02 第59讲　排列与组合 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

这是一份02 第59讲　排列与组合 【答案】听课 高考数学二轮复习练习，共5页。
【知识聚焦】
1.一定的顺序
2.不同排列 n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 不同组合 AnmAmm
【对点演练】
1.4 [解析] 4名学生中,来自高一、高二年级的各2名,所以随机选2名学生,来自不同年级的选择方法有C21C21=4(种).
2.2400 [解析] 安排甲和乙在3日至7日中的两天值班,然后安排其他五人在剩余五天值班,所以不同的安排方法有A52×A55=20×120=2400(种).
3.20 [解析] A项工作安排3人有C53=10(种)安排方式,B,C两项工作均只安排1人,有A22=2(种)安排方式,则不同的安排方式共有10×2=20(种).
4.5 120 96 [解析] 从5名学生中选出4名去参加学科竞赛,有C54=5(种)选法.若这4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,则不同的参赛方案有A54=120(种).由于甲不参加生物竞赛,因此安排甲参加另外三门学科的竞赛或甲不参加任何竞赛.①当甲参加另外三门学科的竞赛时,有C31A43=72(种)方案;②当甲不参加任何竞赛时,有A44=24(种)方案.故甲不参加生物竞赛的不同参赛方案种数为72+24=96.
5.720 720 [解析] (1)要将这7人站成一排,且3个女生排在一起,可以分2个步骤:第1步,将3个女生全排列,有A33=6(种)方法;第2步,将3个女生“捆绑”看作1个整体与男生4人全排列,有A55=120(种)方法.根据分步乘法计数原理,3个女生排在一起共有6×120=720(种)排法.
(2)要将这7人站成一排,且甲、乙2人之间恰好有3个人,可以分3个步骤:第1步,甲、乙2人全排列,有A22=2(种)方法;第2步,从其余5个人中选出3个人,在甲、乙2人之间排列,有A53=60(种)方法;第3步,将甲、乙2人及之间的3个人“捆绑”为1个元素,与另外2个人共3个元素全排列,有A33=6(种)方法.根据分步乘法计数原理,甲、乙2人之间恰好有3个人,共有2×60×6=720(种)排法.
6.56 [解析] 8个小球排好后对应着8个位置,题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球,剩下的位置给白球,由于这3个红球完全相同,5个白球也完全相同,所以没有顺序,是组合问题.故共有C83=56(种)排法.
7.70 [解析] 选法可分为两类:第一类,从4台标清彩电中选1台,从5台高清彩电中选2台,有C41C52种不同的选法;第二类,从4台标清彩电中选2台,从5台高清彩电中选1台,有C42C51种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有C41C52+C42C51=4×10+6×5=70(种)不同的选法.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)先求得六人的全排列数,然后结合题意,求得甲、乙在丙同侧所占的比例,即可求解.(2)分类讨论由数字0,1,2,3,4组成的没有重复数字的五位数的各种情况,进而得到从小到大排列的第88个数为42 130.
(1)B (2)C [解析] (1)由题意,甲、乙、丙等六人全排列,共有A66=720(种)不同的排法,甲、乙、丙三人全排列,有A33=6(种)不同的排法,其中甲、乙在丙的同侧有2A22=4(种)不同的排法.所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧的不同坐法的种数为720×46=480.故选B.
(2)由数字0,1,2,3,4组成的没有重复数字的五位数中,1在万位的有A44=24(个);2在万位的有A44=24(个);3在万位的有A44=24(个);4在万位的有A44=24(个).则从小到大排列的第88个数为4在万位的五位数.4在万位0在千位的五位数有A33=6(个),4在万位1在千位的五位数有A33=6(个),4在万位2在千位的五位数有A33=6(个),则从小到大排列的第88个数为4在万位2在千位的五位数.4在万位2在千位的五位数从小到大排列依次为42 013,42 031,42 103,42 130,42 301,42 310,则从小到大排列的第88个数为42 130.故选C.
变式题 (1)A (2)D (3)A [解析] (1)每个人被安排在另外两个人前面的机会是均等的,故共有13A53=20(种)安排方法.故选A.
(2)由题意,5只能排在a2或a4位置,1,2不能排在a2或a4位置.若a2,a4位置排4,5,则排列个数为A22A33=12;若a2,a4位置排3,5,则4只能排在a1,a5中与“5”所在位置相邻的外侧位置上,即排列有13 254,23 154,45 231,45 132,共4个.综上,满足题意的排列个数为12+4=16.故选D.
(3)不考虑限制条件,共有A66种不同的汇报安排,B成果最先汇报,有A55种不同的汇报安排,则B成果不能最先汇报,而A,C,D成果按先后顺序汇报(不一定相邻)的不同的汇报安排种数为A66-A55A33=100.故选A.
例2 [思路点拨] (1)按照A类项目选2个、选1个进行分类,结合组合知识求解.(2)按选修2门或3门课进行分类讨论,结合组合知识求解.
(1)C (2)64 [解析] (1)若A类项目选2个,则不同选法有C41C61C41=96(种);若A类项目选1个,则不同选法有C62C41+C61C42=96(种).故满足条件的不同选法共有96+96=192(种).故选C.
(2)若选修2门课,则需要从体育类和艺术类选修课中各选1门,有C41C41=16(种)方案;若选择3门课,则包含两种情况:选2门体育类,1门艺术类或2门艺术类,1门体育类,有C42C41+C41C42=48(种)方案.故不同的选课方案共有16+48=64(种).
变式题 (1)AD (2)180 [解析] (1)对于A,若4人中男、女生各2人,则有C42C32=6×3=18(种)选法,故A正确;对于B,若男生甲和女生乙必选,则有C52=10(种)选法,故B错误;对于C,从7名同学中任选4人,共有C74=35(种)选法,而甲、乙都不被选有C54=5(种)选法,故甲、乙至少有1人被选有C74-C45=35-5=30(种)选法,故C错误;对于D,若4人中既有男生又有女生,则有C74-C44=35-1=34(种)选法,故D正确.故选AD.
(2)第一天从6人中选3人参加,有C63种选法;第二天从第一天参加的3人中选1人参加,再从第一天没参加的3人中选2人参加,有C31C32种选法.故恰有1人在这两天都参加的不同安排方式有C63C31C32=6×5×43×2×1×3×3=180(种).
例3 [思路点拨] (1)根据两个计数原理和排列组合的知识,逐项判断即可.(2)根据甲跑的棒次进行分类讨论,由此求得不同棒次安排方案种数.
(1)C (2)B [解析] (1)对于A,从7人中任选3人相互调整位置,其余4人位置不变,则不同的调整方案有C73×2×1=70(种),故A中说法正确;对于B,先排女生,将4名女生全排列,有A44种方法,再排男生,由于男生互不相邻,因此可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有A53种方法,故共有A44·A53=1440(种)站法,故B中说法正确;对于C,将女生看成一个整体,考虑女生之间的顺序,有A44种情况,再将女生的整体与3名男生进行全排列,有A44种情况,故共有A44·A44=576(种)站法,故C中说法错误;对于D,若甲站在排尾,则有A66种站法,若甲不站在排尾,则有A51A51A55种站法,故共有A66+A51A51A55=3720(种)站法,故D中说法正确.故选C.
(2)当甲跑第1棒时,乙可跑第2棒或第4棒,有A21A42=24(种)安排方案;当甲跑第2棒时,乙只能跑第4棒,有A42=12(种)安排方案.故甲、乙都参加的不同棒次安排方案种数为24+12=36.故选B.
变式题 (1)C (2)864 [解析] (1)若乙担任数学课代表,则不同的安排方式有C21·A44=48(种);若丙担任数学课代表,则不同的安排方式有C21·C21·A33=24(种).所以不同的安排方式共有48+24=72(种).故选C.
(2)首先从“诗”“酒”“花”“茶”中选“两雅”,有C42种选法;“琴”“棋”相邻用捆绑法看作一个整体,与除“书”与“画”外的“两雅”全排列,有A33A22种排法;最后将“书”与“画”
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例4 [思路点拨] 先对6盏不同的花灯进行全排列,结合定序问题的解决方法,即可求解.
20 [解析] 根据题意可先对6盏不同的花灯进行全排列,有A66种排法.因为取花灯时每次只能取一盏,且只能从下往上取,每串花灯上3盏花灯地取下顺序已经固定,所以共有A66A33A33=20(种)不同的取法.
变式题 90 [解析] 由于六个身高不同的人排成两排三列,每一列后面的那个人比他(她)前面的那个人高,因此有A66A22A22A22=90(种)排法.
例5 [思路点拨] 利用隔板法可得答案.
D [解析] 将8个参赛名额看成8个元素,之间会产生7个空隙,则分配方法共有C73=7×6×53×2=35(种),故选D.
变式题 21 [解析] 由于每只羊羔的价格均为300元,因此共有8个购买羊羔的指标,可以看成8个无差别的小球,3种不同的羊羔可以看成3个编号分别为1,2,3的盒子,则问题转化为把8个无差别的小球装入3个不同的盒子中,每个盒子至少装1个小球.用隔板法,8个小球之间共有7个空隙,从中选2个插入隔板,则共有C72=21(种)不同的购买方案.
例6 [思路点拨] 先不考虑专家A不能去甲乡镇的情况,将六名农业专家分组,再分配到三个乡镇上,求出总的安排方案种数,最后根据专家A不去甲乡镇所占的比例求解即可.
360 [解析] 由题意,先不考虑专家A不能去甲乡镇的情况,将六名农业专家分成三组,有(1,1,4),(1,2,3),(2,2,2)三种情况.按(1,1,4)分组有C64C21C11A22=15(种)方法,按(1,2,3)分组有C61C52C33=60(种)方法,按(2,2,2)分组有C62C42C22A33=15(种)方法.再将三组农业专家分配到甲、乙、丙三个乡镇上,有A33种方法.所以共有(15+60+15)A33=540(种)安排方案.上述安排方案中,专家A去甲乡镇,去乙乡镇和去丙乡镇的安排方案种数相等,故专家A不去甲乡镇的安排方案有540×23=360(种).
变式题 C [解析] 将五位同学分为2,1,1,1的四组,再分配到四所学校,共有C52A44=240(种)方法.故选C.