2023-2024学年山东省聊城市东阿县、临清市七年级（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省聊城市东阿县、临清市七年级（下）期中数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果一个角的补角是60°，那么这个角的度数是( )
A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°
2.已知方程3x−4y=6，用含y的式子表示x为( )
A. x=6−4y3B. x=6+4y3C. y=6−3x4D. y=6+3x4
3.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a5=a10B. (−a2)3=−a6C. a3÷2a=2a2D. x3+x3=x6
4.下列说法正确的是( )
A. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
B. 锐角的补角一定是钝角
C. 两直线被第三条直线所截，同位角相等
D. 在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
5.用加减法解方程组2x−3y=4①3x+2y=3②，下列解法正确的是( )
A. ①×3+②×2消去xB. ①×3−②×2消去y
C. ①×2+②×3消去yD. ①×2+②×3消去x
6.将一副三角板(含30°、45°、60°)按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A. 75°B. 60°C. 105°D. 95°
7.若关于x，y的二元一次方程组x+2y=2k4x−y=5k的解满足x−y=1，则k的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若∠1=30°，∠2=55°，则∠ABP的度数是( )
A. 150°B. 155°C. 160°D. 165°
9.如图，长方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，连接DF，EF.将∠C沿DF折叠，点C落在点G处；将∠B沿EF折叠，点B恰好落在FG的延长线上点H处.若∠BFE=19°59′，则∠CFD的度数是( )
A. 70°1′B. 70°41′C. 71°1′D. 71°41′
10.图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转；同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转.如图2，设旋转时间为t秒(0≤t≤90).下列说法正确的是( )
A. 整个运动过程中，不存在∠AOB=90°的情况
B. 当∠AOB=60°时，两射线的旋转时间t一定为20秒
C. 当t值为36秒时，射线OB恰好平分∠MOA
D. 旋转过程中，使射线OB是由射线OM，OA，ON中的其中两条组成的角(指大于0°而不超过180°的角)的平分线，这样的t值有两个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知二元一次方程x+2y=7，请写出该方程的一组正整数解______．
12.如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光(平行光线)，如图2，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使AB/​/CD，需将电池板CD逆时针旋转α度，α= ______.(0<α<90)
13.如果(5−a)(6+a)=12，那么−2a2−2a+8的值为______．
14.根据《山东省沿黄生态廊道保护建设规划(2023−2030年)》要求，某市将打造集生态屏障、文化弘扬、休闲观光、生态农业于一体的复合型沿黄生态廊道，贯通近岸绿带.一块面积为180亩的荒地，计划甲队先绿化，然后乙队接替甲队绿化，两队共用20天完成.已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，设原计划甲工程队需绿化x天，乙工程队需绿化y天，则可列方程组为：______．
15.若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α=(2x+10)°，∠β=(3x−20)°，则∠α的度数为______．
16.如图，在∠AOB内部顺次有一组射线OP1，OP2，⋯，OPn，满足∠AOP1=12∠AOB，∠P1OP2=13∠P1OB，∠P2OP3=14∠P2OB,⋯,∠Pn−1OPn=1n+1∠Pn−1OB.若∠AOB=α，则∠PnOB= ______.(用含n，α的代数式表示)
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.(1)一个角的余角与这个角的补角的和比平角的34多1°，求这个角的度数．
(2)已知5m=2，5n=3，求53m−2n．
四、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
按要求解答：
(1)计算：(−2a2)3+2a2⋅a4−a8÷a2
(2)先化简后求值：(2−a)(2+a)−2a(a+3)+3a2，其中a=−13．
19.(本小题8分)
解方程组
(1)2x+y=3①3x−5y=11②
(2)x+13=y2①2y−(2x−3)=−1②
20.(本小题9分)
如图，点O是直线AB上的一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD．
(1)试说明∠AOF=∠EOD；
(2)求∠EOC+∠AOF的度数．
21.(本小题8分)
黄玉骑自行车去香山，她先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达香山，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路，回到原出发点，共用去55分钟，求从出发点到香山的路程是多少千米？
22.(本小题9分)
如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线．
求证：DF/​/AB．
23.(本小题10分)
我们把关于x、y的两个二元一次方程x+ky=b与kx+y=b(k≠1)叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组x+ky=bkx+y=b，叫做共轭二元一次方程组．
(1)若关于x、y的方程组x+2y=b+2(1−a)x+y=3，为共轭方程组，则a= ______，b= ______；
(2)若二元一次方程x+ky=b中x、y的值满足下列表格：
则这个方程的共轭二元一次方程是______；
(3)解下列方程组(直接写出方程组的解即可)：
x+2y=32x+y=3的解为______；2x−y=4−x+2y=4的解为______．
(4)发现：若共轭方程组x+ky=bkx+y=b的解是x=my=n，猜想m、n之间的数量关系，并说明理由．
24.(本小题12分)
问题情境：
在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线MN，PQ和一块含45°角的直角三角尺ABC”为主题展开数学活动．

探究发现：
如图1，小明把三角尺中45°角的顶点B放在PQ上，边AB，AC与MN分别交于点D，E．
(1)若∠1=70°，求∠2的度数；
(2)如图2，请你探究∠α与∠β之间的数量关系，并说明理由；
延伸拓展：
(3)如图3，当CA的延长线与MN交于点E时，∠α=112°，求∠β的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵一个角的补角是60°，
∴这个角的度数是180°−60°=120°，
故选：D．
根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可．
本题主要考查了求一个角补角的度数，关键是角的计算的应用．
2.【答案】B
【解析】解：方程3x−4y=6，
3x=6+4y，
所以：x=6+4y3．
故选：B．
把y看作已知数求出x即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
3.【答案】B
【解析】解：A、a2⋅a5=a7，原式计算错误，不符合题意；
B、(−a2)3=−a6，原式计算正确，符合题意；
C、a3÷2a=12a2，原式计算错误，不符合题意；
D、x3+x3=2x3，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂乘法，幂的乘方、单项式的除法和合并同类项的法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方、单项式的除法和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原说法错误，不符合题意；
B、锐角的补角一定是钝角，原说法正确，符合题意；
C、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，不符合题意；
D、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a/​/c，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
根据点到直线的距离的定义可判断A；根据度数之和为180度两个角互补即可判断B；根据平行线的性质与判定定理即可判断C、D．
本题主要考查了平面向量，余角和补角，对顶角、邻补角，垂线，点到直线的距离，同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度较小．
5.【答案】B
【解析】解：用加减法解方程组2x−3y=4①3x+2y=−2②，
①×3−②×2，消去x，
故选：B．
根据加减消元法求解方法判断即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
6.【答案】A
【解析】解：如图，
∵∠ABC+60°+45°=180°，
∴∠ABC=75°，
∵直尺的上下两边平行，
∴∠1=∠ABC=75°．
故选：A．
由平角等于180°结合三角板各角的度数，可求出∠ABC的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：x+2y=2k①4x−y=5k②
②−①得：3x−3y=3k，
∴x−y=k，
∵x−y=1，
∴k=1．
故选：A．
利用方程②减去方程①，得到x−y=k，再利用整体代入法求解即可．
本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，掌握“利用整体未知数的方法解决问题”是解本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠1=30°，
∴∠1=∠POF=30°，
∵∠2是△OPF的一个外角，
∴∠OFP=∠2−∠POF=25°，
∵AB/​/OF，
∴∠ABF=180°−∠OFP=155°，
故选：B．
先利用对顶角相等可得∠1=∠POF=30°，再利用三角形的外角性质可得∠OFP=25°，然后利用平行线的性质可得∠ABF=155°，即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由折叠得到：∠BFE=∠HFE，∠CFD=∠GFD，
又∵∠BFE+∠HFE+∠CFD+∠GFD=180°，
∴∠BFE+∠CFD=90°，
∵∠BFE=19°59′，
∴∠CFD=90°−19°59′=70°1′．
故选：A．
根据折叠定义得到∠BFE=∠HFE，∠CFD=∠GFD，然后根据平角定义推出∠BFE+∠CFD=90°，最后根据∠BFE的度数即可求出∠CFD的度数．
本题主要考查角的计算，深入理解折叠的意义是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由题意知∠MOA=2t°，∠NOA=180°−2t°；当0≤t≤45时，∠NOB=4t°；当45令∠AOB=∠NOA−∠NOB=90°，即180°−2t°−4t°=90°，
解得t=15，
∴存在∠AOB=90°的情况；
故A错误，不符合题意；
令∠AOB=∠NOA−∠NOB=60°，即180°−2t°−4t°=60°，
解得t=20，
令∠AOB=∠NOB−∠NOA=60°，即4t°−(180°−2t°)=60°，
解得t=40，
∴当∠AOB=60°时，两射线的旋转时间t不一定为20秒；
故B错误，不符合题意；
当t=36时，∠MOA=72°，∠NOA=108°，∠NOB=144°，
∴∠AOB=∠NOB−∠NOA=144°−108°=36°，
∵∠AOB=12∠MOA，
∴射线OB恰好平分∠MOA，
故C正确，符合题意；
当OB平分∠MON时，4t=90或4t=180+90，
解得t=22.5或t=67.5，
再由t=36时射线OB恰好平分∠MOA，故D说法错误，不符合题意，
故选：C．
由题意知∠MOA=2t°，∠NOA=180°−2t°；当0≤t≤45时，∠NOB=4t°；当45本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，关键是掌握角的和差计算．
11.【答案】x=1y=3(答案不唯一)
【解析】解：x+2y=7，
当x=1，y=3，
∴方程x+2y=7的解为：
x=1y=3(答案不唯一)；
故答案为：x=1y=3(答案不唯一)．
根据二元一次方程的解的定义即可写出一组正整数解．
本题考查二元一次方程的解，掌握代入法是关键．
12.【答案】20
【解析】解：∵AB与太阳光线互相垂直，如图2，
∴∠FEB=90°−62°=28°，
当AB/​/CD时，∠GFD=∠FEB=28°，
∴需将电池板CD逆时针旋转48°−28°=20°，
故答案为：20．
先根据AB与太阳光线互相垂直，得出∠FEB=28°，再根据平行线的性质可得当AB/​/CD时，∠GFD=∠FEB，即可得出结论．
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
13.【答案】−28
【解析】解：∵(5−a)(6+a)=12，
∴30−6a+5a−a2=12，
∴−a2−a=−18，
∴−2a2−2a+8=2(−a2−a)+8=−18×2+8=−28，
故答案为：−28．
先根据多项式乘多项式的计算法则求出−a2−a=−18，再根据−2a2−2a+8=2(−a2−a)+8进行求解即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值，关键是能通过变形进行整体代入计算．
14.【答案】x+y=208x+12y=180
【解析】解：设原计划甲工程队需绿化x天，乙工程队需绿化y天，
由题意得：x+y=208x+12y=180，
故答案为：x+y=208x+12y=180．
设原计划甲工程队需绿化x天，乙工程队需绿化y天，根据一块面积为180亩的荒地，两队共用20天完成．列出二元一次方程组即可．
本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15.【答案】70°或86°
【解析】解：因为∠α与∠β的两边分别平行，
有如下两种情况：
①∠α=∠β，
即2x+10=3x−20，
解得x=30，
∠α=(2×30+10)°=70°，
②∠α+∠β=180°，
即2x+10+3x−20=180，
解得x=38，
∠α=(2×38+10)°=86°，
综上所述，∠α的度数为70°或86°．
故答案为：70°或86°．
根据两边互相平行的两个角相等或互补分两种情况列出方程求出x，然后求解即可．
本题考查了平行线的性质，熟记两边互相平行的两个角相等或互补，易错点在于要分两种情况考虑．
16.【答案】αn+1
【解析】解：∵∠AOB=α，
∴∠AOP1=12∠AOB=12α，
∴∠P1OB=α−12α=12α，
∴∠P1OP2=13∠P1OB=13×12α，
∴∠P2OB=12α−13×12α=13α，
∴∠P2OP3=14∠P2OB=14×13α，
∴∠P3OB=13α−14×13α=14α，
∴∠P3OP4=15∠P3OB=15×14α，
∴∠P4OB=14α−15×14α=15α，
⋯，
∴∠PnOB=αn+1．
故答案为：αn+1．
根据∠AOB=α，得出∠AOP1=12∠AOB=12α，求出∠P1OB=α−12α=12α，∠P2OB=12α−13×12α=13α，∠P3OB=13α−14×13α=14α，∠P4OB=14α−15×14α=15α，得出一般规律即可．
本题主要考查了图形规律探索，角的计算，解题的关键是根据已知条件，找出规律．
17.【答案】解：(1)设这个角为x，
根据题意得：90°−x+180°−x=180°×34+1°，
解得：x=67°，
则这个角的度数为67°；
(2)∵5m=2，5n=3，
∴原式=(5m)3÷(5n)2=89．
【解析】(1)设这个角为x，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果；
(2)原式利用幂的乘方及同底数幂的除法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了同底数幂的除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)(−2a2)3+2a2⋅a4−a8÷a2
=−8a6+2a6−a6
=−7a6；
(2)(2−a)(2+a)−2a(a+3)+3a2
=4−a2−2a2−6a+3a2
=4−6a，
当a=−13时，原式=4−6×(−13)=4+2=6．
【解析】(1)先计算积的乘方，同底数幂乘除法，再合并同类项即可；
(2)先根据平方差公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，关键是熟练掌握整式的运算法则．
19.【答案】解：(1)2x+y=3①3x−5y=11②，
①×5+②，得13x=26，
解得x=2，
把x=2代入①，得y=−1，
故原方程组的解为x=2y=−1；
(2)x+13=y2①2y−(2x−3)=−1②，
由①得，2x−3y=−2③，
由②，得−2x+2y=−4④，
③+④，得−y=−6，
解得y=6，
把y=6代入④，得−2x=−16，
解得x=8，
故原方程组的解为x=8y=6．
【解析】(1)用①×5+②，可消去未知数y，求出未知数x，再把x的值代入①求出y即可；
(2)方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵∠AOE=∠FOD，
∴∠AOF+∠EOF=∠EOD+∠EOF，
∴∠AOF=∠EOD；
(2)解：∵OB平分∠COD，
∴∠BOC=∠DOB，
∵∠AOE=90°，
∴∠BOE=90°，
∴∠BOD+∠DOE=∠EOF+∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠EOF，
∴∠BOC=∠EOF，
∵∠EOC=∠EOB+∠BOC，
∴∠EOC=∠EOB+∠EOF，
∴∠EOC+∠AOF=∠EOB+∠EOF+∠AOF，
=∠EOB+∠AOE=90°+90°=180°．
【解析】(1)由∠AOE=∠FOD，得到∠AOF+∠EOF=∠EOD+∠EOF，即可证明；
(2)由角平分线定义，余角的性质，即可求解．
本题考查角平分线定义，余角的性质，关键是应用角平分线定义，余角的性质得出有关的等式．
21.【答案】解：设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意得：
x8+y4=1.5x9+y12=5560，
解得：x=6y=3．
则x+y=6+3=9(千米)．
答：从出发点到香山的路程是9千米．
【解析】设平路为x千米，坡路为y千米，根据往返的用时不同可得到两个关于x、y的方程，求方程组的解即可，然后求x、y的和即得从出发点到香山的路程．
本题考查了二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
22.【答案】证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠E=∠1，
∴∠E=∠2，
∴AE/​/BC，
∴∠ABC+∠A=180°，
∵∠3+∠ABC=180°，
∴∠3=∠A，
∴DF/​/AB．
【解析】求出∠E=∠2，推出BC/​/AE，得出∠ABC+∠A=180°，推出∠3=∠A，根据平行线的判定推出即可．
本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
23.【答案】−1 1 12x+y=1 x=1y=1 x=4y=4
【解析】解：(1)由定义可得：1−a=2，b+2=3，
∴a=−1，b=1，
故答案为：−1，1．
(2)将x=1，y=0和x=0，y=2分别代入x+ky=b，得：
b=12k=b，解得：b=1k=12，
∴二元一次方程为：x+12y=1，
∴共轭二元一次方程为：12x+y=1，
故答案为：12x+y=1．
(3)解方程组x+2y=3①2x+y=3②，
①×2−②得：3y=3，
∴y=1，
将y=1代入①得，x+2=3，
∴x=1，
∴方程组的解为：x=1y=1．
解方程组2x−y=4①−x+2y=4②，
⑤×2+⑥得：3x=12，
∴x=4，
将x=4代入⑤得：8−y=4，
∴y=4，
∴方程组的解为：x=4y=4，
故答案为：x=1y=1，x=4y=4．
(4)将x=m，y=n，代入方程组得：m+kn=b①km+n=b②，
∴m+kn=km+n，
∴m−km=n−kn，
m(1−k)=n(1−k)
∴m=n．
(1)含x项的系数和含y项的系数相等，常数项相等；
(2)先求k和b，再写共轭二元一次方程；
(3)消元法求解；
(4)利用整体思想求解．
本题以新定义为背景，考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组方法是关键．
24.【答案】解：(1)如图1，过点C作HG/​/MN，

∵MN/​/PQ，
∴MN//HG//PQ，
∴∠HCA=∠1，∠HCB=∠2，
∵∠1=70°，∠ACB=90°，
∴∠2=∠HCB=∠ACB−∠HCA=90°−∠1=20°；
(2)如图2，过点C作HG/​/MN，

∵MN/​/PQ，
∴MN//HG//PQ，
∴∠HCA=∠α，∠HCB=∠CBQ，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBQ=∠HCB=∠ACB−∠HCA=90°−∠α，
∴∠β=180°−∠ABC−∠CBQ=180°−45°−(90°−∠α)=45°+∠α；
(3)如图3，过点A作HG/​/MN，

∵MN/​/PQ，
∴MN//HG//PQ，
∴∠HAE=∠α，
∵∠HAC=180°−∠HAE=180°−∠α，
∴∠HAB=∠HAC−∠BAC=180°−∠α−45°=135°−∠α，
∵∠HAB+∠β=180°，
∴∠β=180°−(135°−∠α)=45°+∠α，
∵∠α=112°，
∴∠β=45°+112°=157°．
【解析】(1)过点C作HG/​/MN，得到MN//HG//PQ，推出∠HCA=∠1，∠HCB=∠2，根据∠1=70°，∠ACB=90°，即可得到∠2=∠HCB=90°−∠1，即可求解；
(2)过点C作HG/​/MN，同(1)可证∠CBQ=∠HCB=90°−∠α，根据邻补角的定义即可求解；
(3)过点A作HG/​/MN，得到MN//HG//PQ，推出∠HAE=∠α，∠HAC=180°−∠α，进而推出∠HAB=∠HAC−∠BAC=180°−∠α−45°，由平行线的性质，即可得出结论．
本题主要考查了平行线的性质，解答本题的关键要明确：平行线的性质是几何中角度转化的重要依据，对于两平行线间有折线的问题，一般在“拐点”处作平行线转化角．x
1
0
y
0
2