图象向上平移个单位长度得的图象
【答案】B
【分析】先由表格数据，利用待定系数法可求得一次函数的解析式，再根据一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象的平移即可求解．
【详解】解：根据表格数据，将点(，)，(，)带入一次函数解析式中，可得：
，解得，即此一次函数解析式为，
A、直线，令，解得，因此一次函数图象与x轴的交点应为(，)，故选项错误，不符合题意；
B、由解析式可知函数经过一、二、四象限，故选项正确，符合题意；
C、若点(，)、(，)均在该函数图象上，由函数增减性可知，，故选项错误，不符合题意；
D、函数图象向上平移5个单位长度得到的应该是的图像，故选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象的平移，正确求出一次函数的解析式是解决这道题的关键，同时，要熟练掌握一次函数图象与坐标轴的交点坐标，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象的平移等知识点．
7．（2023·安徽滁州·统考一模）、两个蔬菜加工团队同时加工蔬菜，所加工的蔬菜量（单位：吨）与加工时间（单位：天）之间的函数关系如图，下列结论正确的是（ ）
A．第6天时，团队比团队多加工200吨
B．开工第3天时，、团队加工的蔬菜量相同
C．、团队都加工600吨蔬菜时，加工时间相差1天
D．开工第2或天时，、团队所加工的蔬菜量之差为100吨
【答案】D
【分析】求出两个团队的函数解析式，计算时的函数值判断选项A；由函数值相等求出t值判断B；求出的t值判断C；令函数值相减等于100求出t值判断D．
【详解】由函数图象易求得：A团队在的时段内，与之间的函数关系式是；B团队在的时段内，与之间的函数关系式是，
当时，，，A团队比B团队少加工200吨，故选项A错误；
当，解得，即开工天后，A，B团队加工的蔬菜量相同，选项B错误；
当时，，得；，得，
∴，即A，B团队都加工600吨蔬菜时，加工时间相差天，选项C错误；
当A团队比B团队多加工100吨时，则，得；
当A团队比B团队少加工100吨时，，解得，即第2或天时，A、B团队所加工的蔬菜量之差为100吨，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，求得函数解析式，结合函数图象分析是解题的关键．
8．（2023·安徽蚌埠·统考一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断，，的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
直线经过第一，二，四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，
∴A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
9．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，二次函数的图象经过点A，B，C．现有四个推断：
①抛物线开口向下；
②当时，y取最大值；
③当时．关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；
④直线经过点A，C，当时，x的取值范围是；
其中推断正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
【答案】B
【分析】用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：由图象可知点，代入得到，，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴抛物线开口向下，故①正确；
∵，
∴当时，y取最大值，故②错误；
∵的顶点坐标是，
当时，直线与抛物线有两个交点，
∴关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；故③正确；
∵直线经过点A，C，
∴当时，x的取值范围是,故④错误，
综上可知，正确是①③，
故选：B
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，利用图象法判断方程的根和求不等式的解集等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．（2023·安徽合肥·统考一模）已知二次函数的图象与轴有两个交点，分别是，，二次函数的图象与轴的一个交点是，则的值是（ ）
A．7B．C．7或1D．或
【答案】D
【分析】根据题意易知二次函数的对称轴为直线，即，然后根据二次函数图象的平移可进行求解．
【详解】解：由二次函数的图象与轴有两个交点，分别是，可知：二次函数的对称轴为直线，即，
∴二次函数的对称轴为，
∴当点平移后得到，则，
当点平移后得到，则，
即的值为或；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的对称性及平移，熟练掌握二次函数的对称性及平移是解题的关键．
11．（2023·安徽蚌埠·统考二模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】二次函数的部分图像过点，由此可知，对称轴为直线，根据顶点坐标公式则有，即，由此即可用含有的式子表示，，因为图像开口下，所以，由此即可求解．
【详解】解：∵二次函数的部分图像过点，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∴，
∴，故结论①正确；
结论②，由对称性可知，当和时函数值相同，即
∴当时，，
即
故结论②正确；
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴
故结论③错误；
∵由对称可得对称点为，
根据在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴
∴结论④错误．
综上所述，正确的有①②．
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的对称性，根据题意用二次项系数表示一次项系数和常数项是解题的关键．
12．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线顶点一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
【详解】解：∵，
∴该抛物线顶点坐标是，
将其向下平移2个单位，得到的抛物线的顶点坐标是，
∵，
∴，
则，
，
∴平移后抛物线的顶点坐标是一定在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
13．（2023·安徽合肥·统考二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，其中甲先出发，如图是甲、乙行驶路程（km），（km）与时间x（h）变化的图像，下列说法不正确的是（ ）
A．乙车开始行驶时，甲车在乙车前处B．乙车的平均速度是
C．在距离A城处，乙车追上甲车D．乙车比甲车早到B城
【答案】D
【分析】先分别确定函数解析式，利用解析式，结合函数图像判断即可．
【详解】设甲的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故甲的解析式为，
∴甲车的速度为，
∵甲先出发，
∴乙车开始行驶时，甲车在乙车前处，
故A正确，不符合题意；
当时，，
故乙车的速度为，
故B正确，不符合题意；
根据图像，得到乙车出发3小时追上甲车，
故在距离A城处，乙车追上甲车正确，
故C正确，不符合题意；
根据图像，乙车到达目的地，
故乙车比甲车早到B城
故D错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了函数图像，一次函数解析式，正确确定解析式，获取函数图像信息是解题的关键．
14．（2023·安徽蚌埠·校考二模）在平面直角坐标系中，已知为常数，且，，则关于x的一次函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】观察一次函数解析式，结合选项中的图象，即可求解．
【详解】解：∵与中，互换，
A，B选项中，两个一次函数图象与轴交于负半轴，则与同号，而图象中直线的符号异号，不合题意，
联立
解得：，
∴交点的横坐标为1，C选项中，两直线的交点的横坐标为负，不合题意，
故选：D
【点睛】本题考查了一次函数的性质，两直线交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
15．（2023·安徽滁州·统考一模）已知点在直线上，且，则下列关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及，可得出，在不等式的两边同时除以b可得出，化简后即可得出．
【详解】解：∵点在直线上，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在不等式的两边同时除以b得，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以，以及不等式的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及求出b为正值是解题的关键．
16．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果．
【详解】解：如图，
作射线，作于E，作于F，交y轴于，
抛物线的对称轴为直线，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，当点P在时，最小，最大值等于，
在中，，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造．
二、填空题
17．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）已知：抛物线．
（1）此抛物线的对称轴为直线____；
（2）当时，y的最小值为−4，则______．
【答案】 1 4或
【分析】（1）根据抛物线的解析式可得，再代入对称轴进行计算即可；
（2）根据二次函数的图象与性质可知当 当时，在，函数有最小值，当时，在中，当时，函数有最小值，再根据y的最小值为−4代入进行计算即可．
【详解】解：（1）由抛物线可知，，
对称轴，
故答案为：1；
（2）当时，在，函数有最小值，
∵y的最小值为，
，
；
当时，在中，当时，函数有最小值，
，解得；
综上所述：a的值为4或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值及对称轴，熟练掌握二次函数的性质和对称轴公式是解决问题的关键．
18．（2023·安徽·模拟预测）如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：
①y随x的增大而减小；
②；
③关于x的方程的解为；
④当时，．其中不正确的是___________．（请你将不正确序号填在横线上）
【答案】①④/④①
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对个小题分析判断即可得解．
【详解】解：由图可知：
①y随x的增大而增大，故错误；
②，故正确；
③关于x的方程的解为，故正确；
④当时，，故错误；
故答案为：①④；
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．
19．（2023·安徽蚌埠·校考二模）已知关于的二次函数（，为常数，且，）的图象与轴交于，两点．请完成下列问题：
（1）线段的长为___________．
（2）若该二次函数的图象的顶点为，且与轴的正半轴交于点．当时，的值为___________．
【答案】
【分析】（1）令，解方程即可求解；
（2）依题意得出，进而求得点的坐标，解方程即可求解．
【详解】解：（1）∵二次函数图象与轴交于，两点，
当时，，
解得：或，
∴的长度为，
故答案为：；
（2）∵对称轴为，
∵，
∴，
当时，，
∵该二次函数的图象的顶点为，
∴，
∵该二次函数的图象与轴的正半轴交于点．
当时，，
∴①或②，
①无解，
由②得：，
解得：或（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
20．（2023·安徽六安·统考模拟预测）已知直线经过抛物线的顶点，且当时，．则：
（1）直线与抛物线都经过同一个定点，这个定点的坐标是______．
（2）当时，的取值范围是______．
【答案】
【分析】（1）先把两抛物线变形可得与都经过同一个点，即可求解；
（2）根据题意可得直线与抛物线的交点为，，再结合当时，，画出大致图象，即可．
【详解】解：（1）∵，
∴直线经过点，
∵，
∴抛物线经过点，
即与都经过同一个点；
故答案为：
（2）∵，
∴抛物线的顶点为，
∵直线经过抛物线的顶点，
∴直线与抛物线的交点为，，
∵当时，，
∴，．
画出大致图象如下：
∴当时．的取值范围是．
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，画出函数大致图象是本题解题的关键．
21．（2023·安徽合肥·统考一模）已知抛物线．
（1）若，抛物线的顶点坐标为____；
（2）直线与直线交于点P，与抛物线交于点Q．若当时，的长度随m的增大而减小，则a的取值范围是____．
【答案】
【分析】（1）将解析式转化成顶点式即可求解；
（2）将代入解析式，求得点，点的坐标，求得，可知点恒在点上方，可得，由当时，的长度随m的增大而减小，可知，即可求得a的取值范围．
【详解】解：（1），
当时，，
∴顶点坐标为：；
（2）当时，，则点的坐标为，
，则点的坐标为，
∴，
∴点恒在点上方，
∴
可得：当时，长度的随着增大而减小，
∵当时，的长度随m的增大而减小，
∴，
解得：；
故答案为：；．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求出点，点的坐标，表示出长度将其转化为顶点式是解决问题的关键．
三、解答题
22．（2023·安徽滁州·校考一模）在中，，，现有动点从点出发，沿线段向点方向运动：动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求：
(1)当时，、两点之间的距离是多少？
(2)若的面积为，求关于的函数关系式．
(3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出；
（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知的长，可将用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解；
（3）应分两种情况：当时，根据，可将时间t求出；当时，根据，可求出时间t．
【详解】（1）由题意得则
（1）当秒时，，，
由勾股定理得；
故、两点之间的距离是
（2）由题意得则
∴
由题意可知
∴关于的函数关系式为
（3）当时
即
解得
当时
即
解得
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．
23．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点与点关于轴对称，求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)3
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可；
（2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可；
（3）根据图象求解即可．
【详解】（1）反比例函敕的图象经过点，
，
点在上，
，
．
把，坐标代入，则，
解得，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）由（1）知直线，
直线交轴于，
，
，关于轴对称，
，
，
轴，．
点到的距离为．
．
（3）根据图象得：不等式的解集为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键．
24．（2023·安徽安庆·统考一模）某公司生产的一种季节性产品，其单件成本与售价随季节的变化而变化.据调查：
①该种产品一月份的单件成本为6.6元/件，且单件成本每月递增0.2元/件；
②该种产品一月份的单件售价为5元/件，六月份的单件售价最高可达到10元/件，单件售价y（元/件）与时间x（月）的二次函数图象如图所示.
(1)求该产品在六月份的单件生产成本；
(2)该公司在哪个月生产并销售该产品获得的单件收益w最大？
(3)结合图象，求在全年生产与销售中一共有几个月产品的单件收益不亏损？（注：单件收益=单件售价-单件成本）
【答案】(1)7.6元
(2)5月份或6月份
(3)全年一共有8个月单件收益不亏损
【分析】（1）先求出一月成本，再根据增长关系求出六月份成本；
（2）求出单价的二次方程，再乘以销量得到利润，找该二次函数最大值即可；
（3）列出不等式，求出所有符合条件的整数解即可
【详解】（1）由题意知：该种产品的单件成本n与月份x之间的关系满足：，当时，，可得.
∴六月份的单件生产成本为：（元）
（2）设单件售价y与月份x之间的函数关系式为：，
∵时，
∴，解得：.
所以单件收益，
配方得：，
当x=5或6时，，
所以该企业在5月份或6月份生产并销售该产品获得的单件收益最大
（3）单件收益不亏损需满足：，
由，得，即或，
结合图象可知：当时，，
即全年一共有8个月单件收益不亏损.
【点睛】本题考查二次函数在销售问题中的应用，求出二次函数，并掌握求最值的方法是本题关键．
25．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知反比例函数及一次函数的图象相交于点，
(1)求这两个函数的解析式；
(2)一次函数的图象不经过第______象限，随的增大而______；
(3)反比例函数的图象的两个分支分别在第______象限内，如果、两点在该双曲线的同一支上，且，那么______．
【答案】(1)；
(2)二；增大
(3)二、四；
【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数求得反比例函数的解析式后进一步求得一次函数的解析式即可；
（2）根据一次函数解析式判断一次函数的增减性以及经过的的象限，即可求解；
（3）根据反比例函数的的符合确定其所在象限和增减性．
【详解】（1）解：将点，代入，
得①
∴反比例函数的解析式为，
将点代入，
得②
联立①②得
解得：
∴一次函数的解析式为；
（2）∵一次函数中，，，
一次函数的图象不经过第二象限，随的增大而增大；
故答案为：二；增大．
（3）∵反比例函数中的，
反比例函数的图象的两个分支分别在第二、四象限内，
如果、两点在该双曲线的同一支上，且，那么
故答案为：二、四；．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
26．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点D，与y轴交于点C．
(1)求m，n的值；
(2)观察函数图象，直接写出不等式的解集： ．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）把A，B坐标分别代入反比例函数解析式，即可求出m，n的值；
（2）观察函数图象，可得不等式的解集．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴，
∴，
把代入得：，
解得，
∴，；
（2）解：观察函数图象可得，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，或，
∴不等式的解集为或．
故答案为：或．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点，考查了待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，能求出函数图象的交点坐标及数形结合思想的应用是解题的关键．
27．（2023·安徽宿州·宿州市第十一中学校考模拟预测）如图，直线和直线分别与轴交于点，点，顶点为的抛物线与轴的右交点为点．
(1)若，求的值和抛物线的对称轴；
(2)当点在下方时，求顶点与距离的最大值；
(3)在和所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出时“整点”的个数．
【答案】(1)，对称轴
(2)1
(3)4048个
【分析】（1）先求得，根据即可得出，然后确定抛物线的对称轴即可；
（2）设点与的距离为，求出与的函数关系式，即可确定顶点与距离的最大值；
（3）求出抛物线与直线的交点，在其范围内，根据抛物线解析式和直线解析式的特点确定“整点”的个数．
【详解】（1）解：当时，可有，
∴，
∵，，
∴，解得，
∴，
∴抛物线的对称轴为；
（2）设点与的距离为，
∵抛物线，
∴的顶点，
∵点在下方，
∴与的距离为，
∴当时，点与距离的最大值为1；
（3）当时，抛物线解析式，
直线解析式，
联立上述两个解析式，得，，
∴抛物线与直线的交点为和，
∴每一个整数的值都对应一个整数值，且和2023之间（包括和2023）共有2025个整数，
∵所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2025个整数点，
∴总计4050个点，
∵这两段图像交点有2个点重复，
∴ “整点”的个数：个．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了新定义“整点”、 坐标与图形、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
28．（2023·安徽六安·统考模拟预测）如图，直线与抛物线相交于，两点，与抛物线对称轴交于点，且点，分别在轴，轴上，抛物线的顶点为．
(1)求抛物线的解析式和点的坐标；
(2)点是线段上的动点，交，两点之间的抛物线于点，点的坐标为，．
①求（用含的代数式表示）；
②求与之间的函数关系式，并求出的最小值．
【答案】(1)，
(2)①；②，
【分析】（1）先求出，，再代入，即可求解；
（2）①先把抛物线解析式化为顶点式，再将代入得，，即可；②先求出点C的坐标可得，再根据勾股定理求出，结合二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当时，由得：．
当时，，
∴，，
将，代入得：
，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴点的坐标为；
（2）解：①∵，
∴将代入得，，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
整理得，
配方得．
∵，
∴当时，有最小值，的最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
29．（2023·安徽安庆·统考一模）怀宁县为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为，种草所需费用（元）与的函数解析式为；栽花所需费用（元）与的函数关系式为．
(1)设这块空地的绿化总费用为（元），请利用与的函数关系式，帮社区求出的最大值；
(2)若种草部分的面积不少于，栽花部分的面积不少于，请求出的最小值．
【答案】(1)35000元
(2)当时，取得最小值，最小值为30200元
【分析】（1）分和两种情况，根据“绿化总费用种草所需总费用种花所需总费用”，结合二次函数的性质可得答案；
（2）根据种草部分的面积不少于，栽花部分的面积不少于求得的范围，依据二次函数的性质可得．
【详解】（1）解：①当时，
，
，
当时，取得最大值，最大值为35000元.
②当时，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为33000元，
，
的最大值为35000元．
（2）解：由题意，得，
解得，
又，
，
当时，随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为30200元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，利用二次函数的增减性求最值，利用配方法求二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及其性质是解题的关键．
30．（2023·安徽·统考一模）某班级一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平面上）．同学受游戏启发，将弹珠抽象为一个点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为，已知，，．
(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标；
(2)该同学抛出的弹珠能否投入箱子？请通过计算说明；
【答案】(1)；
(2)能投入箱子，理由见解析
【分析】（1）把点，代入，再把抛物线解析式化为顶点式，可得点点坐标，即可求解；
（2）根据题意求出点，，再由当时， 可得，即可判断球的落点．
【详解】（1）解：由抛物线可知，当时，，
又当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为，由图可知另一点坐标为，
把点，代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即点，
∵，，
∴，
∴点，，
当时， ，
解得：，
∵，
∴该同学抛出的弹珠能投入箱子；
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
31．（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离为d m．当m，m，m时，解答下列问题：
(1)①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求出点B的坐标；
(2)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
【答案】(1)①；6m；②
(2)
【分析】（1）①设函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，令，求出抛物线与轴的交点坐标，即可得出结论；②利用对称轴得到点的对称点为，得到下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的，即可得到点的坐标；
（2）根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：①由题意，得是上边缘抛物线的顶点，设．
∵上边缘抛物线过点，
∴，解得，
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，解得，（舍去），
∴点C的坐标为，
∴喷出水的最大射程OC为6 m；
②由①知，上边缘抛物线的对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的．
又∵点C的坐标为，
∴点B的坐标为；
（2）∵，
∴点F的纵坐标为，
∴，
解得．
∵，
∴．
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，则．
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为．
由下边缘抛物线可知，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴d的最小值为2．
综上所述，d的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键．
32．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，的顶点坐标分别为，，．将绕原点O逆时针旋转90°的图形得到．
(1)画出的图形，并写出的坐标．
(2)若点在边上，直接写出点P旋转后对应点的坐标．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）分别作出点，绕原点逆时针旋转的对应点，，顺次连接、、即可，根据图可直接得出的坐标；
（2）按照（1）中点的旋转规律，即可写出点旋转后对应点的坐标为．然后设解析式为，把代入求得，则，把代入，得，即，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，△即为所求；
的坐标为；
（2）解：由（1）可得点绕原点逆时针旋转得到点，
绕原点逆时针旋转得到点，
将点绕原点逆时针旋转后对应点的坐标为．
设解析式为，把代入求得，
∴
把代入，得，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了旋转作图和坐标系中绕原点旋转的坐标规律，待定系数法求一次函数解析式，根据题意准确作图和求出m值是解题的关键．
33．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为，最大宽度为，现计划将此余料进行切割．
(1)如图，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式．
(2)如图，若切割成矩形，求此矩形的最大周长．
(3)若切割成宽为的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
(3)见解析，
【分析】（1）根据已知可得抛物线顶点坐标为，，，再设抛物线对应的函数表达式为，把代入，可求出，即可得出抛物线的函数表达式；
（2）在矩形中，设，由抛物线的对称性可知，所以矩形的周长为，由于，且，当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
（3）如图是画出的切割方案，分别令，，，，即可求出，，，再加起来即为拼接后的矩形的长边长．
【详解】（1）解：根据已知可得，抛物线顶点坐标为，，，
设抛物线对应的函数表达式为，
把代入，得，解得，
∴木板边缘所对应的抛物线的函数表达式为．
（2）解：在矩形中，设，
由抛物线的对称性可知，
∴矩形的周长为．
∵，且，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为，
即矩形的最大周长为．
（3）解：如图是画出的切割方案：
∵在中，令，解得，
∴；
∵在中，令，解得，
∴；
∵在中，令，解得，
∴；
∵在中，令，解得，
∴，
∴拼接后的矩形的长边长为．
【点睛】本题考查了求二次函数的表达式和二次函数的图象和性质，熟练应用二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
34．（2023·安徽合肥·校考一模）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？
(3)求该班每年购买纯净水费用的最大值，并指出当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水更合算．
【答案】(1)
(2)饮用桶装纯净水花钱少
(3)该班每年购买纯净水费用的最大值为1620元；当a至少为48时，该班学生集体改饮桶装纯净水更合算．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为，根据题意得出k，b的值即可求出y与x的函数关系式．
（2）分别计算出买饮料每年总费用以及饮用桶装纯净水的总费用比较可得；
（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，解出二次函数求出W的最大值可求解．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，
根据题意得：当时，；当时，．
∴，
解之，得，
∴y与x的函数关系式为；
（2）解：该班学生买饮料每年总费用为（元），
当时，，
解得．
该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为（元）．
显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．
（3）解：设该班每年购买纯净水费用为W元，根据题意得：
，
∴当时，W的值最大，最大值为1620，
即该班每年购买纯净水费用的最大值为1620元，
∵该班学生集体改饮桶装纯净水更合算，
∴，
即，
解得：，
所以当a至少为48时，该班学生集体改饮桶装纯净水更合算．
【点睛】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式以及运用二次函数解决实际问题的能力．
35．（2023·安徽·模拟预测）如图，直线分别交轴、轴于、两点，绕点按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过、、三点．
(1)填空：， 、 ， 、 ， ；
(2)求抛物线的函数关系式；
(3)为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，此时点的坐标为，
【分析】（1）直线中，，则；，则，解得A|、B坐标，根据旋转的性质知：，即；
（2）把，，两点坐标代入抛物线即可解得；
（3）过点作轴垂足为点，求出，分情况讨论，①当时，，过点作轴，垂足为点，根据勾股定理求出，②当时，，则，求出点坐标．
【详解】（1）直线中，
，则；，则；
，；
根据旋转的性质知：，即；
，，；
（2）抛物线经过点，
；
又抛物线经过，两点，
，解得；
；
（3）过点作轴垂足为点；
由（2）得
，
，；
，
；
，
；
①当时，，
则，
过点作轴，垂足为点；
，
设，则
在中，．
，
，（不合题意，舍去）
又，
；
②当时，，则，
；
，
（不合题意，舍去）
综上所述，存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，此时点的坐标为，．
【点睛】此题考查了一次函数与坐标轴交点，求抛物线解析式，三角形相似， 解决本题的关键时熟练掌握二次函数得图像和性质，一元二次方程的知识．
36．（2023·安徽芜湖·统考二模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，直线经过点、．
(1)抛物线解析式为______，直线解析式为______；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点与点，不重合，过点作轴于点，交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式及自变量的取值范围，并求出的最大值；
(3)已知点为抛物线对称轴上的一个动点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)，的最大值为
(3)点的坐标为：或
【分析】（1）抛物线解析式为，即可求解；
（2）设，，则，求出，由二次函数的性质即可求解；
（3）分是斜边、是斜边两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：直线经过点，
时，，
，
设抛物线解析式为，
抛物线与轴交于，
，
解得：，
抛物线解析式为；
设直线的函数解析式为，
直线过点，，
，解得，
；
故答案为：，；
（2）解：设，，
，


，
，
当时，有最大值，最大值；
即关于的函数解析式为，的最大值为；
（3）解：设点，
则，，，
当是斜边时，
则，
解得：；
当是斜边时，
同理可得：，
故点的坐标为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法，一次函数的性质，直角三角形的性质，面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
37．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m．
①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值；
②若，求m的值．
【答案】(1)
(2)①当时，的最大值；②
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）①先求出直线解析式，根据题意可得再由轴，轴，可得，，从而得到，再由二次函数的性质，即可求解；②作点B关于y轴的对称点，连接，过点作交于D，过点D作轴于E，根据，可得，从而得到，即，再证得，再由锐角三家函数可得，从而得到，再求出直线解析式，然后联立，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①如图，
在中，令，得，
∴，
设直线解析式为，
∵，
∴，解得：，
∴直线解析式，
∵，
∴，
∴，
∵点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为；
②作点B关于y轴的对称点，连接，过点作交于D，过点D作轴于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线CD解析式为，
联立方程组：，
解得：（舍去），，
∴．
【点睛】本题是一道二次函数的综合运用的试题，考查了运用待定系数法求函数的解析式．直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，函数的最值，二次函数顶点式的运用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
38．（2023·安徽黄山·统考一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成.矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为.
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点.
①求的最大值.②某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围.
【答案】(1)；
(2)①当时，有最大值；②
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数表达式；
（2）①先求出点坐标为，再求出，进而求出，根据二次函数性质即可求出当时，有最大值；
②根据师傅能刷到的最大垂直高度是米，得到当时，他就不能刷到大门顶部，令，得到解得，结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点的坐标为，
设抛物线的表达式为，
将点 代入抛物线解析式得，
解得 ，
∴抛物线对应的函数的表达式为；
（2）解：①将代入中，得，
∴点，
设直线的解析式为，
将点代入得，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，为；
②师傅能刷到的最大垂直高度是米，
∴当时，他就不能刷到大门顶部，
令，即
解得，
又是关于的二次函数，且图象开口向下，
∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是．
【点睛】本题考查为二次函数的实际应用，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识，熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键．
39．（2023·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考二模）某公园要在小广场上建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【答案】(1)
(2)
(3)米
【分析】（1）由题意得，在第一象限内的抛物线顶点的坐标，故设抛物线解析式为，将代入得，求值，进而可得在第一象限内的抛物线解析式；
（2）当时，，解得：，，由二次函数的图象与性质确定的取值范围即可；
（3）由题意知，，，设平行于直线且与抛物线只有一个交点的直线的解析式为，则联立方程，整理得，，令，解得，即直线的解析式为，如图，记直线与轴的交点为，则，则，根据光线与抛物线水流之间的最小垂直距离是直线到直线的距离，即为，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，在第一象限内的抛物线顶点的坐标，故设抛物线解析式为，
将代入得，
解得，，
在第一象限内的抛物线解析式为；
（2）解：当时，，
解得：，，
的取值范围是；
（3）解：由题意知，，，
设平行于直线且与抛物线只有一个交点的直线的解析式为，
则联立方程，即，整理得，，
令，
解得，
∴直线的解析式为，
如图，记直线与轴的交点为，则，
∴，
∵，
∴直线到直线的距离为，
∵光线与抛物线水流之间的最小垂直距离是直线到直线的距离，
∴光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数综合，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
40．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点A．
(1)分别求出点A、、的坐标；
(2)若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式；
(3)在的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标．
【答案】(1)；；
(2)
(3)存在满足条件的点的，其坐标为或或
【分析】（1）联立两直线解析式求出A的坐标，分别把，代入可求出，的坐标；
（2）根据在直线上，设出坐标，表示出三角形面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可；
（3）在的条件下，根据是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况讨论：当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；当四边形为菱形时；当四边形为菱形时；分别求出坐标，即可求出点坐标．
【详解】（1）解：解方程组，
得：，
；
把代入，得，
解得：，
∴，
把代入，得，
；
（2）解：设，
的面积为，
∴，
解得：，
，
设直线的函数表达式是，
把，代入得：，
解得：，
直线解析式为；
（3）解：存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，
如图所示，分三种情况考虑：
当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形，此时，即，
此时；
当四边形为菱形时，点与关于对称，即可关于y轴对称，
∵点坐标为，
∴点纵坐标为，
把代入直线解析式中，得，
解得：，
∴，
此时；
当四边形为菱形时，则有，
设，
∴，
解得或（舍去），
∴；
此时．
综上可知存在满足条件的点的的坐标为：或或 ．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点、一次函数图象与性质、菱形的性质及分类讨论思想等．在中求得点坐标是解题的关键，在中确定出点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
41．（2023·安徽·模拟预测）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．
【答案】(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元
(2)①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②32
【分析】（1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；
（2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②根据题意可得，此时该商场购进型纪念品为件，再由A型纪念品的件数不小于50件，可得，设总利润为，求出函数关系式，根据二次函数函数的性质，即可求出的值．
【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，
由题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
当时：；
∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元；
（2）解：①设利润为，由表格，得：
当时，，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当售价为元时，利润最大为：元；
当，，
∵，
∴当时，利润最大为元；
综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元．
②∵商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，
∴A型纪念品的件数小于100件，
∴，此时该商场购进型纪念品为件，
∴购进型纪念品为件，
∵A型纪念品的件数不小于50件，
∴，
∴，
设总利润为y元，根据题意得：
，
∴
，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴当时，y有最大值，
∵将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值是解题的关键．
【安徽实战真题练】
一、单选题
1．（2021·安徽·统考中考真题）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ）
A．23cmB．24cmC．25cmD．26cm
【答案】B
【分析】设，分别将和代入求出一次函数解析式，把代入即可求解．
【详解】解：设，分别将和代入可得：
，
解得 ，
∴，
当时，，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握用待定系数法求解析式是解题的关键．
2．（2022·安徽·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分为和两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可．
【详解】解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意；
当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意；
当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键．
一次函数的图像有四种情况：
①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限．
3．（2020·安徽·统考中考真题）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
4．（2020·安徽·统考中考真题）如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为
y=(4－x)··=,
两个三角形重合时面积正好为.
由二次函数图象的性质可判断答案为A,
故选A.
【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论.
5．（2022·安徽·统考中考真题）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算．走得最快的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】根据图象，先比较甲、乙的速度；然后再比较丙、丁的速度，进而在比较甲、丁的速度即可．
【详解】乙在所用时间为30分钟时，甲走的路程大于乙走的路程，故甲的速度较快；
丙在所用时间为50分钟时，丁走的路程大于丙走的路程，故丁的速度较快；
又因为甲、丁在路程相同的情况下，甲用的时间较少，故甲的速度最快，
故选A
【点睛】本题考查了从图象中获取信息的能力，正确的识图是解题的关键．
二、填空题
6．（2020·安徽·统考中考真题）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点与反比例函数上的图象在第一象限内交于点轴，轴，垂足分别为点，当矩形与的面积相等时，的值为__________．
【答案】
【分析】根据题意由反比例函数的几何意义得：再求解的坐标及建立方程求解即可．
【详解】解： 矩形，在上，

把代入：


把代入：



由题意得：
解得：（舍去）

故答案为：
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中的几何意义，一次函数与坐标轴围成的三角形面积的计算是解题的关键．
7．（2021·安徽·统考中考真题）设抛物线，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点，则______；
（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．
【答案】 0 2
【分析】（1）直接将点代入计算即可
（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值
【详解】解：（1）将代入得：
故答案为：0
（2）根据题意可得新的函数解析式为：
由抛物线顶点坐标
得新抛物线顶点的纵坐标为：
∵
∴当a=1时，有最大值为8，
∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是
故答案为：2
【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法
8．（2022·安徽·统考中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．
【答案】3
【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可．
【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴ ，即，OC=AB，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案为3．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．
三、解答题
9．（2020·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
判断点是否在直线上．并说明理由；
求的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）
【分析】（1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可；
（2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值．
【详解】（1）点在直线上，理由如下：
将A（1，2）代入得，
解得m=1，
∴直线解析式为，
将B（2，3）代入，式子成立，
∴点在直线上；
（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A，C两点，
将A，C两点坐标代入得，
解得：a=-1，b=2；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，
∵顶点在直线上，
∴k=h+1，
令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，
∵-h2+h+1=-（h-）2+，
∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．
10．（2021·安徽·统考中考真题）已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
【答案】（1）的值分别是和3；（2）或
【分析】（1）把点A（m，2）代入求得m的值，从而得点A的坐标，再代入求得k值即可；
（2）在坐标系中画出的图象，根据正比例函数的图象与反比例函数图象的两个交点坐标关于原点对称，求得另一个交点的坐标，观察图象即可解答．
【详解】（1）将代入得，
，
，
将代入得，
，
的值分别是和3．
（2）正比例函数的图象如图所示，
∵正比例函数与反比例函数的图象都经过点A（3，2），
∴正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点坐标为（-3，-2），
由图可知：正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围为或．
【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合题，利用数形结合思想是解决问题的关键．
11．（2021·安徽·统考中考真题）已知抛物线的对称轴为直线．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）
【分析】（1）根据对称轴，代值计算即可
（2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果
（3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论
【详解】解：（1）由题意得：
（2）抛物线对称轴为直线，且
当时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而增大．
当时，y1随x1的增大而减小，
时，，时，
同理：时，y2随x2的增大而增大
时，．
时，

（3）令

令

AB与CD的比值为
【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点
12．（2022·安徽·统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
【答案】(1)y＝x2＋8
(2)（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：最大面积27，＋9≤P1横坐标≤；方案二：最大面积＋≤P1横坐标≤
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
【详解】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令x2＋8＝3，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令x2＋8＝，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
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