2024年山东济南市历下区数学九上开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份2024年山东济南市历下区数学九上开学学业水平测试试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）利用反证法证明命题“在中，若，则”时，应假设
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3、（4分）二次根式中字母a的取值范围是（ ）
A．a≥0B．a≤0C．a＜0D．a≤﹣2
4、（4分）如图，O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为，顶点C在轴的负半轴上，函数的图象经过顶点B，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）下列各式不能用公式法分解因式的是（ ）
A．B．
C．D．
6、（4分）下列说法：① 平方等于64的数是8；② 若a，b互为相反数，ab≠0,则；③ 若，则的值为负数；④ 若ab≠0，则的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是0.正确的个数为( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
7、（4分）当分式有意义时，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x≠－2C．x≠D．x≠－
8、（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是
A．B．且C．且D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，，、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是______．
10、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是_____.
11、（4分）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，矩形CDEF的边CD在CB上，且5CD=3CB，边CF在轴上，且CF=2OC-3，反比例函数y= (k>0)的图象经过点B,E，则点E的坐标是____
12、（4分）如图，正方体的棱长为 3，点 M，N 分别在 CD，HE 上，CM＝ DM，HN＝2NE，HC 与 NM 的延长线交于点P，则 PC 的值为_____．
13、（4分）当_____________时，在实数范围内有意义．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标为，点在边上从点运动到点，以为边作正方形，连，在点运动过程中，请探究以下问题：
（1）的面积是否改变，如果不变，求出该定值;如果改变，请说明理由;
（2）若为等腰三角形，求此时正方形的边长.
15、（8分）对于实数、，定义一种新运算“※”为：．
例如：，
．
（1）化简：．
（2）若关于的方程有两个相等的实数根，求实数的值．
16、（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，ABC的顶点均在格点上.
（1）先将ABC向上平移4个单位后得到的A1B1C1，再将A1B1C1绕点C1按顺时针方向旋转90°后所得到的A2B2 C1，在图中画出A1B1C1和A2B2 C1.
（2）A2B2 C1能由ABC绕着点O旋转得到，请在网格上标出点O.
17、（10分）某旅游纪念品店购进一批旅游纪念品，进价为6元.第一周以每个10元的价格售出200个、第二周决定降价销售，根据市场调研，单价每降低1元，一周可比原来多售出50个，这两周一共获利1400元.
(1)设第二周每个纪念品降价元销售，则第二周售出 个纪念品(用含代数式表示);
(2)求第二周每个纪念品的售价是多少元?
18、（10分）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）二次根式中，字母的取值范围是__________．
20、（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF于点H，连接AH.在转动的过程中，AH的最小值为_________．
21、（4分）若实数x，y满足＋(y＋)2＝0，则yx的值为________.
22、（4分）如图，在△ABE中，∠E＝30°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝AC，则∠B＝________．
23、（4分）在实数范围内分解因式：x2﹣3＝_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，动点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿A→D→A运动，动点G从点A出发，以每秒1个单位的速度沿A→B运动，当有一个点到达终点时，另一点随之也停止运动．过点G作FG⊥AB交AC于点F.设运动时间为t(单位：秒)．以FG为一直角边向右作等腰直角三角形FGH，△FGH与正方形ABCD重叠部分的面积为S.
(1)当t＝1.5时，S＝________；当t＝3时，S＝________.
(2)设DE＝y1，AG＝y2，在如图所示的网格坐标系中，画出y1与y2关于t的函数图象．并求当t为何值时，四边形DEGF是平行四边形？
25、（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点和点.
（1）求直线所对应的函数表达式；
（2）设直线与直线相交于点，求的面积.
26、（12分）在正方形ABCD 中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE.
（1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长；
（2）求证：EF+EG=CE.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据正比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】
A.不符合y=kx（k为常数且k≠0），故本选项错误；
B.是一次函数但不是正比例函数，故本选项错误；
C.是正比例函数，故本选项正确；
D.自变量x的次数是2，不符合y=kx（k为常数且k≠0），故本选项错误；
故选：C．
本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．
2、C
【解析】
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答．
【详解】
解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，应假设若，则，
故选：．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
3、B
【解析】
根据被开方数是非负数，可得答案．
【详解】
由题意，得
﹣2a≥1，解得a≤1．
故选B．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是是非负数是解题的关键.
4、C
【解析】
∵A（﹣3，4），
∴OA==5，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO=CB=OC=AB=5，则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，
故B的坐标为：（﹣8，4），
将点B的坐标代入得，4=，解得：k=﹣1．故选C．
考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
5、C
【解析】
根据公式法有平方差公式、完全平方公式，可得答案．
【详解】
A、x2-9，可用平方差公式，故A能用公式法分解因式；
B、-a2+6ab-9 b2能用完全平方公式，故B能用公式法分解因式；
C、-x2-y2不能用平方差公式分解因式，故C正确；
D、x2-1可用平方差公式，故D能用公式法分解因式；
故选C．
本题考查了因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式是解题关键．
6、B
【解析】
根据平方、相反数的定义、绝对值的性质依次判定各项后即可解答.
【详解】
① 平方等于64的数是±8；
② 若a，b互为相反数，ab≠0,则；
③ 若，可得a≥0，则的值为负数或0；
④ 若ab≠0，当a>0，b>0时，=1+1=2；当a>0，b<0时，=1-1=0；当a<0，b>0时，=-1+1=0；当a<0，b<0时，=-1-1=-2；所以的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是1.
综上，正确的结论为②，故选B.
本题考查了平方的计算、相反数的定义及绝对值的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.
7、B
【解析】
根据分母不为零列式求解即可.
【详解】
分式中分母不能为0，
所以，3 x＋6≠0，解得：x≠－2，
故选B.
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：①分式无意义⇔分母为零；②分式有意义⇔分母不为零；③分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
8、B
【解析】
直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件得出答案．
【详解】
∵代数式有意义，∴x﹣1≥0，且x﹣1≠0，
解得：x≥1且x≠1．
故选B．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、.
【解析】
根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE=0.5AB=5，根据平行线的性质、角平分线的定义求出DF，计算即可.
【详解】
解：、分别是、的中点，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为.
本题考查的是角平分线的定义、三角形中位线定理，掌握平行线的性质、角平分线的定义是解题的关键.
10、2．
【解析】
以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，作GH⊥AC交AC的延长线于H，根据等边三角形的性质得到DC=EG，根据全等三角形的性质得到FC=FG，于是得到在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，
作GH⊥AC交AC的延长线于H，
∵△BDE和△BCG是等边三角形，
∴DC=EG，
∴∠FDC=∠FEG=120°，
∵DF=EF，
∴△DFC≌△EFG（SAS），
∴FC=FG，
∴在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，
∴当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG，
∵BC=CG=AB=2，AC=2，
在Rt△CGH中，∠GCH=30°，CG=2，
∴GH=1，CH=，
∴AG= ==2，
∴AF+CF的最小值是2．
此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11、
【解析】
设正方形OABC的边0A=a，可知OA=OC=AB=CB=a，所以点B的坐标为(aa)，推出反比例函数解析式的k=a，再由CF=2OC-3，可知CF=2a-3，推出点的坐标为( ,3a-3)，根据5CD=3CB，可求出点E的坐标
【详解】
由题意可设：正方形OABC的边OA=a
∴OA= OC=AB= CB
∴点B的坐标为(a,a)，即k=a
CF=2OC-3
∴CF=2a-3
∵OF=OC+CF=a+2a-3=3a-3
∴点E的纵坐标为3a-3
将3a-3代入反比例函数解析式y= 中,可得点E的横坐标为
∵四边形CDEF为矩形,
∴CD=EF=
5CD=3CB
=3a,可求得:a=
将a=,代入点E的坐标为( ,3a-3),
可得:E的坐标为
故答案为：
本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征,正方形矩形的性质,熟知在反比例函数的题目中利用设点法找等量关系解方程是解题关键
12、1
【解析】
根据已知首先求出MC=1，HN=2，再利用平行线分线段成比例定理得到，进而得出PH=6，所以PC=PH-CH=1．
【详解】
解：∵正方体的棱长为1，点M，N分别在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，
∴MC=1，HN=2，
∵DC∥EH，
∴，
∵HC=1，
∴PC=1，
∴PH=6，
∴PC=PH-CH=1．
故答案为：1．
本题考查了平行线分线段成比例定理等知识，根据已知得出PH的长是解决问题的关键．
13、a≥1
【解析】
根据二次根式有意义的条件可得a-1≥0，再解不等式即可．
【详解】
由题意得：a-1≥0，
解得：a≥1，
故答案为： a≥1．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）不变，；(2)正方形ADEF的边长为或或.
【解析】
(1)作交延长线于，证明，从而可得 ，继而根据三角形面积公式进行计算即可；
(2)分、、三种情况分别讨论求解即可.
【详解】
(1)作交延长线于，
∵正方形中，，，
∴，
∵，∴，
∴，
∵矩形中，，
∴，∴，
∴，
∴；
(2)①当时，作 ，
∵正方形中，，
∴，∴，
同(1)可得≌，
∴， ∴，
∴；
②当时，，
∵正方形中，，，
∴，∴≌，
∴，
∵矩形中，，
∴ ；
③当时，作，
同理得， ，
∴；
综上，正方形ADEF的边长为或或.
本题考查了矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意分类讨论思想的运用.
15、（1）；（2）的值为1．
【解析】
（1）根据定义运算列出分式，然后进行化简计算；
（2）根据定义运算列出方程并进行化简整理，然后利用一元二次方程根的判别式列方程求解即可．
【详解】
解：（1）
（2）由题意得：
化简整理得：
由题意知：且
化简得：
∴（舍），
∴的值为1．
本题考查分式的化简和一元二次方程根的判别式，正确理解题意准确进行计算是解题关键．
16、（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
(1)根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接可得A1B1C1，再根据旋转的性质找出点A1、B1绕点C1按顺时针方向旋转90°后所得到的对应点A2、B2 ，再顺次连接A2、B2 、C1即可；
(2)连接AA2，CC1，结合网格特点分别作AA2，CC1的中垂线，两线交点即为O.
【详解】
(1)如图所示，△A1B1C1和△A2B2 C1为所求；

(2)如图所示，点O为所求.
本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
17、（1）；（2）8元。
【解析】
（1）根据题设条件计算即可.
（2）根据利润的计算公式，首先表示利润即可，再求解方程.
【详解】
解：（1）
（2）依题意，得：
整理，得
解之，得（不符合题意，舍去）
（元）
答：第二周每个纪念品的销售价为8元。
本题主要考查一元二次方程在利润计算中的应用，关键在于根据题意列方程.
18、（1）；（2）至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）这次消毒是有效的．
【解析】
（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y=，把点（8，6）代入即可；
（2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于或等于10就有效．
【详解】
解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x（k1＞0）代入（8，6）为6=8k1
∴k1=
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=（k2＞0）代入（8，6）为6=，
∴k2=48
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为（x＞8）
∴
（2）结合实际，令中y≤1.6得x≥30
即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．
（3）把y=3代入，得：x=4
把y=3代入，得：x=16
∵16﹣4=12
所以这次消毒是有效的．
现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．
【详解】
根据题意得：x﹣1≥0，解得：x≥1．
故答案为x≥1．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
20、1﹣1
【解析】
取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG，依据∠ADB=30°，可得PGDG=1，依据∠DHO=90°，可得点H在以OD为直径的⊙G上，再根据AH+HG≥AG，即可得到当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，根据勾股定理求得AG的长，即可得出AH的最小值．
【详解】
如图，取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG．
∵AB=4，BC=4AD，∴BD8，∴BD=1AB，DO=4，HG=1，∴∠ADB=30°，∴PGDG=1，∴PD，AP=3．
∵DH⊥OF，∴∠DHO=90°，∴点H在以OD为直径的⊙G上．
∵AH+HG≥AG，∴当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，此时，Rt△APG中，AG，∴AH=AG﹣HG=11，即AH的最小值为11．
故答案为11．
本题考查了圆和矩形的性质，勾股定理的综合运用，解决问题的关键是根据∠DHO=90°，得出点H在以OD为直径的⊙G上．
21、3
【解析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
解答
【详解】
根据题意得：
解得：
则yx=（） =3
故答案为：3
此题考查非负数的性质，掌握运算法则是解题关键
22、60°
【解析】
分析：根据线段的垂直平分线的性质得到CA=CE，根据等腰三角形的性质得到∠CAE=∠E，根据三角形的外角的性质得到∠ACB=2∠E，根据等腰三角形的性质得到∠B即可．
详解：∵MN是AE的垂直平分线，
∴CA=CE，
∴∠CAE=∠E，
∴∠ACB=2∠E，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=2∠E=60°，
故答案为：60°
点睛：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
23、
【解析】
把3写成的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式．
【详解】
解：x2﹣3＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣）．
本题考查平方差公式分解因式，把3写成的平方是利用平方差公式的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；；（2）当t＝或t＝4时，四边形DEGF是平行四边形．
【解析】
（1）当t＝1.5时，如图①，重叠部分的面积是△FGH的面积，求出即可；当t＝3时，如图②，重叠部分的面积是四边形FGBK的面积，也就是△FGH的面积减去△KBH的面积，求出即可；
（2）进行分类讨论，列出方程即可求出t的值.
【详解】
解：当t＝1.5时，如图①，重叠部分的面积是△FGH的面积，所以S＝；
当t＝3时，如图②，重叠部分的面积是四边形FGBK的面积，也就是△FGH的面积减去△KBH的面积，所以S＝×3×3－×2×2＝.
(2)由题意可以求得
y1＝ ；y2＝t(0≤t≤4)．<
所以y1与y2关于t的函数图象如图③所示．
因为运动过程中，DE∥FG，所以当DE＝FG时，四边形DEGF是平行四边形．
∵FG＝AG，
∴DE＝AG，
∴y1＝y2.由图象可知，有两个t值满足条件：
①当0≤t≤2时，由4－2t＝t，解得t＝；
②当2所以当t＝或t＝4时，四边形DEGF是平行四边形．
25、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB所对应的函数表达式；
（2）联立直线OC及直线AB所对应的函数表达式为方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式结合点A的坐标即可求出△AOC的面积.
【详解】
解：（1）设直线AB所对应的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
将A（5，0），B（0，4）代入y=kx+b，得：，
解得： ，
∴直线AB所对应的函数表达式；
（2）联立直线OC及直线AB所对应的函数表达式为方程组，得：，
解得：，
∴点C坐标，
.
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出直线AB所对应的函数表达式；（2）联立两直线的函数表达式成方程组，通过解方程组求出点C的坐标.
26、 (1)；(2)证明见解析.
【解析】
（1）根据正方形的性质可得∠BCG=∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC，再根据同角的余角相等求出∠CBG=∠CDF，然后利用“角边角”证明△CBG和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=DF，再利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）过点过点C作CM⊥CE交BE于点M，根据全等三角形对应边相等可得CG=CF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CGB，再利用同角的余角相等求出∠MCG=∠ECF，然后利用“角边角”证明△MCG和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等可得MG=EF，CM=CE，从而判断出△CME是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．
【详解】
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG=∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC，
∵BE⊥DF，
∴∠CBG+∠F=∠CDF+∠F，
∴∠CBG=∠CDF，
在△CBG和△CDF中，
，
∴△CBG≌△CDF（ASA），
∴BG=DF=4，
∴在Rt△BCG中，CG2+BC2=BG2，
∴CG==；
（2）证明：如图，过点C作CM⊥CE交BE于点M，
∵△CBG≌△CDF，
∴CG=CF，∠F=∠CGB，
∵∠MCG+∠DCE=∠ECF+∠DCE=90°，
∴∠MCG=∠ECF，
在△MCG和△ECF中，
，
∴△MCG≌△ECF（SAS），
∴MG=EF，CM=CE，
∴△CME是等腰直角三角形，
∴ME=CE，
又∵ME=MG+EG=EF+EG，
∴EF+EG=CE．
本题考查了正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分