北师大版数学九年级上册第一次月考试卷（含详细解析）

这是一份北师大版数学九年级上册第一次月考试卷（含详细解析），共62页。试卷主要包含了下列方程中是一元二次方程的是等内容，欢迎下载使用。

1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．x2﹣2y﹣3＝0
C．x3﹣x+4＝0D．2x2＝0
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3x+3＝0B．x2﹣xy＝2C．D．
3．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（ ）
A．2026B．2025C．2023D．2022
4．若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则2019﹣m2+5m的值是（ ）
A．2016B．2017C．2018D．2019
5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝﹣6B．（x﹣2）2＝﹣10
C．（x﹣4）2＝6D．（x﹣2）2＝10
6．对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如4⊗5＝52﹣4×5＝5，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
7．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价x（元）满足关系：P＝100﹣2x．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．（x﹣30）（100﹣2x）＝200B．x（100﹣2x）＝200
C．（30﹣x）（100﹣2x）＝200D．（x﹣30）（2x﹣100）＝200
8．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一．其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”其大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈＝10尺）如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+42＝（10﹣x）2B．（10﹣x）2+42＝x2
C．x2+（10﹣x）2＝42D．x（10﹣x）＝42
9．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝280
B．100（1+x）+100（1+x）2＝280
C．100（1﹣x）2＝280
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280
10．“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
12．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（ ）
A．B．C．D．
13．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（ ）
A．24B．18C．16D．6
14．已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
15．已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
16．如果，则＝（ ）
A．B．C．D．
17．下列方程中两根之和为6的是（ ）
A．x2﹣6x+10＝0B．x2﹣12x+6＝0
C．2x2﹣6x﹣3＝0D．x2﹣6x＝15
18．明明在解关于x的方程ax2﹣3x+2＝0（a≠0）时，抄错了a的符号，解出其中一个根是x＝1．则原方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有一个实数根是x＝﹣1
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
二．填空题（共13小题）
19．若方程（m+1）x|m﹣1|+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
20．将一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ．
21．“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1537万辆．设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为 ．
22．三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10＝0的根，则三角形的周长是 ．
23．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为x m，由题意列得方程 ．
24．已知实数a，b满足，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1，x2，则ab的值为 ，的值为 ．
25．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 ．
26．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是
27．若a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式a2﹣b+3的值为 ．
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ．
29．九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x名学生，则列出的方程化为一般式为 ．
30．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了55次，那么到会的人数是 ．
31．某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加3.52万辆，则从4月份到6月份销售量的平均月增长率为 ．
三．解答题（共29小题）
32．用指定的方法解一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0；（配方法）
（2）2x2+2x＝3．（公式法）
33．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某厂家1月份生产10万个“冰墩墩”，1月底因市场对“冰墩墩“需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份开始扩大产量，3月份产量达到12.1万个．已知2月份和3月份产量的月平均增长率相同．
（1）求“冰墩墩”产量的月平均增长率；
（2）按照（1）中的月平均增长率，预计4月份的产量为多少个？
34．某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元．
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
35．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
36．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）当每件盈利50元时，每天可销售 件．
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3072元？
37．“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当销售量为30件时，产品售价为 元/件；
（2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
（3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
38．中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒．
（1）设售价每盒下降x元，则每天能售出 盒（用含x的代数式表示）；
（2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元；
（3）该商场每天所获得的利润是否能达到2700元？请说明理由．
39．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝ （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
40．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）
（1）若设车棚宽度AB为x m，则车棚长度BC为 m；
（2）若车棚面积为285m2，试求出自行车车棚的长和宽．
（3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为450m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
41．睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图．
（1）本次抽取调查的学生共有 人，扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）被抽取调查的E类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
42．为了贯彻落实国务院提出的“健康第一”的指导思想，切实加强学校体育工作，使学生养成良好的锻炼习惯，提高学生体质的健康水平，《国家中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准如表：
太原市某校从九年级学生中随机抽取了400名学生进行了体质测试，将调查结果整理后绘制成如图所示的两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）在这被抽查的九年级学生中，优秀的有 人，及格的有 人．
（2）求所抽取的400名学生的平均分．
（3）该校校委会决定从获得优秀奖成绩前三名学生中选取2名同学参加省体质测试，已知前三名学生中只有1名男生，请用列表或画树状图的方法求所选的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
43．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
44．“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
45．质量就是生命！某工厂全体员工将质量至上的理念铭记在心，齐心协力打造卓越品质，工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格：
（1）表格中m的值为 ，n的值为 ；
（2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率．（结果保留两位小数）
46．为有效推进儿童青少年近视防控工作，国家教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021﹣2025年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查了多少名学生；
（2）通过计算补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角为 °；
（3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．
47．今年疫情期间，为防止疫情扩散，人们见面的机会少了，但是随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为此，孙老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查．将统计结果绘制了下面两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ；其它沟通方式所占的百分比为 ．
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果我国有13亿人在使用手机．
①请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？
48．（1）解方程：2x2+4x﹣5＝0；
（2）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝48，，求△ABC三边的长．
49．已知2a＝3b，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
50．如果，且3a﹣2b+c＝12，求a﹣b+c的值．
51．如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝6，AC＝10，求AE的长．
52．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接DE，若DE∥AB，CE＝2AE，CD＝6，求BD的长．
53．如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝3，求的值．
54．“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
55．某果农计划在一片向阳的坡地上种植100棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，但他发现多种20棵桃树，则每亩地多种4棵．
（1）求果农原计划每亩地种多少棵桃树？
（2）果农经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是1000个桃子，若多种1棵桃树，每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子，而且多种的桃树不能超过100棵．如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？
56．某商场今年年初以每件10元的进价购进一批“网红”商品．当商品售价为20元时，一月份销售2250件，三月份销售3240件．设二月和三月该商品销售的月平均增长率相等．
（1）求二月和三月该商品的月平均增长率；
（2）从四月初起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加50件，当商品降价多少元时，商场获利29610元？
57．某商店在2019年至2021年期间销售一种礼盒．2019年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完，2021年，这种礼盒的进价比2019年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2019年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2019年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
58．某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．
（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？
59．巴黎奥运会的吉祥物“弗里热”玩偶共有两种尺寸．分别为大款和小款，小渝购置了一定数量的两款玩偶，各自花费2400元，已知大款比小款单价高90元，小款数量是大款数量的．
（1）请问大，小款单价各多少元？
（2）为了送给其他的朋友，小渝决定再买一定数量的吉祥物，此时，在第一次购买的基础上，小款的单价减少了m元，购买数量增加了个，大款的单价不变，购买数量减少了个，总费用为4800元，请求出m的值．
60．综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设AB的长为x米．
【项目解决】
目标1：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园ABCD的面积为32平方米时，求BC的长．
目标2：探究最少的材料方案．
现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．
（1）若m＝14米，能成功围成吗？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
（2）若要成功围成，则m的最小值为 米，此时，AB＝ 米．
北师大版数学九年级上册第一次月考试卷（含详细解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．x2﹣2y﹣3＝0
C．x3﹣x+4＝0D．2x2＝0
【考点】一元二次方程的定义．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次，这样的整式方程，判断即可．
【解答】解：A、不是整式方程，不符合题意；
B、x2﹣2y﹣3＝0为二元二次方程，不符合题意；
C、x3﹣x+4＝0是一元三次方程，不符合题意；
D、2x2＝0是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3x+3＝0B．x2﹣xy＝2C．D．
【考点】一元二次方程的定义．
【答案】A
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A．x2﹣3x+3＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
B．x2﹣xy＝2，含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是分式方程，故本选项不符合题意；
D．不是整式方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（ ）
A．2026B．2025C．2023D．2022
【考点】一元二次方程的解；代数式求值．
【答案】D
【分析】把x＝a代入3x2﹣x﹣1＝0，得3a2﹣a＝1，然后把所求式子化为2024﹣2（3a2﹣a）代入计算即可作答．
【解答】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴3a2﹣a＝1，
∴2022﹣6a2+2a＝2024﹣2（3a2﹣a）＝2024﹣2×1＝2022，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
4．若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则2019﹣m2+5m的值是（ ）
A．2016B．2017C．2018D．2019
【考点】一元二次方程的解．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程解的定义得到m2﹣5m＝2，再由2019﹣m2+5m＝2019﹣（m2﹣5m），利用整体代入法求解即可．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，
∴m2﹣5m﹣2＝0，
∴m2﹣5m＝2，
∴2019﹣m2+5m＝2019﹣（m2﹣5m）＝2019﹣2＝2017，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟练掌握一元二次方程定义是关键．
5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝﹣6B．（x﹣2）2＝﹣10
C．（x﹣4）2＝6D．（x﹣2）2＝10
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】D
【分析】首先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
【解答】解：x2﹣4x﹣6＝0，
x2﹣4x+4＝6+4，
（x﹣2）2＝10，
故选：D．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如4⊗5＝52﹣4×5＝5，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式；实数的运算．
【答案】A
【分析】．先根据新定义得到关于x的方程为x2﹣（k﹣3）x+1﹣k＝0，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x+1﹣k＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝（k﹣1）2+4＞0，
∴方程x2﹣（k﹣3）x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，掌握根的判别式是关键．
7．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价x（元）满足关系：P＝100﹣2x．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．（x﹣30）（100﹣2x）＝200B．x（100﹣2x）＝200
C．（30﹣x）（100﹣2x）＝200D．（x﹣30）（2x﹣100）＝200
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】A
【分析】一天的利润＝（售价﹣进价）×销售量，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵每件商品的利润为（x﹣30）元，可售出（100﹣2x）件，
∴根据每天的利润为200元可列的方程为（x﹣30）（100﹣2x）＝200，
故选：A．
【点评】考查列一元二次方程；得到一天的利润的等量关系是解决本题的关键．
8．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一．其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”其大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈＝10尺）如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+42＝（10﹣x）2B．（10﹣x）2+42＝x2
C．x2+（10﹣x）2＝42D．x（10﹣x）＝42
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；勾股定理的应用．
【答案】A
【分析】根据勾股定理列方程即可．
【解答】解：如图所示：
由题意得：∠AOB＝90°，
设折断处离地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了从实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
9．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝280
B．100（1+x）+100（1+x）2＝280
C．100（1﹣x）2＝280
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】B
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程．
【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，
则二月份生产机器为：100（1+x），
三月份生产机器为：100（1+x）2；
又知二、三月份共生产280台；
所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2＝280．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据增长率的一般规律，列出方程；平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
10．“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【答案】D
【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【解答】解：令四个景点：“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”，分别为A、B、C、D，
列表得：
由表格可得：共有12种等可能出现的结果，其中这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的有6种结果，
所以这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率为＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
11．一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【答案】B
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸到的球恰好有一个红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中两次摸到的球恰好有一个红球的结果有：（红，白），（红，绿），（白，红），（绿，红），共4种，
∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率为．
故选：B．
【点评】本题考查列表法与树状图法和概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
12．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【答案】D
【分析】由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，
画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况，
∴可配成紫色的概率是：．
故选：D．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意所选每种情况必须均等，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（ ）
A．24B．18C．16D．6
【考点】利用频率估计概率．
【答案】C
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率＝频数计算白球的个数．
【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，
∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%＝40%，
故口袋中白色球的个数可能是40×40%＝16个．
故选：C．
【点评】大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．
14．已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【考点】比例的性质．
【答案】B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、由＝得ab＝6，故本选项错误；
B、由＝得2a＝3b，故本选项正确；
C、由＝得3a＝2b，故本选项错误；
D、由＝得3a＝2b，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，比较简单．
15．已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【考点】比例的性质．
【答案】A
【分析】利用等比性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．
16．如果，则＝（ ）
A．B．C．D．
【考点】比例的性质．
【答案】C
【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值．
【解答】解：∵，
∴＝．
故选：C．
【点评】此题考查了比例的基本性质．此题比较简单，注意熟记比例变形．
17．下列方程中两根之和为6的是（ ）
A．x2﹣6x+10＝0B．x2﹣12x+6＝0
C．2x2﹣6x﹣3＝0D．x2﹣6x＝15
【考点】根与系数的关系．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系逐项判断即可．
【解答】解：A、因为x2﹣6x+10＝0，所以Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0，此方程无解，故A不符合题意；
B、因为x2﹣12x+6＝0，根据一元二次方程根与系数的关系得：，故B不符合题意；
C、因为2x2﹣6x﹣3＝0，根据一元二次方程根与系数的关系得：，故C不符合题意；
D、因为x2﹣6x＝15，移项得：x2﹣6x﹣15＝0，根据一元二次方程根与系数的关系得：，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二方程根与系数的关系是解答本题的关键．
18．明明在解关于x的方程ax2﹣3x+2＝0（a≠0）时，抄错了a的符号，解出其中一个根是x＝1．则原方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有一个实数根是x＝﹣1
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【答案】D
【分析】根据抄错a的符号时得出的根，可求出正确的a的值，再判断出根的判别式的正负即可解决问题．
【解答】解：将x＝1代入方程得，
a﹣3+2＝0，
解得a＝1，
所以a的正确值为﹣1，
则原方程为﹣x2﹣3x+2＝0，
所以Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）×2＝17＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
二．填空题（共13小题）
19．若方程（m+1）x|m﹣1|+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ 3 ．
【考点】一元二次方程的定义；绝对值．
【答案】3．
【分析】根据一元二次方程的定义及绝对值的性质进行列式、求解．
【解答】解：由题意得|m﹣1|＝2，
∴m﹣1＝±2，
解得m＝3或m＝﹣1，
∵m+1≠0，即m≠﹣1，
∴m＝3，
故答案为：3．
【点评】此题考查了一元二次方程定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识和绝对值的性质进行求解．
20．将一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ﹣3 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【答案】﹣3．
【分析】根据题意正确得出一般式，即可得到答案．
【解答】解：∵一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，二次项的系数是2，
∴化成的一般形式为2x2﹣3x﹣4＝0，
∴一次项系数为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
21．“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1537万辆．设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为 700（1+x）2＝1537 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】700（1+x）2＝1537．
【分析】设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据2022年及2024年新能源汽车年销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，
依题意得：700（1+x）2＝1537．
故答案为：700（1+x）2＝1537．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10＝0的根，则三角形的周长是 12或6或15 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求出解，利用三角形的三边关系判断，求出三角形周长即可．
【解答】解：方程x2﹣7x+10＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）＝0，
解得：x＝2或x＝5，
三角形三边长为2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5，
则周长为12或6或15．
故答案为：12或6或15
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
23．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为x m，由题意列得方程 x2﹣35x+66＝0 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
（30﹣2x）（20﹣x）＝78×6，
化简，得
x2﹣35x+66＝0，
故答案为：x2﹣35x+66＝0．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
24．已知实数a，b满足，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1，x2，则ab的值为 ﹣6 ，的值为 ．
【考点】根与系数的关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
【答案】﹣6，．
【分析】先通过绝对值及二次根式的性质先求出a，b的值，再通过韦达定理即可解题．
【解答】解：∵，
∴a﹣3＝0，b+2＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴ab＝﹣6，
故一元二次方程为x2﹣3x﹣2＝0，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
∴．
故答案为：﹣6，．
【点评】本题考查了绝对值，二次根式的基本性质以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解答本题的关键．
25．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 ﹣3 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【答案】﹣3．
【分析】利用根与系数之间的关系求解
【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m×2＝﹣6，
∴m＝﹣3，
故答案为﹣3，
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是学生对公式的理解和熟练使用．
26．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k≤0且k≠﹣1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0且k≠﹣1．
故答案为k≤0且k≠﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
27．若a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式a2﹣b+3的值为 2028 ．
【考点】根与系数的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】先把x＝a代入方程x2+x﹣2024＝0得出a2的表达式，再根据根与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，
∴a2+a﹣2024＝0，a+b＝﹣1，
∴a2＝2024﹣a，
∴a2﹣b+3
＝2024﹣a﹣b+3
＝2024﹣（a+b）+3
＝2024+1+3
＝2028．
故答案为：2028．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解题的关键．
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ﹣1 ．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣a）＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣a）＝0，解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
29．九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x名学生，则列出的方程化为一般式为 x2﹣x﹣132＝0 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】x2﹣x﹣132＝0．
【分析】设全班有x人．根据互赠卡片一张，则x人共赠卡片x（x﹣1）张，列方程即可．
【解答】解：根据题意得，
x（x﹣1）＝132，即x2﹣x﹣132＝0，
故答案为：x2﹣x﹣132＝0．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．理解题意列出方程是关键．
30．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了55次，那么到会的人数是 11 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】11．
【分析】设到会的有x人，根据参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了55次，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设到会的有x人，
由题意得：＝55，
整理得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去），
故答案为：11．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
31．某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加3.52万辆，则从4月份到6月份销售量的平均月增长率为 20% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】20%．
【分析】设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x，根据该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加3.52万辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x，
依题意得：8（1+x）2＝8+3.52，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
即从4月份到6月份销售量的平均月增长率为20%，
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共29小题）
32．用指定的方法解一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0；（配方法）
（2）2x2+2x＝3．（公式法）
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法．
【答案】（1）x1＝6，x2＝﹣2．（2）x1＝，x2＝．
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣12＝0，
x2﹣4x＝12，
x2﹣4x+4＝12+4，
（x﹣2）2＝16，
x﹣2＝±4，
x1＝6，x2＝﹣2．
（2）2x2+2x＝3．
2x2+2x﹣3＝0，
Δ＝4+24＝28，
x＝，
x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
33．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某厂家1月份生产10万个“冰墩墩”，1月底因市场对“冰墩墩“需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份开始扩大产量，3月份产量达到12.1万个．已知2月份和3月份产量的月平均增长率相同．
（1）求“冰墩墩”产量的月平均增长率；
（2）按照（1）中的月平均增长率，预计4月份的产量为多少个？
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】（1）10%；
（2）13.31万个．
【分析】（1）设“冰墩墩”产量的月平均增长率为x，根据1月份及3月份的产量，列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份产量达到12.1万个，即可求出预计4月份平均日产量．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”产量的月平均增长率为x，根据题意，得
10（1+x）2＝12.1．
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：“冰墩墩”产量的月平均增长率为10%；
（2）12.1×（1+0.1）＝13.31（万个）．
答：预计4月份的产量为13.31万个．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
34．某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元．
（1）商场日销售量增加 3x 件，每件商品盈利 （60﹣x） 元（用含x的代数式表示）；
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据每件商品降价1元，商场每天就可以多售出3件可得商场日销售量增加的件数，由售价减进价可得每件商品利润；
（2）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：商场日销售量增加3x件，每件商品盈利为280﹣x﹣220＝（60﹣x）元，
故答案为：3x，（60﹣x）；
（2）根据题意得：（30+3x）（60﹣x）＝3600，
解得x1＝20，x2＝30，
∵要更有利于减少库存，
∴x＝30．
答：每件商品应降价30元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
35．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）该品牌的头盔每个应涨价5元．
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同”，列出一元二次方程，解方程取其正值即可；
（2）设该品牌头盔每个应涨价m元，根据“此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元”，列出一元二次方程求解，再根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率x，
由题意得：375（1+x）2＝540，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔每个应涨价m元，
由题意得：（10+m）（500﹣20m）＝6000，
整理得：m2﹣15m+50＝0，
解得m1＝5，m2＝10，
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴m＝5，
答：该品牌的头盔每个应涨价5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
36．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）当每件盈利50元时，每天可销售 60 件．
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3072元？
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】（1）60；
（2）28元．
【分析】（1）利用每天的销售量＝40+2×每件商品降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（60﹣x）元，平均每天可售出（40+2x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件商品应降价28元．
【解答】解：（1）40+2×（60﹣50）＝60（件）．
故答案为：60．
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（60﹣x）元，平均每天可售出（40+2x）件，
依题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3072，
整理得：x2﹣40x+336＝0，
解得：x1＝12，x2＝28，
又∵要尽快减少库存，
∴x＝28．
答：每件商品应降价28元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
37．“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当销售量为30件时，产品售价为 105 元/件；
（2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
（3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用售价＝110﹣，即可求出结论；
（2）利用日销售量＝20+2×（110﹣售价），即可找出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
（3）利用电商每天销售该产品获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）110﹣
＝110﹣
＝110﹣5
＝105（元/件），
∴当销售量为30件时，产品售价为105元/件．
故答案为：105；
（2）根据题意得：y＝20+2（110﹣x）＝﹣2x+240，
∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，
∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣2x+240（70≤x≤99）；
（3）根据题意得：（x﹣70）（﹣2x+240）＝1200，
整理得：x2﹣190x+9000＝0，
解得：x1＝90，x2＝100（不符合题意，舍去）．
答：该产品的售价每件应定为90元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
38．中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒．
（1）设售价每盒下降x元，则每天能售出 （60+） 盒（用含x的代数式表示）；
（2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元；
（3）该商场每天所获得的利润是否能达到2700元？请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用；列代数式；根的判别式．
【答案】（1）（60+）；
（2）当月饼每盒售价为170元或174元时，每天的销售利润恰好能达到2550元；
（3）该商场每天所获得的利润不能达到2700元．
【分析】（1）根据每盒月饼降价2元，商场每天就可以多售出5盒．列出代数式即可；
（2）设月饼每盒售价下降x元，则每天能售出（60+×5）盒，即（60+）盒，根据每天的销售利润恰好能达到2550元，列出一元二次方程，解方程即可；
（3）设月饼每盒售价下降y元，根据该商场每天所获得的利润达到2700元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论．
【解答】解：（1）设售价每盒下降x元，则每天能售出（60+×5）盒，即（60+）盒，
故答案为：（60+）；
（2）设月饼每盒售价下降x元，则每天能售出（60+×5）盒，即（60+）盒，
由题意得：（180﹣x﹣140）（60+）＝2550，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝10，x2＝6，
当x＝10时，180﹣x＝180﹣10＝170；
当x＝6时，180﹣x＝180﹣6＝174，
答：当月饼每盒售价为170元或174元时，每天的销售利润恰好能达到2550元；
（3）该商场每天所获得的利润不能达到2700元，理由如下：
设月饼每盒售价下降y元，
由题意得：（180﹣y﹣140）（60+）＝2700，
整理得：y2﹣16y+120＝0，
∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×120＝﹣224＜0，
∴此方程没有实数根，
∴该商场每天所获得的利润不能达到2700元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
39．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ 3t cm ，BP＝ （16﹣3t）cm ，CQ＝ 2t cm ，DQ＝ （16﹣2t）cm （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
【考点】一元二次方程的应用；勾股定理；列代数式；一元一次方程的应用．
【答案】（1）3t cm，（16﹣3t）cm，2t cm，（16﹣2t）cm；
（2）t＝5；
（3）t＝或．
【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当运动时间为t s时，AP＝3t cm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2t cm，DQ＝（16﹣2t）cm．
故答案为：3t cm；（16﹣3t）cm；2t cm；（16﹣2t）cm．
（2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33，
整理得：16﹣t＝11，
解得：t＝5.
答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示．
依题意得：|16﹣5t|2+62＝102，
即（16﹣5t）2＝82，
解得：t1＝，t2＝．
答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
40．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）
（1）若设车棚宽度AB为x m，则车棚长度BC为 （72﹣3x） m；
（2）若车棚面积为285m2，试求出自行车车棚的长和宽．
（3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为450m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】（1）（72﹣3x）；
（2）自行车车棚的长为57m，宽为5m；
（3）不能围成面积为450m2的自行车车棚，理由见解析．
【分析】（1）由题意即可得出结论；
（2）设车棚宽度AB的长为x m，则车棚长度BC为（72﹣3x）m，根据车棚面积为285m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（3）设车棚宽度AB的长为y m，则车棚长度BC为（72﹣3y）m，根据围成面积为450m2的自行车车棚，列出一元二次方程，然后根据根的判别式即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意可知，BC＝70﹣2（x﹣1）﹣x＝（72﹣3x）（m），
故答案为：（72﹣3x）；
（2）设车棚宽度AB的长为x m，则车棚长度BC为（72﹣3x）m，
由题意得：x（72﹣3x）＝285，
整理得：x2﹣24x+95＝0，
解得：x1＝5，x2＝19（不符合题意，舍去），
∴72﹣3x＝72﹣3×5＝57，
答：自行车车棚的长为57m，宽为5m；
（3）不能围成面积为450m2的自行车车棚，理由如下：
设车棚宽度AB的长为y m，则车棚长度BC为（72﹣3y）m，
由题意得：y（72﹣3y）＝450，
整理得：y2﹣24y+150＝0，
∵Δ＝（﹣24）2﹣4×1×150＝﹣24＜0，
∴原方程无解，
∴不能围成面积为450m2的自行车车棚．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
41．睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图．
（1）本次抽取调查的学生共有 50 人，扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为 144° ；
（2）请补全条形统计图；
（3）被抽取调查的E类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图；条形统计图；加权平均数．
【答案】（1）50，144°；
（2）图形见解析；
（3）．
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出本次抽取调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出D的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名男生的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有14÷28%＝50（人），
扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为360°×＝144°，
故答案为：50，144°；
（2）D的人数为：50﹣6﹣14﹣20﹣4＝6（人），
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名男生的结果有2种，
∴恰好抽到2名男生的概率＝＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
42．为了贯彻落实国务院提出的“健康第一”的指导思想，切实加强学校体育工作，使学生养成良好的锻炼习惯，提高学生体质的健康水平，《国家中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准如表：
太原市某校从九年级学生中随机抽取了400名学生进行了体质测试，将调查结果整理后绘制成如图所示的两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）在这被抽查的九年级学生中，优秀的有 120 人，及格的有 60 人．
（2）求所抽取的400名学生的平均分．
（3）该校校委会决定从获得优秀奖成绩前三名学生中选取2名同学参加省体质测试，已知前三名学生中只有1名男生，请用列表或画树状图的方法求所选的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图；条形统计图；加权平均数．
【答案】（1）120，60；
（2）79.9分；
（3）．
【分析】（1）由被抽查的学生总人数分别乘以各等级的百分比即可；
（2）求出不及格的人数和良好的人数，再由加权平均数的定义列式计算即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中所选的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）在这被抽查的九年级学生中，优秀的有：400×30%＝120（人），
及格的有：400×（1﹣30%﹣10%﹣45%）＝400×15%＝60（人），
故答案为：120，60；
（2）不及格的人数有：400×10%＝40（人），
良好的人数有：400×45%＝180（人），
∴所抽取的400名学生的平均分为：＝79.9（分）；
（3）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中所选的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有4种，
∴所选的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率、加权平均数以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
43．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【考点】利用频率估计概率；用样本估计总体；列表法与树状图法．
【答案】（1）估计箱子里白色小球的个数为1；（2）．
【分析】（1）设白球有x个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右可估计摸到红球的概率为0.75，据此利用概率公式列出关于x的方程，解之即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有x个，
根据题意，得：＝0.75，
解得x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
∴估计箱子里白色小球的个数为1；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
44．“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
【考点】利用频率估计概率；用样本估计总体．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用发放景点吉祥物的数量除以游客的总数量即可；
（2）设纸箱中白球的数量为x，用纸箱中红球的数量除以球的总个数＝0.25列出方程求解即可．
【解答】解：（1）参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为＝0.25；
（2）设纸箱中白球的数量为x，
则＝0.25，
解得x＝36，
经检验x＝36是分式方程的解且符合实际，
所以估计纸箱中白球的数量接近36．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
45．质量就是生命！某工厂全体员工将质量至上的理念铭记在心，齐心协力打造卓越品质，工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格：
（1）表格中m的值为 490 ，n的值为 0.98 ；
（2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率．（结果保留两位小数）
【考点】利用频率估计概率．
【答案】（1）490，0.98；
（2）0.02．
【分析】（1）根据，即可求出m、n的值；
（2）由表格可知，得到随实验次数的增多，合格品的频率越来越稳定在0.98左右，由此可估计．
【解答】解：（1）m＝500×0.98＝490，
n＝980÷1000＝0.98，
故答案为：490，0.98；
（2）由表格可知，合格频率越来越稳定在0.98左右，
∴不合格品的概率为1﹣0.98＝0.02．
【点评】本题考查了频率与频数，利用频率估计概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
46．为有效推进儿童青少年近视防控工作，国家教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021﹣2025年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查了多少名学生；
（2）通过计算补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角为 63 °；
（3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．
【考点】利用频率估计概率；扇形统计图．
【答案】（1）本次调查了120名学生；
（2）补全图形见解答过程；63；
（3）估计该校选择“乒乓球”课程的学生人数为550名．
【分析】（1）利用选择篮球项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）求出选择乒乓球项目的人数，再补全条形统计图即可；用360°乘选择“足球”所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以样本中选择“乒乓球”的比例即可得．
【解答】解：（1）本次被调查的学生共有：36÷30%＝120（名），
答：本次调查了120名学生；
故选择乒乓球项目的人数为：120﹣30﹣21﹣36＝33（名），
补全条形统计图如下：
（2）扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝63°，
故答案为：63；
（3）2000×＝550（名），
答：估计该校选择“乒乓球”课程的学生人数为550名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
47．今年疫情期间，为防止疫情扩散，人们见面的机会少了，但是随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为此，孙老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查．将统计结果绘制了下面两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 2000 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 144° ；其它沟通方式所占的百分比为 13% ．
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果我国有13亿人在使用手机．
①请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？
【考点】利用频率估计概率；扇形统计图；条形统计图．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用“微信”的百分比即可求出“微信”的扇形圆心角度数．
（2）计算出短信与微信的人数即可补全统计图．
（3）用样本中喜欢用微信进行沟通的百分比来估计13亿人中喜欢用微信进行沟通的人数即可求出答案．
【解答】解：（1）∵喜欢用电话沟通的人数为400，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了：400÷20%＝2000人
表示“微信”的扇形圆心角的度数为：，
其它沟通方式所占的百分比为：，
故答案为：2000；144°；13%．
（2）如图：
（3）①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有800人，
所以在全国使用手机的13亿人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数大约有（亿人）．
②由（1）可知：参与这次调查的共有2000人，其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为440人，
所以，在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的频率是＝22%．
所以，用频率估计概率，在全国使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的概率是22%．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
48．（1）解方程：2x2+4x﹣5＝0；
（2）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝48，，求△ABC三边的长．
【考点】比例线段；解一元二次方程﹣配方法；比例的性质．
【答案】（1）x1＝，x2＝；
（2）△ABC三边的长分别为12，16，20．
【分析】（1）根据该方程的特点，利用公式法求出该方程的解即可；
（2）设c＝5k（k＞0），则a＝3k，b＝4k，由a+b+c＝48得3k+4k+5k＝48，解方程求出k的值，再分别求出a、b、c的值即可．
【解答】解：（1）∵2x2+4x﹣5＝0，
∴Δ＝42﹣4×2×（﹣5）＝56，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
（2）设c＝5k（k＞0），则＝＝＝＝k，
∴a＝3k，b＝4k，
∵a+b+c＝48，
∴3k+4k+5k＝48，
∴k＝4，
∴a＝12，b＝16，c＝20，
∴△ABC三边的长分别为12，16，20．
【点评】此题重点考查一元二次方程的解法、比例线段及比例的性质等知识，正确理解和运用这些知识是解题的关键．
49．已知2a＝3b，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【考点】比例的性质．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据比例的基本性质进行计算即可；
（2）利用（1）的结论，然后用设k法进行计算即可．
【解答】解：（1）∵2a＝3b，
∴＝；
（2）∵＝；
∴设a＝3k，b＝2k，
∴＝
＝
＝．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
50．如果，且3a﹣2b+c＝12，求a﹣b+c的值．
【考点】比例的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】令＝＝＝k，从而表示出a，b，c．再代入3a﹣2b+c＝12，即可求出k的值，于是可以解决问题．
【解答】解：令＝＝＝k，
∴a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∵3a﹣2b+c＝12，
∴9k﹣8k+5k＝12，
∴k＝2，
∴a＝3k＝6，b＝4k＝8，c＝5k＝10，
∴a﹣b+c＝6﹣8+10＝8．
【点评】本题考查比例的有关知识，设＝＝＝k，是解题的关键．
51．如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝6，AC＝10，求AE的长．
【考点】平行线分线段成比例．
【答案】．
【分析】根据平行线分线段成比例列比例式求解即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
即，
∵DB＝AE，AB＝6，AC＝10，
∴，
即，
解得：．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
52．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接DE，若DE∥AB，CE＝2AE，CD＝6，求BD的长．
【考点】平行线分线段成比例．
【答案】BD＝3．
【分析】由平行线分线段成比例得，即可求解．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴＝，
又∵CE＝2AE，
∴＝＝2，
∴BD＝3．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
53．如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝3，求的值．
【考点】平行线分线段成比例．
【答案】．
【分析】根据题意求出AF，AD，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，FD＝3，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，AD＝AF+FD＝3+3＝6，
∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝＝．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
54．“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）购买的这种健身器材的套数为200套．
【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：32（1+x）2＝50，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，
由题意得：m（1600﹣×40）＝240000，
整理得：m2﹣500m+60000＝0，
解得：m1＝200，m2＝300（不符合题意，舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
55．某果农计划在一片向阳的坡地上种植100棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，但他发现多种20棵桃树，则每亩地多种4棵．
（1）求果农原计划每亩地种多少棵桃树？
（2）果农经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是1000个桃子，若多种1棵桃树，每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子，而且多种的桃树不能超过100棵．如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】（1）20棵桃树；
（2）应多种20棵桃树．
【分析】（1）由“多种20棵桃树，则每亩地多种4棵”得到种植亩数，由共种植100棵桃树即可得到答案；
（2）每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，所以多种x棵树每棵桃树的产量就会减少2x个（即是平均产1000﹣2x个），桃树的总共有（100+x）棵，所以总产量是（100+x）（1000﹣2x）个．要使产量增加15.2%，达到100×1000×（1+15.2%）个．
【解答】解：（1）100÷（20÷4）＝20（棵）．
答：果农原计划每亩地种20棵桃树；
（2）设多种x棵树，则（100+x）（1000﹣2x）＝100×1000×（1+15.2%）（0＜x＜100），
整理，得：x2﹣400x+7600＝0，（x﹣20）（x﹣380）＝0，
解得x1＝20，x2＝380．
∵果园有100棵桃树，380＞100，
∴x2＝380不合题意，故舍去．
答：应多种20棵桃树．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键找出桃树的增加量与桃子总产量的关系．
56．某商场今年年初以每件10元的进价购进一批“网红”商品．当商品售价为20元时，一月份销售2250件，三月份销售3240件．设二月和三月该商品销售的月平均增长率相等．
（1）求二月和三月该商品的月平均增长率；
（2）从四月初起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加50件，当商品降价多少元时，商场获利29610元？
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为20%；
（2）当商品降价1元时，商品获利29610元．
【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：2250件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：2250（1+x）件；三月份的销售量为：2250（1+x）（1+x）件，又知三月份的销售量为：3240件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润＝29610列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，
根据题意可得：2250（1+x）2＝3240，
解得：x＝20%或x2＝﹣2.2（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为20%；
（2）设当商品降价m元时，商品获利29610元，
根据题意可得：（20﹣10﹣m）（3240+50m）＝29610，
解得：m1＝1，m2＝﹣55.8（不合题意舍去）．
答：当商品降价1元时，商品获利29610元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
57．某商店在2019年至2021年期间销售一种礼盒．2019年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完，2021年，这种礼盒的进价比2019年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2019年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2019年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．
【答案】（1）2019年这种礼盒的进价是35元/盒；
（2）该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为20%．
【分析】（1）设2019年这种礼盒的进价是x元/盒，则2021年这种礼盒的进价是（x﹣11）元/盒，根据数量＝总价÷单价结合2017年和2019年购入礼盒数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量＝总价÷单价可求出2019年及2021年购进这种礼盒的数量，设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y，根据2019年及2021年获得的利润，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设2019年这种礼盒的进价是x元/盒，则2021年这种礼盒的进价是（x﹣11）元/盒，
依题意，得：＝，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意．
答：2019年这种礼盒的进价是35元/盒．
（2）2019年及2021年购进这种礼盒的数量为3500÷35＝100（盒）．
设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y，
依题意，得：（60﹣35）×100（1+y）2＝（60﹣35+11）×100，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
58．某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．
（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）平均下降率为x，由2018年的出厂价×（1﹣下降率）2＝2020年出厂价可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结果；
（2）设单价降价y元，则每天的销售量是（20+2y）台，根据总利润＝每台利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出结果．
【解答】解：（1）设这两年平均下降率为x，
根据题意得：144（1﹣x）2＝100，
等号两边同除以144得：（1﹣x）2＝
两边开方得：1﹣x＝±＝±，
所以x1＝＞1（不合题意，舍去），x2＝≈16.67%．
答：这两年平均下降率约为16.67%；
（2）设单价降价y元，
则每天的销售量是20+×10＝20+2y（台），
根据题意得：（140﹣100﹣y）（20+2y）＝1250，
整理得：y2﹣30y+225＝0，
解得：y1＝y2＝15．
答：单价应降15元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
59．巴黎奥运会的吉祥物“弗里热”玩偶共有两种尺寸．分别为大款和小款，小渝购置了一定数量的两款玩偶，各自花费2400元，已知大款比小款单价高90元，小款数量是大款数量的．
（1）请问大，小款单价各多少元？
（2）为了送给其他的朋友，小渝决定再买一定数量的吉祥物，此时，在第一次购买的基础上，小款的单价减少了m元，购买数量增加了个，大款的单价不变，购买数量减少了个，总费用为4800元，请求出m的值．
【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．
【答案】（1）大款玩偶的单价为240元，小款玩偶的单价为150元；
（2）36．
【分析】（1）设大款玩偶的单价为x元，则小款玩偶的单价为（x﹣90）元，根据各自花费2400元，小款数量是大款数量的，列出分式方程，解方程即可；
（2）由（1）可知，大款玩偶的数量为10个，小款玩偶的数量为16个，根据小款的单价减少了m元，购买数量增加了个，大款的单价不变，购买数量减少了个，总费用为4800元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设大款玩偶的单价为x元，则小款玩偶的单价为（x﹣90）元，
由题意得：＝×，
解得：x＝240，
经检验，x＝240是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣90＝150，
答：大款玩偶的单价为240元，小款玩偶的单价为150元；
（2）由（1）可知，大款玩偶的数量为2400÷240＝10（个），小款玩偶的数量为2400÷150＝16（个），
由题意得：（150﹣m）（16+m）+240（10﹣m）＝4800，
整理得：m2﹣36m＝0，
解得：m1＝36，m2＝0（不合题意，舍去），
答：m的值为36．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
60．综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设AB的长为x米．
【项目解决】
目标1：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园ABCD的面积为32平方米时，求BC的长．
目标2：探究最少的材料方案．
现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．
（1）若m＝14米，能成功围成吗？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
（2）若要成功围成，则m的最小值为 18 米，此时，AB＝ 米．
【考点】一元二次方程的应用；根的判别式．
【答案】目标1：8米；
目标2：（1）不能围成面积为平方米的矩形花园，理由见解答；
（2）18，．
【分析】目标1：由篱笆的总长及AB的长，可得出BC的长为（20﹣2x）米，根据围成矩形花园ABCD的面积为32平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为10米，即可取得结论；
目标2：（1）假设能围成面积为平方米的矩形花园，设AB的长为y米，则BC的长为（14﹣2y）米，根据围成矩形花园ABCD的面积为平方米，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣512＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即不能围成面积为平方米的矩形花园；
（2）设AB的长为a米，则BC的长为（m﹣2a）米，根据围成矩形花园ABCD的面积为平方米，可列出关于a的一元二次方程，由根的判别式Δ≥0，可求出m的取值范围，代入符合题意的m的最小值，可得出关于a的一元二次方程，解之即可求出结论．
【解答】解：目标1：∵可用的篱笆总长为20米，且AB的长为x米，
∴BC的长为（20﹣2x）米．
根据题意得：x（20﹣2x）＝32，
整理得：x2﹣10x+16＝0，
解得：x1＝2，x2＝8，
当x＝2时，20﹣2x＝20﹣2×2＝16＞10，不符合题意；
当x＝8时，20﹣2x＝20﹣2×8＝4＜10，符合题意．
答：BC的长为8米；
目标2：（1）不能围成面积为平方米的矩形花园，理由如下：
假设能围成面积为平方米的矩形花园，设AB的长为y米，则BC的长为（14﹣2y）米，
根据题意得：y（14﹣2y）＝，
整理得：4y2﹣28y+81＝0，
∵Δ＝（﹣28）2﹣4×4×81＝﹣512＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即不能围成面积为平方米的矩形花园；
（2）设AB的长为a米，则BC的长为（m﹣2a）米，
根据题意得：a（m﹣2a）＝，
整理得：4a2﹣2ma+81＝0，
∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×4×81≥0，
∴m≥18或m≤﹣18，
∴m的最小值为18米．
当m＝18时，原方程为4a2﹣36a+81＝0，
解得：a1＝a2＝，
当a＝时，18﹣2a＝18﹣2×＝9＜10，符合题意，
∴AB＝米．
故答案为：18，．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
3．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
6．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
7．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
8．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
9．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
10．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
11．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
12．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
13．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
14．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
15．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
16．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
17．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
18．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
19．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
20．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
21．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
22．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
23．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
24．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
25．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
26．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
27．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
28．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
29．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
30．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
31．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
32．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
33．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
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学生平均每大睡眠时间x（单位：小时）
A
7≤x＜7.5
B
7.5≤x＜8
C
8≤x＜8.5
D
8.5≤x＜9
E
x≥9
等级
A：优秀
B：良好
C：及格
D：不及格
分数（x/分）
86≤x≤100
76≤x＜86
60≤x＜76
0≤x＜60
抽取件数（件）
50
100
200
300
500
1000
合格频数
49
99
196
294
m
980
合格频率
0.98
0.99
0.98
0.98
0.98
n
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
红
白
绿
红
（红，白）
（红，绿）
白
（白，红）
（白，绿）
绿
（绿，红）
（绿，白）
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A
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B
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C
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E
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等级
A：优秀
B：良好
C：及格
D：不及格
分数（x/分）
86≤x≤100
76≤x＜86
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0≤x＜60
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