云南省昭通市市直中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

这是一份云南省昭通市市直中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷，共14页。试卷主要包含了“”是“，”的，下列有关复数的说法中，正确的是，若直线与圆C等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．倾斜角为45°的直线方向向量是
A． B．1， C．（1，-2） D．（1，1）
2．已知集合，，则
A． B．
C． D．
3．已知，，，若，，三向量共面，则实数λ等于
A． B． C．1 D．2
4．“”是“，”的
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
5．经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为
A． B．
C． D．
6．若，，，则a，b，c的大小关系是
A． B． C． D．
7．2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速350km自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强I（单位：）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为，其中为基准声强级，a为常数，当声强时，声强级．下表为不同列车声源在距离20m处的声强级：
设在离内燃列车、电力列车、高速列车20m处测得的实际声强分别为，，，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
8．已知函数f（x）的定义域是R，函数的图象的对称中心是（-1，0），若对任意的，且，都有成立，，则不等式的解集为
A．（-∞，-1）∪（1，＋∞） B．（-1，1）
C．（-∞，-1）∪（0，1） D．（-1，0）∪（1，＋∞）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是
A．
B．复数的共轭复数的虚部为2
C．若复数z满足，则|z|的最大值为2
D．若是关于x的方程的一个根，则
10．若直线与圆C：交于不同的两点A，B，O为坐标原点，则
A．当时， B．的取值范围为[-1，1]
C． D．线段AB中点的轨迹长度为
11．如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，M是侧面ADD′A′上的一个动点（含边界），点P在棱CC′上，且，则下列结论正确的有
A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B．保持PM与BD′垂直时，点M的运动轨迹长度为
C．若保持，则点M的运动轨迹长度为
D．平面AD′P截正方体ABCD-A′B′C′D′所得截面为等腰梯形
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若圆和关于直线l对称，则l的方程是________．
13．已知圆O的半径为4，AB是圆O的一条直径，C，D是圆O上的两定点，且，点P为线段CD上一动点，则的取值范围是________．
14．类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数，，．当，方程：时，x＝________；当时，若，f（x）的最小值为________．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
若圆C经过点A（-1，1）和B（1，3），且圆心在x轴上，则：
（1）求圆C的方程；
（2）直线与圆C交于E，F两点，求线段EF的长度．
16．（本小题满分15分）
已知函数，有意义时x的取值范围为（-1，3），其中m，n为实数．
（1）求m，n的值；
（2）写出函数f（x）的单调区间，并求函数f（x）的最大值．
17．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱，，E是PC的中点．
（1）求证：；
（2）求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值．
18．（本小题满分17分）
第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日举办，该届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．如图，假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组．
（1）若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？
（2）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示）；
（3）根据第2问的结果简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
19．（本小题满分17分）
如图，树人中学在即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，跑道由三部分组成：第一部分为曲线段ABCQ，该曲线段可近似看作函数（，，）在区间[-4，0]上的图象，图象的最高点为C（-1，3）；第二部分为线段QD；第三部分可近似看作是以O为圆心，以2为半径的扇形DOE，其圆心角为．
（1）求曲线段ABCQ的解析式；
（2）若新校门位于图中的B点，其离AE的距离为1.5千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的立德楼，求该学生走过的路BO的长；
（3）若点P在劣弧上（不含端点），点M和点N分别在线段OE和线段OD上，，且轴．若梯形OMPN区域为学生的休息区域，记，设学生的休息区域OMPN的面积为S，求S的最大值及此时cs2θ的值．
昭通市市直中学2024年秋季学期高二年级第一次月考
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
【解析】
1．∵倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，所以方向向量为（1，1），故选D．
2．依题意，所以集合，则，A和B均错误；，C错误，D正确，故选D．
3．∵，，共面，∴可设，即解得：，故选C．
4．因为，所以，，，即不能推出，，反之，由，可推出，故“”是“，”的必要不充分条件，故选A．
5．由解得即所求方程的直线过点（-1，1），令直线的倾斜角为，则，显然是锐角，因此所求方程的直线斜率，所以所求的直线方程为，即，故选C．
6．，而，且，，所以，故，故选D．
7．对于A：因为声强时，声强级，所以，解得，故A错误；对于B：因为，所以，即，故B正确；对于C：，所以，即，故C不正确；对于D，，所以，即，故D不正确，故选B．
8．因为是f（x）向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是（-1，0），所以f（x）的图象的对称中心是（0，0），故f（x）是R上的奇函数，所以，对任意的，且，都有成立，所以，令，所以根据单调性的定义可得g（x）在（0，＋∞）上单调递增，由f（x）是R上的奇函数可得g（x）是（-∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，所以g（x）在（-∞，0）上单调递减，当时，不等式得到，矛盾；当时，转化成，即，所以；当时，转化成，，所以，综上所述，不等式的解集为（-1，0）∪（1，＋∞），故选D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9．A 选项，，，，，而，A错误；B选项，复数的共轭复数为，故虚部为2，B正确；C选项，若复数z满足，则z的轨迹为复平面内，以（0，1）为圆心，1为半径的圆，此圆上的点到原点的距离，最大值为2，即（0，2）到原点距离，故|z|的最大值为2，C正确；D选项，若是关于x的方程的一个根，为方程另一个根，故，D不正确，故选BC．
10．由题意可知：圆C：的圆心为C（1，1），半径为，且直线过定点O（0，0），如图1，设线段AB中点为M．
对于选项A：当时，则直线为，即，圆心C（1，1）到直线的距离为，所以，故A正确；对于选项B：因为，因为点A，B不重合，所以，故B错误；对于选项C：因为，所以，故C正确；对于选项D：因为线段AB中点M满足，如图2，设OC的中点为N，圆C与x，y分别切于点E，F，可知圆N过点E，F，且，可知点M的轨迹是以OC为直径的半圆（除去E，F），所以轨迹长为，故D错误，故选AC．
11．对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接AP，如图1，则，故A错误；
对于B，如图2，∵，，∴，又，，，∴，，∴，同理可得，，．∴．∴过点P作交CD交于G，过G作交AD交于F，由，可得，，，∴，同理可得，，，则．设平面PEF交平面ADD′A′于EF，则M的运动轨迹为线段EF，由点P在棱CC′上，且，可得，，∴，故B正确；
对于C，若，则M在以P为球心，为半径的球面上，过点P作，则，此时．∴点M在以Q为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为．点M的运动轨迹长度，故C正确；对于D，如图3，延长DC，D′P交于点H，连接AH交BC于I，连接PI，∴平面AD′P被正方体ABCD-A′B′C′D′截得的截面为AIPD′．，∴，，
∴，
∴，
∴，且，
∴截面AIPD′为梯形，，∴截面AIPD′为等腰梯形，故D正确，
故选BCD．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12．的圆心为A（0，0），半径为1，，圆心为B（-2，2），半径为1，两圆的半径相等，故圆和关于线段AB的中垂线对称，设直线AB：，将B（-2，2）代入，，解得，故线段AB的中垂线的斜率为1，AB的中点坐标为D（-1，1），故线段AB的中垂线方程为，即，综上，l的方程为．
13．如图，O为圆心，连接OP，则．因为点P在线段CD上且，则圆心到直线CD的距离，所以，所以，则，即的取值范围是[-12，0]．
14．（1）由题意得，整理得，．
（2）当时，，设，因为，所以，，当且仅当时，取等号，所以f（x）的最小值为-2．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）因为A（-1，1）和B（1，3），线段AB的中点为（0，2），且，
则AB的垂直平分线方程为，
由圆的性质可知，圆心在该直线上，
又已知圆心在x轴上，令，得，故圆心为C（2，0），
半径，
则圆C的方程为．
（2）如图，由圆心（2，0）到直线的距离，
．
故线段EF的长度为．
16．（本小题满分15分）
解：（1）因为有意义时x的取值范围为（-1，3），
所以的解集为（-1，3），
所以-1和3是方程的两根．
由韦达定理可得
解得
（2）由（1）知，，令，，
因为为增函数，
且，在（-1，1]上单调递增，在[1，3）上单调递减，
所以函数f（x）在（-1，1]上单调递增，在[1，3）上单调递减，
所以当时，f（x）取得最大值2．
17．（本小题满分15分）
（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，点E是PC的中点，点O是AC的中点，
所以，，，
所以．
（2）解：如图，以向量，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
D（0，0，0），B（1，2，0），E（0，1，1），
则，，
设平面EDB的法向量，
则令，，，
所以平面EDB的法向量，
平面PAD的一个法向量为，
设平面EDB和平面PAD的夹角为，
则，
所以平面EDB和平面PAD的夹角的余弦值为．
18．（本小题满分17分）
解：（1）A获得冠军：AB组A获胜，再由A与CD组胜者决赛并胜出，
A获得冠军的概率为，
C获得冠军：CD组C获胜，再由C与AB组胜者决赛并胜出，
C获得冠军的概率为．
（2）淘汰赛赛制下，A获得冠军的概率为，
“双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况，
当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军；
若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军；
当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军；
综上，A获得冠军的概率．
（3）令，
若A为强队，则，故，
所以，双败赛制下对强者更有利．
19．（本小题满分17分）
解：（1）由图形易知，，
又，则，
又，所以，
又当时，有，即，
因为，所以，则，故，
所以曲线段ABCQ的解析式为，．
（2）因为B点离AE的距离为1.5千米，则设，
所以，则，
因为，所以，所以，故，
所以，即该学生走过的路BO的长为千米．
（3）依题意，，，
在△PNO中，，，，
则由正弦定理，可得，
故可得，
在Rt△PMO中，，，
故
，
其中，，为锐角，
因为，所以，
显然当时，休息区域OMPN的面积S取得最大值，
此时．声源
与声源的距离（单位：m）
声强级范围
内燃列车
20
[50，80]
电力列车
20
[20，50]
高速列车
20
{10}
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
A
C
D
B
D
题号
9
10
11
答案
BC
AC
BCD
题号
12
13
14
答案
[-12，0]
；-2