[数学][期末]山东省烟台市招远市2023-2024学年七年级下学期期末试题(解析版)

这是一份[数学][期末]山东省烟台市招远市2023-2024学年七年级下学期期末试题(解析版)，共20页。试卷主要包含了 若，则下列不等式一定成立的是， 如图，已知，，则的依据是， 已知中，若，且，则为等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、∵，
∴，
当，时，；当，时，；当，时，；
∴不一定成立；
B、∵，
∴；
∴B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴，
∴C符合题意；
D、∵
∴当时，；当时，；
∴D不符合题意；
故选：C．
2. 如图，已知，，则的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在和中，
，
∴．
故选：A．
3. 将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
把不等式组的解集在数轴上表示如图：
故选：C．
4. 质检人员从编号为的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵五个编号中不小于的两个数是，
∴五个编号中不小于的概率为，
故选：．
5. 如图，已知，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交直线a，b于点D、C，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，是直线l的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
6. 已知方程组和有相同的解，则，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解方程组，得，
把代入中，
可得，解得．
故选：D．
7. 某超市花费元购进草莓千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克元，根据题意所列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设售价定为每千克元，
∴，
故选：A．
8. 已知中，若，且，则为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
【答案】C
【解析】，
．
在中，，
又，
，
，
．
，
为钝角三角形．
故选：C．
9. 定义新运算“*”，规定．若关于x的不等式的解集为，则 m 的值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】由题意得，，
∵，
∴，
解得，
∵不等式的解集为，
∴，
解得，
故选：B．
10. 如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（ ）
A. ①③④⑤B. ①②③④C. ①②③D. ①③④
【答案】D
【解析】平分，
，
，
，故①正确；
，，，
，，即，
，
又，
，故④正确；
，
，
，分别平分，，
，
，
，
∵
∴，
，故③正确；
，
，故②错误；
∵
∴是直角三角形，
根据现有条件，无法推出，即无法得到是等腰直角三角形，故⑤错误；
∴正确的有①③④，
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意得，的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，
∴满足题意，
∵，是这个二元一次方程解，
∴当时，，
解得：，
∴符合题意．
故答案为：（答案不唯一）．
12. 如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为______．
【答案】
【解析】过点作交于点，
∵射线是的角平分线，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
13. 若关于 x 的不等式组无解，则 m 的取值范围是______．
【答案】
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组无解，
，
故答案为：．
14. 把一些书分给若干同学，若每人分10本，则余本；若每人分本，则不够．则至少有_______________名同学．
【答案】
【解析】设有名学生，
∴，
解得：，
∵为整数，
∴至少有名同学．
故答案为：．
15. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，B-2,1，，线段的两个端点的坐标分别为，．若网格中有一点 F，且以 D，E，F为顶点的三角形与全等，则点F的坐标为______．
【答案】或或或
【解析】由题知，，
的边长中，，，
以 D，E，F为顶点的三角形与全等，
是的对应边，
以为边作三角形如下图所示，
，，，
，
由图知，的坐标为，
同理可得，的坐标为，的坐标为，的坐标为；
综上所述：点F的坐标为或或或；
故答案为：或或或．
16. 如图，若点为轴负半轴上的一个动点，当时，与的角平分线交于点，则的度数为______．
【答案】
【解析】过点作，
∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∵与的角平分线交于点
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．）
17. 解下列方程组、不等式组：
（1）（在数轴上表示不等式组的解集）
（2）
解：（1）
整理得：
解不等式①得：
解不等式②得：
则不等式组的解集为：
在数轴上表示不等式组的解集为：
（2）
整理得：
得：
将代入①得：
解得：
原方程组的解为
18. 已知：直线及外一点A，．

求作：，使，，且顶点B，C在直线上．
解：如图，为所作．

19. 若不等式最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值．
解：，
解得，
∴不等式的最小整数解是，
∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解，
∴把代入得，，
解得，
把代入得，．
20. 如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点．
（1）求证：垂直平分；
（2）若，写出与之间的数量关系，并证明．
解：（1）∵为的角平分线，于点E，于点F，
∴，，，
∴，
∴，
∴在和中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分；
（2）．
证明：∵，为的角平分线，
∴，
又∵，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在直角三角形中，
∴，
∴．
21. 年月日，第十四届全国人民代表大会在北京召开，值此之际，某校计划举行爱国主义教育读书活动，并准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买个甲种纪念品和个乙种纪念品共需元，购买个甲种纪念品和个乙种纪念品共需元．
（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元？
（2）若要购买这两种纪念品共个，且购买费用不多于元，最多能买多少个甲种纪念品？
解：（1）设购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需元，
∴，
解得：，
答：购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需元．
（2）设购买甲种纪念品个，
∴乙种纪念品为：，
∴，
解得：，
答：最多能买个甲种纪念品．
22. 已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点．

（1）求 a，b的值；
（2）方程组的解为 ；不等式的解集为 ；
（3）在的图象上是否存在点P，使得的面积比的面积少？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题知，点在的图象上，
所以，
所以点的坐标为，
因为点在的上，
所以，
所以．
（2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，
方程组的解为；
由图象可知，的解答为：；
故答案为：；．
（3）存在，理由：
由（1）得：一次函数的表达式为：，点的坐标为，
当时，，
∴，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴的面积为：，
∴的面积为：，
设边上的高为h，
∴，
∴，
解得：，
当点P在第一象限时，点P纵坐标为2，
∴
解得：，
∴；
当点P在第三象限时，点P纵坐标为，
∴
解得：，
∴；
综上，存在，点P的坐标为或．
23. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图，三幅图都是由一副三角板拼凑得到的：

（1）图1中的的度数为 ；
（2）图2中已知，则度数为 ；
（3）若等腰直角三角板的斜边与含角的直角三角板的长直角边相等．如图3，当两个直角三角板的顶点A与F重合，斜边、重合在一起时，连接．
①求证：是等腰三角形；
②若，请直接写出线段的长．
解：（1）由题意，，，
∴；
（2）由题意，，
∵，
∴，
∴；
（3）①证明：由题意，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
②∵，，，
∴，，
∴，
∴．
24. 暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是元．设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示．

根据以上信息，解决下列问题：
（1）请直接写出，关于的表达式 ；
（2）当租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同；
（3）根据（2）计算结果，结合图象，请你帮助小明直接写出选择怎样的出游方案更合理．
解：（1）设，，
∴把，代入，
∴，
解得：，
∴；
把代入，
∴，
∴，
故答案为：，．
（2）由函数图象可知，当时，两个公司所需费用相同，
∴，
解得：；
当租车时间为小时，两个公司所需费用相同．
（3）当，
∴当租车时间为小时，两个公司所需费用相同；
当，，
∴当租车时间为小时，甲公司所需费用较高，选择乙公司比较划算；
当，，
∴当租车时间为小时，乙公司所需费用较高，选择甲公司比较划算．
25. 专注基本图形：
某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，在中，，，直线经过点，作直线，直线，垂足分别为点，．并进一步证明方法如下：

∵，
∴，
∵直线，直线，
∴，
∴
在和中，
∴
∴，，
∴
探究问题解决：
（1）组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么上述结论是否会成立呢？如图，将上述条件改为：在中，，，，三点都在直线上，且．请判断是否成立，并说明理由．
（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决新问题．如图，，是直线l上的两动点（，，三点均在直线上且互不重合），点为的角平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，，．若，请说明．
解：（1）成立，理由如下：
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
（2）∵和均为等边三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．