2024年河北省唐山市丰润区数学九上开学达标检测试题【含答案】

这是一份2024年河北省唐山市丰润区数学九上开学达标检测试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．
2、（4分）下列运算错误的是
A．B．
C．D．
3、（4分）已知一次函数y=（m+1）x+n-2的图象经过一．三．四象限，则m，n的取值范围是（ ）
A．m＞-1，n＞2B．m＜-1，n＞2C．m＞-1，n＜2D．m＜-1，n＜2
4、（4分）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时点P的坐标是( )
A．(2016，0)B．(2017，1)C．(2017，－1)D．(2018，0)
5、（4分）△ABC中，若AC=4，BC=2，AB=2，则下列判断正确的是（ ）
A．∠A=60°B．∠B=45°C．∠C=90°D．∠A=30°
6、（4分）如图，四边形的对角线和交于点，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．，∥
B．∠=∠，∥
C．，=
D．∠=∠，∠=∠
7、（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AC=16，则图中长度为8的线段有（ ）
A．2条B．4条C．5条D．6条
8、（4分）（2013年四川绵阳3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=【 】
A．cm B．cm C．cm D．cm
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在五边形中，若，则__________.
10、（4分）点P（a，b）在第三象限，则直线y＝ax+b不经过第_____象限
11、（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是，则AB的长为______．
12、（4分）已知，那么的值为__________．
13、（4分）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长为____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在平行四边形ABCD中，，延长DA于点E，使得，连接BE．
求证：四边形AEBC是矩形；
过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若，，求的面积．
15、（8分）遂宁骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，某车行经营的A型车去年2月份销售总额为3万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加300元，若今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同，则今年2月份A型车销售总额将比去年2月份销售总额增加20%．
（1）求今年2月份A型车每辆销售价多少元？
（2）该车行计划今年3月份新进一批A型车和B型车共40辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，A、B两种型号车的进货和销售价格如表，问应如何进货才能使这批车获利最多？
16、（8分）如图，是等边三角形，，点是射线上任意点（点与点不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交直线于点．

（1）如图①，猜想的度数是__________；
（2）如图②，图③，当是锐角或钝角时，其他条件不变，猜想的度数，并选取其中一种情况进行证明；
（3）如图③，若，，，则的长为__________．
17、（10分）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为分.前名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为分），现得知号选手的综合成绩为分.
（1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比：
（2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定这三名选手的名次。
18、（10分）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、1．则△ABC的面积是 ．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）分解因式：_____．
20、（4分）双曲线，在第一象限的图象如图，过上的任意一点，作轴的平行线交于点，交轴于点，若，则的值为__________．
21、（4分）当时，二次根式的值是______.
22、（4分）关于x的方程a2x+x=1的解是__．
23、（4分）如图，，请你再添加一个条件______，使得（填一个即可）.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在中，，于点，，.点从点出发，在线段上以每秒的速度向点匀速运动；与此同时，垂直于的直线从底边出发，以每秒的速度沿方向匀速平移，分别交、、于点、、，当点到达点时，点与直线同时停止运动，设运动时间为秒（）.
（1）当时，连接、，求证：四边形为菱形；
（2）当时，求的面积；
（3）是否存在某一时刻，使为以点或为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出此时刻的值；若不存在，请说明理由.
25、（10分）如图，矩形中，点分别在边与上，点在对角线上，，.
求证：四边形是平行四边形.
若，，，求的长.
26、（12分）化简分式（）÷ ，并在 2，3，4，5 这四个数中取一个合适的数作为 a 的值代入求值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
连接BD、ND，由勾股定理得可得BD=4，由三角形中位线定理可得EF=DN，当DN最长时，EF长度的最大，即当点N与点B重合时，DN最长，由此即可求得答案.
【详解】
连接BD、ND，
由勾股定理得，BD==4，
∵点E、F分别为DM、MN的中点，
∴EF=DN，
当DN最长时，EF长度的最大，
∴当点N与点B重合时，DN最长，
∴EF长度的最大值为BD=2，
故选A．
本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确分析、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2、A
【解析】
根据二次根式的加减法、乘法、除法逐项进行计算即可得.
【详解】
A. 与不是同类二次根式，不能合并，故错误，符合题意；
B. ，正确，不符合题意；
C. = ，正确，不符合题意；
D. ，正确，不符合题意.
故选A.
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘除法、加减法的运算法则是解题的关键.
3、C
【解析】
根据一次函数的图象和性质得出m+1＞0，n-2＜0，解不等式即可．
【详解】
解：∵一次函数y=（m+1）x+n-2的图象经过一．三．四象限
∴m+1＞0，n-2＜0
∴m＞-1，n＜2，
故选：C．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，关键是掌握数形结合思想．
4、B
【解析】
试题解析：以时间为点P的下标．
观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，-1），P4（4，0），P5（5，1），…，
∴P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，-1）．
∵2017=504×4+1，
∴第2017秒时，点P的坐标为（2017，1）．
故选B.
5、A
【解析】
先利用勾股定理的逆定理得出∠B=90°，再利用三角函数求出∠A、∠C即可．
【详解】
∵△ABC中，AC=4，BC=2，AB=2，
∴=2+，即=+，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∵AC=2 AB，
∴∠C=30°，
∴∠A=90°-∠C=60°．
故选：A．
本题考查了勾股定理的逆定理、含30度角的直角三角形的性质，如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．求出∠B=90°是解题的关键．
6、D
【解析】
平行四边形的性质有①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别平行的四边形是平行四边形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据以上内容判断即可．
【详解】
A、∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
在△BOC和△DOA中
，
∴△BOC≌△DOA（AAS），
∴BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵∠ABC=∠ADC，AD∥BC，
∴∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
D、由∠ABD=∠ADB，∠BAO=∠DCO，
无法得出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
故选D．
本题考查了对平行四边形和等腰梯形的判定的应用，注意：平行四边形的性质有：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别平行的四边形是平行四边形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
7、D
【解析】
根据矩形性质得出DC=AB，BO=DO=BD，AO=OC=AC=8，BD=AC，推出BO=OD=AO=OC=8，再证得△ABO是等边三角形，推出AB=AO=8=DC，由此即可解答．
【详解】
∵AC=16，四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB，BO=DO=BD，AO=OC=AC=8，BD=AC，
∴BO=OD=AO=OC=8，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=AO=8，
∴DC=8，
即图中长度为8的线段有AO、CO、BO、DO、AB、DC共6条，
故选D．
本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，矩形的对角线互相平分且相等，矩形的对边相等．
8、B。
【解析】∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，∴AO=4cm，BO=3cm。，
在Rt△AOB中，，
∵BD×AC=AB×DH，∴DH=cm。
在Rt△DHB中，，AH=AB﹣BH=cm。
∵，∴GH=AH=cm。故选B。
考点：菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、130°
【解析】
首先利用多边形的外角和定理求得正五边形的内角和，然后减去已知四个角的和即可．
【详解】
解：正五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=410°，
∴∠E=540°-410°=130°，
故答案为：130°．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
10、一
【解析】
点在第三象限的条件是：横坐标为负数，纵坐标为负数.进而判断相应的直线经过的象限
【详解】
解：∵点P（a，b）在第三象限，
∴a＜0，b＜0，
∴直线y＝ax+b经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故答案为：一．
此题主要考查四个象限的点坐标特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负.掌握直线经过象限的特征即可求解
11、1
【解析】
分析：找出B点关于AC的对称点D，连接DE，则DE就是PE+PB的最小值，进而可求出AB的值．
详解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）
在Rt△ADE中，DE=，
∴AD1=4，
∴AD=AB=1．
点睛：本题主要考查轴对称-最短路线问题和菱形的性质的知识点，解答本题的关键，此题是道比较不错的习题．
12、
【解析】
根据，可设a＝3k，则b＝2k，代入所求的式子即可求解．
【详解】
∵，
∴设a＝3k，则b＝2k，
则原式＝．
故答案为：．
本题考查了比例的性质，根据，正确设出未知数是本题的关键．
13、
【解析】
根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN=x，则DN=NE=8-x，CE=4，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．
【详解】
设CN=x，则DN=8-x，由折叠的性质知EN=DN=8-x，
而EC=BC=4，在Rt△ECN中，由勾股定理可知，即
整理得16x=48，所以x=1．
故答案为：1.
本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）．
【解析】
（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，推出四边形AEBC是平行四边形，求得∠CAE＝90°，于是得到四边形AEBC是矩形；
（2）根据三角形的内角和得到∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，推出△AOE是等边三角形，得到AE＝EO，求得∠GOF＝∠GAF＝30°，根据直角三角形的性质得到OG＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，，
四边形AEBC是平行四边形，
，
，
，
四边形AEBC是矩形；
，
，
，
，，
四边形AEBC是矩形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
15、（1）今年的销售价为1800元；（2）购进A型车14辆，B型车26辆，获利最多．
【解析】
（1）设去年2月份A型车每辆的售价为x元，则今年2月份A型车每辆的售价为（x+300）元，然后依据今年2月份与去年2月份卖出的A型车数量相同列方程求解即可；
（2）设购进A型车m辆，获得的总利润为w元，则购进B型车（40﹣m）辆，然后列出W与m的函数关系式，然后依据一次函数的性质求解即可．
【详解】
解：（1）设去年2月份A型车每辆的售价为x元，
则今年2月份A型车每辆的售价为（x+300）元，
根据题意得：，
解得：x＝1500，
经检验，x＝1500是原方程的解，
则今年的销售价为1500+300＝1800元．
（2）设购进A型车m辆，获得的总利润为w元，则购进B型车（40﹣m）辆，
根据题意得：
w＝（1800﹣900）m+（2000﹣1000）（40﹣m）＝﹣10m+1．
又∵40﹣m≤2m，
∴m≥13．
∵k＝﹣100＜0，
∴当m＝14时，w取最大值．
答：购进A型车14辆，B型车26辆，获利最多．
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用，依据题意列出分式方程、得到W与m的函数关系式是解题的关键．
16、（1）；（2），证明见解析；（3） ．
【解析】
（1）根据等边三角形的性质可得，，然后根据旋转的性质可得，°，从而得出，然后利用SAS即可证出，最后利用对顶角相等和三角形的内角和定理即可求出结论；
（2）根据等边三角形的性质可得，，然后根据旋转的性质可得，°，从而得出，然后利用SAS即可证出，最后利用对顶角相等和三角形的内角和定理即可求出结论；
（3）设EC和FO交于点G，根据等边三角形的性质可得，，然后根据旋转的性质可得，°，从而得出、∠DCG=45°、∠BEC=30°，然后利用SAS即可证出，从而可求∠FGC=90°，然后根据等腰直角三角形的性质、勾股定理和30°所对的直角边是斜边的一半即可得出结论．
【详解】
解：（1） ∵是等边三角形，
∴，．
∵线段绕点顺时针旋转60°得到线段,
∴，°．
∴，
即．
在和中
∴．
∴．
又，，．
∴．
（2）．
证明：如图②，是等边三角形，
∴，．
∵线段绕点顺时针旋转60°得到线段,
∴，°．
∴，
即．
在和中
∴．
∴．
又，，．
∴．
（3）设EC和FO交于点G
∵是等边三角形，
∴，．
∵线段绕点顺时针旋转60°得到线段,
∴，°．
∴，
即．
∴∠DCG=∠ECF－∠DCF=45°
∵
∴∠BEC=180°－∠ABC－∠BCE=30°
在和中
∴．
∴=30°
∴∠FGC=180°－∠F－∠ECF=90°
∴△CGD为等腰直角三角形，CG= DG
∴CG 2+DG2=CD2
即2CG2=62
解得：CG= DG=
在Rt△FGC中，FC=2CG =，FG=
∴DF=FG－DG=－
此题考查的是等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质和直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．
17、（1）笔试占，面试占；（2）第一名：2号，第二名：1号，第三名：3号.
【解析】
（1）设笔试成绩占百分比为，则面试成绩占比为，根据题意列出方程，求解即可；
（2）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，分别求出其余两名选手的综合成绩，即可得出答案.
【详解】
解：（1）设笔试成绩占百分比为，则面试成绩占比为.
由题意，得
∴笔试成绩占，面试成绩占.
（2）2号选手的综合成绩：
3号选手的综合成绩：
∴三位选手按综合成绩排名为：第一名：2号，第二名：1号，第三名：3号.
本题考查了加权平均数和一元一次方程的应用，熟知加权平均数的计算公式是解题的关键.
18、64
【解析】
试题分析:根据平行可得三个三角形相似,再由它们的面积比等于相似比的平方,设其中一边为一求未知数,然后计算出最大的三角形与最小的三角形的相似比,从而求面积比.
【详解】
如图,
，
过M作BC的平行线交AB,AC于D,E,过M作AC平行线交AB,BC于F,H,过M作AB平行线交AC,BC于I,G,
根据题意得,△1∽△2∽△3,
∵S△1：S△2=1:4,S△1:S△3=1:1,
∴DM：EM：GH=1:2:5,
又∵四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形,
∴DM=BG,EM=CH,
设DM为x,
则BC=BG+GH+CH=x+5x+2x=8x,
∴BC:DM=8:1,
∴S△ABC:S△FDM=64:1,
∴S△ABC=1×64=64,
故答案为:64.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：．
20、1
【解析】
根据S△AOC-S△BOC=S△AOB，列出方程，求出k的值．
【详解】
由题意得：S△AOC-S△BOC=S△AOB，
=1，
解得，k=1，
故答案为：1．
此题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．根据面积关系得出方程是解题的关键．
21、
【解析】
把x=-2代入根式即可求解.
【详解】
把x=-2代入得
此题主要考查二次根式，解题的关键是熟知二次根式的性质.
22、．
【解析】
方程合并后，将x系数化为1，即可求出解．
【详解】
解：方程合并得：（a2+1）x=1，
解得：x=，
故答案为：．
23、(答案不唯一)
【解析】
注意两个三角形有一个公共角∠A，再按照三角形全等的判定方法结合图形添加即可.
【详解】
解：∵∠ A=∠ A， AB=AC，
∴若按照SAS可添加条件AD=AE；
若按照AAS可添加条件∠ ADB=∠AEC；
若按照ASA可添加条件∠B=∠C；
故答案为AD=AE或∠ADB=∠AEC或∠B=∠C.
本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定三角形全等的各种方法是解决此类问题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）；（3）存在以点为直角顶点的直角三角形.此时，.
【解析】
（1）根据菱形的判定定理即可求解；
（2）由（1）知，故，故 ，可求得，
， 再根据三角形的面积公式即可求解；
（3）根据题意分①若点为直角顶点， ②若点为直角顶点， 根据相似三角形的性质即可求解.
【详解】
（1）证明：如图1，当时，，
则为的中点，又∵，
∴为的垂直平分线，∴，.
∵，∴.
∵，∴，，
∴，∴，
∴，即四边形为菱形.
（2）如图2，由（1）知，
∴，
∴，即，解得：，
，
；
（3）①若点为直角顶点，如图3①，
此时，，.
∵，∴，
即：，此比例式不成立，故不存在以点为直角顶点的直角三角形；
②若点为直角顶点，如图3②，
此时，，，.
∵，∴，即：，
解得.故存在以点为直角顶点的直角三角形.此时，.
【点睛】此题主要考查三角形的动点问题，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.
25、（1）证明见详解；（2）1
【解析】
（1）依据矩形的性质，即可得出△AEG≌△CFH，进而得到GE=FH，∠CHF=∠AGE，由∠FHG=∠EGH，可得FH∥GE，即可得到四边形EGFH是平行四边形；
（2）由菱形的性质，即可得到EF垂直平分AC，进而得出AF=CF=AE，设AE=x，则FC=AF=x，DF=8-x，依据Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即可得到方程，即可得到AE的长．
【详解】
解：（1）∵矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠FCH=∠EAG，
又∵CD=AB，BE=DF，
∴CF=AE，
又∵CH=AG，
∴△AEG≌△CFH，
∴GE=FH，∠CHF=∠AGE，
∴∠FHG=∠EGH，
∴FH∥GE，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图，连接EF，AF，
∵EG=EH，四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形GFHE为菱形，
∴EF垂直平分GH，
又∵AG=CH，
∴EF垂直平分AC，
∴AF=CF=AE，
设AE=x，则FC=AF=x，DF=8-x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
∴42+（8-x）2=x2，
解得x=1，
∴AE=1．
此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
26、，取代入，原式．
【解析】
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义a的值代入计算可得．
【详解】
解：原式=·
=·
=·
=a+3，
∵a≠﹣3，2，3，
∴a=4或5，
当a=4时，原式=4+3=7；
当a=5时，原式=5+3=8.
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
A型车
B型车
进货价格（元/辆）
900
1000
销售价格（元/辆）
今年的销售价格
2000
序号
笔试成绩/分
面试成绩/分