2024年广东省深圳市育才第二中学数学九上开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份2024年广东省深圳市育才第二中学数学九上开学质量跟踪监视试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列方程有两个相等的实数根的是( )
A．B．
C．D．
2、（4分）若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．B．1C．D．
3、（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线相互平分的四边形是菱形
C．对角线相互垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
4、（4分）某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图像如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时的收入是( )
A．310元B．300元C．290元D．280元
5、（4分）某旅游纪念品商店计划制作一种手工编织的工艺品600件，制作120个以后，临近旅游旺季，商店老板决定加快制作进度，后来每天比原计划多制作20个，最后共用时11天完成，求原计划每天制作该工艺品多少个？设原计划每天制作该工艺品个，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
6、（4分）体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一位同学的成绩比较稳定，通常要比较两名同学成绩的（ ）
A．平均数B．方差C．众数D．中位数
7、（4分）设三角形的三边长分别等于下列各组数，能构成直角三角形的是（ ）
A．， ， B．，， C．，， D．4，5，6
8、（4分）使分式有意义的的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，当时， 有最大值；当时，随的增大而______.（填“增大”或“减小”）
10、（4分）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____．
11、（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣7，m+1）在第三象限，则m的取值范围是_____．
12、（4分）如图，矩形纸片中，已知，，点在边上，沿折叠纸片，使点落在点处，连结，当为直角三角形时，的长为______.
13、（4分）如图，在一只不透明的袋子中装有6个球，其中红球3个、白球2个、黄球1个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从袋子中任意摸出一个球，摸到_____球可能性最大．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB0)．
(1)△PBM 与△QNM 相似吗？请说明理由；
(2)若∠ABC＝60°，AB＝4 cm．
①求动点 Q 的运动速度；
②设△APQ 的面积为 s(cm2)，求 S 与 t 的函数关系式．（不必写出 t 的取值范围）
(3)探求 BP²、PQ²、CQ² 三者之间的数量关系，请说明理由．
15、（8分）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图 1，图 2 都是 8×8 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图 1 中画出△ABC，其顶点 A，B，C 都是格点，同时构造正方形 BDEF， 使它的顶点都在格点上，且它的边 DE，EF 分别经过点 C，A，她借助此图求出了△ABC 的面积．
（1）在图 1 中，小颖所画的△ABC 的三边长分别是 AB＝ ，BC＝ ，AC
＝ ；△ABC 的面积为 ． 解决问题：
（2）已知△ABC 中，AB＝，BC＝2 ，AC＝5 ，请你根据小颖的思路，在图 2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC 的面积．
16、（8分）解不等式组，并在数轴上把解集表示出来．
17、（10分）仿照下列过程：
；
；
（1）运用上述的方法可知：＝ ，＝ ；
（2）拓展延伸：计算：++…+．
18、（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，1），B（﹣2，4），直线AB与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求证：△OAB是直角三角形．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为______．
20、（4分）在菱形中，若，，则菱形的周长为________.
21、（4分）要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竟赛。对这三名学生进行了10次“数学测试”，经过数据分析，3人的平均成绩均为92分。甲的方差为0.024、乙的方差为0.08、丙的方差为0.015，则这10次测试成绩比较稳定的是_____________.
22、（4分）若实数、满足，则以、的值为边长的等腰三角形的周长为
。
23、（4分）关于t的分式方程=1的解为负数，则m的取值范围是______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图,在△ABC中,点D是AB边的中点,点E是CD边的中点,过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F,连接BF.
(1)求证:DB=CF；(2)如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.
25、（10分）在生活与工作都离不开手机和电脑的今天，青少年近视、散光等眼问题日趋严重，为宣传2018全国爱眼日（6月6日），增强大众近视防控意识，某青少年视力矫正中心举办了主题为“永康降度还您一双明亮的眼睛”的降度明星大赛，现根据大赛公布的结果，将所有参赛孩子双眼降度之和（含近视和散光）情况绘制成了如下的统计表：
（1）求参加降度明星大赛的孩子共有多少人？
（2）求出所有参赛孩子所降度数的众数、中位数和平均数．
26、（12分）如图，将的边延长至点，使，连接，，，交于点.
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
分别计算各选项的判别式△值，然后和0比较大小，再根据一元二次方程根与系数的关系就可以找出符合题意的选项.
【详解】
A、△=b2 -4ac=1+24=25>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、△=b2 -4ac=36-36=0，方程有两个相等的实数根，符合题意；
C、△=b2 -4ac=25-40=-15<0，方程没有实数根，不符合题意；
D、△=b2 -4ac=81>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意，
故选B.
本题考查了一元二次方程根的情况与与判别式△的关系：(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△＜0⇔方程没有实数根．
2、A
【解析】
【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a的方程，解方程即可得.
【详解】x(x+1)+ax=0，
x2+(a+1)x=0，
由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，
解得：a1=a2=-1，
故选A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
3、D
【解析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】
解：A、错误，例如对角线互相垂直的等腰梯形；
B、错误，平行四边形的对角线都是互相平分的；
C、错误，如下图四边形对角线互相垂直，但并非平行四边形，
D、正确.
故选D.
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4、B
【解析】
试题分析：观察图象，我们可知当销售量为1万时，月收入是800，当销售量为2万时，月收入是11，所以每销售1万，可多得11-800=500，即可得到结果．
由图象可知，当销售量为1万时，月收入是800，当销售量为2万时，月收入是11，
所以每销售1万，可多得11-800=500，因此营销人员没有销售业绩时收入是800-500=1．
故选B．
考点：本题考查的是一次函数的应用
点评：本题需仔细观察图象，从中找寻信息，并加以分析，从而解决问题．
5、C
【解析】
根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，，
故选：C．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
6、B
【解析】
平均数、众数、中位数反映的是数据的集中趋势，方差反映的是数据的离散程度，方差越大，说明这组数据越不稳定，方差越小，说明这组数据越稳定.
【详解】
解：由于方差能反映数据的稳定性,故需要比较这两名同学5次短跑训练成绩的方差.故选B.
考核知识点：均数、众数、中位数、方差的意义.
7、A
【解析】
分析：判断是否可以作为直角三角形的三边长，则判断两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
详解：A. 是直角三角形，故此选项正确；
B. ，不是直角三角形，故此选项错误；
C. 不是直角三角形，故此选项错误；
D. 不是直角三角形，故此选项错误。
故选：A.
点睛：考查勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
8、D
【解析】
分式有意义的条件是分母不等于0，即x﹣1≠0，解得x的取值范围．
【详解】
若分式有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1．
故选D．
本题考查了分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、增大
【解析】
根据函数图像可知，当时，随的增大而增大，即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，∵当时，有最大值；
∴函数图像开口向下，
∴当时，随的增大而增大；
故答案为：增大.
本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质进行解题.
10、（﹣5，3）
【解析】
利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【详解】
∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），点D在y轴上，
∴AB＝AD＝5＝CD，
∴DO＝＝＝3，
∵CD∥AB，
∴点C的坐标是：（﹣5，3）．
故答案为（﹣5，3）．
此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．
11、m<-1
【解析】
根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式，然后求解即可.
【详解】
：∵点(，)在第三象限，
∴m+1<0，
解不等式得，m<-1，
所以，m的取值范围是m<-1.
故答案为m<-1.
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）.
12、3或
【解析】
分两种情况：①当∠EFC=90°，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定理求出AC，设BE=x,表示出CE，根据翻折变换的性质得到AF=AB,EF=BE，再根据Rt△CEF利用勾股定理列式求解；②当∠CEF=90°，判断四边形ABEF是正方形，根据正方形的性质即可求解.
【详解】
分两种情况：①当∠EFC=90°，如图1，
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
∴点A、F、C共线，
∵矩形ABCD的边AD=4，
∴BC=AD=4，
在Rt△ABC中，AC=
设BE=x，则CE=BC-BE=4-x，
由翻折的性质得AF=AB=3,EF=BE=x，∴CF=AC-AF=5-3=2
在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，
即x2+22=(4-x)2，
解得x=；
②当∠CEF=90°，如图2
由翻折的性质可知∠AEB=∠AEF=45°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE=AB=3，
故BE的长为3或
此题主要考查矩形的折叠问题，解题的关键是根据图形进行分类讨论.
13、红．
【解析】
根据概率公式先求出红球、白球和黄球的概率，再进行比较即可得出答案．
【详解】
∵不透明的袋子中装有6个球，其中红球3个、白球2个、黄球1个，
∴从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是：＝，摸到白球的概率是＝，摸到黄球的概率是，
∴摸到红球的概率性最大；
故答案为：红．
此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1) ；（1）①v=1;②S= (3)
【解析】
（1）由条件可以得出∠BMP=∠NMQ，∠B=∠MNC，就可以得出△PBM∽△QNM；
（1）①根据直角三角形的性质和中垂线的性质BM、MN的值，再由△PBM∽△QNM就可以求出Q的运动速度；
②先由条件表示出AN、AP和AQ，再由三角形的面积公式就可以求出其解析式；
（3）延长QM到D，使MD=MQ，连接PD、BD、BQ、CD，就可以得出四边形BDCQ为平行四边形，再由勾股定理和中垂线的性质就可以得出PQ1=CQ1+BP1．
【详解】
解：（1）△PBM∽△QNM．
理由：
∵MQ⊥MP，MN⊥BC，
∴∠PMN+∠PMB=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN．
∵∠B+∠C=90°，∠C+∠MNQ=90°，
∴∠B=∠MNQ，
∴△PBM∽△QNM．
（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=1AB=8cm．AC=11cm，
∵MN垂直平分BC，
∴BM=CM=4cm．
∵∠C=30°，
∴MN=CM=4cm．
①设Q点的运动速度为v（cm/s）．
∵△PBM∽△QNM．
∴，
∴，
∴v=1，
答：Q点的运动速度为1cm/s．
②∵AN=AC-NC=11-8=4cm，
∴AP=4-t，AQ=4+t，
∴S=AP•AQ=（4-t）（4+t）=-t1+8．（0＜t≤4）
当t＞4时，AP=-t+4=（4-t）．
则△APQ的面积为：S=AP•AQ=（-t+4）（4+t）=t1-8
（3）PQ1=CQ1+BP1．
理由：延长QM到D，使MD=MQ，连接PD、BD、BQ、CD，
∵M是BC边的中点，
∴BM=CM，
∴四边形BDCQ是平行四边形，
∴BD∥CQ，BD=CQ．
∴∠BAC+∠ABD=180°．
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD=90°，
在Rt△PBD中，由勾股定理得：
PD1=BP1+BD1，
∴PD1=BP1+CQ1．
∵MQ⊥MP，MQ=MD，
∴PQ=PD，
∴PQ1=BP1+CQ1．
本题是一道相似形的综合试题，考查了相似三角形的判定与性质的运用，三角形的面积公式的运用，平行四边形的判定与性质的运用，中垂线的判定与性质的运用，解题时求出△PBM∽△QNM是关键．正确作出辅助线是难点．
15、（1）；（2）图见解析，1
【解析】
根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算．
【详解】
解：（1）AB＝＝1，BC＝＝，AC＝＝，
△ABC 的面积为：4×4﹣×3×4-×1×4﹣×3×1＝ ，
故答案为：1; ;;;
（2）△ABC 的面积：7×2﹣×3×1﹣ ×4×2﹣ ×7×1＝1．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
16、x＞1
【解析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【详解】
解：
解不等式①，得x＞1，
解不等式②，得x≥-4，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
∴原不等式组的解集为x＞1，
本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点.
17、（1）﹣2、-；（2）﹣1．
【解析】
（1）将两式的分子、分母分别乘以﹣2、﹣计算可得；
（2）由＝﹣将原式展开后，两两相互抵消即可得．
【详解】
（1）＝＝＝﹣2，
＝＝＝，
（2）原式＝﹣1+﹣﹣+…+﹣＝﹣1．
本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化和根据计算得出规律.
18、（1）（0，）；（2）见解析
【解析】
（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点C的坐标；
（2）根据勾股定理分别求出OA2、OB2、AB2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】
（1）解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
点A（2，1），B（﹣2，4），
则，
解得，，
∴设直线AB的解析式为：y＝﹣x+，
∴点C的坐标为（0，）；
（2）证明：∵点A（2，1），B（﹣2，4），
∴OA2＝22+12＝5，OB2＝22+42＝20，AB2＝（4-1）2+（-2-2）2＝25，
则OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB是直角三角形．
本题考查的是待定系数法求一次函数解析式、勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、-4
【解析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．
【详解】
解：，
去分母，方程两边同时乘以，得：，
由分母可知，分式方程的增根可能是2，
当时，，
．
故答案为．
考查了分式方程的增根增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20、8
【解析】
由菱形的，可得∠BAD=∠BCD =60°，则在Rt△AOB中根据勾股定理以及30°所对的直角边是斜边的一半，列方程可以求出AB的长，即可求出菱形周长.
【详解】
解：如图，
∵ABCD为菱形
∴∠BAD=∠BCD，BD⊥AC，O为AC、BD中点
又∵
∴∠BAD=∠BCD =60°
∴∠BAC=∠BAD=30°
在Rt△AOB中，BO=AB，
设BO=x，根据勾股定理可得：
解得x=1
∴AB=2x=2
∴菱形周长为8
故答案为8
本题考查菱形的性质综合应用，灵活应用菱形性质是解题关键.
21、丙
【解析】
根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定解答即可．
【详解】
解：因为3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.024、乙的方差为0.08、丙的方差为0.015，
丙的方差最小，所以这10次测试成绩比较稳定的是丙，
故答案为：丙
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
22、20。
【解析】
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解：
根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8。
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8，∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20。
所以，三角形的周长为20。
23、m＜1
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出方程的解，由分式方程的解是负数确定出m的范围即可．
【详解】
去分母得：m-5=t-2，
解得：t=m-1，
由分式方程的解为负数，得到m-1＜0，且m-1≠2，
解得：m＜1，
故答案为：m＜1．
此题考查了解分式方程以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)证明见解析；（2）四边形BDCF是矩形，理由见解析.
【解析】
(1)证明：∵CF∥AB，
∴∠DAE＝∠CFE．又∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF．∵AD＝DB，∴DB＝CF．
(2)四边形BDCF是矩形．
证明：由(1)知DB＝CF，又DB∥CF，
∴四边形BDCF为平行四边形．
∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB．
∴四边形BDCF是矩形．
25、（1）60人；（2）众数为300、中位数为250、平均数为1．
【解析】
（1）将统计表中各项人数相加求和即参加降度明星大赛的孩子人数；
（2）出现次数最多的数为众数，将数据从小到大排序后，第30和第31个孩子的降度平均数为中位数；利用加权平均数的计算公式求平均数即可．
【详解】
解：（1）
答：参加降度明星大赛的孩子共有60人．
（2）由表可知：众数：300（度）
中位数：（度）
平均数：（度）
∴众数为300、中位数为250、平均数为1．
本题考查众数，中位数，加权平均数的求解，掌握概念正确理解计算是解题关键．
26、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可；
（2）欲证明四边形BECD是矩形，只需推知BC＝ED即可．
【详解】
(1)∵四边形是平行四边形，
∴，
∴.
又∵，
∴.
∴四边形为平行四边形.
∴.
∵在与中，，
∴.
(2)由(1)知，四边形为平行四边形，则．
∵四边形为平行四边形，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形是矩形.
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的综合运用，难度较大．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
所降度数（度）
100
200
300
400
500
600
人数（人）
12
18
24
4
1
1