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    云南省昆明市第一中学2024届高三数学第二次双基检测试题(Word版附解析)
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    云南省昆明市第一中学2024届高三数学第二次双基检测试题(Word版附解析)

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    这是一份云南省昆明市第一中学2024届高三数学第二次双基检测试题(Word版附解析),共25页。试卷主要包含了选择题的作答,非选择题的作答, “”是“数列为等差数列”的, 下列命题正确的是等内容,欢迎下载使用。

    昆明市第一中学2024届高中新课标高三第二次双基检测
    数学试卷
    注意事项:
    1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
    2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
    3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
    4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 若集合,则( )
    A. B. C. D.
    2. 若复数是的根,则( )
    A. B. 1 C. 2 D.
    3. 已知平面向量,,向量与的夹角为,则( )
    A. 2或 B. 3或 C. 2或0 D. 3或
    4. 函数的图象与函数的图象关于直线对称,则( )
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
    5. 已知点是椭圆上的一点,是的两个焦点,若,则椭圆的离心率的取值范围是( )
    A B. C. D.
    6. 已知圆,点为直线上的一个动点,是圆的两条切线,,是切点,当四边形(点为坐标原点)面积最小时,直线的方程为( )
    A. B.
    C. D.
    7. “”是“数列为等差数列”的( )
    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
    C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
    8. 函数在区间上恰有三个零点,则的取值范围是( )
    A B.
    C. D.
    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
    9. 已知个数据的第百分位数是,则下列说法错误的是( )
    A. 这个数据中一定有个数小于
    B. 把这个数据从小到大排列后,是第个数据
    C. 把这个数据从小到大排列后,是第个数据和第个数据的平均数
    D. 把这个数据从小到大排列后,是第个数据和第个数据的平均数
    10. 下列命题正确的是( )
    A.
    B 若,则
    C. 若正数,满足,则
    D. 是的必要不充分条件,其中均为正数
    11. 已知在正三棱台中,,则下列叙述正确的是( )
    A. 该三棱台的高为2
    B.
    C. 该三棱台的侧面积为
    D. 该三棱台外接球的半径长为
    12. 已知函数满足:,且在上的导数,则不等式的整数解可以为( )
    A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
    三、填空题:本题共4小题,小题5分,共20分.
    13. 从一颗骰子的六个面中任意选取三个面,其中恰有两个面平行的不同选法共有__________种(用数字作答).
    14. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆、则该圆锥的体积为__________.
    15. 若函数,且,则__________.
    16. 已知双曲线的左、右焦点分别为,过点的直线与双曲线的左支交于,两点,若,则的内切圆周长为__________.
    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17. 某滨海城市沙滩风景秀丽,夏日美丽海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务,为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查、来模拟饮品店开卖之后的利润情况,考虑沙滩承受能力有限,超过1.4万人即停止预约、以下表格是160天内进入沙滩的每日人数(单位:万人)的频数分布表.
    人数万







    频数(天)
    8
    8
    16
    24

    48
    32

    (1)绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图(用阴影表示),并求出的值和这组数据的分位数;

    (2)据统计,每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品,(单位:个)为进入该沙滩的人数为10的整倍数.如有8006人,则取8000.每杯饮品的售价为15元,成本为5元,当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品,记为该店每日的利润(单位:元),求和的函数关系式;
    (3)以频率估计概率,求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.
    18. 在中.内角的对边分别为,且.
    (1)证明:;
    (2)若,求的面积的最大值.
    19. 已知数列满足.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设,数列的前项和为,求证:.
    20. 如图,在三棱锥中,平面分别为棱的中点.

    (1)证明:;
    (2)若,二面角的余弦值为,求三棱锥的体积.
    21. 已知函数
    (1)判断的单调性;
    (2)若函数存在极值,求这些极值和的取值范围.
    22. 已知动圆过点,且与直线相切,设动圆圆心的轨迹为曲线;过点的直线与曲线交于,两点,曲线在,两点处的切线交于点.
    (1)证明:;
    (2)设,当时,求的面积的最小值.昆明市第一中学2024届高中新课标高三第二次双基检测
    数学试卷
    注意事项:
    1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
    2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
    3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
    4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 若集合,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】求出集合和,从而可求出
    【详解】因为,所以,所以,
    因为,所以,
    所以,
    故选:D.
    2. 若复数是的根,则( )
    A. B. 1 C. 2 D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】先用求根公式得出 ,再根据定义求出z的模即可.
    【详解】解:由复数求根公式,有,所以.
    故选:B.
    3. 已知平面向量,,向量与夹角为,则( )
    A. 2或 B. 3或 C. 2或0 D. 3或
    【答案】A
    【解析】
    【分析】利用向量的模的坐标公式求,,根据数量积的坐标公式求,结合夹角公式列方程求
    【详解】因为,,
    所以,,
    所以,

    又向量与的夹角为,
    所以,
    所以,
    所以或,
    故选:A.
    4. 函数的图象与函数的图象关于直线对称,则( )
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
    【答案】A
    【解析】
    【分析】由反函数的定义以及对数运算即可求解.
    【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称,
    所以,所以.
    故选:A.
    5. 已知点是椭圆上的一点,是的两个焦点,若,则椭圆的离心率的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由题意可得以为直径的圆与椭圆相交,所以,即可求出答案.
    【详解】解:由已知,以为直径的圆与椭圆相交,所以,
    所以,
    故选:D.
    6. 已知圆,点为直线上的一个动点,是圆的两条切线,,是切点,当四边形(点为坐标原点)面积最小时,直线的方程为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】先判断出四边形的面积最小时点的位置,再由两圆公共弦所在直线方程的求法即可求解.
    【详解】由题意可得,,,
    所以四边形的面积

    所以当最小时,四边形面积最小,此时直线与直线垂直,
    的斜率为,则直线的斜率为1,所以此时直线的方程为,
    由得,即得点的坐标为,
    则,,
    以为圆心,为半径的圆方程为,
    即,与方程两式相减,并化简得,
    即直线的方程为.
    故选:A.

    7. “”是“数列为等差数列”的( )
    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
    C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据等差数列和充分性、必要性的概念求解即可.
    【详解】若“”,则数列不一定是等差数列,如,
    若“数列为等差数列”,则由等差中项可知,
    所以“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件,
    故选:B
    8. 函数在区间上恰有三个零点,则的取值范围是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据题意,将原问题转化为函数在区间上恰有三个零点,根据正弦函数的性质,即可求出结果.
    【详解】因为,所以,
    又函数在上恰有三个零点,等价于函数在区间上恰有三个零点,
    由正弦函数的性质可知,,
    所以,
    故选:C.
    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
    9. 已知个数据的第百分位数是,则下列说法错误的是( )
    A. 这个数据中一定有个数小于
    B. 把这个数据从小到大排列后,是第个数据
    C. 把这个数据从小到大排列后,是第个数据和第个数据的平均数
    D. 把这个数据从小到大排列后,是第个数据和第个数据的平均数
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】根据百分位数的概念可知.
    【详解】因为为整数,
    所以根据百分位数的定义,可知将这个数据从小到大排列后,是第个数据和第个数据的平均数,
    所以这个数据中一定有个数小于或等于,
    故A,B,D错误,C正确,
    故选:ABD.
    10. 下列命题正确的是( )
    A.
    B. 若,则
    C. 若正数,满足,则
    D. 是的必要不充分条件,其中均为正数
    【答案】AB
    【解析】
    【分析】由基本不等式结合函数的奇偶性可判断A;由不等式的性质可判断B;由基本不等式和对数的运算性质可判断C;由基本不等式结合充分必要条件的定义可判断D.
    【详解】解:对于A,当时,,当且仅当时取等号,
    由于为奇函数,所以当时,,所以,A正确:
    对于B,若,所以,所以,所以,B正确:
    对于C,因为且,所以,所以错误;
    对于D,因为时,有,所以;反之,当时,满足,但是错误.
    故选:.
    11. 已知在正三棱台中,,则下列叙述正确的是( )
    A. 该三棱台的高为2
    B.
    C. 该三棱台的侧面积为
    D. 该三棱台外接球的半径长为
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】对于A,根据三棱台的图形特点,利用直角三角行中勾股定理求解即可;对于B,根据线面垂直的相关知识,结合图形特点进而证明即可;对于C,根据梯形面积计算方法直接计算即可;对于D,根据图形特点找到外接球的球心,进而得到半径即可判断.
    【详解】解:如图所示,延长正三棱台的三条侧棱相交于点,设的中心分别是和,连接

    对于A,在中,根据正弦定理得,
    得外接圆半径,即,同理,
    在平面中,过点作交与点,
    显然,四边形为矩形,则,
    所以,
    在直角中,,
    所以,即该三棱台的高为2,故A正确;
    对于B,由正三棱锥的性质可知,平面,
    因为平面,所以,
    因为是等边的中心,所以,
    又因为平面,所以平面,
    因为平面,所以,故正确:
    对于C,如图所示,在梯形中,过点作交于点,

    过点作交于点,
    根据梯形性质易知,四边形是矩形,则,则

    在直角中,,
    所以梯形的面积为,
    所以该三棱台的侧面积为,故C错误;
    对于D,因为,则,
    则点是三棱台外接球的球心,则该三棱台外接球的半径长为,故D正确.
    故选:ABD.
    12. 已知函数满足:,且在上的导数,则不等式的整数解可以为( )
    A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
    【答案】CD
    【解析】
    【分析】通过,结合,构造函数,从而得到函数的单调性。问题可以转化为,通过,可得,从而解出关于的不等式,并找到区间中的整数解。
    详解】由,得,令,
    由不等式得,所以取,
    则函数在上是减函数,且,
    所以当时,,
    由,即,得,所以,
    因为题目求不等式的整数解,所以整数解为1和2.
    故选:
    三、填空题:本题共4小题,小题5分,共20分.
    13. 从一颗骰子的六个面中任意选取三个面,其中恰有两个面平行的不同选法共有__________种(用数字作答).
    【答案】12
    【解析】
    【分析】使用间接法,先算出从六个面中任意选取三个面的数目,然后算三个面彼此相邻的数目,由此即可求解.
    【详解】从一颗骰子的六个面中任意选取三个面有种,
    若其中有三个面彼此相邻,则当且仅当这三个面都交于这颗骰子的同一个顶点,
    而骰子一共有8个顶点,所以其中有三个面彼此相邻的有8种,
    所以由间接法可知恰有两个面平行的不同选法共有种.
    故答案为:12.
    14. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆、则该圆锥的体积为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】设圆锥的高为,底面圆的半径为,则,根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的弧长,求出 ,最后根据圆锥的体积公式即可得出答案.
    【详解】解:设圆锥高为,底面圆的半径为,则,由题意可知半圆的弧长为,所以,,
    所以,所以圆锥体积.
    故答案为: .
    15. 若函数,且,则__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】先由,可知 是 的一条对称轴,再根据正弦函数的图象的对称性,得出a的值即可.
    【详解】解:由,可知 是 的一条对称轴,
    因为
    所以 , ,
    因为 ,所以 .
    故答案为: .
    16. 已知双曲线的左、右焦点分别为,过点的直线与双曲线的左支交于,两点,若,则的内切圆周长为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由双曲线定义可以首先求出,然后由可以求出,最终由直角三角形内切圆半径公式即可求解.
    【详解】如图所示:

    设内切圆半径为,切点分别为,
    由题意,则,所以,
    由双曲线定义有;
    又因为,即,所以,
    因此,
    从而直角三角形的内切圆半径是,
    所以的内切圆周长为.
    故答案为:.
    【点睛】关键点点睛:熟练双曲线定义以及直角三角形内切圆半径公式,并合理转换已知条件是解题的关键.
    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17. 某滨海城市沙滩风景秀丽,夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务,为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查、来模拟饮品店开卖之后的利润情况,考虑沙滩承受能力有限,超过1.4万人即停止预约、以下表格是160天内进入沙滩的每日人数(单位:万人)的频数分布表.
    人数万







    频数(天)
    8
    8
    16
    24

    48
    32

    (1)绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图(用阴影表示),并求出的值和这组数据的分位数;

    (2)据统计,每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品,(单位:个)为进入该沙滩的人数为10的整倍数.如有8006人,则取8000.每杯饮品的售价为15元,成本为5元,当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品,记为该店每日的利润(单位:元),求和的函数关系式;
    (3)以频率估计概率,求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.
    【答案】(1),分位数为,频率分布直方图见解析
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)根据总天数为即可求出,再根据百分位数的的定义求出分位数即可,画出频率分布直方图即可;
    (2)根据题意分和两种情况计算即可;
    (3)利用古典概型求解即可.
    【小问1详解】
    由题意,,解得,
    因为,,
    所以分位数在区间上,
    则分位数为;
    画出频率分布直方图如图所示:
    【小问2详解】
    由题意知,当时,元,
    当时,,
    所以;
    【小问3详解】
    设销售的利润不少于7000元的事件记为,实际上得到人数,
    此时.
    18. 在中.内角的对边分别为,且.
    (1)证明:;
    (2)若,求的面积的最大值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据正弦定理进行求解即可;
    (2)利用三角形面积公式、余弦定理,结合辅助角公式进行求解即可.
    【小问1详解】
    因为,
    由正弦定理得:,
    即,即
    即:,
    由正弦定理得:;
    【小问2详解】
    设,则,
    由余弦定理得:,所以

    令,则
    ,其中
    则,整理得,即
    所以,的面积的最大值为.
    19. 已知数列满足.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设,数列的前项和为,求证:.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析
    【解析】
    【分析】(1)运用累乘法求出的通项公式;
    (2)先运用裂项法求出的解析式,再运用缩放法证明.
    【小问1详解】
    由已知,
    所以,
    当时,满足条件,所以;
    【小问2详解】
    由于,
    所以,
    所以,
    所以,显然在上为增函数,,又,
    所以;
    综上,.
    20. 如图,在三棱锥中,平面分别为棱的中点.

    (1)证明:;
    (2)若,二面角的余弦值为,求三棱锥的体积.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)证明平面,根据线面垂直的性质证明结论;
    (2)建立空间直角坐标系,求得相关点坐标,根据空间角的向量求法结合二面角的余弦值,求出PA的长,根据棱锥体积公式即可求得答案.
    【小问1详解】
    因为,点是的中点,所以.
    因为平面平面,所以.
    又因为平面,所以平面,
    因为平面,所以.
    【小问2详解】
    因为,所以,
    取中点,连接,则.
    因为平面,所以平面.
    故以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,

    设,得,
    所以.
    设平面的法向量,则,
    得,令,得.
    设平面的法向量,
    则由,得,令,得.
    依题意,,
    因为,所以解得,所以,
    所以三棱锥的体积.
    21. 已知函数
    (1)判断的单调性;
    (2)若函数存在极值,求这些极值的和的取值范围.
    【答案】(1)见解析;(2)
    【解析】
    【分析】(1)求出导函数,,对(),用判别式进行分类讨论,以确定的零点与符号,从而确定的单调区间;
    (2)题意说明在上有解,且在解的两侧符号相反.
    【详解】(1)因为,所以,令.
    ,即时,恒成立,此时,
    所以函数在上为减函数;,即或时,有不相等的两根,
    设为(),则,.
    当或时,,
    此时,所以函数在和上为减函数;
    当时,,此时,所以函数在上为增函数.
    (2)对函数求导得. 因为存在极值,
    所以在上有解,即方程在上有解,
    即.显然当时,无极值,不合题意,
    所以方程必有两个不等正根.
    设方程的两个不等正根分别为,则,
    由题意知

    由得,
    即这些极值和的取值范围为.
    【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值.掌握用导数研究函数的方法是解题基础.,特别要注意不是为极值点的充分条件(即使在可导情况下),还必须满足在的两侧符号相反.
    22. 已知动圆过点,且与直线相切,设动圆圆心的轨迹为曲线;过点的直线与曲线交于,两点,曲线在,两点处的切线交于点.
    (1)证明:;
    (2)设,当时,求的面积的最小值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据抛物线的定义可得动圆圆心的轨迹为抛物线,设直线方程,根据切线方程可得点坐标,进而可得;
    (2)由得,根据弦长公式,可得,根据点坐标得,进而可得,根据单调性可得最小值.
    【小问1详解】

    由题意得,圆心到点的距离和直线的距离相等,
    由抛物线的定义知,曲线的轨迹为抛物线,
    由焦点和准线方程,可得方程为,
    设的方程为,代入,得,
    设,,则①,②
    切线方程为:③,切线方程为:④,
    由③、④得,所以,
    ③-④,得,即,所以.
    当时,显然有,
    当时,,所以,
    所以.
    【小问2详解】
    由题意得:,得,结合①、②得
    ,,从而,
    因为,,
    所以.
    设,,
    当时,,所以在区间上为减函数,
    所以,当时,取得最小值,从而可得.
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