河南省驻马店市西平县第一初级中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

这是一份河南省驻马店市西平县第一初级中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题，共8页。试卷主要包含了下列方程，是一元二次方程的是，在函数 y＝x2﹣2x+a，若关于 x 的方程，若抛物线 y＝2等内容，欢迎下载使用。

1．下列方程，是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3x﹣4＝0 B．?2+1?=0 C．ax2+bx+c＝0 D．3x2﹣xy+1＝0
2．若（n n≠0）是关于 x 的方程 x2+mx+2n＝0 的一个根，则 m+n 的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．若关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（其中 a≠0）的解是 x1＝4，x2＝﹣6，且 m满足?的值是（ ）
A．2 或﹣8 B．3 或﹣5 C．2 D．﹣8
4．等腰三角形的底边长为 7，腰长是方程 x2﹣4x＝3x﹣12 的根，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．20 B．11 C．15 D．16
5．在函数 y＝x2﹣2x+a（a 为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣2， y2），（1，y3），则函数值 y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
6．如图，二次函数 y＝ax2+bx+c 图象对称轴是直线 x＝1，则下列结论：
①a＜0，b＜0，②2a﹣b＞0，③a+b+c＞0， ④a﹣b+c＜0，⑤当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小， 其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①③④
7．函数 y＝ax2﹣a 与 y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B
．

C
．

D
．
8．若关于 x 的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0 有实数根，则 x2+2x 的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣4 或 2 D．4 或﹣2
9．若抛物线 y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则 n 的值为（ ）
A． B．− C．1 D．−
10．如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P，Q 同时从点 A 出发，在正方形的边上，分别按 A→D→C，A→B→C 的方向，都以 1cm/s 的速度运动，到达点 C 运动终止，连接PQ，设运动时间为 x s，△APQ 的面积为 y cm2，则 下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．若关于 x 的方程 x2+6x+c＝0 有两个相等的实数根，则实数 c 的值
是 ．
12．已知点 A（x1，y1）和 B（x2，y2）是抛物线 y＝2（x﹣3）2+5 上的两点，如果 x1＞x2＞4，那么 y1 y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）
13．将抛物线 y＝3x2﹣6x+4 先向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是 ．
14．关于 x 的一元二次方程（2﹣a）x2﹣2x+1＝0 有两个不相等的实数根，
则整数 a 的最小值是 ．
15．如图，抛物线 y＝﹣x2+2x+m 交 x 轴于点 A（a，0）和 B（b，0），交 y轴于点 C，抛物线的顶点为 D，下列四个结论：①点 C 的坐标为（0，m）；②当 m＝0 时，△ABD 是等腰直角三角形；③若 a＝﹣1，则 b＝4；④抛物线上有两点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2），若 x1＜1＜x2，且 x1+x2＞2，则 y1＞y2．其中结论正确的序号是 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）

16．（12 分）解下列一元二次方程．
（1）x2+2x＝0； （2）x2﹣5x+1＝0；


（3）3x2﹣6x+2＝0； （4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．


17．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0 有两个不
相等的实数根．
求 m 的取值范围；
方程中有一个根为零，并求出另一个根．



18．（9 分）已知二次函数 y＝x2﹣4x+5．
将 y＝x2﹣4x+5 化成 y＝a（x﹣h）2+k 的形式；
指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？
19．（8 分）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量 700 公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量 1008 公斤的目标．
如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到
1200 公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．


20．（8 分）抛物线 L：y＝ax2+bx+c 与已知抛物线 y=1x2的图象的形状相同，
4 开口方向也相同，且顶点坐标为（﹣2，﹣4）
求 L 的解析式；
若 L 与 x 轴的交点为 A，B（A 在 B 的左侧），与 y 轴的交点为 C，
求△ABC 的面积．


21．（9 分）我们定义：如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 有两个实数根，且其中一个根为一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
请说明方程 x2﹣3x+2＝0 是倍根方程；
若（x﹣2）（mx+n）＝0 是倍根方程，则 m，n 具有怎样的关系？（3）若一元二次方程 ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，请直接写
出 a，b，c 的等量关系．



22．（10 分）如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度移动，如果 P、Q 两点分别从 A，B 两点同时出发，设运动时间为 t，
（1）AP＝ ，BP＝ ，BQ＝ ；
（2）t 为何值△时△PBQ 的面积为 32cm2？
（3）t 为何值时△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？


23．（11 分）如图，抛物线 y＝x2+mx 与直线 y＝﹣x+b 相交于点 A（2，0）
和点 B．
求 m 和 b 的值；
求点 B 的坐标，并结合图象写出不等式 x2+mx＞﹣x+b 的解集；
点 M 是直线 AB 上的一个动点，将点 M 向左平移 3 个单位长度得到点 N，若线段 MN 与抛物线只有一个公共点，直接写出点 M 的横坐标 xM 的取值范围．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程，是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3x﹣4＝0B．x2+1x=0
C．ax2+bx+c＝0D．3x2﹣xy+1＝0
解：A、该方程符号一元二次方程的定义．本选项正确；
B、该方程不是整式方程，是分式方程．本选项错误；
C、当a＝0时，该方程不是一元二次方程．本选项错误；
D、该方程中含有2个未知数，属于二元二次方程．本选项错误．
选：A．
2．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的一个根，则m+n的值是（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
解：把x＝n代入方程x2+mx+2n＝0得n2+mn+2n＝0，
因为n≠0，
所以n+m+2＝0，
则m+n＝﹣2．
选：D．
3．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0）的解是x1＝4，x2＝﹣6，且m满足a(m+1)2+b(m+1)+c=0，则m-1的值是（ ）
A．2或﹣8B．3或﹣5C．2D．﹣8
解：由题意m+1＝4或m+1＝﹣6，
解得m＝9，
∴m-1＝3﹣1＝2．
选：C．
4．等腰三角形的底边长为7，腰长是方程x2﹣4x＝3x﹣12的根，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．20B．11C．15D．16
解：x2﹣4x＝3x﹣12，
x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
x﹣3＝0，x﹣4＝0，
x1＝3，x2＝4，
即①等腰三角形的三边为7，4，4，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是4+4+7＝15；
②等腰三角形的三边为3，3，7，此时不符合三角形三边关系定理，
选：C．
5．在函数y＝x2﹣2x+a（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（1，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
解：∵函数y＝x2﹣2x+a（a为常数），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=--22×1=1，
在函数y＝x2﹣2x+a（a为常数）的图象上有三点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（1，y3），且|1﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣1）|＜|1﹣1|，
则y1、y2、y3的大小关系为y3＜y1＜y2．
选：A．
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象对称轴是直线x＝1，则下列结论：
①a＜0，b＜0，
②2a﹣b＞0，
③a+b+c＞0，
④a﹣b+c＜0，
⑤当x＞1时，y随x的增大而减小，
其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①③④
解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a＞0，①错误；
②∵b＝﹣2a，a＜0，
∴2a﹣b＝2a﹣（﹣2a）＝4a＜0，②错误；
③根据函数图象可知：当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，③正确；
④根据函数图象可知：当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，④正确；
⑤根据函数图象可知：当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤正确．
综上可知：正确的结论有③④⑤．
选：C．
7．函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；
②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．
对照四个选项可知D正确．
选：D．
8．若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则x2+2x的值为（ ）
A．﹣4B．2C．﹣4或2D．4或﹣2
解：设x2+2x＝y，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，
解得：y1＝﹣4，y2＝2，
当y＝﹣4时，x2+2x＝﹣4，即x2+2x+4＝0，Δ＝22﹣4×1×4＜0，方程无解，
∴x2+2x的值为2，
选：B．
9．若抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（ ）
A．92B．-92C．1D．-12
解：抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，可知函数的对称轴为直线x=m+m+32=1，
∴m=-12；
将点（-12，n）代入函数解析式，可得n＝2（-12-1）2=92；
选：A．
10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为x s，△APQ的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S△APQ=12AQ•AP=12x2；
②当2＜x≤4时，
y＝S△APQ
＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×2-12（4﹣x）2-12×2×（x﹣2）-12×2×（x﹣2）
=-12x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．
选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值是 9 ．
解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4c＝0，
解得c＝9．
答案为：9．
12．已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）是抛物线y＝2（x﹣3）2+5上的两点，如果x1＞x2＞4，那么y1 ＞ y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）
解：∵y＝2（x﹣3）2+5，
∴a＝2＞0，有最小值为5，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y＝2（x﹣3）2+5对称轴为直线x＝3，
∵x1＞x2＞4，
∴y1＞y2．
答案为：＞
13．将抛物线y＝3x2﹣6x+4先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是 （4，3） ．
解：∵y＝3x2﹣6x+4＝3（x﹣1）2+1，
∴抛物线y＝3x2﹣6x+4的顶点坐标为（1，1），
∴把点（1，1）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点的坐标为（4，3），
即新抛物线的顶点坐标为（4，3）．
答案为（4，3）．
14．关于x的一元二次方程（2﹣a）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则整数a的最小值是 3 ．
解：根据题意得2﹣a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（2﹣a）×1＞0，
解得a＞1且a≠2，
所以整数a的最小值为3．
答案为3．
15．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：
①点C的坐标为（0，m）；
②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；
③若a＝﹣1，则b＝4；
④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．
其中结论正确的序号是 ①②④ ．
解：①∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，m），
∴C（0，m），
①正确；
②当m＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（0，0）、（2，0），
对称轴为x＝1，
∴△ABD是等腰直角三角形，
②正确；
③当a＝﹣1时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∵对称轴x＝1，
∴另一个交点坐标为（3，0），
∴b＝3，③错误；
④观察二次函数图象可知：
当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．
④正确．
答案为：①②④．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（12分）解下列一元二次方程．
（1）x2+2x＝0；
（2）x2﹣5x+1＝0；
（3）3x2﹣6x+2＝0；
（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．
解：（1）∵x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
则x＝0或x+2＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣2；
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21＞0，
∴x=-b±b2-4ac2a=5±212，
即x1=5+212，x2=5-212；
（3）∵3x2﹣6x+2＝0，
∴x2﹣2x=-23，
则x2﹣2x+1＝1-23，即（x﹣1）2=13，
∴x﹣1＝±33，
∴x1＝1+33，x2＝1-33；
（4）∵3（x﹣2）2＝x（x﹣2），
∴3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（2x﹣6）＝0，
则x﹣2＝0或2x﹣6＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
17．（8分）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）方程中有一个根为零，并求出另一个根．
解：（1）∵方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m）2﹣4（m+1）（m﹣3）＝8m+12＞0，
解得：m＞-32，
∵方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
m≠﹣1，
即m的取值范围为：m＞-32且m≠﹣1，
（2）因为方程有一根为零，令 x＝0，
∴m＝3，
∴此时方程为 4x2+6x＝0，
∴x1＝0，x2=-32
∴另一个根是-32．
18．（9分）已知二次函数y＝x2﹣4x+5．
（1）将y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？
解：（1）y＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1，即y＝（x﹣2）2+1；
（2）根据（1）的函数解析式知，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）；
（3）根据（1）、（2）的结论画出二次函数的大致图象（如图所示），从图象中可知，当x≥2时，y随x的增大而增大．
19．（8分）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
解：（1）设亩产量的平均增长率为x，
依题意得：700（1+x）2＝1008，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．
∵1209.6＞1200，
∴他们的目标能实现．
20．（8分）抛物线L：y＝ax2+bx+c与已知抛物线y=14x2的图象的形状相同，开口方向也相同，且顶点坐标为（﹣2，﹣4）
（1）求L的解析式；
（2）若L与x轴的交点为A，B（A在B的左侧），与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
解：（1）∵y＝ax2+bx+c与已知抛物线y=14x2的图象的形状相同，开口方向也相同，
∴a=14，
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），
∴y=14（x+2）2﹣4；
（2）∵L与x轴的交点为A，B（A在B的左侧），与y轴的交点为C，
∴y＝0，则0=14（x+2）2﹣4，
解得：x1＝﹣6，x2＝2，
当x＝0时，y＝﹣3，
A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣3），
则△ABC的面积为：12×AB×CO=12×8×3＝12．
21．（9分）我们定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请说明方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m，n具有怎样的关系？
（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，请直接写出a，b，c的等量关系．
解：（1）（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝2，x2＝1，
∴方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；
（2）∵（x﹣2）（mx+n）＝0，
∴x1＝2，x2=-nm，
当-nm=2×2时，n＝﹣4m，即4m+n＝0；
当-nm=12×2时，n＝﹣m，即m+n＝0；
综上所述，m、n的关系式为4m+n＝0或m+n＝0．
（3）∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，
∴设方程的两根分别为t，2t，
根据根与系数的关系得t+2t=-ba，t•2t=ca，
∴t=-b3a，
∴2（-b3a）2=ca，
∴2b2＝9ac．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，
（1）AP＝ 2t cm ，BP＝ （12﹣2t）cm ，BQ＝ 4t cm ；
（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
答案为：2t cm，（12﹣2t）cm，4t cm；
（2）△PBQ的面积S=12×BP×BQ
=12×（12﹣2t）×4t
＝﹣4t2+24t＝32，
解得：t＝2或4，
即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；
（3）S＝﹣4t2+24t
＝﹣4（t﹣3）2+36，
所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
23．（11分）如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．
（1）求m和b的值；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；
（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4+2m，解得：m＝﹣2，
将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣2+b，解得b＝2；
m＝﹣2，b＝2；
（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y＝﹣x+2，y＝x2﹣2x，
联立上述两个函数表达式并解得x=-1y=3或x=2y=0（不符合题意，舍去），
即点B的坐标为（﹣1，3），
从图象看，不等式 x2+mx＞﹣x+b 的解集为x＜﹣1或x＞2；
（3）当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∵M，N的距离为3，而A、B的水平距离是3，此时只有一个交点，即﹣1≤xM＜2；
当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点A的右侧时，当 xM＝3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，﹣1），即xM＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
综上所述，﹣1≤xM＜2 或 xM＝3．