北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》专题2.5一元二次方程的根与系数关系(能力提升)(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》专题2.5一元二次方程的根与系数关系(能力提升)(原卷版+解析)，共17页。
专题2.5 一元二次方程的根与系数关系（能力提升）（原卷版）一、选择题。1．（2022•盘龙区一模）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（　　）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定2．（2022春•定远县校级月考）以和为根的一元二次方程是（　　）A．x2﹣10x﹣1＝0 B．x2+10x﹣1＝0 C．x2+10x+1＝0 D．x2﹣10x+1＝03．（2022•宁波模拟）已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，则的值为（　　）A．23 B．﹣23 C．﹣2 D．﹣134．（2021秋•姜堰区期末）方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（　　）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣35．（2022•运城二模）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠06．（2021秋•汉阳区期中）设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+20等于（　　）A．1 B．5 C．11 D．137．（2021春•岳西县期末）已知关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根是2．则此方程的另一个根为（　　）A．0 B．1 C．2 D．38．（2021•泰安）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠09．（2021秋•新城区期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为，，下列判断一定正确的是（　　）A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．10．（2021•商河县校级模拟）已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2﹣k＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等或不相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根二、填空题。11．（2022•三水区一模）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值 　 　．（写出一个即可）12．（2022春•拱墅区校级期中）如果关于x的一元二次方程2x（ax﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，那么a的最小整数值是　 ．13．（2022•普陀区模拟）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　 　．14．（2021秋•宁远县期中）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0，k　 　时，方程有实数根．15．（2021春•福田区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为 　 　．16．（2021•海安市二模）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+5α+2β＝　 　．17．（2022•辉县市一模）已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则+的值为　 　．18．（2021•海门市模拟）关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝　 　．三、解答题。19．（2021春•八步区期中）求证：关于x的方程x2+（2k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．20．（2021•西湖区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：不论k为何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．21．（2021春•百色期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．22．（2021秋•洛宁县期中）关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长，若方程有两个相等的实数根．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）若a＝，b＝1，直接写出△ABC的面积是　 　．23．（2021•佛山校级二模）小明解关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0时，在解答过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和2．（1）求b的值；（2）若菱形的对角线长是关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0的解，求菱形的面积．24．（2021秋•井研县期末）已知关于x的方程（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．25．（2021•东莞市模拟）设a、b、c是等腰△ABC的三条边，关于x的方程x2+2x+2c﹣a＝0有两个相等的实数根，且a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值．26．（2022春•昆山市校级期末）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．27．（2021•梅州模拟）关于x的方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．28．（2022春•湖南期中）某班“数学兴趣小组”对函数y＝|x﹣1|的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补全完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m＝　 　；（2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）进一步探究函数图象发现：①方程|x﹣1|＝0的解是 　 　；②方程|x﹣1|＝1.5的解是 　 　；③关于x的方程|x﹣1|＝k有两个实数根，则k的取值范围是 　 　． x…﹣3﹣2﹣1012345…y…4m2101234…专题2.5 一元二次方程的根与系数关系（能力提升）（解析版）一、选择题。1．（2022•盘龙区一模）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（　　）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定【答案】A。【解答】解：方程x2+mx﹣1＝0的判别式为Δ＝m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，故选：A．2．（2022春•定远县校级月考）以和为根的一元二次方程是（　　）A．x2﹣10x﹣1＝0 B．x2+10x﹣1＝0 C．x2+10x+1＝0 D．x2﹣10x+1＝0【答案】D。【解答】解：根据题意得：x2﹣（5+2+5﹣2）x+（5﹣2）（5+2）＝0，整理得：x2﹣10x+1＝0．故选：D．3．（2022•宁波模拟）已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，则的值为（　　）A．23 B．﹣23 C．﹣2 D．﹣13【答案】B。【解答】解：∵a、b是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，整理此方程，得x2+5x+1＝0，∵Δ＝25﹣4＞0，∴a+b＝﹣5，ab＝1．故a、b均为负数．因此．故选：B．4．（2021秋•姜堰区期末）方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（　　）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【答案】A。【解答】解：∵方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝4．故选：A．5．（2022•运城二模）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0【答案】C。【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣2）≥0，解得a≥﹣2且a≠0．故选：C．6．（2021秋•汉阳区期中）设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+20等于（　　）A．1 B．5 C．11 D．13【答案】A。【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，∴x12+x1﹣3＝0，x22+x2﹣3＝0，∴x12＝﹣x1+3，x22＝﹣x2+3，∴x13＝x1（﹣x1+3）＝﹣x12+3x1＝﹣（﹣x1+3）+3x1＝4x1﹣3，∴x13﹣4x22+20＝4x1﹣3﹣4（﹣x2+3）+20＝4（x1+x2）+5，∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝﹣1，∴x13﹣4x22+20＝4×（﹣1）+5＝1．故选：A．7．（2021春•岳西县期末）已知关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根是2．则此方程的另一个根为（　　）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B。【解答】解：设方程另一个根为x1，根据题意得2+x1＝3，解得x1＝1，即此方程的另一个根为1．故选：B．8．（2021•泰安）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0【答案】C。【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，解得k＞﹣且k≠0．故选：C．9．（2021秋•新城区期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为，，下列判断一定正确的是（　　）A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．【答案】C。【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得：x1＝，x2＝，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为，，∴x1+x2＝﹣b＝﹣，x1•x2＝＝﹣1，∴当b≠0时，a＝1，c＝﹣1，则ac＝﹣1，故选：C．10．（2021•商河县校级模拟）已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2﹣k＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等或不相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根【答案】C。【解答】解：本题首先由图象经过第一、三、四象限，可知：k＞0，k﹣1＜0，∴0＜k＜1，则（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣k），＝1+4k2+4k，＝（2k+1）2，因为0＜k＜1，所以（2k+1）2＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选：C．二、填空题。11．（2022•三水区一模）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值 　0　．（写出一个即可）【答案】0。【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4m＞0，解得m＜，所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．故答案为0．12．（2022春•拱墅区校级期中）如果关于x的一元二次方程2x（ax﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，那么a的最小整数值是　2　．【答案】2。【解答】解：（2a﹣1）x2﹣8x+6＝0，根据题意得2a﹣1≠0且Δ＝（﹣8）2﹣4×（2a﹣1）×6＜0，解得a＞，所以a的最小整数值2故答案为2．13．（2022•普陀区模拟）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　m≤且m≠﹣2　．【答案】m≤且m≠﹣2。【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0，解得m≤且m≠﹣2．故答案为：m≤且m≠﹣2．14．（2021秋•宁远县期中）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0，k　≤1　时，方程有实数根．【答案】≤1。【解答】解：当k＝0时，原方程为﹣6x+9＝0，方程的解为x＝；当k≠0时，原方程为一元二次方程，∵方程有实数根∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×9k≥0，解得k≤1，故答案为：≤1．15．（2021春•福田区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为 　24或25　．【答案】24或25。【解答】解：当6为底边时，则x1＝x2，∴Δ＝100﹣4m＝0，∴m＝25，∴方程为x2﹣10x+25＝0，∴x1＝x2＝5，∵5+5＞6，∴5，5，6能构成等腰三角形；当6为腰时，则设x1＝6，∴36﹣60+m＝0，∴m＝24，∴方程为x2﹣10x+24＝0，∴x1＝6，x2＝4，∵6+4＞6，∴4，6，6能构成等腰三角形；综上所述：m＝24或25，故答案为24或25．16．（2021•海安市二模）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+5α+2β＝　1　．【答案】1。【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣7＝0，∴α2+3α＝7，∴α2+5α+2β＝α2+3α+2（α+β）＝7+2×（﹣3）＝1，故答案为：1．17．（2022•辉县市一模）已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则+的值为　10　．【答案】10。【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，所以+＝＝＝＝10．故答案为10．18．（2021•海门市模拟）关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝　1　．【答案】1。【解答】解：∵设y＝x2+bx+c，则点（m，n）（m+2，n）在函数图象上，∴x＝＝m+1，当y＝0时，x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴函数y＝x2+bx+c与x轴的交点即为抛物线的顶点，∴y＝（x﹣m﹣1）2，把x＝m代入n＝（﹣1）2＝1，故答案为：1．三、解答题。19．（2021春•八步区期中）求证：关于x的方程x2+（2k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．【解答】证明：Δ＝（2k+1）2﹣4（k﹣1）＝4k2+5．∵k2≥0，∴4k2+5＞0，即Δ＞0，∴关于x的方程x2+（2k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．20．（2021•西湖区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：不论k为何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，∴x1＝2，x2＝k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．21．（2021春•百色期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤；（2）∵k≤，∴k的最大整数值为2，此时方程为x2﹣3x+2＝0，（x﹣1）（x﹣2）＝0，x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以x1＝1，x2＝2．22．（2021秋•洛宁县期中）关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长，若方程有两个相等的实数根．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）若a＝，b＝1，直接写出△ABC的面积是　1　．【解答】解：（1）△ABC为直角三角形，理由如下：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝4b2﹣4a2+4c2＝0，∴b2+c2＝a2，∴△ABC是以a为斜边（或∠A＝900）的直角三角形．（2）∵a＝，b＝1，∴c＝＝2，∴S△ABC＝bc＝1．故答案为：1．23．（2021•佛山校级二模）小明解关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0时，在解答过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和2．（1）求b的值；（2）若菱形的对角线长是关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0的解，求菱形的面积．【解答】解：（1）∵在解答过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和2，∴﹣b＝4+2，∴b＝﹣6．（2）原方程为x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得：x1＝1，x2＝5．又∵菱形的对角线长是关于x的一元二次方程x2+bx+5＝0的解，∴分三种情况考虑：当菱形的两对角线长均为1时，菱形的面积＝×1×1＝；当菱形的两对角线长均为5时，菱形的面积＝×5×5＝；当菱形的两对角线长为1和5时，菱形的面积＝×1×5＝．∴菱形的面积为或或．24．（2021秋•井研县期末）已知关于x的方程（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵a＝，b＝﹣（m﹣2），c＝m2方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣2）]2﹣4××m2＝﹣4m+4＝0，∴m＝1．原方程化为：x2+x+1＝0 x2+4x+4＝0，（x+2）2＝0，∴x1＝x2＝﹣2．（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．∵x1+x2＝﹣＝4m﹣8，x1x2＝＝4m2x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（4m﹣8）2﹣2×4m2＝8m2﹣64m+64＝224，即：8m2﹣64m﹣160＝0，解得：m1＝10，m2＝﹣2（不合题意，舍去），又∵m1＝10时，Δ＝﹣4m+4＝﹣36＜0，此时方程无实数根，∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．25．（2021•东莞市模拟）设a、b、c是等腰△ABC的三条边，关于x的方程x2+2x+2c﹣a＝0有两个相等的实数根，且a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值．【解答】解：∵方程x2+2x+2c﹣a＝0 有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即：4b﹣4×（2c﹣a）＝0，∴a+b﹣2c＝0，即a+b＝2c，∵a、b、c是等腰△ABC的三条边，∴a＝b＝c．∵a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，∴方程x2+mx﹣3m＝0有两个相等的实数根，∴m2﹣4×（﹣3m）＝0，解得m＝﹣12或m＝0（舍去）．26．（2022春•昆山市校级期末）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，可得k﹣1≠0，∴k≠1且Δ＝﹣12k+13＞0，可解得且k≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2，∵x1+x2＝0，∴，∴，又∵且k≠1∴k不存在．27．（2021•梅州模拟）关于x的方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由，得m＞﹣1又∵m≠0∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0；（5分）（2）不存在符合条件的实数m．（6分）设方程两根为x1，x2则，解得m＝﹣2，此时Δ＜0．∴原方程无解，故不存在．（12分）28．（2022春•湖南期中）某班“数学兴趣小组”对函数y＝|x﹣1|的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补全完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m＝　3　；（2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）进一步探究函数图象发现：①方程|x﹣1|＝0的解是 　x＝1　；②方程|x﹣1|＝1.5的解是 　2.5或﹣0.5　；③关于x的方程|x﹣1|＝k有两个实数根，则k的取值范围是 　k＞0　． 【解答】解：（1）x＝﹣2时，y＝|x﹣1|＝3，故m＝3，故答案为：3；（2）函数图象如图所示：（3）①方程|x﹣1|＝0，∴x﹣1＝0，解得：x＝1．故答案为：x＝1；②方程|x﹣1|＝1.5，此时x﹣1＝1.5或x﹣1＝﹣1.5，解得：x＝2.5或﹣0.5．故答案为：x＝2.5或﹣0.5；③设函数y＝k，由|x﹣1|＝k有两个实数根得，直线y＝k与函数y＝|x﹣1|的图象有两个交点，由图象可知，k＞0，故答案为：k＞0．x…﹣3﹣2﹣1012345…y…4m2101234…