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初中数学人教版（2024）九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教学ppt课件
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这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教学ppt课件，共24页。PPT课件主要包含了折一折，用折叠的方法，说一说，垂径定理，∴AEBE，推导格式，不是因为没有垂直，归纳总结，思考探索，①CD是直径等内容，欢迎下载使用。
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
一、创设情境，引入新知
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？
圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
问题：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径 CD⊥AB, 垂足为 E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么?
线段: AE = BE
二、合作交流，探究新知
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
不是，因为CD没有过圆心
垂径定理的几个基本图形：
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
举例证明其中一种组合方法已知:求证：
② CD⊥AB，垂足为 E
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 AE = BE.（1）CD⊥AB 吗？为什么？（2）
AC 与 BC 相等吗？AD 与 BD 相等吗？为什么？
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用 AB 表示主桥拱，设 AB 所在圆的圆心为 O，半径为 R.
经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC 垂足为D，与弧 AB 交于点C，则 D 是 AB 的中点，C 是弧 AB 的中点，CD 就是拱高.
∴ AB = 37，CD = 7.23，
解得R ≈ 27. 3（m）.
即主桥拱半径约为27. 3 m.
1. 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为10 cm,OE = 6 cm,则 AB = cm.
解析：连接 OA ，∵ OE⊥AB，
∴ AB = 2AE = 16 cm.
2. 如图， ⊙ O 的弦 AB＝8cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC ＝ 2cm，求半径 OC 的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
设OC = x cm，则OD = x - 2,根据勾股定理，得
即半径 OC 的长为 5 cm.
X2 = 42 +(x - 2)2，
证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM， CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
4. 如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿ ＿＿.
2 cm或 12 cm
在圆中有关弦长 a ,半径 r, 弦心距 d（圆心到弦的距离），弓形高 h 的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
d + h = r
5. 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于C，D 两点.你认为 AC 和 BD 有什么关系？为什么？
证明：过 O 作 OE⊥AB，垂足为 E， 则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD.
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
6. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O 是弧 CD 的圆心),其中CD=600 m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90 m.求这段弯路的半径.
设这段弯路的半径为 R m,则OF = (R - 90) m.
解得 R = 545.
∴这段弯路的半径约为 545 m.
拓展提升：如图，⊙O 的直径为 10，弦AB = 8, P 为 AB 上的一个动点，那么OP长的取值范围 .
3 cm ≤ OP ≤ 5 cm
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
一、创设情境，引入新知
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？
圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
问题：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径 CD⊥AB, 垂足为 E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么?
线段: AE = BE
二、合作交流，探究新知
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
不是，因为CD没有过圆心
垂径定理的几个基本图形：
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
举例证明其中一种组合方法已知:求证：
② CD⊥AB，垂足为 E
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 AE = BE.（1）CD⊥AB 吗？为什么？（2）
AC 与 BC 相等吗？AD 与 BD 相等吗？为什么？
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用 AB 表示主桥拱，设 AB 所在圆的圆心为 O，半径为 R.
经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC 垂足为D，与弧 AB 交于点C，则 D 是 AB 的中点，C 是弧 AB 的中点，CD 就是拱高.
∴ AB = 37，CD = 7.23，
解得R ≈ 27. 3（m）.
即主桥拱半径约为27. 3 m.
1. 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为10 cm,OE = 6 cm,则 AB = cm.
解析：连接 OA ，∵ OE⊥AB，
∴ AB = 2AE = 16 cm.
2. 如图， ⊙ O 的弦 AB＝8cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC ＝ 2cm，求半径 OC 的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
设OC = x cm，则OD = x - 2,根据勾股定理，得
即半径 OC 的长为 5 cm.
X2 = 42 +(x - 2)2，
证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM， CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
4. 如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿ ＿＿.
2 cm或 12 cm
在圆中有关弦长 a ,半径 r, 弦心距 d（圆心到弦的距离），弓形高 h 的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
d + h = r
5. 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于C，D 两点.你认为 AC 和 BD 有什么关系？为什么？
证明：过 O 作 OE⊥AB，垂足为 E， 则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD.
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
6. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O 是弧 CD 的圆心),其中CD=600 m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90 m.求这段弯路的半径.
设这段弯路的半径为 R m,则OF = (R - 90) m.
解得 R = 545.
∴这段弯路的半径约为 545 m.
拓展提升：如图，⊙O 的直径为 10，弦AB = 8, P 为 AB 上的一个动点，那么OP长的取值范围 .
3 cm ≤ OP ≤ 5 cm
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
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构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
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