湖南省“湘豫联考”2025届高三9月联考数学试题（含答案）

这是一份湖南省“湘豫联考”2025届高三9月联考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知x，y∈R，i为虚数单位，则“x=−1，y=2”是“x+yi=(2+i)i”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.已知双曲线C:x29−y2m=1的离心率为 3，则m的值为( )
A. 18B. 3 2C. 27D. 2 3
3.数据7，3，6，5，10，14，9，8，12的第60百分位数为( )
A. 14B. 9.5C. 8D. 9
4.已知函数f(x)=lg2x,x>0,(x+1)2,x2，且n∈N∗，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有( )
A. 若X~B(n,13),则E(2X+1)=23n+1
B. 若X~B(n,13),则D(2X+1)=49n
C. 若X~B(n,13),则P(X=1)=P(X=n-1)
D. 当样本总数远大于抽取数目时,可以用二项分布近似估计超几何分布
10.一块正方体形木料如图所示，其棱长为3，点P在线段A1C1上，且A1C1= 3PC1，过点P将木料锯开，使得截面过BC，则( )
A. PC⊥BD
B. 截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台
C. 截面的面积为6 3
D. 以点A为球心，AB长为半径的球面与截面的交线长为3π2
11.已知U为全集，集合A，B，C，D满足：A，B，C为U的非空子集，且A∪B∪C=U，∁UD=C，∁(A∪B)(A∩B)=D.对所有满足上述条件的情形，下列说法一定错误的有( )
A. C∩D≠⌀B. B∪C=U
C. (A∪B)∩C=⌀D. ∁U(A∪B)不包含于C
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设正实数x，y满足xy=10，lgx⋅lgy=−34，则lgxy= ．
13.如图，函数f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0,00时，令ℎ′(x)=0，则x=lnk，
当x0，ℎ(x)在(lnk,+∞)上单调递增．
综上所述，当k≤0时，ℎ(x)在R上单调递增;
当k>0时，ℎ(x)在(−∞,lnk)上单调递减，在(lnk,+∞)上单调递增．
(2)结合(1)与题意可得ℎ(lnk)≥0，
即elnk−klnk−b≥0，即b≤elnk−klnk.
所以g(2) = 2k+b≤2k+elnk−klnk=3k−klnk.
令p(k)=3k−klnk，k>0，
则p′(k)=2−lnk，令p′(k)=0，则k=e2．
当k∈(0,e2)时，p′(k)>0，p(k)在(0,e2)上单调递增;
当k∈(e2,+∞)时，p′(k)0.解得x1=t2，x2=(t−2k1)2．
所以点M的坐标为((t−2k1)2,−2(t−2k1))．
同理，设直线PB的方程为y=k2x−k2t2−2t，
Δ=16k22t2+32k2t+16>0.则点N的坐标为((t+2k2)2,2(t+2k2))．
若k1+k2=0，则点P的坐标为(−2,0)或(2,0)，
所以k1= 64，k2=− 64或k1=− 62，k2= 62(均满足Δ>0)．
所以点M，N的横坐标均为6，此时直线MN的方程为x=6，过点(6,0)．
若k1+k2≠0，则直线MN的方程为y=2(t+2k2)+2(t−2k1)(t+2k2)2−(t−2k1)2x−(t−2k1)2−2(t−2k1)
令y=0，解得x=(t−2k1)2+2(t−2k1)[(t+2k2)2−(t−2k1)2]2(t+2k2)+2(t−2k1)
=(t−2k1)2+(t−2k1)[(t+2k2)−(t−2k1)]=(t−2k1)(t+2k2)=23−k2−k1k1k2×2 63−4k1k2．
联立直线PA与直线PB的方程，解得xP=t2−4tk1−k2，yP=−2t(k1+k2)k1−k2．
由点P在椭圆C1上，得(t2−4tk1−k2)24+−2t(k1+k2)k1−k223=1．
化简，整理得k2−k1k1k2×2 63+4k1k2=−163．
从而对直线MN，y=0时，x=6．
故直线MN过定点(6,0)．
19.解：(1)由题易知数列{an}的每一项都是正整数，由a≥d>0，得an+1an=a+nda+(n−1)d≤d+ndd+(n−1)d=n+1n，所以an+1n+1≤ann，所以{an}为“奇特数列”．
(2)(i)因为{an}为“奇特数列”，所以{an}严格单调递增，且每一项都是正整数.因为bn=an+1，所以{bn}严格单调递增，且每一项都是正整数．
又an+1n+1≤ann.所以an+1+1n+1