02 第56讲　用样本估计总体 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

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1.数据的可视化描述
(1)各类统计图的特点
(续表)
(2)作频率分布直方图的步骤
①求极差(即一组数据中 与 的差);
②决定 与 ;
③将数据 ;
④列 ;
⑤画 .
2.数据的数字特征
(1)平均数:如果给定的一组数是x1,x2,…,xn,则这组数的平均数为x= ,简记为x=1n∑i=1nxi .
(2)中位数:把一组数据按 的顺序排列,处在 位置的一个数据(或两个数据的平均数).
(3)众数:一组数据中,出现次数 的数据.
(4)百分位数
①定义:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据 这个值,且至少有(100-p)%的数据 这个值.
②计算一组n个数据的第p百分位数的步骤:
第1步,按 排列原始数据.
第2步,计算i= .
第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第 项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的 .
③四分位数:第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数.
(5)方差和标准差
如果x1,x2,…,xn的平均数为x,则其方差s2=1n∑i=1n(xi-x)2=1n∑i=1nxi2-x2,标准差s=1n∑i=1n(xi-x)2.
注:方差越大,说明数据的离散程度或波动幅度越大,反之数据越集中,其单位是原始数据单位的平方.
常用结论
1.若数据x1,x2,…,xn的平均数为x,方差为s2,则数据yi=axi+b(i=1,2,…,n,a,b∈R)的平均数y=ax+b,方差为a2s2.
2.众数、中位数(百分位数)、平均数与频率分布直方图的关系:
(1)众数:最高的小矩形底边中点的横坐标.
(2)中位数:从左侧开始满足小矩形面积和为0.5的横坐标的值;根据百分位数的定义,求百分位数同样转化为从左侧求小矩形的面积和满足的条件.
(3)平均数:每个小矩形底边中点的横坐标与对应频率的积的和.
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知数据1,2,2,3,4,5,6,6,7,8的中位数为m,60%分位数为a,则m= ,a= .
2.[教材改编] 如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图,则数据在区间[6,10)上的频数是 .
3.[教材改编] 甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛,四人的平均环数和方差如下表所示:
则参加运动会的最佳人选应为 .
题组二 常错题
◆索引:挖掘不出统计图表反映的信息;不理解数字特征的统计含义.
4.某校举行了一次知识竞赛,满分10分,有10名学生代表班级参加比赛,已知学生得分均为整数,比赛结束后统计得这10名学生得分情况的折线图,如图所示,则这10名学生得分的极差为 ,80%分位数是 .
5.已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的方差是13,那么另一组数据3x1-1,3x2-1,3x3-1,3x4-1,3x5-1的方差是 .
6.某班全体学生参加物理测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示,则估计该班物理测试成绩的众数、中位数、平均数分别是 、 、 .
7.已知数据x1,x2,x3,…,xn是某市n(n≥10,n∈N*)个普通职工的年收入,设这n个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z,如果再加上世界首富的年收入xn+1,则这(n+1)个数据中,年收入的平均数 ,方差 ,众数 .(填“变大”“不变”或“变小”)
常见统计图表的识读与直观应用
例1 (1)(多选题)如图为甲、乙两人在同一星期内每日行走步数的折线统计图,则( )
A.这一星期内甲的每日行走步数的中位数为11 600
B.这一星期内甲的每日行走步数的极差大于乙的每日行走步数的极差
C.这一星期内乙的每日行走步数的方差大于甲的每日行走步数的方差
D.这一星期内乙的每日行走步数的上四分位数是7030
(2)[2023·广州海珠区模拟] 某苹果园一般把当年所产的苹果,根据外形、甜度等品质,由高到低评定为A,B,C,D,E五个等级,分别以不同的价格出售.图①是2021年的等级结果,图②是2022年的等级结果,已知2022年的苹果产量是2021年的2倍,下列说法正确的是( )
A.2022年A等级的苹果产量比2021年少
B.2022年B等级的苹果产量是2021年的2.5倍
C.2022年D等级的苹果产量是2021年的一半
D.2022年E等级的苹果产量与2021年相同
总结反思
扇形图、条形图、折线图的关注点
(1)扇形图能清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.
(2)条形图的长度表示各类别频数的多少,宽度是固定的类别,与频率分布直方图不同.
(3)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据,因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势.
变式题 (1)某地调查机构随机抽取了部分关注该地地铁建设的市民作为样本,分析其年龄和性别结构,并制作出如图所示的等高堆积条形图.根据图中(35岁以上含35岁)的信息,关于该样本的结论不一定正确的是( )
A.男性比女性更关注地铁建设
B.关注地铁建设的女性多数是35岁以上
C.35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多
D.35岁以上的人对地铁建设关注度更高
(2)(多选题)[2023·福建福州一中模拟] 某大学进行强基计划招生测试,需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示,则下列叙述正确的是( )
A.甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
B.乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
C.甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中,甲同学更靠后
D.甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前
样本的数字特征的求解与应用
例2 (1)为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某班举行了一次环保知识有奖竞答活动,有20名学生参加活动.已知这20名学生得分的平均数为m,方差为n.若将m当成一个学生的分数与原来的20名学生的分数一起,算出这21个分数的平均数为m',方差为n',则( )
A.20m=21m',21n=20n'
B.m=m',20n=21n'
C.20m=21m',20n=21n'
D.m=m',21n=20n'
(2)(多选题)[2023·广东佛山模拟] 某校开展“正心立德,劳动树人”主题教育活动,对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计,并绘制了如图所示的频率分布直方图,根据图中信息,下列说法正确的是( )
A.图中x的值为0.020
B.估计这组数据的第80百分位数约为86.67
C.估计这组数据的平均数为82
D.估计这组数据的中位数为75
(3)[2023·海南琼海模拟] 在全国第七次人口普查中,山东省16个城市的人口数(单位:万)如下表所示,则该组数据中的70%分位数为 .
总结反思
(1)通过频率分布直方图求中位数时,若小矩形的面积和不恰为0.5,则可按比例求其余部分.
(2)求方差时,勿忘乘1n,方差是各数据与其中心(平均值)距离的平方的平均值.

变式题 (1)[2023·山东泰安模拟] 有5人进行定点投篮游戏,每人投篮12次.这5人投中的次数组成一组数据,中位数为10,唯一众数为11,极差为3,则该组数据的第60百分位数是( )
A.9B.10
C.10.5D.11
(2)(多选题)[2023·辽宁锦州质检] 甲、乙二人在相同条件下各射击10次,每次中靶环数情况如图所示,则下列说法正确的是( )
A.从环数的平均数看,甲、乙二人射击水平相当
B.从环数的方差看,甲的成绩比乙稳定
C.从平均数和命中9环及9环以上的频数看,乙的成绩更好
D.从二人中靶环数的走势看,甲更有潜力
(3)[2023·上海复旦大学附中模拟] 某同学10次数学检测的成绩为95,97,94,93,95,97,97,96,94,93.设这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则a,b,c的大小关系为 (用“>”连接).
用样本的数字特征估计总体的数字特征
例3 (1)(多选题)为了提高学生的英语基础,某中学要求学生每天坚持1 h的听、说、读、写训练.为了调查该校5000名高中学生平均每周参加英语训练时间的情况,某教师从高一、高二、高三三个年级的学生中按照3∶1∶1的比例进行分层随机抽样,收集了100名学生平均每周英语训练时间(单位:h)的样本数据,整理后得到如图所示的频率分布直方图,则下列说法中正确的有( )
A.估计该校高中学生平均每周英语训练时间不足4 h的人数为1500
B.估计该校高中学生平均每周英语训练时间不少于8 h的人数所占比例为22%
C.估计该校高中学生平均每周英语训练时间的中位数为5 h
D.估计该校高中学生平均每周英语训练时间为5.84 h
(2)某市为了解新高三学生的数学学习情况,以便为即将展开的一轮复习提供准确的数据,在开学初该市教体局组织高三学生进行了一次摸底考试,现从参加考试的学生中随机抽取200名,根据统计结果,将他们的数学成绩(满分150分)分为[70,80),[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]共8组,得到如图所示的频率分布直方图.
①设事件A=“从参加考试的学生中随机抽取1名学生,该学生的成绩不低于110分”,估计事件A发生的概率;(用频率估计概率)
②利用所给数据估计本次数学考试成绩的平均数及方差(各组数据以其中点值作代表).
参考数据:(x1-x)2=998.56,(x2-x)2=466.56,(x3-x)2=134.56,(x4-x)2=2.56,(x5-x)2=70.56,(x6-x)2=338.56,(x7-x)2=806.56,(x8-x)2=1474.56,其中xi(i=1,2,…,8)为第i组数据的中点值.


总结反思
用样本的数字特征估计总体的数字特征常常是以频率分布直方图等为工具,应用平均数、方差、中位数等进行分析,解决问题时要注意准确建立统计模型,准确计算各个数字特征.
变式题 (1)(多选题)[2023·湖南益阳质检] 上级某部门为了对全市36 000名初二学生的数学水平进行监测,将获得的样本(数学水平分数,满分100分)数据进行整理分析,全部的分数可按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组,得到如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是( )类型
作用
频率分布
直方图
主要以面积的形式描述数据落在各个小组的频率的大小,可以估计总体数据的分布趋势
扇形图
主要用于直观描述各类数据占总数的比例
条形图
主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率,尤其是离散型的数据
类型
作用
折线图
主要用于描述数据随时间的变化趋势
甲
乙
丙
丁
平均环数x
8.5
8.8
8.8
8
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.5
名
称
青
岛
济
南
泰
安
烟
台
临
沂
日
照
聊
城
威
海
济
宁
德
州
淄
博
滨
州
东
营
潍
坊
枣
庄
菏
泽
人
口
数
/万
1007
920
547
710
1102
297
595
291
836
561
470
393
219
939
386
880
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A.图中x的值为0.025
B.估计样本数据的80%分位数为84
C.估计全市初二学生数学水平分数低于60分的人数为360
D.估计全市初二学生数学水平分数为80分及以上的人数占比为3%
(2)大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统,唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛,守岁接长筵”这样的诗句.为了解某地区居民的年夜饭消费金额,研究人员随机调查了该地区100个家庭,所得年夜饭消费金额(单位:元)统计如图所示,则下列说法中不正确的是( )
A.可以估计,该地区年夜饭消费金额在(2400,3200]内的家庭数量超过总数的三分之一
B.若该地区有2000个家庭,可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个
C.估计该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元
D.估计该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元