高考数学一轮复习第九章第一节随机抽样学案

这是一份高考数学一轮复习第九章第一节随机抽样学案，共12页。
考试要求：1．了解简单随机抽样和分层随机抽样的必要性，掌握两种简单随机抽样方法．
2．掌握分层随机抽样中各层样本量比例分配的方法，掌握分层随机抽样的样本平均数．
3．知道获取数据的基本途径．
自查自测
知识点一 简单随机抽样
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．( √ )
(2)简单随机抽样的每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( × )
(3)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．( × )
2．为抽查汽车排放尾气的合格率，某环保局在一路口随机抽查，这种抽查是( )
A．简单随机抽样B．抽签法
C．随机数法D．以上都不对
D 解析：由于不知道总体的情况(包括总体个数)，因此不属于简单随机抽样的方法．
3．从全校2 000名小学女生中用随机数法抽取300名调查其身高，得到样本量的平均数为148.3 cm，则可以推测该校女生的身高( D )
A．一定为148.3 cmB．高于148.3 cm
C．低于148.3 cmD．约为148.3 cm
核心回扣
(1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．
(3)应用范围：总体个体数较少．
注意点：
利用随机数表抽样时，①选定的初始数和读数的方向是任意的；②对各个个体编号要视总体中的个体数情况而定，且必须保证所编号码的位数一致．
自查自测
知识点二 分层随机抽样
1．(教材改编题)现要完成下列两项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄超过30岁不超过60岁的有270人，年龄在60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本．
较为合理的抽样方法分别是( )
A．①抽签法，②分层随机抽样B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法D．①抽签法，②随机数法
A 解析：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查，样本容量小，宜用抽签法；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄超过30岁不超过60岁的有270人，年龄在60岁以上的有90人，具有明显的层次，宜用分层随机抽样的方法．
2．某班有男生36人，女生18人，用分层随机抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为( )
A．6B．4
C．3D．2
C 解析：抽取的女生人数为1836+18×9＝3.
3．用分层随机抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人，则该校高中学生共有________人．
1 800 解析：设该校高中学生总人数为x，则45x＝15600，解得x＝1 800，所以该校高中学生共有1 800人．
核心回扣
(1)定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
(2)比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
(3)平均数计算
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，其中用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值，用y1，y2，… ，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层样本平均数为x＝x1+x2+…+xmm＝1m∑mi=1xi，第2层样本平均数为y＝y1+y2+…+ynn＝1n∑ni=1yi，样本的平均数w＝mm+nx＋nm+nxy.
(4)在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数w估计总体平均数W.
统计中的基本概念
1．下列调查中，适宜采用全面调查的是( )
A．调查某池塘中现有鱼的数量
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．选出某班短跑最快的学生参加全校短跑比赛
D．调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准
C 解析：调查某池塘中现有鱼的数量，应采用抽样调查，故选项A不合题意；
调查某批次汽车的抗撞击能力，应采用抽样调查，故选项B不合题意；
选出某班短跑最快的学生参加全校短跑比赛，适宜采用全面调查，故选项C符合题意；
调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，应采用抽样调查，故选项D不合题意．
2．从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是( )
A．500名学生是总体
B．每个学生是个体
C．抽取的60名学生的体重是一个样本
D．抽取的60名学生的体重是样本容量
C 解析：在此简单随机抽样中，总体是500名学生的体重，A错误；个体是每个学生的体重，B错误；样本容量为60，D错误．
概念不清致误
(1)区分总体、总体容量：总体由全体调查对象组成，由调查对象决定；总体容量是全体调查对象的个数．
(2)区分个体、样本、样本量：个体是指组成总体的每一个调查对象，样本是指从总体中抽取的那部分个体，样本量是指样本中包含的个体数．
简单随机抽样及其应用
1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，检验其质量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解其对学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验
D 解析：对每个选项逐条落实简单随机抽样的特点．A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；D是简单随机抽样的方法．
2．(2024·郑州模拟)已知某班共有学生46人，该班语文老师为了解学生每天阅读课外书籍的时长情况，决定利用随机数表法从全班学生中抽取10人进行调查．将46名学生按01，02，…，46进行编号．现提供随机数表的第7行至第9行：
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 57 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
若从表中第7行第41列开始向右依次读取2个数据，每行结束后，下一行依然向右读数，则得到的第8个样本编号是( )
A．07B．12
C．39D．44
D 解析：由题意可知得到的样本编号依次为12，06，01，16，19，10，07，44，39，38，则得到的第8个样本编号是44.
(1)简单随机抽样需满足：总体的个体数有限；逐个抽取；等可能抽取．
(2)简单随机抽样一般有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于总体中个体数较多的情况)．
分层随机抽样及其应用
考向1 分层随机抽样
【例1】(1)某企业为了解员工的身体健康情况，采用分层随机抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检．已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4∶1，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是( )
A．90B．96
C．120D．144
C 解析：设参加体检的人数是n，则45n－15n＝72，解得n＝120，所以参加体检的人数是120.
(2)某社区为迎接中秋节，组织了隆重的庆祝活动，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为10∶13∶12，为全面了解社区居民的文娱喜好，如果采用比例分配的分层随机抽样方法从所有人中抽取一个70人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为( )
A．20B．22
C．24D．26
C 解析：由比例分配的分层随机抽样的等比例关系，可得应抽取的青年人的人数为1210+13+12×70＝24.
分层随机抽样问题的类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
(3)分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量.
考向2 分层随机抽样的均值
【例2】某市的三个区共有高中学生20 000人，且三个区的高中学生人数之比为2∶3∶5.现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况．
(1)试写出抽样过程；
(2)若样本中三个区的高中学生的平均视力分别为4.8，4.8，4.6，试估计该市高中学生的平均视力．
解：(1)①由于该市高中学生的所属地区有差异，所以将三个区分成三层，用分层随机抽样法抽取样本．②确定每层抽取的个体数，因为在三个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×22+3+5＝40，200×32+3+5＝60，200×52+3+5＝100.③在各层分别按简单随机抽样法抽取个体．④综合每层抽取的个体，组成容量为200的样本．
(2)样本中高中学生的平均视力为40200×4.8＋60200×4.8＋100200×4.6＝4.7.
所以估计该市高中学生的平均视力约为4.7.
分层随机抽样均值的计算
如果总体的层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M，N，抽取的样本量分别为m，n.若2层的样本平均数分别为x，y，2层的总体平均数分别为X，Y，其中X，Y分别可用x，y进行估计，总体平均数为W，样本平均数为w，则w＝mm+nx＋nm+ny，W＝MM+N x＋NM+Ny.
一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，抽出的男运动员平均身高为177.5 cm，抽出的女运动员平均身高为168.4 cm，则估计该田径队运动员的平均身高是( )
A．173.6 cmB．172.95 cm
C．172.3 cmD．176 cm
A 解析：由题意，田径队男、女运动员的比例为48∶36＝4∶3，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为21的样本．设抽取男运动员4x名，女运动员3x名，则4x＋3x＝21，解得x＝3，即男运动员12名，女运动员9名，故该田径队运动员的平均身高大约为177.5×12+168.4×921＝173.6(cm)．故选A．
课时质量评价(五十七)
1．在以下调查中，适合用全面调查的是( )
A．调查一个地区糖尿病的发病率
B．了解一批水稻种子的发芽率
C．了解一个班级学生的身高情况
D．了解某城市居民的生活水平
C 解析：对于A，调查一个地区糖尿病的发病率，调查数量较多，不适合全面调查；
对于B，了解一批水稻种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合全面调查；
对于C，了解一个班级学生的身高情况，适合全面调查；
对于D，了解某城市居民的生活水平，调查数目较多，不适合全面调查．
2．从某市参加升学考试的学生的数学成绩中随机抽取1 000 名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是( )
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩
B．样本是指1 000名学生的数学成绩
C．样本量指的是1 000名学生
D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩
C 解析：对于C，样本量是1 000，故C错误．
3．总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
第1行 78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98
第2行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．19B．25
C．26D．27
B 解析：由随机数法可知，样本的前5个个体的编号分别为23，20，26，24，25，因此，选出的第5个个体的编号为25.
4．某高中高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，欲采用分层随机抽样的方法组建一个18人的红歌传唱队，则应从高三抽取( )
A．5人B．6人
C．7人D．8人
C 解析：依题意，应抽取高三的人数为18×700600+500+700＝7.
5．(多选题)某公司生产甲、乙、丙三种型号的轿车，产量分别为1 200辆、6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则( )
A．在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取
B．抽样比为1200
C．三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
BCD 解析：因每一种型号的轿车数量较多，不适合用抽签法，故A错误；
由题可得抽样比为461 200+6 000+2 000＝1200，故B正确；
三种型号的轿车应依次抽取1 200×1200＝6(辆)，6 000×1200＝30(辆)，2 000×1200＝10(辆)，故C正确；
在按比例分配的分层随机抽样中，每一辆被抽到的概率都是相等的，故D正确．
6．下列调查适合做抽样调查的是________.
①我国的所有动物园里还有多少只老虎；
②北京市的中学生一年的零花钱平均是多少；
③了解本班学生的期中数学测试成绩；
④全国观众对春节联欢晚会的满意度．
②④ 解析：对于①，要了解“我国的所有动物园里还有多少只老虎”适合做全面调查，故①不合题意；
对于②，对“北京市的中学生一年的零花钱平均是多少”进行调查，适合做抽样调查，故②符合题意；
对于③，“了解本班学生的期中数学测试成绩”适合做全面调查，故③不合题意；
对于④，调查“全国观众对春节联欢晚会的满意度”适合做抽样调查，故④符合题意．
7．某武警大队有第一、第二、第三共三支中队，人数分别为30，30，40.为了测试该大队队员的射击水平，从整个大队中用分层随机抽样的方法共抽取了30人进行射击考核，统计得到三个中队射击考核的平均环数分别为8.8环、8.5环、8.1环．试估计该武警大队队员的平均射击环数．
解：该武警大队共有30＋30＋40＝100(人)，由题可得第一中队参加考核的人数为30100×30＝9；
第二中队参加考核的人数为30100×30＝9；
第三中队参加考核的人数为40100×30＝12.
所以参加考核的30人的平均射击环数为930×8.8＋930×8.5＋1230×8.1＝8.43.
所以估计该武警大队队员的平均射击水平为8.43环．
8．已知某校高三年级共1 200人，其中实验班200人，为了了解学生们的学习状况，高三年级组织了一次全员的数学测验，现将全部数学试卷用分层随机抽样的方法抽取60份进行研究，则样本中实验班的试卷份数为( )
A．5B．10
C．20D．25
B 解析：根据题意，样本中实验班的试卷份数为60×2001 200＝10.
9．(新背景)2023年夏天，国产动画电影《长安三万里》热映，点燃“唐诗热”，为此某市电视台准备从该电视台举办的“我爱背唐诗”前三届参加总决赛的120名选手(假设每位选手只参加其中一届总决赛)中随机抽取24名参加一个唐诗交流会．若按前三届参加总决赛的人数比例分层随机抽样，则第一届抽取6人；若按性别比例分层随机抽样，则女选手抽取15人．则下列结论错误的是( )
A．24是样本容量
B．第二届与第三届参加总决赛的选手共有90人
C．120名选手中男选手有50人
D．第一届参加总决赛的女选手最多有30人
C 解析：对于A，由样本容量的定义知样本容量为24，故A正确；
对于B，因为第一届参加总决赛的选手有624×120＝30(人)，所以第二届与第三届参加总决赛的选手共有120－30＝90(人)，故B正确；
对于C，因为女选手共有1524×120＝75(人)，所以男选手有120－75＝45(人)，故C错误；
对于D，由B知第一届参加总决赛的选手共有30人，所以第一届参加总决赛的女选手最多有30人，故D正确．
10．某公司有男、女职工共1 900人，其中女职工900人，有关部门按男、女比例用分层随机抽样的方法，从该公司全体职工中抽取n人进行调查研究，如果抽到女职工27人，那么n等于( )
A．57B．64
C．67D．77
A 解析：根据题意可得n1 900＝27900，解得n＝57.
11．某学校高一年级学生有600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取一个样本，其中男生身高平均值为170.2 cm，女生身高平均值为162.0 cm，则该校高一年级学生的平均身高的估计值为________cm.
166.4 解析：由题意可估计全体男生身高平均值为170.2 cm，全体女生身高平均值为162.0 cm，则全体学生的平均身高的估计值为320320+280×170.2＋280320+280×162.0≈166.4(cm)．
12．某地准备修建一条新的地铁线路，为了调查市民对沿线地铁站配置方案的满意度，现对居民按年龄(单位：岁)进行问卷调查．从某小区年龄在[18，68]内的居民中随机抽取100人，将获得的数据按照年龄区间[18，28)，[28，38)，[38，48)，[48，58)，[58，68]分成5组，同时对这100人的意见情况进行统计得到如下频率分布表．经统计，在这100人中，共有65人赞同目前的地铁站配置方案．
(1)求a和b的值；
(2)在这100人中，按分层随机抽样的方法从年龄在区间[28，38)，[38，48)内的居民(包括持反对意见者)中随机抽取18人进一步征询意见，求年龄在[28，38)，[38，48)内的居民各抽取多少人．
解：(1)由题意得20＋8＋12＋15＋a＝65，解得a＝10.
又200.8+10b+80.8+120.6+150.6＝100，解得b＝0.5.
(2)年龄在区间[28，38)，[38，48)内的居民(包括持反对意见者)分别有100.5＝20(人)，80.8＝10(人)．
故随机抽取18人进一步征询意见，年龄在[28，38)内的居民应抽取18×2030＝12(人)，
年龄在[38，48)内的居民应抽取18×1030＝6(人)．分组
持赞同意见的人数
占本组的比例
[18，28)
20
0.8
[28，38)
a
b
[38，48)
8
0.8
[48，58)
12
0.6
[58，68]
15
0.6