中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)考点过关02方程(组)与不等式(组)(4大考点模拟39题3年真题9题)特训(原卷版+解析)

这是一份中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)考点过关02方程(组)与不等式(组)(4大考点模拟39题3年真题9题)特训(原卷版+解析)，共53页。

考点1：一次方程（组）及其应用（10年9考，4~12分）
考点2：分式方程及其应用（10年3考，4~10分）
考点3：一元二次方程组及其应用（10年9考，4~12分）
考点4：一元一次不等式（组）及一元一次不等式的应用（10年7考，4~8分）
【安徽最新模拟练】
一、单选题
1．（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·安徽亳州·统考二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值不可能是（ ）
A．B．C．0D．1
3．（2023·安徽滁州·校考一模）已知关于x、y的二元一次方程ax＋b＝y，下表列出了当x分别取值时对应的y值．则关于x的不等式ax＋b＜0的解集为（ ）
A．x＜1B．x＞1C．x＜0D．x＞0
4．（2023·安徽·校联考一模）洛阳牡丹远近闻名，某景区为了吸引游客，现打算在一空地种植、两种品种的牡丹，、两种牡丹每课的价格分别是55元和72元，若购买两种牡丹共90棵，且总价格不超过5460元，则最少可购买种牡丹的数量是( )
A．59棵B．60棵C．61棵D．62棵
5．（2023·安徽合肥·校考一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）某工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，现由甲先做天，乙再加入合作，直至完成这项工程，求甲完成这项工程所用的时间．若设甲完成此项工程一共用天，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·安徽安庆·统考一模）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
8．（2023·安徽合肥·合肥市第四十八中学校考一模）已知三个实数a，b，c满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、填空题
9．（2023·安徽芜湖·统考二模）若点（2，m﹣3）在第四象限，则实数m的取值范围是_____．
10．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）方程组的解为________．
11．（2023·安徽·模拟预测）若关于x的分式方程无解，则m的值为________．
三、解答题
12．（2023·安徽·校联考一模）解不等式，，并把解集在数轴上表示出来．
13．（2023·安徽·模拟预测）计算下列各题：
(1)解不等式，把解集在数轴上表示出来，并根据数轴求出其非正整数解．
(2)解方程组
14．（2023·安徽亳州·统考二模）解分式方程：．
15．（2023·安徽马鞍山·校考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’问客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”
16．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，在中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
(1)①斜边上的高为______
②当时，的长为______
(2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？
(3)当点Q在边上运动时，直接写出所有能使成为等腰三角形的t的值．
17．（2023·安徽阜阳·一模）为了提高动手操作能力，安徽某学校九年级学生利用课后服务时间进行拼图大赛，他们用边长相同的正方形和正三角形进行拼接，赛后整理发现一组有规律的图案，如图所示．
【观察思考】
第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推
【规律总结】
(1)第5个图案有______个正三角形
(2)第个图案中有______个正三角形，（用含的代数式表示）
【问题解决】
(3)现有2023个正三角形，若按此规律拼第个图案，要求正三角形一次用完，则该图案需要正方形多少个？
18．（2023·安徽芜湖·统考二模）我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，上面记载有这样一个问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？请你解答这个问题．
19．（2023·安徽合肥·模拟预测）小明在某商店购买商品A，共三次，只有其中一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示：
(1)在这三次购物中，第 次购物打了折扣；
(2)求出商品A、B的标价；
20．（2023·安徽宿州·统考一模）2022年7月，河南安阳等地遭遇特大暴雨袭击，暴雨中有房屋倒塌，道路被冲毁，车辆被冲走．灾情发生后，全国各地纷纷援助．合肥某公司筹集了一批物资，准备运往灾区，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱物资；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱物资．求出甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？
21．（2023·安徽·一模）某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元．
(1)求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？
(2)甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不低于2100元且不超过2200元．若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？
(3)在（2）的条件下，若该班级在“义卖活动”中，对售出的每一盒甲类拼图优惠元，其他条件不变，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大，最大利润为多少元？（可用含a的式子表示）
22．（2023·安徽蚌埠·统考二模）现需运送一批货物，有甲、乙两种型号货车可供选择．两种型号货车出租价格如表：
租用甲种型号货车在限定里程80km内，只需付起步价108元，超过限定里程的部分按3元/km收费，租用乙种型号货车在限定里程100km内，只需支付起步价180元，超过限定里程的部分按2元/km收费，设里程为x千米．
（1）当x＞100时，用x分别表示租用甲、乙两种型号货车的费用；
（2）当里程为多少千米时，租用两种型号的货车费用相等？
23．（2023·安徽滁州·统考一模）合肥市某公司投入40辆同型号汽车准备成立汽车租赁分公司．市运管所规定每辆汽车的日租金按10元的整数倍收取但不得超过250元．汽车租赁分公司试运营了一段时间后发现营运规律如下：当每辆汽车的日租金不超过150元时，40辆汽车可以全部租赁出去；当每辆汽车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的汽车数量将减少2辆．已知租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出的管理费及其他各项经费共1800元．
(1)汽车租赁分公司正式运营的第一周实行优惠活动，在40辆汽车能全部租出的前提下，要求保证每天总租金不低于总支出，则每辆汽车的日租金至少为多少元？
(2)每辆汽车的日租金定为多少元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大？这个最大利润是多少？（总利润总租金总支出）
24．（2023·安徽·模拟预测）跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为32元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳25根、乙种跳绳30根一共花费885元．
(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？
(2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共60根，在费用不超过1000元的情况下，如何进货才能保证利润W最大？
(3)由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元均少卖出5根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？
25．（2023·安徽芜湖·统考一模）拉伊卜是2022年卡塔尔世界杯吉样物，代表着技艺高超的球员．随着世界杯的火热进行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品．某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，每个大拉伊卜售价比小拉伊卜售价贵30元且销售30个小拉伊卜玩偶的销售额和21个大拉伊卜玩偶的销售额相同．
(1)求每个小、大拉伊卜玩偶的售价分别为多少元？
(2)世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶400个，大拉伊卜玩偶200个，世界杯开赛第二周，该经销商决定降价出售两种拉伊卜玩偶．已知：两种拉伊卜玩偶都降价元，小拉伊卜玩偶售出数量较世界杯开赛第一周多了个；大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销售额为48000元，求的值．
26．（2023·安徽蚌埠·统考二模）在平面直角坐标系中，点，，
(1)若，满足，求点，的坐标；
(2)如图，点在直线上，且点的坐标为，求，应满足怎样的关系式？
(3)如图，将线段平移到，且点在直线上，且点的纵坐标为，当满足时，求的取值范围．
27．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，在修建公路时，需要挖掘一段隧道，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，米；
(1)求隧道两端B、C之间的距离（精确到个位）；
（参考数据：，，）．
(2)原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B、C两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？
28．（2023·安徽蚌埠·统考二模）某公司为迎接哈洽会请甲乙两个广告公司布置展厅，若两公司合作天就可以完成任务，若甲公司先做天，剩余部分再由两公司合做，还需天才能完成任务．
(1)甲公司与乙公司单独完成这项任务各需多少天？
(2)甲公司每天所有费用为万元，乙公司每天所有费用为万元，要使这项工作的总费用不超过万元，则甲公司至多工作多少天？
29．（2023·安徽合肥·模拟预测）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．该商家购进的第一批衬衫是多少件？
30．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．
(1)该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到元？
(2)该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？
31．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，将一块正方形空地划出区域进行绿化，原空地一边减少了，一边减少了，剩余矩形空地的面积为，求原正方形空地的边长．
32．（2023·安徽合肥·统考二模）科技是国家强盛之基，创新是引领发展的第一动力，某公司响应国家号召，在2023年加大科技创新，革新技术实现产值三连增．第一季度产值总额为1655万元，其中二月份产值为550万元，求一月至三月的月平均增长率．
33．（2023·安徽亳州·统考一模）2022年12月7日我国疫情防控全面放开，某药店为满足居民的购药需求，购进了一种中草药，每一份成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（份数）随销售单价（元/份）的变化而变化，具体关系式为：，且物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于90元/份．设这种中草药在这段时间内的销售利润为（元）．
(1)求与的关系式；并求取何值时，的值最大？
(2)如果该药店想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为每份多少元？
34．（2023·安徽滁州·统考一模）在美术课上，小明设计如图所示的图案，每个图案都是由白点和黑点组成，归纳图案中的规律，完成下列问题．
(1)在图5中，白点有_______个，黑点有_______个；图中，白点有___________个，黑点有__________个；
(2)在图中，若白点和黑点共有169个，求的值．
35．（2023·安徽滁州·统考一模）已知甲，乙两种酒精溶液的浓度分别为90%和30%，某同学用甲，乙两种酒精溶液共恰好配制成75%的酒精消毒液
(1)甲、乙两种酒精溶液中纯酒精有____________（用含字母的式子表示）；
(2)若，分别求出甲、乙两种酒精溶液的质量．
36．（2023·安徽宿州·宿州市第十一中学校考模拟预测）为了丰富同学们的课余生活、拓展同学们的视野，学校书店准备购进甲、乙两类中学生书刊，已知甲类书刊比乙类书刊每本贵2元，若购买500本甲类书刊和400本乙类书刊共需要8200元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表：
(1)求，的值；
(2)第二次小卖部购进了1000本甲书刊和500本乙书刊，为了扩大销量，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，乙书刊价格不变，全部售完后总利润为8500元，求甲书刊打了几折？
37．（2023·安徽·模拟预测）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用42元买这种本子的数量与用70元买这种笔的数量相同．
(1)求这种笔和本子的单价；
(2)该同学打算用自己的80元压岁钱购买这种笔和本子，计划80元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．
38．（2023·安徽滁州·校联考二模）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由A、两个工程队先后接力完成工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天．
(1)求A、两工程队分别整治河道多少天？(用二元一次方程组解答)
(2)若A工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？
39．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，中，，，．点P从点C出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（）．
发现：
(1)___________；
(2)当点P，Q相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长．
探究：
(3)当时，的面积为___________；
(4)点P，Q分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
拓展：
(5)当时，求出此时t的值．
【安徽实战真题练】
一、单选题
1．（2020·安徽·统考中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·安徽·统考中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2022·安徽·统考中考真题）不等式的解集为________．
4．（2022·安徽·统考中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
三、解答题
5．（2020·安徽·统考中考真题）解不等式：
6．（2021·安徽·统考中考真题）解不等式：．
7．（2020·安徽·统考中考真题）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．该超市2020年4月份销售总额增长其中线上销售额增长．线下销售额增长，
设2019年4月份的销售总额为元．线上销售额为元，请用含的代数式表示2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果)；
求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
8．（2021·安徽·统考中考真题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，
[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）．
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
9．（2022·安徽·统考中考真题）某地区2020年进出口总额为520亿元．2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额＋出口额．
(1)设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
(2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
2
1
0
﹣1
﹣2
…
购买商品A的数量/个
购买商品B的数量/个
购买总费用/元
第一次购物
6
5
1140
第二次购物
3
7
1110
第三次购物
9
8
1062
起步价/元
限定里程/km
超限定里程（元/km）
甲
108
80
3
乙
180
100
2
甲
乙
进价/（元/本）
售价/（元/本）
20
13
年份
进口额/亿元
出口额/亿元
进出口总额/亿元
2020
x
y
520
2021
1.25x
1.3y
考点过关02方程（组）与不等式（组）（4大考点模拟39题3年真题9题）
【安徽十年真题考点及分值细目表】
考点1：一次方程（组）及其应用（10年9考，4~12分）
考点2：分式方程及其应用（10年3考，4~10分）
考点3：一元二次方程组及其应用（10年9考，4~12分）
考点4：一元一次不等式（组）及一元一次不等式的应用（10年7考，4~8分）
【安徽最新模拟练】
一、单选题
1．（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设每次传染x个人，再根据数量变换找到等量关系．
【详解】设每次传染x个人，则开始有1个人感染
第一次有：个人感染
第二次有：个人感染
∴
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系是本题关键．
2．（2023·安徽亳州·统考二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值不可能是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，得，再根据根的判别式时方程有两个不相等的实数根，求解即可得出k的 ，即可得出答案．
【详解】解：由题意且，
解得且．
故选C
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，属于基础题，理解一元二次方程二次项系数不等于0是解题的关键．
3．（2023·安徽滁州·校考一模）已知关于x、y的二元一次方程ax＋b＝y，下表列出了当x分别取值时对应的y值．则关于x的不等式ax＋b＜0的解集为（ ）
A．x＜1B．x＞1C．x＜0D．x＞0
【答案】B
【分析】根据表格选取两对值代入二元一次方程组成方程组，解方程组得不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得出，
解得，
则不等式为﹣x＋1＜0，
解得x＞1，
故选：B．
【点睛】本题考查表格信息，会利用表格信息确定方程组，会解方程组，会解一元一次不等式是解题关键．
4．（2023·安徽·校联考一模）洛阳牡丹远近闻名，某景区为了吸引游客，现打算在一空地种植、两种品种的牡丹，、两种牡丹每课的价格分别是55元和72元，若购买两种牡丹共90棵，且总价格不超过5460元，则最少可购买种牡丹的数量是( )
A．59棵B．60棵C．61棵D．62棵
【答案】B
【分析】设购买种牡丹棵，则购买种牡丹棵，根据题意列出不等式求解即可.
【详解】解：设购买种牡丹棵，则购买种牡丹棵，
由题意得，，
解得：，
最少可购买种牡丹60棵，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式．
5．（2023·安徽合肥·校考一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集是，
在数轴上表示为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的解集和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解题的关键．
6．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）某工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，现由甲先做天，乙再加入合作，直至完成这项工程，求甲完成这项工程所用的时间．若设甲完成此项工程一共用天，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设甲完成此项工程一共用天，则乙完成此项工程共用天，根据甲完成的部分乙完成的部分整个工作量，即可列出关于的一元一次方程．
【详解】解：设甲完成此项工程一共用天，则乙完成此项工程共用天，
根据题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．
7．（2023·安徽安庆·统考一模）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据相等关系，代入消元，运用解一元二次方程的相关知识，判断各选项即可．
【详解】A．若，则，即，代入第二个等式得，所以A错误；
B．若，则，代入后得到，于是解得，所以B选项错误；
C．若，则，代入后得到，于是解得；所以C选项错误；
D．若，则，，所以D选项正确．
故选D
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键．
8．（2023·安徽合肥·合肥市第四十八中学校考一模）已知三个实数a，b，c满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】由题意得，，①②得，计算可求值，将，代入，可得与0的大小关系，进而可得结果．
【详解】解：由题意得，，
①②得，
整理得，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．解题的关键在于正确的消元求解．
二、填空题
9．（2023·安徽芜湖·统考二模）若点（2，m﹣3）在第四象限，则实数m的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据第四象限内点的坐标特点列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】∵点（2，m-3）在第四象限，
∴m-3＜0，解得m＜3．
故答案为m＜3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知第四象限内点的坐标特点是解答此题的关键．
10．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）方程组的解为________．
【答案】
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：两个方程相加可得，
∴，
将代入，
可得，
故答案为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
11．（2023·安徽·模拟预测）若关于x的分式方程无解，则m的值为________．
【答案】3或
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，分整式方程无解和产生了增根两种情况分别进行求解即可．
【详解】解：
解：去分母得：，
整理得，，
①当时，整式方程无解，
解得，，此时原分式方程无解；
②由，时，解得是增根，
把代入得，
，
整理得，，
解得，
经检验是的根，
∴的解是，
当时，关于x的分式方程无解，
即m的值为3或，
故答案为：3或．
【点睛】本题主要考查分式方程的解，理解分式方程无解产生的原因是解题的关键．
三、解答题
12．（2023·安徽·校联考一模）解不等式，，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示的方法画出数轴即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
把解集在数轴上表示出来如下：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
13．（2023·安徽·模拟预测）计算下列各题：
(1)解不等式，把解集在数轴上表示出来，并根据数轴求出其非正整数解．
(2)解方程组
【答案】(1)；数轴见解析；非正整数解为0，-1，-2，-3
(2)
【分析】（1）先去分母，再移项合并同类项，即可求解；
（2）利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】（1）解∶
去分母得：，
移项合并同类项得：，
解得：，
把解集在数轴上表示出来，如下：
∴非正整数解为0，-1，-2，-3．
（2）解∶ 整理得：，
由①-②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
所以原方程的解为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，熟练掌握一元一次不等式，二元一次方程组的解法是解题的关键．
14．（2023·安徽亳州·统考二模）解分式方程：．
【答案】
【分析】首先按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解分式方程，然后检验即可．
【详解】解：方程两边都乘，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
检验：当时，，
∴是该分式方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．
15．（2023·安徽马鞍山·校考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’问客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”
【答案】72个
【分析】设共有客人x人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗”列出方程即可．
【详解】解：设有x个客人，则
，
解得，，
答；有72个客人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
16．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，在中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
(1)①斜边上的高为______
②当时，的长为______
(2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？
(3)当点Q在边上运动时，直接写出所有能使成为等腰三角形的t的值．
【答案】(1)①；②
(2)出发秒后能形成等腰三角形；
(3)当运动时间为秒或6秒或秒时，为等腰三角形．
【分析】（1）①利用勾股定理可求解的长，利用面积法进而可求解斜边上的高；
②可求得和，则可求得，在中，由勾股定理可求得的长；
（2）用t可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分、和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）解：①在中，由勾股定理可得，
∴斜边上的高为；
②当时，则，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即的长为，
故答案为：①；②；
（2）解：由题意可知，，
∵，
∴，
当为等腰三角形时，则有，即，
解得，
∴出发秒后能形成等腰三角形；
（3）解：在中，，
当点Q在上时，，，
∵为等腰三角形，
∴有、和三种情况，
①当时，如图，过B作于E，
则，
由（1）知，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得或（舍去）；
②当时，则，解得；
③当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得；
综上可知当运动时间为秒或6秒或秒时，为等腰三角形．
【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．
17．（2023·安徽阜阳·一模）为了提高动手操作能力，安徽某学校九年级学生利用课后服务时间进行拼图大赛，他们用边长相同的正方形和正三角形进行拼接，赛后整理发现一组有规律的图案，如图所示．
【观察思考】
第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推
【规律总结】
(1)第5个图案有______个正三角形
(2)第个图案中有______个正三角形，（用含的代数式表示）
【问题解决】
(3)现有2023个正三角形，若按此规律拼第个图案，要求正三角形一次用完，则该图案需要正方形多少个？
【答案】(1)16
(2)
(3)该图案需要正方形674个
【分析】（1）利用正三角形的数量依次增加3的规律即可求解．
（2）根据第1个图案有4个正三角形，正三角形的数量依次增加3，即可求解．
（3）先求出n的值，再确定正方形的个数．
【详解】（1）解：第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推，发现正三角形的数量依次增加3，
∴第5个图案有16个正三角形．
（2）依据第1个图案有4个正三角形，正三角形的数量依次增加3，
可得第个图案中有个正三角形．
（3）令，
解得，
由图形可以发现第n个图形中有n个正方形，
∴该图案需要正方形674个．
【点睛】本题考查了整式——图形规律问题，涉及到了列一元一次方程并求解，解题关键是发现规律并能利用整式正确表示．
18．（2023·安徽芜湖·统考二模）我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，上面记载有这样一个问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？请你解答这个问题．
【答案】合伙人数为21人，羊价为150钱
【分析】设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，找出等量关系， 列出方程组，求解即可．
【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱，
依题意有：，
解得，
答：合伙人数为21人，羊价为150钱．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程组．
19．（2023·安徽合肥·模拟预测）小明在某商店购买商品A，共三次，只有其中一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示：
(1)在这三次购物中，第 次购物打了折扣；
(2)求出商品A、B的标价；
【答案】(1)三
(2)A：90元，B：120元
【分析】（1）根据图表可得小明以折扣价购买商品A、B是第三次购物．
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值．
【详解】（1）∵第三次购买的数量最多，总费用最少，
∴小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物．
故答案为：三．
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据已知列方程是解题的关键．
20．（2023·安徽宿州·统考一模）2022年7月，河南安阳等地遭遇特大暴雨袭击，暴雨中有房屋倒塌，道路被冲毁，车辆被冲走．灾情发生后，全国各地纷纷援助．合肥某公司筹集了一批物资，准备运往灾区，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱物资；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱物资．求出甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？
【答案】甲型货车每辆可装载25箱物资，乙型货车每辆可装载15箱物资
【分析】甲型货车每辆可装载箱物资，乙型货车每辆可装载箱物资，根据“租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱物资；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱物资”，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设甲型货车每辆可装载箱物资，乙型货车每辆可装载箱物资，根据题意，得：
，
解得
答：甲型货车每辆可装载25箱物资，乙型货车每辆可装载15箱物资．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
21．（2023·安徽·一模）某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元．
(1)求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？
(2)甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不低于2100元且不超过2200元．若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？
(3)在（2）的条件下，若该班级在“义卖活动”中，对售出的每一盒甲类拼图优惠元，其他条件不变，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大，最大利润为多少元？（可用含a的式子表示）
【答案】(1)甲种盲盒的每件进价是15元，乙种盲盒的每件进价是10元
(2)当购进甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为2400元
(3)当，时，最大利润是元；当，时，最大利润是元；当，时，最大利润是元．
【分析】（1）设乙盲盒的每件进价是x元，则甲盲盒的每件进价是元，根据购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元列方程求解即可；
（2）设购进甲种盲盒m件，则购进乙种盲盒件，根据总费用不低于2100元且不超过2200元，列不等式组为，求得，再设全部售出所获得总利润为W，则，根据一次函数性质求解即可；
（3）设购进甲种盲盒n件，则购进乙种盲盒件，由（2）得，设全部售出所获得总利润为y，则，然后根据一次函数性质求解即可．
【详解】（1）解：设乙盲盒的每件进价是x元，则甲盲盒的每件进价是元，根据题意得
，
解得：，
，
答：甲种盲盒的每件进价是15元，乙种盲盒的每件进价是10元；
（2）解：设购进甲种盲盒m件，则购进乙种盲盒件，根据总费用不低于2100元且不超过2200元可得
解得，
设全部售出所获得总利润为W，则
，
，
∴w随m增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值，
∴当购进甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元；
（3）解：设购进甲种盲盒n件，则购进乙种盲盒件，
由（2）得，
设全部售出所获得总利润为y，则
，
当，即时，y随n增大而增大，
∴当时，y取得最大值，最大值；
当，即时，y随n增大而减小，
∴当时，y取得最大值，最大值；
当，即时，，；
综上，当，时，最大利润是元；当时，，最大利润是元；当，时，最大利润是元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出一元一次方程、不等式组、一次函数解析式是解题的关键．
22．（2023·安徽蚌埠·统考二模）现需运送一批货物，有甲、乙两种型号货车可供选择．两种型号货车出租价格如表：
租用甲种型号货车在限定里程80km内，只需付起步价108元，超过限定里程的部分按3元/km收费，租用乙种型号货车在限定里程100km内，只需支付起步价180元，超过限定里程的部分按2元/km收费，设里程为x千米．
（1）当x＞100时，用x分别表示租用甲、乙两种型号货车的费用；
（2）当里程为多少千米时，租用两种型号的货车费用相等？
【答案】（1）租用甲种型号货车费用为（3x-132）元，租用乙种型号货车费用为：（2x-20）元；（2）112km
【分析】（1）行驶里程，根据甲车内，付起步价元，超过的部分按元/，列出代数式；再根据乙车内，付起步价元，超过的部分按元/，列出代数式即可
（2）当时，甲车租金元，乙车租金元，不相等；当时，结合题意列方程，解方程即可；当时，结合（1）所列的代数式，列出方程，解方程即可
【详解】（1）根据题意可得：
租用甲种型号货车费用为：元，
租用乙种型号货车费用为：元；
（2）当时，甲货车租金元，乙货车租金元，不相等；
当时，则有，
解得
因为，舍去，
当时，则有，
解得
所以当里程为时，租用两种型号的车费用相等
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式等知识，读懂题意正确列出代数式，再结合题意找出等量关系列出一元一次方程是解题关键．
23．（2023·安徽滁州·统考一模）合肥市某公司投入40辆同型号汽车准备成立汽车租赁分公司．市运管所规定每辆汽车的日租金按10元的整数倍收取但不得超过250元．汽车租赁分公司试运营了一段时间后发现营运规律如下：当每辆汽车的日租金不超过150元时，40辆汽车可以全部租赁出去；当每辆汽车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的汽车数量将减少2辆．已知租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出的管理费及其他各项经费共1800元．
(1)汽车租赁分公司正式运营的第一周实行优惠活动，在40辆汽车能全部租出的前提下，要求保证每天总租金不低于总支出，则每辆汽车的日租金至少为多少元？
(2)每辆汽车的日租金定为多少元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大？这个最大利润是多少？（总利润总租金总支出）
【答案】(1)70元
(2)3580元
【分析】（1）设每辆汽车的日租金为x元，根据“40辆汽车能全部租出，且每天总租金不低于总支出”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为10的整数倍即可得出结论；
（2）设每辆汽车的日租金为m元，该汽车租赁公司一天总利润为w元，分及两种情况考虑，当时，利用总利润=总租金-总支出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可找出w的最大值；当时，每天可租出辆，利用总利润=总租金-总支出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可找出w的最大值．再将两个最大值比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设每辆汽车的日租金为x元，
依题意得：，
解得：，
又∵x为10的整数倍，
∴x的最小值为70．
答：每辆汽车的日租金至少为70元；
（2）解：设每辆汽车的日租金为m元，该汽车租赁公司一天总利润为w元．
当时，，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值（元）；
当时，每天可租出辆，
∴
，
∵，
∴当m=180时，w取得最大值，最大值为3580．
又∵，
∴该汽车租赁公司一天总利润最多为3580元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）分及两种情况，找出w关于m的函数关系式．
24．（2023·安徽·模拟预测）跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为32元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳25根、乙种跳绳30根一共花费885元．
(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？
(2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共60根，在费用不超过1000元的情况下，如何进货才能保证利润W最大？
(3)由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元均少卖出5根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？
【答案】(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和17元；
(2)当购进甲种跳绳10根，购进乙种跳绳50根，利润W最大；
(3)当店主将两种跳绳同时提高9元时，才能使日销售利润达到最大．
【分析】（1）设甲、乙两种跳绳的单价各是x元和y元，根据题意列出方程即可解决问题；
（2）设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳根，列出函数关系式和不等式即可解决问题．
（3）设店主将两种跳绳同时提高m元时，才能使日销售利润n达到最大，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
【详解】（1）解∶设甲、乙两种跳绳的单价分别是x元和y元，根据题意得，
，
解得∶，
答∶甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和17元；
（2）解：设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳根，由题意得，
，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∵费用不超过1000元，
∴，
解得∶，
∴（根），
∴当购进甲种跳绳10根，购进乙种跳绳50根，利润W最大；
（3）解：设店主将两种跳绳同时提高m元时，才能使日销售利润n达到最大，由题意得，
，
∴当店主将两种跳绳同时提高9元时，才能使日销售利润达到最大．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数等知识，解题的关键是学会设未知数构建方程或不等式或二次函数解决问题，属于中考常考题型．
25．（2023·安徽芜湖·统考一模）拉伊卜是2022年卡塔尔世界杯吉样物，代表着技艺高超的球员．随着世界杯的火热进行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品．某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，每个大拉伊卜售价比小拉伊卜售价贵30元且销售30个小拉伊卜玩偶的销售额和21个大拉伊卜玩偶的销售额相同．
(1)求每个小、大拉伊卜玩偶的售价分别为多少元？
(2)世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶400个，大拉伊卜玩偶200个，世界杯开赛第二周，该经销商决定降价出售两种拉伊卜玩偶．已知：两种拉伊卜玩偶都降价元，小拉伊卜玩偶售出数量较世界杯开赛第一周多了个；大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销售额为48000元，求的值．
【答案】(1)每个小拉伊卜的售价为70元，大拉伊卜的售价为100元
(2)的值为10
【分析】（1）设每个小拉伊卜玩偶的售价为x元，则可表示每个大拉伊卜玩偶的售价，由等量关系可得关于x的一元一次方程，解方程即可；
（2）根据等量关系：大拉伊卜第二周的销售额+小拉伊卜第二周的销售额=48000，得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设每个小拉伊卜玩偶的售价为x元，则每个大拉伊卜玩偶的售价为元.
由题意得：，
解得：，
则，
答：每个小拉伊卜的售价为70元，大拉伊卜的售价为100元。
（2）由题意得：，
化简得：，
解得：（舍去），，
答：a的值为10．
【点睛】本题考查了一元一次方程与一元二次方程的应用，关键是明确题意，找到等量关系并正确列出方程．
26．（2023·安徽蚌埠·统考二模）在平面直角坐标系中，点，，
(1)若，满足，求点，的坐标；
(2)如图，点在直线上，且点的坐标为，求，应满足怎样的关系式？
(3)如图，将线段平移到，且点在直线上，且点的纵坐标为，当满足时，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
(3)或
【分析】（1）根据非负数的性质求得、的值，即可求得、的坐标；
（2）根据待定系数法求得直线的解析式，然后把代入即可求得；
（3）根据易求得、的坐标，即可求得直线的解析式，由三角形面积公式，根据得出关于的不等式，解不等式即可求得．
【详解】（1）解：由，满足可知，
解得，
∴点，；
（2）解：设直线的解析式为，
把点，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点在直线上，且点的坐标为，
∴；
（3）解：设直线的解析式为，
∴，，
∵，
∴，解得或4（舍去），
∴直线为，，
∵直线的解析式为，
∴直线与轴，轴的交点分别为，，
∴，
∵点在直线上，且点的纵坐标为，
∴，
∵，
∴，
解得或，
∴当满足时，的取值范围是或．
【点睛】本题考查的知识点有：待定系数法求一次函数的解析式，坐标系内三角形的面积求法，一元一次不等式，坐标和图形变换－平移等知识点，运用数形结合可以打开本题的解题思路．
27．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，在修建公路时，需要挖掘一段隧道，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，米；
(1)求隧道两端B、C之间的距离（精确到个位）；
（参考数据：，，）．
(2)原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B、C两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？
【答案】(1)1200米
(2)原计划单向开挖每天挖100米
【分析】（1）由题意易得，然后根据三角函数可进行求解；
（2）设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得方程，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，米，
∴米；
答：隧道两端B、C之间的距离为1200米．
（2）解：设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解且满足题意，
答：原计划单向开挖每天挖100米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形及分式方程的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
28．（2023·安徽蚌埠·统考二模）某公司为迎接哈洽会请甲乙两个广告公司布置展厅，若两公司合作天就可以完成任务，若甲公司先做天，剩余部分再由两公司合做，还需天才能完成任务．
(1)甲公司与乙公司单独完成这项任务各需多少天？
(2)甲公司每天所有费用为万元，乙公司每天所有费用为万元，要使这项工作的总费用不超过万元，则甲公司至多工作多少天？
【答案】(1)甲公司单独完成这项任务需天，乙公司单独完成这项任务需天
(2)甲公司至多工作天
【分析】设甲公司单独完成此项工程天，乙公司天，利用若甲公司先做天，剩余部分再由甲、乙两公司合作，还需要天才能完成，设总工作量为，得出等式方程，求出即可；
设甲公司施工天，利用中所求数据得出甲乙两公司每人一天完成的工作量，进而得出不等式求出即可．
【详解】（1）设甲公司单独完成此项工程天，由题意得

解得：
经检验是原方程的解，
则
答：甲公司单独完成这项任务需天，乙公司单独完成这项任务需天．
（2）设甲公司施工天，由题意得

解得：，
答：甲公司至多工作天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程求解．
29．（2023·安徽合肥·模拟预测）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．该商家购进的第一批衬衫是多少件？
【答案】120件
【分析】由题意，设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是件，然后列出分式方程，解分式方程，在进行检验，即可求出答案．
【详解】解：设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是件，由题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程，注意解分式方程需要检验．
30．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．
(1)该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到元？
(2)该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？
【答案】(1)该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到元
(2)大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是元
【分析】（1）设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到元，根据总收入=每亩收入×种植面积列出方程求解即可；
（2）设该大户今年应承租m亩土地，收益为W元，列出W关于m的关系式即可得到答案．
【详解】（1）解：设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到元，
由题意得，
解得，
解得或，
∴该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到元；
（2）解：设该大户今年应承租m亩土地，收益为W元，
由题意得
，
∵，
∴当时，W最大，最大为，
∴大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键．
31．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，将一块正方形空地划出区域进行绿化，原空地一边减少了，一边减少了，剩余矩形空地的面积为，求原正方形空地的边长．
【答案】原正方形空地的边长为．
【分析】设原正方形空地的边长为，则矩形空地的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合矩形空地的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设原正方形空地的边长为，则矩形空地的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
32．（2023·安徽合肥·统考二模）科技是国家强盛之基，创新是引领发展的第一动力，某公司响应国家号召，在2023年加大科技创新，革新技术实现产值三连增．第一季度产值总额为1655万元，其中二月份产值为550万元，求一月至三月的月平均增长率．
【答案】
【分析】设一月至三月的月平均增长率为x，根据题意，得，解方程即可．
【详解】设一月至三月的月平均增长率为x，根据题意，得，
整理，得，
解得，
解得（舍去），
故一月至三月的月平均增长率．
【点睛】本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键．
33．（2023·安徽亳州·统考一模）2022年12月7日我国疫情防控全面放开，某药店为满足居民的购药需求，购进了一种中草药，每一份成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（份数）随销售单价（元/份）的变化而变化，具体关系式为：，且物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于90元/份．设这种中草药在这段时间内的销售利润为（元）．
(1)求与的关系式；并求取何值时，的值最大？
(2)如果该药店想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为每份多少元？
【答案】(1)，当时，的值最大
(2)每份75元
【分析】（1）根据题意，可以写出与的关系式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到取何值时，的值最大；
（2）将代入（1）中的函数，求出的值即可，注意物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于90元份．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
当时，取得最大值，
答：与的关系式是，当时，的值最大；
（2）当时，，
解得，，
物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于90元份，
，
答：如果该药店想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为每份75元．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
34．（2023·安徽滁州·统考一模）在美术课上，小明设计如图所示的图案，每个图案都是由白点和黑点组成，归纳图案中的规律，完成下列问题．
(1)在图5中，白点有_______个，黑点有_______个；图中，白点有___________个，黑点有__________个；
(2)在图中，若白点和黑点共有169个，求的值．
【答案】(1)24，25，，
(2)11
【分析】（1）根据图1-4中的白点和黑点数量的规律即可得；
（2）根据（1）的结果建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：图1中白点数量为个，黑点数量为个，
图2中白点数量为个，黑点数量为个，
图3中白点数量为个，黑点数量为个，
图4中白点数量为个，黑点数量为个，
则图5中白点数量为个，黑点数量为个，
归纳类推得：图中，白点有个，黑点有个，
故答案为：24，25，，．
（2）解：由题意得：，即，
解得（不符合题意，舍去），
故的值为11．
【点睛】本题考查了图形类规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
35．（2023·安徽滁州·统考一模）已知甲，乙两种酒精溶液的浓度分别为90%和30%，某同学用甲，乙两种酒精溶液共恰好配制成75%的酒精消毒液
(1)甲、乙两种酒精溶液中纯酒精有____________（用含字母的式子表示）；
(2)若，分别求出甲、乙两种酒精溶液的质量．
【答案】(1)（或）
(2)甲、乙种酒精溶液的质量分为、
【分析】（1）设甲酒精溶液有，则有乙酒精溶液，根据“用甲，乙两种酒精溶液共恰好配制成75%的酒精消毒液”列方程，解方程求得，进一步计算即可求解；
（2）设甲种酒精溶液为，乙种酒精溶液为，根据题意列二元一次方程组，求解即可.
【详解】（1）解：设甲酒精溶液有，则有乙酒精溶液，
由题意得，
整理得，
解得，，
∴甲酒精溶液有，则有乙酒精溶液，
甲、乙两种酒精溶液中纯酒精有，
故答案为：；
（2）解：设甲种酒精溶液为，乙种酒精溶液为，根据题意，得：
，
解得，
答：甲、乙种酒精溶液的质量分别为、．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．关于溶液问题的定量一般有两个：溶液，溶质．那么通常也是根据这两个定量来找到等量关系进而求解的．
36．（2023·安徽宿州·宿州市第十一中学校考模拟预测）为了丰富同学们的课余生活、拓展同学们的视野，学校书店准备购进甲、乙两类中学生书刊，已知甲类书刊比乙类书刊每本贵2元，若购买500本甲类书刊和400本乙类书刊共需要8200元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表：
(1)求，的值；
(2)第二次小卖部购进了1000本甲书刊和500本乙书刊，为了扩大销量，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，乙书刊价格不变，全部售完后总利润为8500元，求甲书刊打了几折？
【答案】(1)
(2)八折
【分析】（1）根据“购买500本甲和400本乙共需要8200元”和“甲类书刊比乙类书刊每本贵2元”列出方程组求解即可；
（2）先求出两类书刊进价设甲书刊打了x折，再根据“全部售完后总利润为8500元”列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，解得：．
（2）解：根据题意，得两类书刊进价共为元，
设甲书刊打了折，则两类书刊售价为（元），
根据题意，得，解得．
答：甲书刊打了八折．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，正确找准等量关系列出方程组合方程是解题的关键．
37．（2023·安徽·模拟预测）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用42元买这种本子的数量与用70元买这种笔的数量相同．
(1)求这种笔和本子的单价；
(2)该同学打算用自己的80元压岁钱购买这种笔和本子，计划80元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．
【答案】(1)本子单价为6元，笔单价为10元
(2)方案一：购买5个本，5个笔，方案二：购买10个本，2个笔
【分析】（1）首先设本子单价为x元，则笔的单价为元，根据题意可得等量关系：42元买这种本子的数量等于70元买这种笔的数量，由等量关系可得方程，再解方程可得答案；
（2）设恰好用完80元，可购买购买了个本子，个笔，根据题意可得，再求出整数解即可．
【详解】（1）设本子单价为元，则笔的单价为元，
，解得，
检验时，，
分式方程的解为，
∴，
答：本子单价为6元，笔单价为10元．
（2）设购买了个本子，个笔，
，，
，为正整数方案一：购买5个本，5个笔，方案二：购买10个本，2个笔，
解得或
答：方案一：购买5个本，5个笔，方案二：购买10个本，2个笔．
【点睛】本题考查分式方程的应用；二元一次方程的应用；解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程．
38．（2023·安徽滁州·校联考二模）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由A、两个工程队先后接力完成工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天．
(1)求A、两工程队分别整治河道多少天？(用二元一次方程组解答)
(2)若A工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？
【答案】(1)A工程队整治河道天，工程队整治河道天
(2)完成整治河道时，这两工程队的工费共是元
【分析】（1）设A工程队整治河道x天，B工程队整治河道y天，根据“A，B两工程队共用时20天，完成360米的河道整治任务”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出结论；
（2）利用总工费=A工程队整改一米的工费×A工程队整治河道的长度+B工程队整改一米的工费×B工程队整治河道的长度，即可求出结论．
【详解】（1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，
根据题意得：，
解得：．
答：工程队整治河道天，工程队整治河道天；
（2）根据题意得：

元．
答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
39．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，中，，，．点P从点C出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（）．
发现：
(1)___________；
(2)当点P，Q相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长．
探究：
(3)当时，的面积为___________；
(4)点P，Q分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
拓展：
(5)当时，求出此时t的值．
【答案】(1)5
(2)相遇点在边上，1
(3)1
(4)不能，见解析
(5)
【分析】（1）利用勾股定理直接求解即可；
（2）分类讨论点的位置对应不同的时间，直接计算即可；
（3）直接求出边长来求面积即可；
（4）解方程时通过求根公式来说明不能取到值；
（5）先画出图形，然后利用平行线间的线段比列方程求值．
【详解】（1）在中，
∴；
（2）点P运动到B需要：s
点Q运动到B点需要：s
当点相遇时，有．解得．
∴相遇点在边上，
此时．
（3）当时，，即
∴
故答案为1；
（4）不能
理由：若的面积是面积的一半，
即，化为．
∵，
∴方程没有实数根，
即的面积不能是面积的一半．
（5）由题可知，点先到达边，当点还在边上时，存在，如图所示．
这时，．
∵，，
∴．
解得，
即当时，．
【点睛】此题考查动点问题以及平行线的线段比，解题关键是将点的路程表示出来找到等量关系，以及平行线中线段成比例列方程．
【安徽实战真题练】
一、单选题
1．（2020·安徽·统考中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据根的判别式逐一判断即可．
【详解】A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确；
B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误；
C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；
D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.
故选：A.
【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键．
2．（2021·安徽·统考中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D．
【详解】解：A．当，，时，，故A错误；
B．当，，时，，故B错误；
C．整理可得，故C错误；
D．整理可得，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
二、填空题
3．（2022·安徽·统考中考真题）不等式的解集为________．
【答案】
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
【详解】解：
去分母，得x-3≥2，
移项，得x≥2+3，
合并同类项，系数化1，得，x≥5，
故答案为：x≥5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解一元一次不等式的方法步骤．
4．（2022·安徽·统考中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】2
【分析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值，
【详解】解：由题意可知：
，，
，
∴，
解得：．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数：方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键．
三、解答题
5．（2020·安徽·统考中考真题）解不等式：
【答案】
【分析】根据解不等式的方法求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知其解法．
6．（2021·安徽·统考中考真题）解不等式：．
【答案】
【分析】利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答．
【详解】，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练运用一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
7．（2020·安徽·统考中考真题）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．该超市2020年4月份销售总额增长其中线上销售额增长．线下销售额增长，
设2019年4月份的销售总额为元．线上销售额为元，请用含的代数式表示2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果)；
求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【答案】；
【分析】根据增长率的含义可得答案；
由题意列方程求解即可得到比值．
【详解】解：年线下销售额为元，
故答案为：．
由题意得：


2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：

答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：
【点睛】本题考查的列代数式及一元一次方程的应用，掌握列一元一次方程解决应用题是解题的关键．
8．（2021·安徽·统考中考真题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，
[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）．
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
【答案】（1）2 ；（2）；（3）1008块
【分析】（1）由图观察即可；
（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；
（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量．
【详解】解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
故答案为：2 ；
（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；
所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（）块；
故答案为：；
（3）令 则
当时，
此时，剩下一块等腰直角三角形地砖
需要正方形地砖1008块．
【点睛】本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式以及代数式的应用等，考查了学生的观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等．
9．（2022·安徽·统考中考真题）某地区2020年进出口总额为520亿元．2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额＋出口额．
(1)设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
(2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？
【答案】(1)1.25x+1.3y
(2)2021年进口额亿元，出口额亿元．
【分析】（1）根据进出口总额＝进口额＋出口额计算即可；
（2）根据2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，列方程1.25x+1.3y=520+140，然后联立方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：
故答案为：1.25x+1.3y；
（2）解：根据题意1.25x+1.3y=520+140，
∴，
解得：，
2021年进口额1.25x=亿元，2021年出口额是亿元．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，列代数式，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤是解题关键．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
2
1
0
﹣1
﹣2
…
购买商品A的数量/个
购买商品B的数量/个
购买总费用/元
第一次购物
6
5
1140
第二次购物
3
7
1110
第三次购物
9
8
1062
起步价/元
限定里程/km
超限定里程（元/km）
甲
108
80
3
乙
180
100
2
甲
乙
进价/（元/本）
售价/（元/本）
20
13
年份
进口额/亿元
出口额/亿元
进出口总额/亿元
2020
x
y
520
2021
1.25x
1.3y
年份
进口额/亿元
出口额/亿元
进出口总额/亿元
2020
x
y
520
2021
1.25x
1.3y
1.25x+1.3y