云南省昆明市第一中学2025届高三上学期第二次联考数学试题（扫描版附解析）

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一、选择题
1. 解析：由得，所以在复平面内对应的点为，在第二象限，选B.
2. 解析：若是假命题，则是真命题，即恒成立，则，.所以，选D.
3. 解析：由得，所以，所以，选A.
4. 解析：指标值的样本频率是，所以指标值在区间的产品约有件，A选项正确；指标值的最大极差为，最小极差为，B选项正确；由直方图可得出，从第一组至第七组的频率依次是，所以指标值的第百分位数在内，小于，C选项不正确；抽取的产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：
，
，
D选项正确；综合以上分析，该样本统计量的叙述不正确的选项是C.
5. 解析：由双曲线的渐近线方程是得，即，所以离心率，选D .
6．解析：当时，，，所以
在区间单调递增，即；当时，在内单调递增，所以，因为函数的值域为，所以实数的取值范围是，选C.
7. 解析：取的中点，连接,,因为，所以直线与所
成角即为与所成的角,所以,所以
，
即,又因为,所以
,所以直线与所成角的余弦值为，选B.
8．解析：由得，因为函数满足，所以在上单调递增，由，解得，即；因为，，所以，当时，取的最小值为，选B.
二、多选题
9. 解析：若，则，但正负不确定，所以与大小不确定，A错误；若，则，B正确；若，则，所以，C正确；由，，知，，所以是中的最大项，D错；选BC．
10. 解析：根据抛物线的定义，，即，所以抛物线的方程为，选项A正确；当直线的斜率不存在时，的方程为，联立得直线与有且仅有一个公共点，满足题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，联立得，由得或，此时直线的方程为或，所以满足过定点且与有且仅有一个公共点的直线共有条，直线的方程为或或，选项B错误；抛物线的焦点，直线的方程为：，与抛物线方程联立消去化简得：，设，，则，，所以，选项C正确；由抛物线的定义知, 所以满足的点就是满足的点，由 和可得出线段的中垂线方程是， 联立 消去化简得方程：，由于，此方程有个不等根，即线段的中垂线与抛物线有个公共点，所以满足的点有且仅有个，选项D正确；综合以上分析，选 ACD．
11．解析：因为是奇函数，图象关于点对称，所以的图象关于点对称，A正确；因为，由解得或，解得，所以在区间单调递增，单调递减，单调递增，且，，，所以有两个零点，B错误；又因为，所以在区间单调递减，单调递增，即只有一个极值点，C正确；设，，由解得，解得，所以在区间单调递减，单调递增，，所以，因为在区间单调递增，所以由，得，D正确；选ACD.
三、填空题
12. 解析：因为，
所以．
13．解析：由得，即，即，解得或，因为，所以
14. 解析：小张从处出发选择最短路径前往处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走条街道．所以从处出发选择最短路径到达处一共有种走法；同理，从处到达处有种走法，从处到达处有种走法， 所以根据分步计数原理，小张每天早上上班途经街道处的最短路径走法有种．
四、解答题
15．解：（1）
，
因为，所以，所以最大值为，
由得． …………8分
（2）由得，
，
所以函数的单调递增区间为． …………13分
16．（1）证明：连接，设交于点，连接， 由 ，得，
又，所以△≌△，所以是的中点，又是的中点，所以，
因为平面，平面， 所以平面； ………7分
（2）以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
由题知，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为， 则，
所以，可取，
设平面的一个法向量为，所以，
所以 ，可取，
设二面角的平面角为，又，所以，
所以二面角的正弦值为. ………15分
17. 解：（1）因为的最小值为，所以，所以，
当直线的斜率为零时，点与点关于轴对称，又点与点关于点对称，
由椭圆的对称性可知，此时点与点关于轴对称，则，
由几何关系可解得点坐标为，
代入椭圆的方程：得：，解得，
故椭圆的方程为； ………8分
设点，，，
因为点和均在上，故，由得：，
即，即； ………15分
18. 解：（1）因为，，
所以，，，
切线方程：，所以； ………5分
，当，，
所以，即在单调递减 ………8分
令，
当时，，在单调递减，即在单调递减；
又因为，当时，即在单调递增 ………11分
因此：在单调递增，在单调递减.
当时，，；，因为在单调递增，
所以根据零点存在定理，在有唯一零点； ………14分
令，，
当时，，单调递增，且，
当时，，单调递减；
所以，即，所以，
所以，又因为在单调递减，
根据零点存在定理在有唯一零点.
综上，在有2个零点. ………17分
19. 解：（1）记事件为恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题，； ………4分
（2）甲同学挑战成功有以下几种情况：
①“共答对四道”，即答对余下的判断题，答错两道连线题，则，
②“共答对五道”，即答错余下的判断题，答对余下的三道连线题，，
③“共答对六道”，即答对余下的四道问题，，
，即甲同学挑战成功的概率为； ………10分
（3）设选择方式一､二的班级团队挑战成功的概率分别为．
当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为，则两人中至少有一人回答正确的概率为，所以，
当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为，则一个小组闯关不成功的概率为，所以，所以
，
构造，则
，因为，则，
，可得，所以，即，
所以单调递增，又因为，
且，所以，从而，即，
所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛． ………17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
C
D
C
B
B
题号
9
10
11
答案
BC
ACD
ACD